专题2-代数式-整式、分式、二次根式

中考数学《整式》《分式》考点分析及专题训练整式1、定义(1)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。

(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(4)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。

即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

(2)整式的乘除运算①同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(a m)n=a mn。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=a n b n。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。

2. 代数式（分类）2.1. 整式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.1.3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．2.1.4. 整式的运算法则整式的加减法：整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．整式的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn nm a a =(n m ,都是正整数)． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同． ②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．乘法公式：①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+；④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．整式的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的．2.2. 因式分解（包含题目总数：14）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.2.1. 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=； ()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()cb ac b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++． 2.2.2. 因式分解的常用方法1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．2.2.3. 因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．2.3. 分式（包含题目总数：16）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.3.1. 分式及其相关概念分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A 就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分． 一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．2.3.2. 分式的性质分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--=． 2.3.3. 分式的系数化整问题分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+；(2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568y x y x -+=． 2.3.4. 分式的运算法则1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ．分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到． 2.4. 二次根式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.4.1. 二次根式及其相关概念2.4.1.1. 二次根式的概念式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式．2.4.1.2. 最简二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x1就不是最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 2.4.1.3. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．2.4.1.4. 分母有理化把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． 2.4.2. 二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a b ab a．2.4.3. 二次根式的运算法则二次根式的运算法则：二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则： 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：ba b a=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--． 分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()213122213122+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=321+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值． 分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ．()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=．。

