中考数学代数式整式分式二次根式知识点

分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。

本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。

1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。

分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。

分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。

2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。

即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。

（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。

即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。

分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。

3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。

4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。

即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。

（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。

即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。

二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。

5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。

常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。

（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。

（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。

分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。

中考数学《整式》《分式》考点分析及专题训练整式1、定义(1)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。

(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(4)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。

即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

(2)整式的乘除运算①同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(a m)n=a mn。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=a n b n。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。

九年级数学知识点重点总结九年级数学知识点重点总结一、二次根式1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。

注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式。

(2)是一个重要的非负数，即;≥0。

2、积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

3、二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小。

(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小。

(3)分别平方，然后比大小。

4、商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

5、二次根式的除法法则：(1)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

6、最简二次根式：(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

①被开方数的因数是整数，因式是整式。

②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。

(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。

(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。

(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

8、二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。

(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等。

二、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。

2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少。

考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB＝0．学=科网2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C ÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一 分式的有关概念1．分式的三要素： （1）形如AB的式子； （2）,A B 均为整式；学科!网 （3）分母B 中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠． （2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1 x 的取值范围是 A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x ≥﹣1且x ≠0【答案】D【解析】根据题意得：100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥-1且x ≠0．故选：D ．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x 的取值范围是 A ．x ≠1 B ．x =1C ．x =0D ．x ＞1考向二 分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为 A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来的12倍 C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．不改变分式的值，下列变形正确的是A ．2233a ab b -=-- B ．33a ab b -=-- C ．55a a b b=--D ．7744a a b b=- 考向三 分式的化简与求值约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值； 2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 把分式x x y -，y x y +，222x y-的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是 A ．x 2＋y 2＋2 B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2 C ．x 2＋2xy −y 2＋2D ．x 2−2xy ＋y 2＋2【答案】C【解析】由平方差公式将x 2−y 2可化简为(x +y )(x −y )， 故将xx y-的分母化为x 2−y 2后可得()22x x y x y +-，将y x y+的分母化为x 2−y 2后可得()22y x y x y --， 所以分式的x x y -,y x y +,222x y-的分母化为x 2−y 2后,各分式的分子之和为 x (x +y )+y (x -y )+2，展开得x 2+xy +xy −y 2+2合并同类项,得x 2+2xy −y 2+2， 故选C.【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是： （i ）将各个分母分解因式； （ii ）找各分母系数的最小公倍数；（iii ）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的. 满足（ii ）（iii ）的因式之积即为各分式的最简公分母．3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyx B ．222x y -C ．22x yx y+- D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 计算(1－1x)÷221x x x -+的结果是A ．