2021年中考数学试题分类讲练(必刷题含答案)：2-5整式、分式与二次根式综合题

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】专题3分式与二次根式（共50题） 一．选择题（共13小题）1．（2020•安顺）当x ＝1时，下列分式没有意义的是（ ）A ．x+1xB ．x x−1C ．x−1xD ．x x+1【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解析】A 、x+1x ，当x ＝1时，分式有意义不合题意；B 、x x−1，当x ＝1时，x ﹣1＝0，分式无意义符合题意；C 、x−1x ，当x ＝1时，分式有意义不合题意；D 、x x+1，当x ＝1时，分式有意义不合题意；故选：B ．2．（2020•遂宁）下列计算正确的是（ ）A ．7ab ﹣5a ＝2bB ．（a +1a ）2＝a 2+1a 2C ．（﹣3a 2b ）2＝6a 4b 2D ．3a 2b ÷b ＝3a 2【分析】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可．【解析】7ab 与﹣5a 不是同类项，不能合并，因此选项A 不正确；根据完全平方公式可得（a +1a ）2＝a 2+1a 2+2，因此选项B 不正确；（﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2，因此选项C 不正确；3a 2b ÷b ＝3a 2，因此选项D 正确；故选：D ．3．（2020•金华）分式x+5x−2的值是零，则x 的值为（ ）A ．2B ．5C ．﹣2D ．﹣5 【分析】利用分式值为零的条件可得x +5＝0，且x ﹣2≠0，再解即可．【解析】由题意得：x +5＝0，且x ﹣2≠0，解得：x ＝﹣5，故选：D ．4．（2020•绥化）化简|√2−3|的结果正确的是（ ）A ．√2−3B ．−√2−3C ．√2+3D ．3−√2【分析】根据绝对值的定义解答即可．【解析】∵√2−3＜0，∴|√2−3|=−(√2−3)=3−√2．故选：D ．5．（2020•泰州）下列等式成立的是（ ）A ．3+4√2=7√2B ．√3×√2=√5C ．√36=2√3D ．√(−3)2=3【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．【解析】A ．3与4√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．√3×√2=√6，此选项计算错误；C ．√3÷6=√3×√6=3√2，此选项计算错误； D ．√(−3)2=3，此选项计算正确；故选：D ．6．（2020•聊城）计算√45÷3√3×√35的结果正确的是（ ）A ．1B ．53C ．5D ．9【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解析】原式=3√5÷3√3×√155 =3√5×√39×√155 =√5×3×1515 =1515＝1．故选：A ．7．（2020•无锡）下列选项错误的是（ ）A ．cos60°=12B ．a 2•a 3＝a 5C ．√2=√22D ．2（x ﹣2y ）＝2x ﹣2y 【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．【解析】A ．cos60°=12，故本选项不合题意；B ．a 2•a 3＝a 5，故本选项不合题意；C .√2=√2√2⋅√2=√22，故本选项不合题意； D .2（x ﹣2y ）＝2x ﹣4y ，故本选项符合题意．故选：D ．8．（2020•杭州）√2×√3=（ ）A ．√5B ．√6C ．2√3D ．3√2 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．【解析】√2×√3=√6，故选：B ．9．（2020•上海）下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ）A ．√6B ．√9C ．√12D ．√18【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【解析】A .√6与√3的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B .√9=3，与√3不是同类二次根式；C .√12=2√3，与√3被开方数相同，故是同类二次根式；D .√18=3√2，与√3被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C ．10．（2020•绥化）下列等式成立的是（ ）A ．√16=±4B ．√−83=2C ．﹣a √1a =√−aD ．−√64=−8【分析】分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式的性质逐一化简即可判断．【解析】A .√16=4，故本选项不合题意；B .√−83=−2，故本选项不合题意；C .−a √1a =−√a ，故本选项不合题意；D .−√64=−8，故本选项符合题意．故选：D ．11．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）A ．√13B ．√12C ．√a 3D ．√53【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解析】A 、√13是最简二次根式，符合题意；B 、√12=2√3，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√a 3=|a |√a ，不是最简二次根式，不符合题意；D 、√53=√153，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A ．