一、选择题目1．（2017四川省南充市）下列计算正确的是（ ） A．842a a a ÷= B ．236(2)6a a = C ．3232a a a -=D ．23(1)33a a a a -=-【答案】D ． 【解析】试题分析：A ．原式=4a ，不符合题意； B ．原式=68a ，不符合题意； C ．原式不能合并，不符合题意； D ．原式=233a a -，符合题意． 故选D ．考点：整式的混合运算．2．（2017四川省广安市）下列运算正确的是（ ）A ．|√2−1|=√2−1B ．x 3⋅x 2=x 6C ．x 2+x 2=x 4D ．(3x 2)2=6x 4 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．|√2−1|=√2−1，正确，符合题意； B ．325x x x ⋅=，故此选项错误； C ．2222x x x +=，故此选项错误；D ．224(3)9x x =，故此选项错误；故选A ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．实数的性质；3．合并同类项；4．同底数幂的乘法．学科*网 3．（2017四川省广安市）要使二次根式√2x −4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ＜2 D ．x =2 【答案】B ．【解析】试题分析：∵二次根式√2x −4在实数范围内有意义，∴2x ﹣4≥0，解得：x ≥2，则实数x 的取值范围是：x ≥2．故选B ．考点：二次根式有意义的条件．4．（2017四川省眉山市）下列运算结果正确的是（ ）A-= B ．2(0.1)0.01--= C ．222()2a b ab a b ÷= D ．326()m m m -=-【答案】A ．考点：1．二次根式的加减法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．分式的乘除法；5．负整数指数幂．5．（2017四川省眉山市）已知2211244m n n m +=--，则11m n -的值等于（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣1 D ．14-【答案】C ． 【解析】试题分析：由2211244m n n m +=--，得：22(2)(2)0m n ++-= ，则m =﹣2，n =2，∴11m n -=1122--=﹣1．故选C ．考点：1．分式的化简求值；2．条件求值． 6．（2017四川省绵阳市）使代数式√x+3+√4−3x 有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【答案】B ．考点：二次根式有意义的条件．7．（2017四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 19的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．421760【答案】C ． 【解析】试题分析：a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）；∴1a 1+1a 2+1a3+⋯+1a 19=11111 (13243546)1921+++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111(1...)232435461921-+-+-+-++-=1111(1)222021+--=589840，故选C ．学科#网 考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题． 8．（2017四川省达州市）下列计算正确的是（ ） A ．235a b ab +=B 6=±C ．22122a b ab a ÷=D ．()323526ab a b =【答案】C ．【解析】试题分析：A ．2a 与3b 不是同类项，故A 不正确； B ．原式=6，故B 不正确； C ．22122a b ab a÷=，正确；D ．原式=368a b ，故D 不正确； 故选C ．考点：1．整式的除法；2．算术平方根；3．合并同类项；4．幂的乘方与积的乘方． 9．（2017山东省枣庄市）下列计算，正确的是（ ）A-= B ．13|2|22-=-C= D ．11()22-=【答案】D ． 【解析】=，A 错误；13|2|22-=，B 错误；2，C 错误；11()22-=，D 正确，故选D ．考点：1．立方根；2．有理数的减法；3．算术平方根；4．负整数指数幂． 10．（2017山东省枣庄市）实数a ，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简||a 的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b 【答案】A ．考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴．11．（2017山东省济宁市）单项式39m x y 与单项式24n x y 是同类项，则m +n 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意，得m =2，n =3．m +n =2+3=5，故选D ． 考点：同类项．12．（20171+在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ）A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x =12D ．x ≠12【答案】C ． 【解析】试题分析：由题意可知：210120x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x =12.故选C ．考点：二次根式有意义的条件． 13．（2017山东省济宁市）计算()322323a a a a a -+-÷，结果是（ ）A ．52a a - B ．512a a -C ．5aD ．6a【答案】D ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法；3．负整数指数幂．14．（2017山西省）如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E ．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．20B ．30C ．35D ．55 【答案】A ． 【解析】试题分析：由翻折的性质得，∠DBC =∠DBC ′，∵∠C =90°，∴∠DBC =∠DBC ′=90°-35°=55°，∵矩形的对边AB ∥DC ，∴∠1=∠DBA =35°，∴∠2=∠DBC ′-∠DBA =55°-35°=20°．故选A ． 考点：1．平行线的性质；2．翻折变换（折叠问题）． 15．（2017广东省）下列运算正确的是（ ）A ．223a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．426()a a =D ．424a a a +=【答案】B ． 【解析】试题分析：A ．a +2a =3a ，此选项错误； B ．325a a a ⋅=，此选项正确；C ．428()a a =，此选项错误；D ．4a 与2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；故选B ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法． 16．（2017广西四市）下列运算正确的是（ ）A ．−3(x −4)=−3x +12B ．(−3x)2⋅4x 2=−12x 4C ．3x +2x 2=5x 3D ．x 6÷x 2=x 3 【答案】A ．考点：整式的混合运算．17．（2017江苏省盐城市）下列运算中，正确的是（ ）A ．277a a aB ．236a aa C ．32a aa D ．22abab【答案】C ． 【解析】 试题分析：A ．错误、7a +a =8a ．B ．错误．235aa a ． C ．正确．32a aa ．D ．错误．222aba b故选C ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法．18．（2017江苏省连云港市）计算2a a 的结果是（ ）A ．aB ．2aC ．22aD ．3a 【答案】D ．考点：同底数幂的乘法．19．（2017江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4B．23C．2D．0【答案】A．【解析】试题分析：如图，∵⊙O的半径=2，由题意得，OA1=4，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=2，OA6=0，OA7=4，…∵2017÷6=336…1，∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合，∴OA2017=2R=4．故选A．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．20．（2017河北省）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．446+=B．004446++=C．46+=D．1446-=【答案】D．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．图表型．21．（2017河北省）若321xx--= +11x-，则中的数是（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．任意实数【答案】B．【解析】试题分析：∵321xx-- = +11x-，∴321xx--﹣11x-=3211xx---=2(1)1xx--=﹣2，故____中的数是﹣2．故选B．考点：分式的加减法．22．（2017浙江省丽水市）计算23a a⋅，正确结果是（）A．5a B．4a C．8a D．9a 【答案】A．【解析】试题分析：23a a⋅=23a+=5a，故选A．考点：同底数幂的乘法．23．（2017浙江省丽水市）化简2111x x x +--的结果是（ ）A ．x +1B ．x ﹣1C ．21x -D ．211x x +-【答案】A ．考点：分式的加减法．24．（2017浙江省台州市）下列计算正确的是（ ） A ．()()2222a a a +-=-B ．()()2122a a a a +-=+-C ．()222a b a b +=+D ．()2222a b a ab b -=-+【答案】D ． 【解析】试题分析：A ．原式=24a -，不符合题意；B ．原式=22a a --，不符合题意； C ．原式=222a ab b ++，不符合题意；D ．原式=222a ab b -+，符合题意． 故选D ．考点：整式的混合运算．25．（2017湖北省襄阳市）下列运算正确的是（ ）A ．32a a -=B ．()325a a = C ． 235a a a = D ．632a a a ÷=【答案】C ．考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．学科*网 26．（2017重庆市B 卷）计算53a a ÷结果正确的是（ ） A ．a B ．2a C ．3a D ．4a 【答案】B ． 【解析】试题分析：53a a ÷=2a ．故选B ． 考点：同底数幂的除法．27．（2017重庆市B 卷）若x =﹣3，y =1，则代数式2x ﹣3y +1的值为（ ） A ．﹣10 B ．﹣8 C ．4 D ．10 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵x =﹣3，y =1，∴2x ﹣3y +1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，故选B ． 考点：代数式求值．28．（2017重庆市B卷）若分式13x -有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ≠3D ．x =3 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵分式13x -有意义，∴x ﹣3≠0，∴x ≠3；故选C ．考点：分式有意义的条件．29．（2017重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（ ）A ．116B ．144C ．145D ．150 【答案】B ．考点：规律型：图形的变化类． 二、填空题目30．（2017四川省南充市）计算：0|1(π+= ．【解析】试题分析：原式1+1 考点：1．实数的运算；2．零指数幂．31．（2017四川省广安市）分解因式：24mx m -= ． 【答案】m （x +2）（x ﹣2）． 【解析】试题分析：24mx m -=2(4)m x -=m （x +2）（x ﹣2）．故答案为：m （x +2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．32．（2017四川省眉山市）分解因式：228ax a -= ． 【答案】2a （x +2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．33．（2017四川省绵阳市）分解因式：282a -= ． 【答案】2（2a +1）（2a ﹣1）． 【解析】试题分析：282a -=22(41)a - =2（2a +1）（2a ﹣1）．故答案为：2（2a +1）（2a ﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．34．（2017四川省达州市）因式分解：3228a ab -= ．【答案】2a （a +2b ）（a ﹣2b ）． 【解析】试题分析：2a 3﹣8ab 2 =2a （a 2﹣4b 2） =2a （a +2b ）（a ﹣2b ）．故答案为：2a （a +2b ）（a ﹣2b ）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．35．（2017山东省枣庄市）化简：2223321(1)x x xx x x ++÷-+-= ． 【答案】1x ．【解析】试题分析：2223321(1)x x x x x x ++÷-+-=223(1)(1)(3)x x x x x +-⋅-+=1x ，故答案为：1x ． 考点：分式的乘除法．36．（2017山东省济宁市）分解因式：222ma mab mb ++=．【答案】2()m a b + ．【解析】试题分析：原式=22(2)m a ab b ++=2()m a b +，故答案为：2()m a b +．考点：提公因式法与公式法的综合运用．37．（2017山西省）计算：-= ．【答案】．考点：二次根式的加减法．38．（2017广东省）分解因式：a a +2= ．【答案】a （a +1）． 【解析】试题分析：a a +2=a （a +1）．故答案为：a （a +1）．考点：因式分解﹣提公因式法．学&科网39．（2017广东省）已知4a +3b =1，则整式8a +6b ﹣3的值为 ． 【答案】﹣1． 【解析】试题分析：∵4a +3b =1，∴8a +6b =2，8a +6b ﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1． 考点：1．代数式求值；2．整体思想．40．（2017江苏省盐城市）分解因式2a b a 的结果为 ．【答案】a （ab ﹣1）． 【解析】试题分析：2a b a =a （ab ﹣1），故答案为：a （ab ﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．41．（2017在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥3． 【解析】试题分析：根据题意得x ﹣3≥0，解得x ≥3．故答案为：x ≥3． 考点：二次根式有意义的条件．42．（2017江苏省连云港市）分式11x 有意义的x 的取值范围为 ． 【答案】x ≠1．考点：分式有意义的条件．43．（2017江苏省连云港市）计算（a ﹣2）（a +2）=． 【答案】24a -． 【解析】试题分析：（a ﹣2）（a +2）=24a -，故答案为：24a -． 考点：平方差公式．44．（2017浙江省丽水市）分解因式：22m m += ． 【答案】m （m +2）． 【解析】试题分析：原式=m （m +2）．故答案为：m （m +2）． 考点：因式分解﹣提公因式法．45．（2017浙江省丽水市）已知21a a +=，则代数式23a a --的值为 ． 【答案】2． 【解析】试题分析：∵21a a +=，∴原式=23()a a -+=3﹣1=2．故答案为：2．考点：1．代数式求值；2．条件求值；3．整体思想．46．（2017浙江省台州市）因式分解：26x x += ．【答案】x （x +6）． 【解析】试题分析：原式=x （6+x ），故答案为：x （x +6）． 考点：因式分解﹣提公因式法．47．（2017浙江省绍兴市）分解因式：2x y y -= ．【答案】y （x +1）（x ﹣1）．考点：1．提公因式法与公式法的综合运用；2．因式分解．48．（2017重庆市B 卷）计算：0|3|(4)-+- ．【答案】4． 【解析】试题分析：原式=3+1=4．故答案为：4． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂．三、解答题49．（2017四川省南充市）化简21(1)1x x x x x --÷++，再任取一个你喜欢的数代入求值．【答案】1x x -，当x =5时，原式=54．【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x 的值代入进行计算即可．试题解析：原式=2211x x x x x xx +-+⋅+-=21(1)1x x x x x +⋅+-=1x x - ∵x ﹣1≠0，x （x +1）≠0，∴x ≠±1，x ≠0，当x =5时，原式=551-=54．考点：分式的化简求值．50．（2017四川省广安市）计算：6118cos 4520173--+⨯-+．【答案】13 ．考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．51．（2017四川省广安市）先化简，再求值：2211a a a aa +-⎛⎫+÷⎪⎝⎭，其中a =2． 【答案】11a a +-，3．【解析】试题分析：先化简分式，再代入求值．试题解析：原式=221(1)(1)a a a a a a ++⨯+-=2(1)(1)(1)a a a a a +⨯+-=11a a +- 当a =2时，原式=3． 考点：分式的化简求值．52．（2017四川省眉山市）先化简，再求值：2(3)2(34)a a +-+，其中a =﹣2． 【答案】21a +，5． 【解析】试题分析：原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=26968a a a ++--=21a +，当a =﹣2时，原式=4+1=5． 考点：整式的混合运算—化简求值．53．（2017四川省绵阳市）（1）计算：√0.04+cos 2450−(−2)−1−|−12|；（2）先化简，再求值：(x−y x 2−2xy +y 2−x x 2−2xy )÷yx−2y ，其中x=y．【答案】（1）0.7；（2）1y x -，．考点：1．分式的化简求值；2．实数的运算；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．54．（2017四川省达州市）计算：11201712cos453-⎛⎫--+︒⎪⎝⎭．【答案】5．【解析】试题分析：首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．试题解析：原式=1132+++55．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．学科#网55．（2017四川省达州市）设A=223121a aaa a a-⎛⎫÷-⎪+++⎝⎭．（1）化简A；（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：()()()27341124x xf f f---≤+++，并将解集在数轴上表示出来．【答案】（1）21a a+；（2）x≤4．考点：1．分式的混合运算；2．在数轴上表示不等式的解集；3．解一元一次不等式；4．阅读型；5．新定义．56．（2017山东省枣庄市）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=p q．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=3 4．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）3 4．考点：1．因式分解的应用；2．新定义；3．因式分解；4．阅读型．57．（2017广东省）计算：()11713π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭．【答案】9． 【解析】试题分析：直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简求出答案． 试题解析：原式=7﹣1+3=9．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂．58．（2017广东省）先化简，再求值：()211422x x x ⎛⎫+⋅- ⎪-+⎝⎭，其中x【答案】2x ， 【解析】试题分析：先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x 的值代入求解可得．试题解析：原式=()()()()222222x x x x x x ++-+--+=2x当x= 考点：分式的化简求值．59．（2017广西四市）先化简，再求值：2211121x x x x x ---÷++，其中x =√5−1． 【答案】11x +考点：分式的化简求值．60．（201711()20172．【答案】3． 【解析】试题分析：首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 试题解析：原式=2+2﹣1=3．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂． 61．（2017江苏省盐城市）先化简，再求值：35222x x x x ，其中33x ．【答案】13x -．【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=3(2)(2)5[]222x x x x x x =23922x x x x +-÷--=322(3)(3)x x x x x +-⋅-+-=13x -当33x 时，原式．考点：分式的化简求值．62．（2017江苏省连云港市）计算：0318 3.14．【答案】0． 【解析】试题分析：先去括号、开方、零指数幂，然后计算加减法． 试题解析：原式=1﹣2+1=0．考点：1．实数的运算；2．零指数幂．63．（2017江苏省连云港市）化简： 211a aa a ．【答案】21a ．考点：分式的乘除法．64．（2017河北省）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证 （1）22222(1)0123-++++的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n ，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由． 【答案】（1）3；（2）见解析；延伸 2，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）直接计算这个算式的值；（2）先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论． 试题解析：（1）∵()2222210123-++++=1+0+1+4+9=15=5×3，∴结果是5的3倍．（2）()()()()() 2222222 211251052n n n n n n n-+-+++++=+=+．∵n为整数，∴这个和是5的倍数．延伸余数是2．理由：设中间的整数为n，()()22221132n n n n-+++=+被3除余2．考点：1．完全平方公式；2．整式的加减．65．（2017浙江省丽水市）计算：011(2017)()3---【答案】1．【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．学&科网试题解析：原式=1﹣3+3=1．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂．66．（2017)013 +---．【答案】1．考点：1．实数的运算；2．零指数幂．67．（2017浙江省台州市）先化简，再求值：1211x x⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭，其中x=2017．【答案】21x+，11009．【解析】试题分析：根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=1121xx x+-⨯+ =21xx x⨯+=21x+当x =2017时，原式=220171+=22018=11009．考点：分式的化简求值．68．（2017浙江省绍兴市）（1）计算：()4π-+-（2）解不等式：()4521x x +≤+．【答案】（1）﹣3；（2）x ≤32-．考点：1．解一元一次不等式；2．实数的运算；3．零指数幂．69．（2017湖北省襄阳市）先化简，再求值：2111x y x y xy y ⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中2x =，2y =-．【答案】2xy x y -，12．【解析】试题分析：先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x 、y 的值代入求解可得．试题解析：原式=1[]()()()()()x y x y x y x y x y x y y x y -++÷+-+-+=2()()()x y x y x y x y ⋅++- =2xyx y -当2x =+，2y =-时，原式24=12． 考点：分式的化简求值． 70．（2017重庆市B 卷）计算：（1）2()(2)x y x y x+--；（2）23469 (2)22a a aaa a--++-÷--．【答案】（1）222x y+；（2）3aa-．考点：1．分式的混合运算；2．单项式乘多项式；3．完全平方公式．71．（2017重庆市B卷）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=()()F sF t，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）54．【解析】试题分析：（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k= ()()F sF t中，找出最大值即可．试题解析：（1）F （243）=（423+342+234）÷111=9； F （617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s =100x +32，t =150+y ，∴F （s ）=（302+10x +230+x +100x +23）÷111=x +5，F （t ）=（510+y +100y +51+105+10y ）÷111=y +6．∵F （t ）+F （s ）=18，∴x +5+y +6=x +y +11=18，∴x +y =7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数，∴16x y =⎧⎨=⎩或25x y =⎧⎨=⎩或34x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩或61x y =⎧⎨=⎩．∵s 是“相异数”，∴x ≠2，x ≠3．∵t 是“相异数”，∴y ≠1，y ≠5，∴16x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩，∴()6()12F s F t =⎧⎨=⎩或()9()9F s F t =⎧⎨=⎩或()10()8F s F t =⎧⎨=⎩，∴k =()()F s F t =12或k =()()F s F t =1或k =()()F s F t =54，∴k 的最大值为54．考点：1．因式分解的应用；2．二元一次方程的应用；3．新定义；4．阅读型；5．最值问题；6．压轴题．祝你考试成功!祝你考试成功!。