x －1B ．11x - C ．1xx -D ．1x x-【答案】B【解析】原式=（x x −1x ）÷()21x x -=1x x -. •()21x x -=11x -， 故选B ．4．先化简，再求值：2221()211x x x x x x+÷--+-，其中x =4．考向五 二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 下列各式： ①；②；③；；；．其中一定是二次根式的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】B5的取值范围是 A ． B． C ．D ．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是 ABCD【答案】Cx 1x ≠1x ≥>1x 0x ≥6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5+=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式，错误；C 为最简结果，错误；D 、原式，错误， 故选：A ．7．已知x =，y =，则y xx y +=_____________．典例8 比较大小：______5（填“＞，＜，=”）． 【答案】＞【解析】因为2228,525==，28＞25，所以＞5．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a ，b －1，c ，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c1．下列根式中属于最简二次根式的是A BCD 2．若分式24x x-的值为0，则x 的值是A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．03．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值 A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍4A BCD5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x-有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．若x 、y 为实数，且|2|0x +=，则2019x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2B ．−2C ．1D ．−17的被开方数相同，则a 的值为 A ．1B ．2C ．23D ．328．下列运算中，错误的是 A ．x y y xx y y x--=-++ B ．a ba b--+=−1C −1D a9．已知 1x <，则 化简的结果是A ．1x -B ．1x -C ．1x --D ．1x +10．下列分式是最简分式的是A BCD ．22121x x x --+11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1 B ．−1 C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y +-=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a =，则1x x +的值为A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15＝_____________． 16．当x =_____________时，分式323xx -+的值为零．17．比较大小：（填“＞、＜、或=”）18．当a =2_____________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++÷11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为_____________．20．已知::2:3:4x y z =，则23x y zx y z+--+的值为_____________．21．计算：（1）|1|+（2018−π）0；（2+（（．22．先化简，再求值：221a b a b a b⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =+，1b =-．23．先化简，再求值：2-，其中，．24．先化简，再求值：2212111121m m m m m -⎛⎫-÷- ⎪+--+⎝⎭，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根．1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是A ．=B =C ．÷=D ．-=2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是A BCD3．（2018·绥化市）若y =x 的取值范围是 A ．12x ≤且0x ≠ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．0x ≠4．（2018·绥化市）下列运算正确的是A ．2235a a a +=B 5=-C ．3412a a a ⋅=D ．0(π3)1-=5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与合并的是ABCD6．（2018·上海市）的结果是A．4 B．3C．D7．（2018·日照市）计算：（12）−1+tan30°•sin60°=A．﹣32B．2C．52D．728．（2018·莱芜市）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．()222yx y-9．（2018·陇南市）有意义的x的取值范围是____________．10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：1========-……请运用上面的运算方法计算：+=____________．11．（2018____________．12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是____________．13．（2018·镇江市）=____________．14．（2018·梧州市）在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________．15．（2018·巴彦淖尔市）化简3m m ++269m -÷23m -的结果是____________． 16．（2018·绥化市）当2x =时，代数式211()x x x x x+++÷的值是____________．17．（2018·大连市）计算：+2）2+22-.18．（2018·百色市）已知a 2=19，求22211118a a a --+-的值．19．（2018·福建省b 卷）先化简，再求值：2211(1)m m m m+--÷，其中m ．20．（2018·锦州市）先化简，再求值： 233212,322x x x x x x +-+-÷=++（其中.21．（2018·毕节市）先化简，再求值：22214244aa a a a a ⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解．22．（2018·兰州市）计算：101()(π3)1tan452--+-+-.23．（2018·甘孜州）（1()03.144cos45--π- ；（2）化简：2211x xx x x ÷---.24．（2018·益阳市）化简：2()y x y x y x y x+-+⋅+.25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：233(111a aa a a -+÷--+，其中a +1．26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b --，其中a ，b 满足a +b ﹣12=0．27．（2018·梧州市）解不等式组36451102x xx x -≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，并求出它的整数解，再化简代数式2321x x x +-+•（3x x +﹣239x x --），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x +31x +）÷2441x x x +++，其中x =tan45°+（12）−1．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1﹣x =0，即x =1， 故选：B ．3．【答案】D 【解析】A 、2xy x ＝yx，错误； B 、222x y -＝1x y -，错误；C 、22x y x y +-＝1x y -，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【答案】21x x -；163.【解析】2221()211x x x x x x+÷--+- =2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷-- =2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+ =21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-． 5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使．故选B ．6．【答案】B= =， =，∴. 故选：B .8．【答案】D【解析】a −1），b ，c ）， ＞1，∴a ＞b ＞c ．故选D ． 101x x -≥⇒≥【解析】A、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．