12．（2020•重庆）下列计算中，正确的是（ ）A ．√2+√3=√5B ．2+√2=2√2C ．√2×√3=√6D ．2√3−2=√3【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【解析】A ．√2与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C ．√2×√3=√2×3=√6，此选项计算正确；D ．2√3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C ．13．（2020•衢州）要使二次根式√x −3有意义，则x 的值可以为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ﹣3≥0，再解即可．【解析】由题意得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故选：D ．二．填空题（共12小题）14．（2020•济宁）已如m +n ＝﹣3，则分式m+n m ÷（−m 2−n 2m −2n ）的值是 13 ．【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【解析】原式=m+n m ÷−(m 2+2mn+n 2)m=m+n m •m −(m+n)2=−1m+n ，当m +n ＝﹣3时，原式=13故答案为：13 15．（2020•聊城）计算：（1+a 1−a ）÷1a 2−a= ﹣a ． 【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式=1−a+a 1−a •a （a ﹣1） =11−a •a （a ﹣1）＝﹣a ．故答案为：﹣a ．16．（2020•南充）若x 2+3x ＝﹣1，则x −1x+1= ﹣2 ． 【分析】根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据x 2+3x ＝﹣1，可以得到x 2＝﹣1﹣3x ，代入化简后的式子即可解答本题．【解析】x −1x+1=x(x+1)−1x+1 =x 2+x−1x+1， ∵x 2+3x ＝﹣1，∴x 2＝﹣1﹣3x ，∴原式=−1−3x+x−1x+1=−2x−2x+1=−2(x+1)x+1=−2， 故答案为：﹣2．17．（2020•重庆）计算：（π﹣1）0+|﹣2|＝ 3 ．【分析】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．【解析】（π﹣1）0+|﹣2|＝1+2＝3，故答案为：3．18．（2020•台州）计算1x −13x 的结果是 23x ．【分析】先通分，再相减即可求解．【解析】1x −13x =33x −13x =23x ．故答案为：23x．19．（2020•湖州）化简：x+1x2+2x+1=1x+1．【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．【解析】x+1x2+2x+1 =x+1(x+1)2=1x+1．故答案为：1x+1．20．（2020•哈尔滨）计算√24+6√16的结果是3√6．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可．【解析】原式=2√6+√6=3√6．故答案为：3√6．21．（2020•滨州）若二次根式√x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥5．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．【解析】要使二次根式√x−5在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．22．（2020•常德）计算：√92−√12+√8=3√2．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解析】原式=3√22−√22+2√2＝3√2．故答案为：3√2．23．（2020•常德）若代数式√2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解析】由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．24．（2019•衡阳）√27−√3= 2√3 ．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解析】原式＝3√3−√3=2√3．故答案为：2√3．25．（2020•苏州）使√x−13在实数范围内有意义的x 的取值范围是 x ≥1 ． 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．三．解答题（共25小题）26．（2020•连云港）化简a+31−a ÷a 2+3aa −2a+1．【分析】直接利用分式的性质进而化简进而得出答案．【解析】原式=a+31−a •(a−1)2a(a+3)=a+31−a •(1−a)2a(a+3)=1−a a． 27．（2020•泸州）化简：（x+2x +1）÷x 2−1x． 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算．【解析】原式=2x+2x ×x (x+1)(x−1)=2(x+1)x ×x (x+1)(x−1)=2x−1． 28．（2020•河南）先化简，再求值：4aa 2−9÷（1+a−3a+3），其中a =√2+3． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．