专题2 数的开方与二次根式一、基础过关练1．（2022·广东·佛山市中考三模）实数9的算术平方根为（ ）A ．3B 3C ．3D ．3± 【答案】A【分析】根据算术平方根的定义，即可求出结果．【详解】解：∵239=， ∴93=． 故选：A【点睛】本题考查了算术平方根，解本题的关键在熟练掌握算术平方根的定义．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．2．（2022·陕西·陇县中考二模）27−的立方根为（ ） A ．13− B ．13 C ．13± D ．3【答案】A 【分析】根据立方根的概念求解即可．【详解】解：∵311327⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， ∴127−的立方根为－13， 故选：A ．【点睛】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念“一个数x 3=a ，则x 叫a 有立方根”是解题的关键．3．（2022·江苏徐州·中考真题）要使得式子2x −有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤【答案】B【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意，得 20x −≥，解得2x ≥．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：()1当代数式是整式时，字母可取全体实数；()2当代数式是分式时，分式的分母不能为0；()3当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（2022·上海中考三模）下列式子属于同类二次根式的是（）A222B324C525D612【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、2与22是同类二次根式，符合题意；B、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．5．（2022·内蒙古通辽·中考一模）16的平方根是（）A．4B．4±C．2D．2±【答案】D【分析】先根据算术平方根可得164=，再根据平方根的概念即可得．【详解】解：164=，±=，因为()224所以4的平方根是2±，即16的平方根是2±，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握平方根的概念是解题关键．A42±B()222−=−C382−=−D235【答案】C【分析】根据立方根，算术平方根和二次根式的加法计算法则求解判断即可．【详解】解：A、42=，计算错误，不符合题意；B、()222−=，计算错误，不符合题意；C 、382−=−，计算正确，符合题意；D 、2与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根和二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．A ．125的平方根是15±B ．()20.1−的平方根是0.1±C ．9−81D 3273−=− 【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．【详解】解：A.125的平方根是15±，说法正确，不符合题意； B. ()20.1−的平方根是0.1±，说法正确，不符合题意；C.819＝，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意； D. 3273−=−，说法正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键．8．（2022·湖北武汉·中考二模）计算()25−−的结果为______． 【答案】5−【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【详解】()22555−−=−=−故答案：5−【点睛】本题考查算术平方根的定义，准确确定符号是解题的关键．9．（2022·河南许昌·中考二模）若代数式275x x −+−有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3.5≤x ≤5【分析】根据被开方数为非负数，进而求解即可．【详解】解：由题意，得27050x x −≥⎧⎨−≥⎩， 解得3.5≤x ≤5．故答案为：3.5≤x ≤5．【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，解一元一次不等式组求解集，解决问题的关键是正确地计算能力．10．（2022·黑龙江哈尔滨·中考三模）计算327−的结果是________． 【答案】-3【分析】根据立方根的性质计算即可．【详解】327−=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．11．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考模拟预测）计算 216(4)−+−＝______． 【答案】0【分析】先将各二次根式化简，再合并即可得到答案．【详解】解：216(4)−+−=-4+4=0故答案为0【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是化简二次根式，注意(0)0(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪−<⎩．12．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考三模）计算32542−的结果是______． 【答案】26−【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：32542− 62362=⨯− 26=−．故答案为：26−【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．13．（2022·辽宁朝阳·24546−=___________． 【答案】1− 【分析】先将二次根式化简，再计算，即可求解．【详解】解：24546− 26366−= 66−= 1=−故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．14．（2022·江苏南京·中考二模）计算()()271832−+的结果是______． 【答案】3【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．【详解】解：原式=()()()3332323323−⨯+=⨯−=； 故答案为3．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 15．（2022·天津红桥·中考三模）计算()()233233+−的结果等于_______．【答案】3【分析】利用平方差公式解答．【详解】解：()()233233+−()22=2331293−=−=故答案为：3．【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（2022·山东聊城·中考一模）()12156362−⨯+=______． 【答案】65【分析】先算小括号，再算乘除，最后算加减．【详解】解：原式2=2153-63+62⨯⨯⨯=65-32+32=65 故答案为：65．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的运用法则和准确的计算是解决本题的关键．二、能力提升练 17．（2022·重庆市中考一模）下列运算正确的是（ ）A 235=B ．232=C 822÷=D ．3223= 【答案】C【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A 和选项D ，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B ，根据二次根式的除法法则即可判断选项C ．【详解】解：A ．2和3不能合并，故本选项不符合题意；B ．22326⨯=，故本选项不符合题意；C ．882422÷===，故本选项符合题意； D ．32222−=，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．A ．0.08的立方根是0.2B 162±C ．0的倒数是0D ．–1是1的绝对值【答案】B【分析】根据立方根、平方根、倒数和绝对值的定义判断即可．【详解】解：A 、0.008的立方根是0.2，该选项错误，不符合题意；B 、164=，4的平方根是2±，该选项正确，符合题意；C 、0没有倒数，该选项错误，不符合题意；D 、1是-1的绝对值，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查立方根、平方根、倒数和绝对值的问题，关键是根据算术平方根、立方根和平方根的定义分析．19．（2022·广东中考三模）若2423y x x =−+−−，则2022()x y +等于（ ）A ．1B ．5C ．5−D ．1−【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20420x x −≥⎧⎨−≥⎩， 解得：x ＝2，故y ＝-3，∴20222022()(213)=x y +=−．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．20．（2022·贵州遵义·中考模拟预测）函数1x y +=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠−B ．2x ≠C ．1x ≥或2x ≠D ．1x ≥−且2x ≠ 【答案】D【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】根据题意，得：10x +≥，20x −≠，解得1x ≥−且2x ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件的知识，根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数非负列出不等式，是解答本题的关键．21．（2022·陕西·中考模拟预测）9的平方根是_____，立方根是_______． 【答案】 ±3 33【分析】依据平方根以及立方根的定义，即可得出结论．【详解】∵9＝3，∴9的平方根是±3，立方根是33．故答案为：±3，33．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．22．（2022·山东济南·中考二模）如果2、5、m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m −+−等于_____．【答案】4【分析】根据三角形三边的关系得到37m <<，再根据二次根式的性质得原式37m m =−+−，然后根据m 的取值范围去绝对值后合并即可．【详解】解：∵2、5、m 为三角形三边，∴37m <<，∴原式()3737374m m m m m m =−+−=−−−=−−+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：2a a =及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（2022·浙江·瑞安市中考三模）当31a =时，代数式122a a −−+的值为_______． 【答案】323−33− 【分析】把31a =+代入代数式()2122a a −−+，求出其值即可．【详解】解：把31a =+代入代数式()2122a a −−+得：原式=()()23112312+−−++ ()232322=−−+32322=−−+323=−．故答案为：323−．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．=a 数是_________．【答案】 -3 1【分析】根据正数的平方根是两个互为相反数，得出方程a +4+2a +5＝0，求出a 值，把a 值代回任一个式子平方即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是a +4和2a +5，∴a +4+2a +5＝0，解得：a ＝﹣3，即这个正数是()2341−+=，故答案为：﹣3；1．【点睛】本题考查了平方根的应用，解一元一次方程，熟练掌握正数有两个平方根，是互为相反数，解一元一次方程的一般方法，是解决问题的关键．25．（2022·贵州黔东南·中考一模）函数y 121x x =−−中自变量x 的取值范围是_____． 【答案】x ≤2且x ≠1 【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．【详解】解：由题意得，2﹣x ≥0且x ﹣1≠0，解得x ≤2且x ≠1．故答案为：x ≤2且x ≠1．【点睛】此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．26．（2022·广东·东莞市中考三模）已知()2120x y −+=，则()2014x y +=______ ． 【答案】1【分析】利用偶次方和算术平方根的非负性求出x 与y 的值，代入计算即可得到结果．【详解】解：2(1)20x y −++=Q ，10x ∴−=，20y +=， 解得1x =，=2y −，则20142014()(12)1x y +=−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键．27．（2022·浙江杭州·中考二模）已知x ＋y ＝﹣5，xy ＝4，则y x x y+=________． 【答案】52 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：当x +y =-5，xy =4时，y x xy + 2()y x x y=+ 2y x x y=++ 222x y xy xy++=2()x y xy+= 2(5)4−= =52． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 28．（2022·广东·深圳市中考三模）计算：2231(2)8(2)2−+−+−+． 【答案】52 【分析】化简绝对值，二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解．【详解】解：原式＝12222+−+ 52=． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．29．（2022·上海松江·中考二模）计算：11812221⎛⎫− ⎪+⎝⎭【答案】24−−【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式2322121=−−+−+− 24=−−【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握负整指数幂与二次根式的化简运算是解题的关键．。