【答案】A【解析】∵分式24xx-的值为0，∴x2﹣4=0，解得：x=2或﹣2．故选：A．3．【答案】B【解析】把分式xyx y+中的x和y都扩大2倍，则22222x y xyx y x y⋅=++，故选B．5．【答案】D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母20x-=，该分式无意义，故A选项错误．B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．故本题应选D．【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，∴2019xy⎛⎫⎪⎝⎭=（−1）2019=−1．故选C．7．【答案】D【解析】31+4,2a a a=-=解得，故选D．8．【答案】D【解析】A．x y y xx y y x--=-++，正确，故不符合题意；B．a ba b--+=−1，正确，故不符合题意；C−1，正确，故不符合题意；D=|a|，错误，故符合题意．故选D．9．【答案】B【解析】∵x＜1，∴x-1＜0x-1|=1-x．故选：B．10．【答案】C【解析】A选项：化简该分式，得()222a ba ab bam am m+++==，故A选项不符合题意．B选项：化简该分式，得623xy xya a=，故B选项不符合题意．C选项：对该分式的分子进行因式分解，得()()222111x xxx x+--=．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C选项符合题意．D选项：化简该分式，得()()()22211112111x xx xx x xx+--+==-+--，故D选项不符合题意．故本题应选C．11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ． 12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 15==． 16．【答案】3【解析】依题意得：3﹣x =0且2x +3≠0．解得x =3，故答案为：3．17．【答案】＜【解析】将两式进行平方可得：(2=12，(2=18，因为12＜18，所以＜18．【答案】3- 【解析】∵()()2121214122121a a a a a a +--==-++，∴当a =2时，原式=1223-⨯=-．故本题应填写：3-．19．【答案】1 【解析】对待求值的代数式进行化简，得22211a ab b a b a b ++⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭()2a b a b a b ab ++⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭()ab a b a b =+⋅+ab =， ∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故本题应填写：1．20．【答案】411【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵::2:3:4x y z =，∴可设234x k y k z k ===、、，∴226444323121111x y z k k k k x y z k k k k +-+-===-+-+， 故答案为：411．21．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式−1−+1=．（2）原式=3−−5=2−．22．【答案】化简见解析，结果为． 【解析】221a b a b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ ()()a b a b a a b a b b+--+=⋅- ()()a b a b b a b b+-=⋅- a b =+，当1a =+，1b =时，原式11++-=23．【答案】8-+．【解析】原式2(2)x y x y =---+22x y x y =--+-2y =-．当34x y ==,时，原式=2−2×4=4 −8． 24．【答案】化简见解析，结果为13． 【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++=()()11m m m m --+ =()11m m + =21m m +． 由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13． 【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．【答案】B【解析】A 、=，此选项错误； B ＝，此选项正确；C 、÷=D 、-=，此选项错误；故选：B ．2．【答案】B【解析】A =不是最简二次根式，错误；B 是最简二次根式，正确；C =不是最简二次根式，错误；D =不是最简二次根式，错误，故选B ．3．【答案】A【解析】由题意可知：1200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：12x ≤且0x ≠， 故选A ．4．【答案】D 【解析】A. 23a a +=5a ，故A 选项错误；B. =5，故B 选项错误；C. 347a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 0(π3)1-=，故D 选项正确，故选D.5．【答案】B【解析】A ＝，不能与B 合并，故该选项正确；C ＝不能与D 3不能与故选B ．6．【答案】C【解析】，故选C ．7．【答案】C【解析】（12）−1+tan30°•sin60°=2+12 =52， 故选C ．9．【答案】x ＞3有意义， ∴x ﹣3＞0，∴x ＞3， ∴x 的取值范围是x ＞3，故答案为：x ＞3．10．【解析】原式=12﹣1）+12+12+ (12)+12=12…）． 11．【答案】6【解析】原式．故答案为：6．12．【答案】2【解析】设正三角形的边长为a ，则12a 2解得a ．则图中阴影部分的面积．故答案是2．13．【答案】2，故答案为2. 14．【答案】x ≥3【解析】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故答案为：x ≥3．15．【答案】1 【解析】3m m ++269m -÷23m - =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为1.16．【答案】3【解析】原式221()1x x x x x x +=+⋅+ =2(1)1x x x x +⋅+ 1x =+，当2x =时，原式213=+=，故答案为：3．17．【答案】294【解析】原式﹣14=294． 18．【答案】16- 【解析】原式=22121a a a ---（）﹣118 =221a ---118， ∵a 2=19，∴原式=2191--﹣118=﹣318=﹣16．19．【解析】2211(1)m m m m+--÷ =()()2111m m m m m m +-⋅+- =()()111m m m m m +⋅+- =11m -，当m +1时，原式==． 20．【答案】11;12x -- 【解析】原式=()23322)21x x x x ++-⨯+-（ ， ()()22433221x x x x x +--+=⨯+-，()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x =3时，原式=113-=12-. 21．【答案】13 【解析】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ =()()()()222222a a a a a a -++⋅+-=2222a a a a a--+⋅- =222a a a a-+⋅-， =2a a +，由a 2+a ﹣6=0，得a =﹣3或a =2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a =﹣3，当a =﹣3时，原式=32133-+=-． 22．1．【解析】101()(π3)1tan 2--+-+-45°=2111-++1=．（2）2211x x x x x ÷--- =()()211·1x x x x x+---x =x (x +1)-x=x 2.24．【答案】x 【解析】原式=222x y y x y x y x-++⋅+ =2x x y x y x+⋅+ =x ．25．【答案】【解析】当a +1时，原式=()()333111a a a a a a++-+⨯-+=()()4111a a a a a+⨯-+ =41a -. 26．【答案】原式=1a b+=2 【解析】（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b -- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+， 由a +b ﹣12=0，得到a +b =12， 则原式=112=2． 27．【答案】原式=11x -，当x =2，原式=1． 【解析】解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3， 解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0， 则不等式组的解集为 0＜x ≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=()231x x +-•[()()2333x x x x --+- ()()333x x x -+-] =()231x x +-•()()()()1333x x x x --+- =11x -， ∵x ≠±3、1，∴x =2， 则原式=1．28．【答案】-1 5【解析】原式=（21311xx x-+++）÷()221xx++=()()()2 221·12x x xx x +-+++=22xx -+，当x=tan45°+（12）−1=1+2=3时，原式=231235-=-+。