专题2 代数式与整式一、单选题1．下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝a B．（a3）2＝a5C．2√5﹣√5＝2D．（a﹣1）2＝a2﹣12．下列整式与ab2为同类项的是（）A．a2b B．﹣2ab2C．ab D．ab2c3．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．a3⋅a4=a12C．(a3)4=a7D．a3÷a2=a 4．（2022·长沙）下列计算正确的是（）A．a7÷a5=a2B．5a−4a=1C．3a2⋅2a3=6a6D．(a−b)2=a2−b25．（2022·永州）下列各式正确的是（）.A．√4=2√2B．20=0C．3a−2a=1D．2−(−2)=4 6．（2022·娄底）下列式子正确的是（）A．a3⋅a2=a5B．(a2)3=a5C．(ab)2=ab2D．a3+a2=a5 7．（2022·长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A．8x元B．10(100−x)元C．8(100−x)元D．(100−8x)元8．（2022·娄底）若10x=N，则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1.对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．09．（2022·怀化）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．√(−2)2＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y210．（2022·常德）计算x4⋅4x3的结果是（）A．x B．4x C．4x7D．x11二、填空题11．（2022·邵阳）已知x2−3x+1=0，则3x2−9x+5=.12．（2022·长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210=1024，103=1000，所以我估计2200比1060大.其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.13．（2022·怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是.14．（2022·永州）若单项式3x m y的与−2x6y是同类项，则m=.15．（2021·株洲）计算：2a2⋅a3=.16．（2021·岳阳）已知x+1x=√2，则代数式x+1x−√2=.17．（2021·怀化）观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，……，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，……，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是.18．（2021·岳阳模拟）若7a x b2与−3a3b y的和为单项式，则x y=.19．（2021·娄底模拟）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第个图形. 20．（2021·新化模拟）已知a²+2a−5=0，则代数式2a2+4a−1的值是.三、计算题21．（2021·衡阳）计算：(x+2y)2+(x−2y)(x+2y)+x(x−4y).22．（2021·长沙）先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−12. 23．（2021·新化模拟）先化简，再求值：(a+b)(a−b)+(a−b)2−(2a2−ab)，其中a，b是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根. 24．（2021·永州）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1.25．（2021·永州模拟）先化简，再求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2，其中a＝－1，b＝12答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A符合题意；B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；C、2√5﹣√5＝√5，故C不符合题意；D、（a﹣1）2＝a2-2a+1，故D不符合题意；故答案为：A.【分析】利用合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；再利用合并同类二次根式的法则，可对C作出判断；然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2，可对D作出判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵ab2和﹣2ab2所含的字母相同，相同的字母系数也相同，∴ab2和﹣2ab2是同类项.故答案为：B.【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的单项式，根据定义分别判断即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、a2+a3不能合并，故A不符合题意；B、a3·a4=a7，故B不符合题意；C、（a3）4=a12，故C不符合题意；D、a3÷a2=a，故D符合题意；故答案为：D.【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B 作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.4．【答案】A【解析】【解答】解：A、a7÷a5=a2，故该选项正确，符合题意；B、5a−4a=a，故该选项不正确，不符合题意；C、3a2⋅2a3=6a5，故该选项不正确，不符合题意；D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故该选项不正确，不符合题意.故答案为：A.【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据单项式与单项式的乘法法则“把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D.5．【答案】D【解析】【解答】解：A、√4=2，故A不符合题意；B、20=1，故B不符合题意；C、3a-2a=a，故C不符合题意；D、2-（-2）=2+2=4，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何不等于0的数的0次幂为1，可对B作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对C作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对D作出判断.6．【答案】A【解析】【解答】解：a3⋅a2=a5，故A选项符合题意；(a2)3=a6，故B不符合题意；(ab)2=a2b2，故C不符合题意；a3，a2不是同类项，不能合并，故D不符合题意.故答案为：A.【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方，先将每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此可判断D.7．【答案】C【解析】【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本（100-x）本，乙种读本的单价为8元/本，则购买乙种读本的费用为8（100-x）元故答案为：C.【分析】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，根据乙种读本的单价×本数可得购买乙种读本的费用，据此解答.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵lgM+lgN=lg(MN)，∴(lg5)2+lg5×lg2+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5·lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.故答案为：C.【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.9．【答案】C【解析】【解答】解：A、（2a2）3=8a6≠6a6，故此选项错误，不符合题意；B、a8÷a2=a6≠a4，故此选项错误，不符合题意；C、√(−2)2=2，故此选项正确，符合题意；D、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故此选项错误，不符合题意.故答案为：C.【分析】积的乘方，先对每一个因式分别进行乘方，然后将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；根据二次根式的性质“√a2=|a|”可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D.10．【答案】C【解析】【解答】解：x4⋅4x3=4x4+3=4x7，故C正确.故答案为：C.【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，据此计算.11．【答案】2【解析】【解答】解：3x2−9x+5=3x2−9x+3+2=3(x2−3x+1)+2∵x2−3x+1=0∴3x2−9x+5=0+2=2故答案为：2.【分析】待求式可变形为3(x2-3x+1)+2，然后将已知条件代入进行计算.12．【答案】DDDD【解析】【解答】解：2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32⋯，∴2的乘方的个位数字4个一循环，∵200÷4=50，∴2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；∵2200=(210)20，1060=(103)20，210=1024，103=1000，且210>103∴2200>1060，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD.【分析】根据乘方的意义可得DDDD的理解是错误的，观察发现：2的乘方的个位数字4个一循环，据此判断JXND；根据幂的乘方法则可得2200=(210)20，1060=(103)20，且210>103，据此判断QGYW. 13．【答案】744【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），∴第27行的最后一个数，即第27个数为27×28=756，∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即756−2×6=744，故答案为：744.【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.14．【答案】6【解析】【解答】解：∵单项式3x m y的与−2x6y是同类项∴m=6.故答案为：6.【分析】利用同类项中相同字母的指数相等，可求出m的值.15．【答案】2a5【解析】【解答】解：2a2⋅a3=2a2+3=2a5.故答案：2a5.【分析】根据单项式乘单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式."可求解.16．【答案】0【解析】【解答】x+1x−√2=√2−√2=0故答案为：0.【分析】直接代入计算即可.17．【答案】(2100−1)m【解析】【解答】由题意规律可得：2+22+23+⋯+299=2100−2.∵2100=m∴2+22+23+⋯+299+2=2100=m=20m，∵2+22+22+⋯+299+2100=2101−2，∴2101=2+22+23+⋯+299+2100+2=m+m=2m=21m.2102=2+22+23+⋯+299+2100+2101+2=m+m+2m=4m=22m.2103=2+22+23+⋯+299+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.……∴2199=299m.故2100+2101+2101+⋯+2199=20m+21m+⋯+299m.令20+21+22+⋯+299=S①21+22+23+⋯+2100=2S②②-①，得2100−1=S∴2100+2101+2101+⋯+2199=20m+21m+⋯+299m= (2100−1)m故答案为：(2100−1)m.【分析】利用已知等式可得到数字的变化规律，再根据2100=m，由此可求出这组数据的和. 18．【答案】9【解析】【解答】解：∵7a x b2与−3a3b y的和为单项式，∴7a x b2与−3a3b y是同类项，∴x=3，y=2，∴x y=32=9，故答案为：9.【分析】根据题意7a x b2与−3a3b y是同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同，由此求出x、y的值，进而可求得x y的值.19．【答案】2021【解析】【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064−13=2021，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021.【分析】把每个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，据此规律找出第n个图形五角星的个数为：1+3n，据此求解即可.20．【答案】9【解析】【解答】解：∵a2+2a-5=0，∴a2+2a=5，∴a2+2a-1=2(a2+2a)-1=2×5-1=10-1=9.故答案为：9.【分析】将a2+2a-5=0变形为a2+2a=5，然后将代数式含字母的部分提取公因式2后整体代入所求的代数式进行化简求值.21．【答案】解：(x+2y)2+(x−2y)(x+2y)+x(x−4y)=x2+4xy+4y2+x2−4y2+x2−4xy=3x2【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，然后去括号、合并即可.22．【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2，=−2x，将x=−12代入得：原式=−2x=−2×(−12)=1【解析】【分析】根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”、完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和根据单项式与多项式的乘法法则“单项式与多项式相乘，就是依据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”可去括号，再根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将多项式化简，然后把x的值代入化简后的代数式计算即可求解.23．【答案】解：原式= a2−b2+a2−2ab+b2−2a2+ab=﹣ab∵a，b是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，进而根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案.24．【答案】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）＝x2+2x+1+4﹣x2＝2x+5，当x＝1时，原式＝2+5＝7.【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及合并同类项法则可将原式化简为2x+5，然后将x 的值代入计算.25．【答案】解：原式＝a2−b2+a2+2ab+b2＝2a2+2ab当a＝﹣1 ，b= 12时，原式＝2a2+2ab=2×(−1)2+2×(−1)×1 2=1【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式先去括号，再合并同类项化为最简形式，然后将a，b 的值代入代数式进行计算。

专题二：二次根式1：考向解读1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．2．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、的化简与运算（分母有理化）．2：导图导学3：考点数的乘方负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．这样的二次根式叫做最简二次根式．（3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．二次根式的运算二次根式的性质：0(0)a a≥≥，2()(0)a a a=≥．2(0),||(0)a aa aa a≥⎧==⎨-<⎩．(0,0)ab a b a b=⋅≥≥．(0,0)a aa bb b=≥>．4：解题技巧化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。

（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

常见二次根式化简求值的九种技巧一、估算法二、公式法三、拆项法四、换元法 五、整体代入法 六、因式分解法 七、配方法 八、辅元法 九、先判后算法 考点1：二次根式有意义的条件 1．（2022•衡阳）如果二次根式1a -有意义，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1a > B ．1a C ．1a < D ．1a 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意得：10a -， 1a ∴， 故选：B ． 2．（2022•日照）若二次根式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 32x ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：320x -，解得：32x ， 故答案为：32x．举一反三1．（202236x -x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．2．（2022•广州）代数式11x +有意义时，x 应满足的条件为( ) A ．1x ≠- B ．1x >- C ．1x <- D ．1x - 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：代数式11x +有意义时，10x +>， 解得：1x >-． 故选：B ． 3．（2022•常州）若二次根式1x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x B ．1x > C ．0x D ．0x > 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可． 【解答】解：二次根式1x -有意义， 10x ∴-，解得：1x ．故选：A ．考点二：二次根式的定义1．（2022秋•二道区校级期中）下列式子中，不是二次根式的是( )A ．3B ．0.6C ．12D ．3π-【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：3，0.6，1为二次根式，2而30π-<，所以3π-不是二次根式．故选：D．2．（2022春•泸县校级期中）下列式子中是二次根式的是()A．x B．3-C．2-D．38【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A选项，x缺少条件0x，当0x<时，x不是二次根式，故该选项不符合题意；B选项，30-<，故该选项不符合题意；>，故该选项符合题意；C选项，20D选项，38是三次根式，故该选项不符合题意；故选：C．举一反三1．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是()A a B21a+C32D2-【分析】(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．当0a<aa+B21C32是三次根式，故此选项不合题意；D2-故选：B．2．（2022秋•宛城区校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．4-B．21x+x-C．32a D．21【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．x的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；C．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．3．（2022秋•榆树市月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．3-B．32a C．22a+D．29a-【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．3-，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B．32a，三次根式，故此选项不合题意；a+，是二次根式，故此选项符合题意；C．22a-，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；D．29故选：C．考点三：考向3 二次根式的性质与化简1．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则22-+-等于((3)(7)m m)A．210-C．10D．4m-B．102m【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：2、5、m是某三角形三边的长，5252m ∴-<<+， 故37m <<， ∴22(3)(7)m m -+- 37m m =-+- 4=． 故选：D ． 2．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简22|1|(1)()a b a b +--+-= 2 ． 【分析】根据数轴可得：10a -<<，12b <<，然后即可得到10a +>，10b ->，0a b -<，从而可以将所求式子化简． 【解答】解：由数轴可得，10a -<<，12b <<，10a ∴+>，10b ->，0a b -<，22|1|(1)()a b a b ∴+--+-1(1)()a b b a =+--+-11a b b a =+-++-2=，故答案为：2．举一反三1．（2022•内蒙古）实数a 21|1|a a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<，0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．2．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．【解答】===故选：A ．3．（2022•河北）下列正确的是( )A23=+ B 23⨯ C 23= D 0.7【分析】A 0,0)a b 判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．考点4：最简二次根式1．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是( ) A ．19 B ．4 C ．2a D ．a b + 【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【解答】解：11.93A =，不是最简二次根式； .42B =，不是最简二次根式； 2.||C a a =，不是最简二次根式； .D a b +，是最简二次根式． 故选：D ． 2．（2022•杭州）计算：4= ；2(2)-= ．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：42=，2(2)4-=，故答案为：2，4．举一反三1．（2022秋•忻州月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )A 12B 3C 12D 2a 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A 124323⨯=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；B 3是最简二次根式，本选项符合题意；C 122=D 2||a a =，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；故选：B ．2．（2021•益阳）将452化为最简二次根式，其结果是( ) A ．452 B ．902 C ．9102 D ．3102 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：459523102222⨯⨯==⨯， 故选：D ． 3．（2022秋•永春县期中）下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．13 B ．18 C ．7 D ．12 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：13.33A =，因此13不是最简二次根式，所以选项A 不符合题意； .1832B =，因此18不是最简二次根式，所以选项B 不符合题意；.7C 是最简二次根式，因此选项C 符合题意；.1223D =，因此12不是最简二次根式，所以选项D 不符合题意； 故选：C ．考点5：二次根式的乘除法1．（2022•山西）计算：1182⨯的结果为 ． 【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式93==．故答案为：3．2．（2022•衡阳）计算：28⨯= ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式28164=⨯==．故答案为：4举一反三1．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( ) A 1822=± B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A 1822，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意； 故选：D ．2．（202211622正确的是( ) A ．4B ．2C 7D ．2±【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案． 【解答】解：原式11622=÷⨯4=2=．故选：B ．3．（202223= ．【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】236= 6．考点61．（2021•潍坊）下列运算正确的是( ) A ．2211()24a a a -=-+ B ．1221()a a --=C ．33a ab b-=- D ．623=【分析】根据完全平方公式判断A ，根据负整数指数幂判断B ，根据分式的基本性质判断C ，根据二次根式的除法判断D ．【解答】解：A 选项，原式214a a =-+，故该选项正确；B 选项，原式122211()()a a a-===，故该选项正确；C 选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；D 选项，原式2=，故该选项错误；故选：AB ．2．（2021•娄底）计算：0111(2021)()2cos45221π--++-︒+． 【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式222121222(2)1-=++-⨯- 12122=+-+-2=．举一反三1．（2022秋•嘉定区月考）下列结论正确的是( ) A 22a b +是最简二次根式 B x y -x y + C 2(12)12-D a ba b-=+【分析】根据最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法即可得到结论．【解答】解：A 是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；BC 1，故本选项错误，不符合题意；D=故选：A ．2．（2022•信阳二模）下列式子运算正确的是( ) A ．632a a a ÷= B ．22(2)4a a =C 1=D ．22()(2)2x y x y x y -+=+【分析】根据整式运算相关的法则和分母有理化逐项判断． 【解答】解：632a a ÷=，故A 错误，不符合题意；22(2)4a a =，故B 正确，符合题意；1，故C 错误，不符合题意；22()(2)2x y x y x xy y -+=+-，故D 错误，不符合题意；故选：B ．3．（2022春•孝义市期末）下列是最简二次根式的是( )AB C D 【分析】根据最简二次根式的定义解决此题．【解答】解：A 不是最简二次根式，那么A 不符合题意．B 不是最简二次根式，那么B 不符合题意．C ．根据最简二次根式的定义，C 不符合题意．D．根据最简二次根式的定义，15是最简二次根式，那么D符合题意．故选：D．考点7：同类二次根式1．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A．8与3B．2与12C．5与15D．75与27【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．【解答】解：A、822=和3不是同类二次根式，本选项不合题意；B、1223=与2不是同类二次根式，本选项不合题意；C、5与15不是同类二次根式，本选项不合题意；D、7553=是同类二次根式，本选项符合题意．=，2733故选：D．2．（2020•上海）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A．6B．9C．12D．18【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．【解答】解：A．根据同类二次根式的定义，6与3不是同类二次根式，那么A 不符合题意．B．根据算术平方根以及同类二次根式，93=与3不是同类二次根式，那么B 不符合题意．=与3是同类二次C．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1223根式，那么C符合题意．D．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1832=与3不是同类二次根式，那么D 不符合题意． 故选：C ．举一反三1．（2022秋•浦东新区校级月考）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是( ) A 313B 850C 34x 38xD 3x 233a x 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A 、133=∴313故A 不符合题意；B 、822=5052=∴850故B 不符合题意；C 、342x x x 3822x x ，∴34x 38x故C 符合题意；D 、2333a x ax x =∴3x 233a x故D 不符合题意； 故选：C ．2．（20222022m +2可以合并，则m 的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2024D ．2024-【分析】2022m +22022m +2的被开方数相同，即20222m +=．【解答】解：最简二次根式2022m +与2可以合并，则2022m +与2是同类二次根式，20222m ∴+=．解得2020m =-． 故选：B ．3．（2022春•綦江区校级月考）若8和最简二次根式37m -是同类二次根式，则m 的值为( ) A ．5m =B ．2m =C ．3m =D ．6m =【分析】先把8化为最简二次根式22，再根据同类二次根式得到372m -=，然后解方程即可． 【解答】解：822=，372m ∴-=， 3m ∴=．故选：C ．考点8：二次根式的加减法1．（2022•鞍山）下列运算正确的是( ) A ．2810+= B ．3412a a a ⋅= C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、2832+=，故A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．2．（2022•宁夏）下列运算正确的是( ) A ．220--=B ．826-=C ．3362x x x +=D ．326()x x -=【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；B ．822-=，故此选项不合题意；C ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．举一反三1．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D 2832=【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误；2124-=，C 选项也错误； 2832=D 选项正确．故选：D ．2．（2022123( ) A 15B ．32C ．33D ．53【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：12323333+=+=． 故选：C ．3．（2022秋•沈河区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2(2)2-=-B ．43331-=C ．235+=D ．1222= 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．【解答】解：2.(2)2A -=，故此选项不合题意；.43333B -=，故此选项不合题意； .23C +无法合并，故此选项不合题意；12.22222D =⨯=，故此选项符合题意； 故选：D ．考点9：二次根式混合运算1．（2022•朝阳）计算：637|4|÷--= ． 【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可． 【解答】解：原式6374=÷-34=-1=-．故答案为：1-．2．（2022•泰安）计算：48633⋅-= ． 【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法． 【解答】解：原式238633=⨯-⨯4323=- 23=，故答案为：23．举一反三1．（2022•安顺）估计1()(2552)5A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式210=<<，310452106∴<<，故选：B．2．（2022•湖北）下列各式计算正确的是()A235÷D236=B．43331C1226【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A23A不符合题意；B、43333，故B不符合题意；=C不符合题意；C1223D236，故D符合题意；故选：D．3．（2022•青岛）计算1的结果是()(2712)3A3B．1C5D．3【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：1(2712)3112712=⨯⨯3394=-32=-1=，故选：B ．考点10：二次根式的化简求值1．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足1228y x x =-+-+，则xy 的值是 ．【分析】根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．【解答】解：1228y x x =-+-+，20x ∴-，20x -，2x ∴=，18y =， 则原式1112842=⨯==， 故答案为：122．（2022秋•浦东新区校级月考）已知15x x-=，那么1x x+的值为 ．【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可． 【解答】解：15x x-=，∴1x x+21()x x =+21()4x x =-+2(5)4=+54=+3=．故答案为：3．举一反三1．（2021•包头）若21x =，则代数式222x x -+的值为( ) A ．7B ．4C ．3D ．322-【分析】利用条件得到12x -两边平方得221x x -=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：21x =+，12x ∴-2(1)2x ∴-=，即2212x x -+=，221x x ∴-=， 222123x x ∴-+=+=．故选：C ．2．（2022秋•琼山区校级月考）已知51x =时，则代数式223x x ++的值( ) A ．1B ．4C ．7D ．3【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：51x =-时，15x ∴+=2(1)5x ∴+=，2215x x ∴++=，2237x x ∴++=，故选：C ．3．（2022春•东莞市月考）若1220223x =1220223y ，则222x xy y ++的值( )A ．12B ．4C ．2022D ．8【分析】先利用x 、y 的值计算出22x y +=，再利用完全平方公式得到2222()x xy y x y ++=+，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：1220223x =+，1220223y =-， 22x y ∴+=，22222()(22)8x xy y x y ∴++=+==．故选：D ．考点11：二次根式的应用1．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，在长方形中放入面积分别为32和18的正方形m 和正方形n ，则图中阴影部分的周长为 ．【分析】先根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长，再根据图形求得阴影部分的长与宽，最后根据矩形的周长公式求得结果． 【解答】解：根据题意得，2(321818)⨯-+242=⨯ 82=，故答案为：82．2．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于 ．【分析】由周长可得出两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一方程求出两直角边之积进而求得三角形的面积． 【解答】解：设两直角边长分别为x ，y ；则22443216x y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得1xy =．故这个三角形的面积为1122xy =， 故答案为：12．举一反三1．（20221250的周长为( ) A ．23102B ．4352C ．43102D ．4352或23102【分析】分腰长为1250关系进行验证，可求得其周长．【解答】12121250，不满足三角形的三边关系；50125050系，此时周长为23102综上可知，三角形的周长为23102 故选：A ．2．（2022•雄县校级开学）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为29cm 和28cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )A ．21)cmB ．21cmC ．26)cmD ．28)cm【分析】根据HLFG MCEF S S S =+矩形矩形空白部分，需求HC 以及LM ．由题意得()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228LMEF S LM LF MF cm ====正方形，故3HC cm =，)LM LF MF cm ===，进而解决此题．【解答】解：如图所示：由题意知：()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228HCDG S LM LF ME cm ====正方形．3()HC cm ∴=，)LM LF MF cm ===．HLFG MCDE S S S ∴=+矩形矩形空白部分HL LF MC ME =⋅+⋅ HL LF MC LF =⋅+⋅()HL MC LF =+⋅ ()HC LM LF =-⋅(3=-⨯2)cm =．故选：D ．3．（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为26cm 和215cm 的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为( )A．2B．221cm C．2D．2【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个小正方形的面积即可得出答案．【解答】解：两个小正方形的面积为15和6，∴，+=--∴阴影部分的面积26151526615=+--2)cm=，故选：A．专题二：练习一．选择题1．（2022秋•榆树市期中）下列计算正确的是( ) ABCD 3-2．（2022秋•恩阳区 月考）x ( ) A ．1.5B ．1-C ．3-D ．9-3．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x 、y 为实数，且1y =，则x y +的值是( ) A ．2022B ．2023C ．2024D ．20254．（2022秋•文山市校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( )AB C D 5．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式计算正确的是( ) A=B = C=D 6．（2022秋•汝州市校级月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．B C ．D 7．（2022秋•泌阳县校级月考）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是()A ．1x ≠B ．0xC ．1x -D ．0x 且1x ≠-8．（2022秋•泌阳县校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) ABC D9．（2022秋•宛城区校级月考）下列根式中为最简二次根式的是( )AB C D 10．（2022秋•泌阳县校级月考）下列运算正确的是( ) AB ．2C D 11．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是( )A3-B 2=C 123D ．2(10-=12．（2022秋•邓州市校级月考）已知ABC ∆的面积为212cm ，底边为，则底边上的高为( )A ．B ．C D ．13．（2022秋•邓州市校级月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )ABC D14．（2022秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点 表示的数为x ，则x +( )A ．1B ．1C 1D ．215．（2022秋•安溪县校级月考）已知y =，则20202021()()x y x y +-的值为( ) A ．2B ．2C ．1-D ．116．（2022秋•安溪县校级月考）下列计算正确的是( )A2=-B ．26=C D ．=17．（2022秋•西安月考）下列计算中正确的是( ) A=B ．1C 8D18．（2022( ) A ．2BC D 19．（2022春•重庆月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D 0)a >20．（2022秋•禅城区校级月考）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且||||a b >，则化||a b -的结果为( )A ．2a b +B ．2a b -+C ．bD ．2a b -21．（202230b -=，则b 的取值范围是( ) A ．3b >B ．3b <C ．3bD ．3b22．（2022春•鲤城区校级期中）下列计算错误的是( ) A=B ．3=C =D 23．（2022( ) A ．1x >B ．1xC ．1x ≠D ．1x24．（2022有意义的实数x 的取值范围是( ) A ．2xB ．3x 且2x ≠C ．2x >且3x ≠D ．2x 且3x ≠25．（2022春•福山区期中）下列计算中，正确的是( ) A ．21 B ．3=C 3D =26．（2022春•鼓楼区校级期中）下列运算正确的是( )A ．3=B =C 3=-D ．215=27．（2022( ) A ．0B ．3C ．D ．28．（2022春•东莞市月考）下列各组二次根式中，能进行合并的是( ) ABC D29．（2022春•东莞市月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )AB C D 30．（2022春•东莞市校级期中）当a 满足( ) A ．3aB ．3a >C ．3a -D ．3a >-31．（2022春•仓山区校级期中）下列计算正确的是( )A4B 32=C 5=±D 1=-32．（2022春•东莞市校级期中）下列计算正确的是( ) A=B =C5-D 1=33．（2022春•杭州期中）下列运算正确的是( )A=B ．26=C D 2=-34．（2022秋•高新区校级月考）若实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简||b c +( )A ．b c a +-B ．b c a ++C ．b c a ---D ．b c a --+35．（2022春•北京期中）下列二次根式计算正确的是( ) A=BC D36．（2022春•武隆区校级期中）把二次根式化简为( ) A ．B C ．D 二．填空题37．（2022秋•忻州月考）若最简二次根式则x=．38．（2022=的值为．39．（20222)<<=．x40．（2022秋•仁寿县校级月考）计算：20212022⋅=．41．（2022．42．（2022在实数范围内有意义，则x的取值范围是．43．（2022秋•高新区校级月考）若3y=，则xy的值为．44．（2022秋•虹口区校级月考）设x=y=t为时，代数式22++=．2062202022x xy y45．（2022秋•虹口区校级月考）若x，y满足6y=，则x y⋅的平方根为．46．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式；．（填写编号）47．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形的两边长为a、b，且满足b-==．|4|048．（2022秋•虹口区校级月考）已知x=，则654322--+-+．x x x x49．（2022秋•二道区校级期中）当1x=．50．（2022秋•渝中区校级月考）若两不等实数a，b满足8b+，则a+=，8．三．解答题51．（2022秋•禅城区校级月考）计算．（1）01)|-（252．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，+，其中5x =，15y =．53．（2022． 54．（2022秋•薛城区校级月考）计算：（1）+（2）2011)()|1(2)3π---+--55．（202256．（202257．（2022春•江汉区校级月考）计算：（1（2）747a ．一．选择题1．【解答】解：AA选项不符合题意；B==B选项不符合题意；C==C选项符合题意；D．原式6318=⨯=，所以D选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：由题意得，210x +，解得0.5x -，3210.50-<-<-<-<，故选项A符合题意．故选：A．3．【解答】解：20230x -，20230x-，20230x∴-=，2023x∴=，1y∴=，202312024x y∴+=+=，故选：C．4．【解答】解：A是最简二次根式，故本选项符合题意；B的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C不符合题意；D不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A ．5．【解答】解：A ，故A 不符合题意；B =B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：A 、原式=，故A 不符合题意．B 、原式=B 不符合题意．C 、C 符合题意．D 、原式||a =，故D 不符合题意．故选：C ．7．【解答】解：根据题意得：100x ≠⎪⎩， 解得0x ．故选：B ．8．【解答】解：AB 不是最简二次根式，故此选项不合题意；C D不是最简二次根式，故此选项不合题意； 故选：A ．9．【解答】=式，故A 选项不符合题意；是最简二次根式，故B 选项符合题意；=C 选项不符合题意；，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D 选项不符合题意；故选：B ．10．【解答】解：A A 不符合题意；B 、=B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．11．【解答】解：A 3=，故此选项不合题意；B 2=，故此选项符合题意；C =，故此选项不合题意；D ．2(20-=，故此选项不合题意； 故选：B ．12．【解答】解：ABC ∆的面积为212cm ，底边为，∴底边上的高为：122)cm ⨯÷=． 故选：B ．13．【解答】解：A 故本选项不符合题意；B 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D ．14．【解答】解：由题意可得：1AB CA ==，则C点坐标为：11)2x=-=-故22x==．故选：D．15．【解答】解：y=，∴20 20xx-=⎧⎨-=⎩，20x∴-=，解得2x=，y∴=20202021()()x y x y∴+-20202020()()()x y x y x y=+--2020[()()]()x y x y x y=+--222020()()x y x y=--20201(2=⨯2=+故选：B．16．【解答】解：A|2|2=-=，故本选项不符合题意；B．24312=⨯=，故本选项不符合题意；CD．4(2=⨯=，故本选项符合题意；故选：D．17．【解答】解：A=B．=C=D 故选：A ．18．【解答】解：A ．2不是同类二次根式，故本选项不合题意；B =C =，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；D = 故选：B ．19．【解答】解：2=不是最简二次根式，=C 是最简二次根式；(0)D a >，因此不是最简二次根式； 故选：C ．20．【解答】解：实数a 、b 在轴上的位置可知，0a b <<，且||||a b >， 0a b ∴-<，∴原式a b a =-+-2b a =-，故选：B ．21．【解答】解：30b -=，即|3|3b b -=-，30b ∴-， 即3b ，故选：D ．22．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、B 符合题意；C =C 不符合题意；D=D不符合题意；故选：B．23．【解答】解：由题意得：10x-，解得：1x，故选：B．24．【解答】解：由题意得：20x-且30x-≠，解得：2x且3x≠，故选：D．25．【解答】解：A．原式=A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=，所以D选项符合题意．故选：D．26．【解答】解：A．3不能合并，所以A选项不符合题意；B B选项不符合题意；=，所以C选项不符合题意；C．原式3D．原式1=，所以D选项符合题意．5故选：D．27．【解答】解：原式===．故选：A．28．【解答】解：A不能合并，故此选项不符合题意；B、∴C、=，∴不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；D、==，∴故选：B．29．【解答】解：|a=不是最简二次根式；C故选：D．30．【解答】解：由题意得，30a+，解得3a-，故选：C．31．【解答】解：A、原式=，故A不符合题意．B、原式3=，故B符合题意．2=，故C不符合题意．C、原式5D、原式1=，故D不符合题意．故选：B．32．【解答】解：A A不符合题意；B=B符合题意；C5，故C不符合题意；D D不符合题意；故选：B．，故选项A正确，符合题意；33．【解答】212=，故选项B错误，不符合题意；C错误，不符合题意；2，故选项D错误，不符合题意；故选：A．34．【解答】解：根据题意得：0∴+<，b c<<<，0c b a||+=---，b c b c a故选：C．35．【解答】==，故选项A错误，不符合题意；==C错误，不符合题意；不能合并，故选项D错误，不符合题意；故选：B．36．【解答】解：10->，a∴<，a∴二次根式0<，∴二次根式化简为故选：A．二．填空题37．【解答】解：最简二次根式∴+=，x25解得：3x=，故答案为：3．38．【解答】解：=，22∴，220∴-=，0∴=，0≠，∴0=，∴25a b ∴=，∴ 5035255b b b b b b++=-+ 5829b b =2=．39．【解答】解：原式11)=-2=，故答案为：2．40．【解答】解：原式2021=⨯⨯2021(1)=-⨯1=-⨯=， 故答案为：41．【解答】0)x y z =>>>，两边平方得：13x y z ++++ 比较系数得：13x y z ++=①，5xy =②，7xz =③，35yz =④，由②得：5x y =，代入③得：57z y=， 即：75y z =， 代入④得：225y =，5y ∴=，1x ∴=，7z =，∴原式．42．【解答】解：由题意得：230x -且20x -≠， 解得：32x 且2x ≠， 故答案为：32x且2x ≠． 43．【解答】解：根据题意，得310130x x -⎧⎨-⎩， 解得13x =，所以3y =，所以1313xy =⨯=．故答案为：1．44．【解答】解：(1t xy t ==，42x y t +==+，2206220220()2222022x xy y x y xy ∴++=++=，20(42)2222022t ∴++=，解得：2t =或3t =-（舍去）2t ∴=．故答案为：2．45．【解答】解：x ，y 满足6y =， ∴30620x x -⎧⎨-⎩， 解得3x =，6y ∴=，18x y ∴⋅=，x y ∴⋅的平方根为=±．故答案为：±46．【解答】解：=，=⑤23=∴②⑤． 故答案为：②⑤．47．【解答】解：|4|0b -=，即|3||4|0a b -+-=，3a ∴=，4b =， ∴该直角三角形的斜边长的平方22223425a b =+=+=， 故答案为：25．48．【解答】解：2022x ==654322x x x x ∴--+-+5432(2x x x x x =--+-+-54322x x x x =-+-+54322x x x x =-+-+-432[1]2x x x x =-+-+-4321]2x x x =-+-+432(202220211)2x x x =--+-+-322x x =-+2(2x x x =-+-22x x =+22x x =+[2]x x =+-2]x =+(202120222)x =-+x ==49．【解答】解：当1x =时，原式3=， 故答案为：3．50．【解答】解：38a b +=，8b +=，0a b ∴-+，0∴-=， a b ≠，∴≠∴3=，16a b ++=，7a b ∴+=，27∴-=，∴21=，∴原式32124=+=．故答案为：21．三．解答题51．【解答】解：（1）原式1=1=+（2）原式=+23=+5=．52．【解答】===当5x=，15y=时，原式===．53．【解答】=4=4=．54．【解答】解：（1）原式=÷==；2（2）原式=---+51911=．755．【解答】解：原式===56．【解答】解：原式==．57．【解答】解：（1==+-4=；4（2）747a2=⨯+a a747=147=20。