中考数学知识点【代数式】一、重要概念分类：1、代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2、整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3、单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，=x, =│x│等。

4、系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5、同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6、根式表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7、算术平方根⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);⑵算术平方根与绝对值① 联系：都是非负数，=│a│②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8、同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9、指数⑴ ( —幂，乘方运算)① a0时，0;②at;0时， 0(n是偶数)， t;0(n是奇数)⑵零指数：=1(a≠0)负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)二、运算定律、性质、法则1、分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2、分式的性质⑴基本性质：= (m≠0)⑵符号法则：⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)3、整式运算法则(去括号、添括号法则)4、幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤技巧：5、乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

2. 代数式（分类）2.1. 整式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.1.3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．2.1.4. 整式的运算法则整式的加减法：整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．整式的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn nm a a =(n m ,都是正整数)． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同． ②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．乘法公式：①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+；④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．整式的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的．2.2. 因式分解（包含题目总数：14）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.2.1. 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=； ()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()cb ac b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++． 2.2.2. 因式分解的常用方法1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．2.2.3. 因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．2.3. 分式（包含题目总数：16）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.3.1. 分式及其相关概念分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A 就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分． 一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．2.3.2. 分式的性质分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--=． 2.3.3. 分式的系数化整问题分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+；(2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568y x y x -+=． 2.3.4. 分式的运算法则1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ．分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到． 2.4. 二次根式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.4.1. 二次根式及其相关概念2.4.1.1. 二次根式的概念式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式．2.4.1.2. 最简二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x1就不是最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 2.4.1.3. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．2.4.1.4. 分母有理化把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． 2.4.2. 二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a b ab a．2.4.3. 二次根式的运算法则二次根式的运算法则：二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则： 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：ba b a=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--． 分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()213122213122+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=321+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值． 分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ．()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=．。

完整版)初中数学中考考试大纲初中数学中考考试大纲一、知识与技能1、数与代数考试内容：本部分主要考察有理数、实数、二次根式、代数式、整式、因式分解、分式、方程与方程组、不等式与不等式组、函数及其表示等知识点。

要求目标：学生需要掌握有理数的概念、大小比较、加减乘除乘方运算、数的开方等基本知识；理解实数、无理数的概念，以及近似数和有效数字的概念；掌握代数式、整式的概念和基本运算法则，以及因式分解、分式、方程与方程组、不等式与不等式组等知识；理解函数的概念和表示方法，能够求解一次函数和反比例函数等问题。

2、几何考试内容：本部分主要考察平面图形的性质、三角形的性质、圆的性质、相似与全等等知识点。

要求目标：学生需要掌握平面图形的基本性质，如线段、角、多边形等；掌握三角形的性质，如三角形内角和、中线定理、角平分线定理等；掌握圆的性质，如圆心角、弧长、切线等；理解相似和全等的概念，能够判断两个图形是否相似或全等。

3、数据与统计考试内容：本部分主要考察数据的收集、整理和表示方法，以及统计分析方法等知识点。

要求目标：学生需要掌握数据的收集、整理和表示方法，如频数、频率、累计频率等；掌握统计分析方法，如均值、中位数、众数、极差、方差等；能够进行简单的数据分析和统计。

4、应用题考试内容：本部分主要考察数学知识在实际问题中的应用能力。

要求目标：学生需要能够将数学知识应用到实际问题中，解决生活中的实际问题。

例如，能够解决关于比例、利润、利率、速度等方面的实际问题。

反比例函数的意义是指两个变量之间的关系是反比例关系，即其中一个变量的值增加，另一个变量的值就会相应地减少。

例如，当一个物品的价格上涨时，人们购买该物品的数量会下降。

反比例函数的表达式通常写作y=k/x，其中k是常数。

这个表达式中，y和x分别代表两个变量的值，k是比例系数。

当x增加时，y会相应地减少，反之亦然。

反比例函数的图像是一个开口朝下的双曲线。

反比例函数也可以写成y=k/x^n的形式，其中n是正整数。

初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。

1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。

2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。

3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

一个多项式有几项就叫做几项式。

2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。

第二章代数式考点一、整式的有关概念（3分）1.代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如,这种表示就是错误的,应写成。

一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如是6次单项式。

考点二、多项式（11分）1.多项式几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数, 叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母, 按照代数式指明的运算, 计算出结果, 叫做代数式的值。

注意: （1）求代数式的值, 一般是先将代数式化简, 然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值, 有时求不出其字母的值, 需要利用技巧, “整体”代入。

2.同类项所有字母相同, 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

3.去括号法则（1）括号前是“+”, 把括号和它前面的“+”号一起去掉, 括号里各项都不变号。

（2）括号前是“﹣”, 把括号和它前面的“﹣”号一起去掉, 括号里各项都变号。

4.整式的运算法则整式的加减法: （1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法:),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法:注意: （1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘, 结果是一个多项式, 其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题, 多项式的每一项都包括它前面的符号, 同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中, 有同类项的要合并同类项。

第五章整式、分式、二次根式得知识梳理1、整式得概念与指数:与统称为整式。

单项式包括: 、、 ;一个单项式中所有字母得叫做这个单项式得次数。

多项式:几个单项式得代数与多项式。

单项式中次数最得项就就是这个多项式得次数。

2、分式得概念与意义:一般地,形如式子,且B≠0叫做分式。

(1)、分式有意义得条件:(2)、分式无意义得条件:(3)、分式为0得条件:(4)、分式得基本性质:分式得分子与分母同时 (一个不等于0)得整式,分式得值不变。

(5)、约分:(6)、最简分式:一个分式得分子与分母没有公因式时,这种分式叫做最简分式。

(7)、通分:(8)、最简公分母:(9)、分母有理化:把分母中得根号化去,叫做分母有理化。

注意:分母有理化时,分子与分母需要同时乘分母得有理化因式。

3、二次根式得概念与意义:(1)、定义:形如(a≥0)得式子,叫做二次根式。

(2)、二次根式有意义得条件:二次根式无意义得条件:(3)、二次根式得性质:① =a(a≥0);②= =③= (a≥0, b≥0);④=( a≥0, b＞0)。

（4）、最简二次根式:①中不含二次根式;②被开方数中不含能开得尽得因数或因式。

(5)、同类二次根式:最简二次根式后,被开方数相同,叫做同类二次根式。

知识点二:代数式得运算(一)、整式得加减运算(1)、同类项:(2)、合并同类项法则:(3)、去括号法则:(4)、整式得加减得实质就就是合并同类项。

(二)、整式得乘除(1)、同底数幂得乘法:a m·a n= ,底数不变,指数相加、(2)、幂得乘方与积得乘方:(a m)n= ,底数不变,指数相乘;(3)、(ab)n= ,积得乘方等于各因式乘方得积、(4)、单项式得乘法:系数相乘,相同字母 ,只在一个因式中含有得字母,连同指数写在积里、(5)、单项式与多项式得乘法:m(a+b+c)= ,用单项式去乘多项式得每一项,再把所得得积相加、(6)、多项式得乘法:(a+b)·(c+d)= ,先用多项式得每一项去乘另一个多项式得每一项,再把所得得积相加、(7)、乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)= ,两个数得与与这两个数得差得积等于这两个数得平方差;完全平方公式:①(a+b)2= ,等于它们得 ,加上它们得积得2倍;② (a-b)2= ,等于它们得 ,减去它们得积得2倍; 十字相乘法:+(m+n)x+mn=( )( )(8)、同底数幂得除法:a m÷a n= ,底数不变,指数相减、(9)、零指数与负指数公式:a0= (a≠0); a-n= ,(a≠0)、注意:00,0-2无意义;(10).单项式除以单项式:(11).多项式除以单项式:★整式混合运算:先 ,后 ,最后 ,有括号先算括号内、★整式得化简:①合并到不能再合并;②首项不能为负数;★整式得因式分解(1)提共因式法:(2)公式法:(3)十字相乘法:(4)分组法,在循环运用“提十公分”法;(三)、分式得运算(1)、分式得加减法:①、同分母得分式相加减,分母 ,把分子相。

a a 5 x 2 + 1 - 5 -x 2 a a a a a a b二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。