专题02 二次根式的运算（专题强化-提高）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·南通市八一中学八年级月考）下列计算正确的是（ ）A 2=-B ．257a a a +=C ．()5210a a =D ．=【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简以及结合合并同类项法则和幂的乘方运算法则化简求出答案； 【详解】A 2= ，故此选项错误；B 、2525a a a a +=+，故此选项错误；C 、()5210aa =，故此选项正确；D 、5=60⨯，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及结合合并同类项法则和幂的乘方运算法则，正确化简各式是解题的关键；2．(本题4分)（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校八年级期中）估计 ） A ．在2～3之间 B ．在3～4之间 C ．在4～5之间 D ．在5～6之间【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法法则可知再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得45，可得结果． 【详解】解：∵16＜24＜25，∴4＜5，即4＜5，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 3．(本题4分)（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）A =B =C 6=-D 1=【答案】B 【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可． 【详解】A 选项错误；===B 选项正确；321=-=，所以C 选项错误；D 选项错误;故选答案为B ． 【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．4．(本题4分)（2020·江苏镇江市·八年级期末）下列运算正确的是（ ）A =B ．(28-= C 12= D 1=【答案】B 【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答． 【详解】选项A +A 错误；选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；选项C124==，选项C错误；选项D1=，选项D错误．综上，符合题意的只有选项B．故选B．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．5．(本题4分)（2020·上海浦东新区·八年级月考）下列各式中，计算正确的是（）A=B=C=D xy=【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算即可完成求解．【详解】不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意，不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意，===故选：C．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．6．(本题4分)（2020·全国八年级课时练习）已知，的值为（）A．B．C．4 D．±【答案】B【解析】把x= +1，y= 1==.7．(本题4分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A =BC 2=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；D =，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．(本题4分)（2020·贵州毕节市·a 的值是（ ） A ．52-B ．-1C ．1D ．2【答案】D 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解． 【详解】解：= 根据题意，得：723a -=， 解得：2a =；【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．9．(本题4分)（2020·的结果估计在（）A．6至7之间B．7至8之间C．8至9之间D．9至10之间【答案】B【分析】首先把二次根式的化简计算，然后估算无理数的大小即可解决问题．【详解】＝∵2 2.5<<，∴45<<，∴738<+<，的结果在7至8之间，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．10．(本题4分)（2020·山东济南市·八年级月考）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】A【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．解:∵a ==，b ==，c ==，>>，∴a b c >>． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2020·四川雅安市·雅安中学八年级期中）,><或=填空） 【答案】< 【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 【详解】65===-76===->>>．故答案是：<． 【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法．12．(本题5分)（2020·运城市景胜中学八年级期中）已知==a b ，则二次根式________．【答案】11 【分析】先把a ，b 的值通过分母有理化化简，在根号下的立方和展开代入计算； 【详解】∵842-===a 4==b∴()()3322367367+-=+-+-a b a b a ab b，(((((22444444367⎡⎤=-++--+-++-⎢⎥⎣⎦，()8161516151615367⎡=⨯+---+++-⎣，()8621367488367121=⨯--=-=，11=． 故答案是11． 【点睛】本题主要考查了分母有理化和二次根式的性质与化简，准确计算是解题的关键．13．(本题5分)（2020·南通市八一中学八年级月考）已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5-分和小数部分，且21amn bn +=，则3a b +=_________． 【答案】4 【分析】只需先对5-a ，其小数部分用5a -表示，再分别代入21amn bn +=进行计算；【详解】∵2＜3，∴2＜5-3，∴ m=2，n=52-=3-，把m=2，n=37-代入21amn bn += ∴ ()()2237371a b -+-=，化简得：()()6167261a b a b +-+= ， ∴ 6161a b +=且260a b +=， 解得： 1.5a =，0.5b =- ∴33 1.50.54a b +=⨯-=，故答案为：4． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键；14．(本题5分)（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：431232753)2=※________． 【答案】132-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可． 【详解】 解：43)@127543)232※ =243()12753)32 =243(1212)(53)323- 21)1863 =4332- =132-故答案为：132-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2020·【答案】2 【分析】先利用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】++13--+=2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质成为解答本题的关键．16．(本题8分)（2020·陕西咸阳市·八年级期末）计算：21-．【答案】1. 【分析】按照二次根式性质，立方根的定义，绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：原式12412=-⨯=1. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的化简，熟记性质是解题的关键.17．(本题8分)（2020·陕西咸阳市·八年级期末）已知；a =，b = （1）ab ；（2）223a ab b -+； 【答案】（1）2；（2）10． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab 即可；（2）根据二次根式的减法法则求出-a b ，根据二次根式的乘法法则求出ab ，把原式化简，把a b ab -、代入计算即可． 【详解】解：5a =+b =532ab ∴==-=，a b -==∴ （1）ab =2（2）()(22223210a ab b a b ab -+=--=-=．【点睛】本题是一道求代数式值的问题，考查了的是二次根式的减法和乘法和整式的完全平方公式，掌握二次根式的减法法则、乘法法则是解题的关键．18．(本题8分)（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求ab的值．【分析】由2＜31+的整数部分与小数部分，即,a b 的值，再代入ab进行分母有理化，从而可得答案． 【详解】解：2＜3，3∴＜4，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，3a ∴=，132b =-=，)32322.74ab∴====-【点睛】本题考查的是无理数的估算，整数部分与小数部分的含义，二次根式的除法运算，平方差公式的应用，掌握分母有理化是解题的关键．19．(本题10分)（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．．＝．[理解应用]（1（2）若a3a；（3．【答案】（1（2）+3；（3【分析】（1（2）表示出a的值，再代入计算即可；（3）将每一个式子都进行分母有理化，再根据规律得出答案．【详解】（1＝22⨯；（2）∵a的小数部分，∴a ﹣1，∴3a ＝+3； （3＝122+＝120192-+-【点睛】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，以及数字的变化规律等知识，掌握分母有理化的方法是解决问题的关键．20．(本题10分)（2020·江苏南通市·南通第一初中八年级月考）（1）先化简，再求值：22121124m m m m ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭．其中22m -≤≤且m 为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．（2）已知1x =，1y =，求下列各式的值：①22x xy y -+ ②2y x x y ++ 【答案】（1）21m m -+，将1m =代入，原式12=-；（2）①6；②6． 【分析】 （1）根据分式混合运算法则先化简，然后选择m 的值时要注意使分式或运算有意义；（2）利用二次根式乘法和二次根式加减法计算xy 、x+y 、x-y 的值，再利用完全平方公式变形求解即可．【详解】（1）原式=()()()222121m m m m m +-+⨯++=21m m -+， ∵其中22m -≤≤且m 为整数，∴不能选择21,±-，则在0，1中选择即可，将1m =代入原式得：121112-=-+， ∴当1m =时，原式12=-；（2）由题意可得：)11312xy ==-=，x y +=2x y -=-，①()()222222426x y x x y y y x =-+=-+=++=-；②()(22222262x y y x x y xy x y xy xy +++++====．【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算以及完全平方公式的变形求解，注意在分式代入求值时要使得分式有意义，灵活对完全平方公式变形是解题关键．21．(本题12分)（2020·成都西川中学八年级月考）计算：（1（2）求3y =的最大值．【答案】（1<-（23【分析】（1的大小即可．（21，当1x =，故y 的3．【详解】（1）15141514-=+， 14131413-=+， 而1513>，15141413∴+>+，15141413∴-<-．（2）10x +≥，10x -≥，1x ∴≥，113y x x =+--+311x x =+++-， 当1x =时，分母11x x ++-有最小值2，311y x x ∴=+++-有最大值是23+． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及分子有理化在二次根式中的应用，此类问题掌握分子、分母有理化的方法是解题关键．22．(本题12分)（2020·长沙市中雅培粹学校八年级月考）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为()()()S p p a p b p c =--- ，如图，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，求123h h h ++的值．【答案】(1) ；(2)． 【分析】 (1)直接将三角形的三边代入计算，再根据根式的性质进行化简计算；(2)通过三角形面积公式以及第一问求出来的结果进行计算，可分别得出三角形三边的高，最后求和即可得出最终结果．【详解】解：(1) S =2a b c p ++=，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =， 代入可得84692p ++==，S ∴===；(2) 设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，则123111222ABC S ch bh ah ====，可得到11162h h ⨯==221422h h ⨯==，331824h h ⨯==，1234h h h ∴++=． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．23．(本题14分)（2020·三明市第四中学八年级月考）细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：（1）推算出OA 10的长和S 10的值．（2）直接用含n （为正整数）的式子表示OA n 的长和S n 的值． （3）求222212310S S S S +++⋯+的值．【答案】（1）OA 1010；S 1010；（2）OA n n ；S n n ；（3）554【分析】（1）根据表格中式子规律即可求出结论；（2）根据表格中式子规律即可求出结论；（3）根据（2）的公式代入求值即可．【详解】解：由题意可得：OA 102=21011-+=10，S 10=102∴OA 1010；（2）由题意可得：OA n 2=(211n -+=n ，S n n∴OA n n ；（3）222212310S S S S +++⋯+ =222212310⎛++++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=123104444++++=()1123104++++=554【点睛】此题考查的是探索规律题，根据已知等式，找出运算规律是解题关键．。

北师大代数式知识点一、代数式的概念。

1. 定义。

- 由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

例如：3x + 2y，(a)/(b)，x^2-y^2等都是代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式，比如5，a等。

2. 代数式的书写规范。

- 数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，且省略乘号，如3× a应写成3a。

- 带分数与字母相乘时，要把带分数化为假分数，如1(1)/(2)x应写成(3)/(2)x。

- 除法运算一般写成分数形式，如a÷ b应写成(a)/(b)(b≠0)。

- 在实际问题中，如果式子是和或差的形式，后面有单位，要把式子用括号括起来，如(a + b)厘米。

二、整式、分式、二次根式（代数式的分类）1. 整式。

- 单项式。

- 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如：-2x，5y^2，a，-3等都是单项式。

- 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如在单项式-2x中，系数是-2；在单项式5y^2中，系数是5。

- 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如在单项式3x^2y中，x的次数是2，y的次数是1，所以这个单项式的次数是2 + 1=3。

- 多项式。

- 定义：几个单项式的和叫做多项式。

例如：2x+3y，x^2-2x + 1等都是多项式。

- 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

例如在多项式x^2-2x + 1中，x^2、-2x、1都是它的项，其中1是常数项。

- 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如在多项式x^2-2x + 1中，次数最高的项是x^2，次数为2，所以这个多项式的次数是2。