这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。

本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。

二、知识要点1、二次根式的概念：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a≥0 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。

2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a ﹤0 时， 没有意义。

3、二次根式 （a≥0）的非负性（a≥0）表示 a 的算术平方根，也就是说， （a≥0）是一个非负数，即 0（a≥0）。

注意：因为二次根式 （a≥0）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即( a )2 （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若 + = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则a=0,b=0。

4、二次根式(a )2的性质： (a )2 = a （a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式( a )2 = a （a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公a a a aa 27 ≈ 2.646 a 2 a 2a 2a 2 a 2 a 2a 2a 2a 2a 2⎨-a (a < 0) ⎩式也可以反过来应用：若 a≥0，则 a = ( a )2 ，如： 2 = ( 2)2 ， 1 = ( 1)2。

第二讲 整式、分式、二次根式内容解读中考中重点考查包括整式的有关概念及计算，同类项与去括号，以及幂的相关性质和运算，了解分式、二次根式的概念，会利用分式基本性质约分和通分，会进行简单的分式和根式运算，两个乘法公式的应用则是考查的难点。

主要题型以填空、选择、计算为主，主要考查方向以概念理解及基础知识的运用能力为主，在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。

考点剖析1、合并同类项例1：若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则mn = ． 答案：142、整式的加减例2：知一个多项式与239x x +的和等于2341x x +-，则这个多项式是（ ） A ．51x -- B ．51x + C ．131x -- D ．131x + 答案：A 3、整式的乘除例3：下列计算正确的是（ ）A .633)(x x =B .2446a a a =⋅ C .2224)()(cb bc bc =-÷- D ．236x x x =÷ 答案：C 4、乘法公式例4：219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．答案：5 5、因式分解例5：下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A.x 2－xy B . x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 2答案：C例6：分解因式2(2)(4)4x x x +++-． 答案：解：原式＝(2)(4)(2)(2)x x x x ++++-＝(2)(22)x x ++＝2(2)(1)x x ++．6、分式的概念例7：当x = 时，分式12x -没有意义． 答案：2例8：若分式11||--x x 的值为零，则x 的值等于 。

答案：－17、分式的运算例9：分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ） A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a+答案：C例10：先化简：224226926a a a a a --÷++++，再任选一个你喜欢的数代入求值． 解：224226926a a a a a --÷++++ 2(2)(2)2(3)2(3)2a a a a a +-+=++- 242633a a a a ++=-+++23a =+ 8、二次根式例11 ）ABCD 答案：C例1202)02)(11|1=++-．111=．1= 真题训练1、下列计算正确的是（ ）A 、3252a a a +=B 、326(2)4a a -=C 、222()a b a b +=+ D 、623a a a ÷=2、已知整式61x -的值是2，2y y -的值是2，则22(557)(457)x y xy x x y xy x +--+-=（ ）A ．14-或12B ．14或12- C ．14-或12D ．14或123、在a 2□4a □4空格□中，任意填上“+”或“—”，在所得到的这代数式中，以构成完全平方式的概率是（ ） A ．1B ．12 C ．13D ．144、把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-5、下列运算中，错误．．的是（ ）A 、(0)a ac c b bc =≠ B 、1a ba b--=-+ C 、0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D 、x y y xx y y x--=++6、要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >7x 的取值范围是 （ ） A ．2x ≠ B ．2x > C ．2x ≤ D ．2x ≥8、化简2b aa a ab ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的结果是（ ）A ．a b -B ．a b +C ．1a b -D ．1a b+ 9、若单项式22mx y 与313n x y -是同类项，则m n +的值是 ． 10、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．11、若20a a +=，则2007222++a a 的值为 ．12、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是 ．13、先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =14、在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．15、先化简再求值：1x 11x x 31x 3x 32--+÷--，其中x ＝2。

第二讲 整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类(二)整式1．整式的有关概念(1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．(2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．2．整式的运算(1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．(2)整数指数幂及其运算性质①整数指数幂正整数指数幂：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅==),2(),1(为正整数个n n a a a a n aa n n零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n aa 1=-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ；(ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0)． (3)整式的乘法①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．④乘法公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．(4)整式的除法(结果为整式的)①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：*③十字相乘法：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．(当b 2－4ac ≥0时，,2421a acb b x -+-=)2422aac b b x ---=(3)因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式(1)分式的有关概念①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如BA的式子叫做分式． 注意 对于一个分式BA，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,0分母分子分式值为1⇔⎩⎨⎧==.0,分母分母分子分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号．(2)分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=bdacd c b a . ③除法：bcadc d b a d c b a ==÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n nn b a ba =)((n 为正整数)．二、例题分析例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；(6)⋅=-22212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解 A ．说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．例2 如果关于x ，y 的单项式2ax my 与5bx 2m －3y 是同类项，(1)求(9m －28)2009的值；(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)2009＝(9×3－28)2009＝－1．(2)∵m ＝3，且2ax my ＋5bx 2m －3y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．例3 计算： (1);)3()41(212335a b a b a -⋅-÷ (2)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2．解 (1)原式＝23359)41(21a b a b a ⋅-÷.189)4(21242335b a a ba b a -=⋅-⨯=(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y＝y 2＋5x 3y －4x 4．说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．例4 计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．(2)原式＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2－(b －1)2－a 2＋(b ＋2)2＝(b ＋2)2－(b －1)2＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．例5 把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2； (4).4412+-x 解 (1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2．(4)原式)16(412--=x).4)(4(41-+-=x x说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：(b －a )2k ＝(a －b )2k ；(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．例6 (1)当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?(2)当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3．∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．要使分式的值为零，只⎪⎩⎪⎨⎧=/--=-.012,0922x x x解得⎩⎨⎧≠-=/-==.43,33x x x x 且或∴当x ＝3时，分式的值等于零．说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．例7 计算： (1)2121111x x x ++++-； (2)⋅--++--÷++-+296.4144222222x x x x x x x x x x 解 (1)原式212)1)(1(11x x x x x +++--++=)1)(1()1(2)1(21212222222x x x x x x +--++=++-= 414x-=． (2)原式.1)2)(2(.)2()2)(1(2--+++-=x x x x x x ⋅+++=++=-++1961)3()2)(1()3(222x x x x x x x x说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．例8 已知12-=a ，化简求值：⋅+-÷++--+-24)44122(22a a a a a a a a解法一 原式42])2(1)2(2[2-+⨯+--+-=a a a a a a a 41)212(-⨯+---=a a a a a ⋅+=-⨯+-=)2(141)2(4a a a a a a .122,12+=+∴-=a a ∴原式.1)12)(12(1=+-=解法二 由12-=a ，得21=+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．∴将原式化简为aa 212+后，立即得其值为1． 例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++11x y 11++y x 的值． 解 原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y＝1121222++++++++y x xy x x y y1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．例10 已知321=+xx ，求441x x +的值．解 2)1(122244-+=+xx x x2]2)32[(2]2)1[(2222--=--+=xx＝102－2＝98．说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式x x x x x x x 122444.222-+-÷-+-＋1的值．”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．解 聪聪说得有道理．∵原式11)2(2.)2)(2()2(2+--+-+-=xx x x x x x ,1111=+-=xx ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．A ．ba-8分钟 B ．b a +8分钟 C ．bba +-8分钟D ．bba --8分钟解 C ．说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义? .1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0． 224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-=.232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)． ∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．四、课标考试达标题(一)选择题1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝xC ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xyD ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )．A ．y x y x y x -=--22 B ．y x yx y xy x -=-+-222 C ．y x yxyx xy -=-2 D ．xyx y y x x y 22-=-3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4 D ．(a ＋2)2－95．已知411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于( )．A ．6B ．－6C ．152D ．72-(二)填空题6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______ (填上一个正确的即可)．8．若2x＝3，4y＝5，则2x －2y的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______．10．已知),3,2,1()1(12=+=n n a n ， b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求63)(41)(21ba b a b a b a --++++-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．12．在实数范围内分解因式：(1)4x 4－1；(2)x 2＋2x －5．13．观察下列等式：,322322,211211-=⨯-=⨯＝.,433433 -=⨯(1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：(3)用简要的过程证明你发现的规律．(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223ab a a -2;12a a ⑥中，最简二次根式是( )．A ．②③⑤B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式ab b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a。