2. 分式。

- 定义：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。

专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一a|化简典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―AB C．D．思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．解：由题意可知，x＜0，原式＝﹣x因此选项A是正确的，应选：A．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．变式训练1．已知a=1，求思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．解：∵a====2―∴a﹣1＝2――1＝1―0，∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=―1．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．（1）当a＜0（2）实数a，b思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．解：（1）当a＜0a1aa(a1)=―1a；（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，+＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．类型二含有隐含条件的化简求值典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+A．B．﹣C．±D．思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，所以（2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=xy+xy+2xy＝4xy，∵xy＝3，所以4xy＝12，即（+2＝12．∵x与y是同号，所以原式＝±故选：C．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．变式训练1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式+思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x 、y 同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．解：∵x +y ＝﹣6，xy ＝8，∴x 、y 同号，并且都是负数，∴=―＝﹣（y x +xy ）=―=―(6)22×88＝﹣总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a ＝3时，求a +小红的答案是5．小明却认为：原式=a +a +(1―a )=1．即：无论a 取何值，a 1．你认为小明说得对么？为什么？思路引领：根据题意得到1﹣a ＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．解：小明的解答是错误的，理由如下：∵a ＝3，∴1﹣a ＝﹣2＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，当a ＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是错误的．总结提升：=|a |是解题的关键．类型三 利用整体思想进行求值典例3 已知x ＝5﹣y ＝3x 2+5xy +3y 2的值．思路引领：先计算出x +y 与xy 的值，再利用完全平方公式得到3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x ＝5﹣y ＝∴x +y ＝10，xy ＝25﹣24＝1，∴3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ＝3×102﹣1＝299．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x y （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x +xy +2．思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x 2+y 2和xy 的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．解：∵x y =∴xy 32，x ―y =―1，又∵（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ，∴x 2+y 2=(x ―y )2+2xy =1+2×32=4，（1）x 2﹣xy +y 2＝x 2+y 2﹣xy =4―32=52．（2）y x +x y +2=y 2x 2xy +2=432+2=83+2=143．总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x 2+y 2和xy 的值是解题关键．2．（1）已知：x =1，y =1．求2x 2+2y 2﹣xy 的值；（2）已知x ，求x 3x 1x 3的值．思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x 2x =+1，可得2x ﹣1=4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，x +1＝x 2，利用整体代入的思想解决问题．解：（1）x2―y ＝2+所以原式＝2（2―2+2（2+2﹣（2―（2+＝14﹣―1＝27；（2）∵x =∴2x +1，∴2x ﹣1=∴4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，∴x +1＝x 2，∴原式=x 3x 2x 3=x 2(x 1)x 3=x 4x 3=x 总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．类型四 化简二次根式比较大小典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．变式训练1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题+1）1）＝1，+1，+1…（1）观察上面规律，计算下面的式子1+1+1+⋯+1（2）利用上面的规律思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2―解：（1++⋯+=1)+++⋯+―=―1+―⋯=1＝10﹣1＝9；（2==1，=∴1＞1，――总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．第二部分专题提优训练1．（2021春•上城区校级期中）已知a=b=ab的值为 ．思路引领：a=b=ab＝1即可．解：a=b=∴ab+3﹣2＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），则|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是 ．思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），∴1＜m＜5，|1﹣3m|+3＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，当m＝2时，﹣m+5＝3，当m＝3时，﹣m+5＝2，当m＝4时，﹣m+5＝1，故所有结果的和是：1+2+3＝6．故答案为：6．总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m 的取值范围是解题关键．3．（2021春•“＞”或“＝”或“＜”）．思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．解：∵14=11+1，∴11，故答案为：＜．总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．4．（2022春•　＞　12（填“＞”“＜”“＝”）．思路引领：决问题．1＞1，＞12．故填空结果为：＞．总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a 满足|2020﹣a |a ，那么a ﹣20202+1的值是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a ≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．解：由题意得：a ﹣2021≥0，解得：a ≥2021，则a ﹣2020a ，=2020，∴a ﹣2021＝20202，∴a ﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案为：2022．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a ＝9时，求a +甲的解答为：原式＝a =a +（1﹣a ）＝1；乙的解答为：原式a =a +（a ﹣1）＝2a ﹣1＝17．两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 ．思路引领：利用二次根式的性质化简即可；解：∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a +a ﹣1＝2a ﹣1＝17．∴甲错误，故答案为甲，没有注意到1﹣a ＜0．总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．7．（2010秋•=5―2；16请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出1的结果为 ．（2）利用上面所提供的解法，求值：1+1+1+⋯+1 ．思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．解：（1）1（2）原式=―1+―...―=1．1．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•彭州市校级月考）已知x=1，y=1，求值：（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．解：（1）xy=11=1 75=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy2+122+122+12＝7+12＝712．总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=1，求思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b===2+a＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a =，b =1．（1）求ab 的值；（2）求a 2+b 2的值．思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．解：（1）∵a +1，b 1，∴ab 1）1）＝3﹣1＝2；（2）∵a =+1，b =―1，∴a +b 1）+1）＝∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（2﹣2×2＝8．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．11．（2022•南京模拟）计算：（1）已知x =，y =1，试求x 2﹣xy +y 2的值．（2）先化简，再求值：a 21a 2a ÷(2+a 21a)，其中a 思路引领：（1）先计算出x ﹣y ＝2，xy ＝1，再将所求代数式变形为（x ﹣y ）2+xy ，然后整体代入计算即可；（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x 值代入化简式计算即可．解：（1）∵x =，y =1，∴x ﹣y ＝2，xy ＝1，∴x 2﹣xy +y 2＝（x ﹣y ）2+xy ＝22+1＝5；（2）a 21a 2a ÷(2+a 21a )=(a 1)(a 1)a (a 1)÷a 22a 1a=(a1)(a1)a(a1)⋅a(a1)2=1a1，当a原式=―1．总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平方公式与分式混合运算法则是解题的关键．12．（2022春•a=思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝1）a﹣|a﹣1|，接着利用a=＞1去绝对值，合并得到原式+1，然后把a=+1）a+1）a﹣|a﹣1|，∵a1，+1）a﹣（a﹣1）=+1，当a=1＝3．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．13．已知a=b＝2―c=2，比较a，b，c的大小．思路引领：先求出a0.318，b＝2―0.268，c=2≈0.236，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵a=≈0.318，b＝2―≈0.268，c=2≈0.236，0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x﹣1|+x＝9．小明同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+10﹣x＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．15．（2021春•五华区期中）阅读下列简化过程：1=1―11（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．（2）计算1+1+1+⋯⋯1．（3）设a=1，b=1，c=1比较a，b，c的大小关系．思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，==（2⋯⋯+⋯⋯=―1+⋯⋯+=1．（3）∵ab=c=∴ab 2c2，∴a ＜b ＜c ．总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像=3=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．==3+解答下列问题：（1（2（3）应用：当n ―思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；（2）把分子分母都乘以（3―，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）利用分母有理化得1，1，然后比较与1的大小即可．解：（1+（2）原式98﹣（31，=1，++0，总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．。

第二讲 整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类(二)整式1．整式的有关概念(1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．(2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．2．整式的运算(1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．(2)整数指数幂及其运算性质①整数指数幂正整数指数幂：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅==),2(),1(为正整数个n n a a a a n aa n n零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n aa 1=-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ；(ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0)． (3)整式的乘法①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．④乘法公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．(4)整式的除法(结果为整式的)①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：*③十字相乘法：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．(当b 2－4ac ≥0时，,2421a acb b x -+-=)2422aac b b x ---=(3)因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式(1)分式的有关概念①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如BA的式子叫做分式． 注意 对于一个分式BA，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,0分母分子分式值为1⇔⎩⎨⎧==.0,分母分母分子分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号．(2)分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=bdacd c b a . ③除法：bcadc d b a d c b a ==÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n nn b a ba =)((n 为正整数)．二、例题分析例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；(6)⋅=-22212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解 A ．说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．例2 如果关于x ，y 的单项式2ax my 与5bx 2m －3y 是同类项，(1)求(9m －28)2009的值；(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)2009＝(9×3－28)2009＝－1．(2)∵m ＝3，且2ax my ＋5bx 2m －3y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．例3 计算： (1);)3()41(212335a b a b a -⋅-÷ (2)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2．解 (1)原式＝23359)41(21a b a b a ⋅-÷.189)4(21242335b a a ba b a -=⋅-⨯=(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y＝y 2＋5x 3y －4x 4．说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．例4 计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．(2)原式＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2－(b －1)2－a 2＋(b ＋2)2＝(b ＋2)2－(b －1)2＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．例5 把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2； (4).4412+-x 解 (1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2．(4)原式)16(412--=x).4)(4(41-+-=x x说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：(b －a )2k ＝(a －b )2k ；(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．例6 (1)当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?(2)当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3．∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．要使分式的值为零，只⎪⎩⎪⎨⎧=/--=-.012,0922x x x解得⎩⎨⎧≠-=/-==.43,33x x x x 且或∴当x ＝3时，分式的值等于零．说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．例7 计算： (1)2121111x x x ++++-； (2)⋅--++--÷++-+296.4144222222x x x x x x x x x x 解 (1)原式212)1)(1(11x x x x x +++--++=)1)(1()1(2)1(21212222222x x x x x x +--++=++-= 414x-=． (2)原式.1)2)(2(.)2()2)(1(2--+++-=x x x x x x ⋅+++=++=-++1961)3()2)(1()3(222x x x x x x x x说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．例8 已知12-=a ，化简求值：⋅+-÷++--+-24)44122(22a a a a a a a a解法一 原式42])2(1)2(2[2-+⨯+--+-=a a a a a a a 41)212(-⨯+---=a a a a a ⋅+=-⨯+-=)2(141)2(4a a a a a a .122,12+=+∴-=a a ∴原式.1)12)(12(1=+-=解法二 由12-=a ，得21=+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．∴将原式化简为aa 212+后，立即得其值为1． 例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++11x y 11++y x 的值． 解 原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y＝1121222++++++++y x xy x x y y1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．例10 已知321=+xx ，求441x x +的值．解 2)1(122244-+=+xx x x2]2)32[(2]2)1[(2222--=--+=xx＝102－2＝98．说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式x x x x x x x 122444.222-+-÷-+-＋1的值．”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．解 聪聪说得有道理．∵原式11)2(2.)2)(2()2(2+--+-+-=xx x x x x x ,1111=+-=xx ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．A ．ba-8分钟 B ．b a +8分钟 C ．bba +-8分钟D ．bba --8分钟解 C ．说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义? .1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0． 224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-=.232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)． ∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．四、课标考试达标题(一)选择题1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝xC ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xyD ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )．A ．y x y x y x -=--22 B ．y x yx y xy x -=-+-222 C ．y x yxyx xy -=-2 D ．xyx y y x x y 22-=-3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4 D ．(a ＋2)2－95．已知411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于( )．A ．6B ．－6C ．152D ．72-(二)填空题6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______ (填上一个正确的即可)．8．若2x＝3，4y＝5，则2x －2y的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______．10．已知),3,2,1()1(12=+=n n a n ， b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求63)(41)(21ba b a b a b a --++++-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．12．在实数范围内分解因式：(1)4x 4－1；(2)x 2＋2x －5．13．观察下列等式：,322322,211211-=⨯-=⨯＝.,433433 -=⨯(1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：(3)用简要的过程证明你发现的规律．(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223ab a a -2;12a a ⑥中，最简二次根式是( )．A ．②③⑤B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式ab b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a。