初中代数式知识点一、代数式的概念。

1. 定义。

- 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式。

例如：5，a，3x + 2y，(a)/(b)（b≠0）等都是代数式。

2. 代数式的书写规范。

- 数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写。

例如：3× a 应写成3a。

- 带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。

例如：1(1)/(2)x应写成(3)/(2)x。

- 除法运算一般写成分数形式。

例如：a÷ b应写成(a)/(b)(b≠0)。

二、整式。

1. 单项式。

- 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如：-2x，5y^2，a，-3等都是单项式。

- 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如：在单项式-2x 中，系数是-2；在单项式5y^2中，系数是5。

- 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如：在单项式-2x中，次数是1；在单项式5y^2中，次数是2。

2. 多项式。

- 定义：几个单项式的和叫做多项式。

例如：3x + 2y，x^2-2x + 1等都是多项式。

- 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

例如：在多项式x^2-2x + 1中，x^2、-2x、1都是它的项，其中1是常数项。

- 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如：在多项式x^2-2x + 1中，次数最高的项是x^2，次数为2，所以这个多项式的次数是2。

3. 整式的运算。

- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

例如：3x^2y与-5x^2y是同类项。

- 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误!未找到引用源。

±错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质0(0)a ≥≥；2.2(0)a a =≥；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 00)a b =≥≥，；5. 00)a b=≥>，.6.若0a b >≥，则a b >.要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥L L L L L L ，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1，∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3． 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID 号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例1】 【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ． 【答案】若分式m x x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0， 设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.举一反三：【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac ++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b ÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y z y z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y+++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 【答案】 由已知得1,y z a x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x +++=, 所以1a x a x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z ==++++++所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID 号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值． 【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-.当a = 1 时,方程无解.当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x 解得x ＝80， 经检验x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ）A ．00253010(18060x x -=+）B ．00253010(180x x -=+）C ．00302510(18060x x -=+）D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ． 【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID 号：399347 关联的位置名称（播放点名称）：例3】7．22019(2332)(526)(526)-+-⋅+【答案与解析】 原式＝19(12618)(56)(5+26⎡⎤-+-⋅⎣⎦）(56)- 66 .61435-=【总结升华】此题关键是2019(56)(56)-⋅+变为19(56)(5+26⎡⎤-⋅⎣⎦）(56)-6.。

2024年初三数学上册课本知识点总结初三数学上册课本主要包含以下几个知识点：知识点一：分式的化简与运算这一部分主要介绍了如何对分式进行化简和运算。

分式是指有分子和分母的数，可以用来表示有理数的除法运算。

化简分式就是把分子和分母的公因式约去，使分式简化为最简形式。

而分式的运算包括加减乘除四则运算，需要注意分母的处理。

知识点二：二次根式二次根式是指开方后含有根号的表达式。

这一部分主要介绍了二次根式的基本性质和运算规律。

其中包括二次根式的化简、加减乘除等运算，以及二次根式的应用问题。

知识点三：比例与相似比例是指两个量之间的相对关系，可以用等比例或不等比例关系来表示。

比例的性质有比例恒等式、比例分配定理等。

而相似是指两个图形的形状相似，但尺寸不同。

相似的判定条件有AAA相似判定、对应边成比例、对应角相等等。

相似的应用问题包括影子问题、海伦公式等。

知识点四：平面直角坐标系平面直角坐标系是指通过两条相互垂直的坐标轴建立平面上的坐标系。

这一部分主要介绍了平面直角坐标系的建立和性质，以及直线、线段的坐标表示和距离公式的应用。

知识点五：平行线与比例线段平行线是指在平面上永远不相交的直线。

这一部分主要介绍了平行线的性质，如同位角、内错角、外错角等。

同时也介绍了平行线上的比例线段，包括比例分割定理、垂直分割定理等。

知识点六：等腰三角形与全等三角形等腰三角形是指两边相等的三角形，全等三角形是指对应边角都相等的三角形。

这一部分主要介绍了等腰三角形和全等三角形的性质与判定条件，包括等腰三角形的基本性质、全等三角形的AAA、SAS、SSS等判定条件。

知识点七：数中的代数思想这一部分主要介绍了代数运算与代数式的应用。

代数运算包括加减乘除运算，以及指数运算等。

代数式的应用包括解方程、列方程、应用题等。

此外，课本还包括了大量的例题和练习题，用来巩固和练习所学的知识点。

通过反复练习，可以提高解题的能力和思维的灵活性。

另外，还有一些拓展性和综合性的题目，用来培养学生的解决问题的能力和综合运用所学知识的能力。