【解析】原式=4a (a+3)(a−3)÷（a+3a+3+a−3a+3） =4a (a+3)(a−3)÷2a a+3=4a (a+3)(a−3)•a+32a=2a−3， 当a =√2+3时，原式=2+3−3=2 =√2．29．（2020•达州）求代数式（2x−1x−1−x ﹣1）÷x−2x 2−2x+1的值，其中x =√2+1． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【解析】原式＝（2x−1x−1−x 2−1x−1）÷x−2(x−1)2=−x 2+2x x−1）÷x−2(x−1)2 =−x(x−2)x−1•(x−1)2x−2 ＝﹣x （x ﹣1）当x =√2+1时，原式＝﹣（√2+1）（√2+1﹣1）＝﹣（√2+1）×√2＝﹣2−√2．30．（2020•泰安）（1）化简：（a ﹣1+1a−3）÷a 2−4a−3； （2）解不等式：x+13−1＜x−14． 【分析】（1）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得；（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．【解析】（1）原式＝[(a−1)(a−3)a−3+1a−3]÷(a+2)(a−2)a−3 ＝（a 2−4a+3a−3+1a−3）•a−3(a+2)(a−2)=(a−2)2a−3•a−3(a+2)(a−2)=a−2a+2； （2）去分母，得：4（x +1）﹣12＜3（x ﹣1），去括号，得：4x +4﹣12＜3x ﹣3，移项，得：4x ﹣3x ＜﹣3﹣4+12，合并同类项，得：x ＜5．31．（2020•河南）先化简，再求值：（1−1a+1）÷aa2−1，其中a=√5+1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解析】(1−1a+1)÷aa2−1=a+1−1a+1×(a−1)(a+1)a＝a﹣1，把a=√5+1代入a﹣1=√5+1﹣1=√5．32．（2020•成都）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x2−9，其中x＝3+√2．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式=x+3−1x+3•(x−3)(x+3)x+2＝x﹣3，当x＝3+√2时，原式=√2．33．（2020•哈尔滨）先化简，再求代数式（1−2x+1）÷x2−12x+2的值，其中x＝4cos30°﹣1．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把x的值代入得出答案．【解析】原式=x−1x+1•2(x+1)(x−1)(x+1)=2x+1，∵x＝4cos30°﹣1＝4×√32−1＝2√3−1，∴原式=23−1+1=√33．34．（2020•甘孜州）化简：（3a−2−1a+2）•（a2﹣4）．【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题．【解析】（3a−2−1a+2）•（a2﹣4）=3(a+2)−(a−2)(a+2)(a−2)•（a+2）（a﹣2）＝3a+6﹣a+2＝2a+8．35．（2020•乐山）已知y=2x，且x≠y，求（1x−y+1x+y）÷x2yx2−y2的值．【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式=2x (x+y)(x−y)÷x 2y x 2−y 2 =2x x 2−y 2×x 2−y 2x 2y=2xy ，∵y =2x ，∴原式=2x⋅2x=1 解法2：同解法1，得原式=2xy ， ∵y =2x，∴xy ＝2，∴原式=22=1． 36．（2020•德州）先化简：（x−1x−2−x+2x ）÷4−x x 2−4x+4，然后选择一个合适的x 值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解析】(x−1x−2−x+2x )÷4−x x 2−4x+4=[x(x−1)x(x−2)−(x−2)(x+2)x(x−2)]×(x−2)24−x=4−x x(x−2)⋅(x−2)24−x =x−2x ，把x ＝1代入x−2x =1−2x =−1．37．（2020•滨州）先化简，再求值：1−y−x x+2y ÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2；其中x ＝cos30°×√12，y ＝（π﹣3）0﹣（13）﹣1． 【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x ，y 的值，进而代入得出答案．【解析】原式＝1−y−x x+2y ÷(x+y)(x−y)(x+2y)2＝1+x−y x+2y •(x+2y)2(x+y)(x−y) ＝1+x+2y x+y=x+y+x+2y x+y =2x+3y x+y， ∵x ＝cos30°×√12=√32×2√3=3，y ＝（π﹣3）0﹣（13）﹣1＝1﹣3＝﹣2， ∴原式=3×3+3×(−2)3−2=0． 38．（2020•无锡）计算：（1）（﹣2）2+|﹣5|−√16；（2）a−1a−b −1+b b−a ．【分析】（1）根据乘方的定义，绝对值的定义以及算术平方根的定义计算即可；（2）根据同分母分式的加减法法则计算即可．【解析】（1）原式＝4+5﹣4＝5；（2）原式=a−1a−b +1+b a−b=a−1+1+b a−b =a+b a−b ． 39．（2020•南充）先化简，再求值：（1x+1−1）÷x 2−x x+1，其中x =√2+1． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（1x+1−1）÷x 2−x x+1 =1−(x+1)x+1⋅x+1x(x−1) =1−x−1x(x−1)=−x x(x−1)=11−x ，当x =√2+1时，原式=1−2−1=−√22． 40．（2020•自贡）先化简，再求值：x+1x −4•（1x+1+1），其中x 是不等式组{x +1≥05−2x ＞3的整数解．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x 是不等式组{x +1≥05−2x ＞3的整数解，然后即可得到x 的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】x+1x 2−4•（1x+1+1）=x+1(x+2)(x−2)⋅1+x+1x+1=x+2(x+2)(x−2)=1x−2，由不等式组{x +1≥05−2x ＞3，得﹣1≤x ＜1， ∵x 是不等式组{x +1≥05−2x ＞3的整数解， ∴x ＝﹣1，0，∵当x ＝﹣1时，原分式无意义，∴x ＝0，当x ＝0时，原式=10−2=−12．41．（2020•重庆）计算：（1）（x +y ）2+x （x ﹣2y ）；（2）（1−m m+3）÷m 2−9m 2+6m+9． 【分析】（1）根据整式的四则运算的法则进行计算即可；（2）先计算括号内的减法，再计算除法，注意约分和因式分解．【解析】（1）（x +y ）2+x （x ﹣2y ），＝x 2+2xy +y 2+x 2﹣2xy ，＝2x 2+y 2；（2）（1−m m+3）÷m 2−9m 2+6m+9， ＝（m+3m+3−m m+3）×(m+3)2(m+3)(m−3)， =3m+3×m+3m−3，=3m−3．42．（2020•遂宁）先化简，（x 2+4x+4x −4−x ﹣2）÷x+2x−2，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．【解析】原式＝[(x+2)2(x+2)(x−2)−（x +2）]•x−2x+2 ＝（x+2x−2−x 2−4x−2）•x−2x+2=−x 2+x+6x−2•x−2x+2=−(x+2)(x−3)x−2•x−2x+2 ＝﹣（x ﹣3）＝﹣x +3，∵x ≠±2，∴可取x ＝1，则原式＝﹣1+3＝2．43．（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x +1−7x−9x ）÷x 2−9x． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（x +1−7x−9x ）÷x 2−9x=x(x+1)−(7x−9)x ⋅x (x+3)(x−3)=x 2+x−7x+9(x+3)(x−3)=(x−3)2(x+3)(x−3) =x−3x+3，当x ＝2时，原式=2−32+3=−15． 44．（2020•衢州）先化简，再求值：aa 2−2a+1÷1a−1，其中a ＝3．【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．【解析】原式=a (a−1)2•（a ﹣1） =a a−1，当a ＝3时，原式=33−1=32． 45．（2020•重庆）计算：（1）（x +y ）2+y （3x ﹣y ）；（2）（4−a 2a−1+a ）÷a 2−16a−1． 【分析】（1）利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；（2）根据分式的四则计算的法则进行计算即可，【解析】（1）（x +y ）2+y （3x ﹣y ），＝x 2+2xy +y 2+3xy ﹣y 2，＝x 2+5xy ；（2）（4−a 2a−1+a ）÷a 2−16a−1， ＝（4−a 2a−1+a 2−a a−1）×a−1(a+4)(a−4)， =4−a a−1×a−1(a+4)(a−4)，=−1a+4．46．（2020•黔东南州）（1）计算：（12）﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（3a+1−a +1）÷a 2−4a 2+2a+1，其中a 从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【分析】（1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即可求解；（2）先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入一个合适的数即可．【解析】（1）（12）﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0 ＝4+√2−3+2×1﹣1＝4+√2−3+2﹣1＝2+√2；（2）（3a+1−a +1）÷a 2−4a 2+2a+1=3−(a−1)(a+1)a+1×(a+1)2(a+2)(a−2)=−(a+2)(a−2)a+1＝﹣a﹣1，要使原式有意义，只能a＝3，则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．47．（2020•铜仁市）（1）计算：2÷12−（﹣1）2020−√4−（√5−√3）0．（2）先化简，再求值：（a+3−a2a−3）÷（a2−1a−3），自选一个a值代入求值．【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解析】（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；（2）原式=a(a−3)+3−a2a−3•a−3(a+1)(a−1)=−3(a−1)a−3•a−3 (a+1)(a−1)=−3a+1，当a＝0时，原式＝﹣3．48．（2020•黔西南州）（1）计算（﹣2）2﹣|−√2|﹣2cos45°+（2020﹣π）0；（2）先化简，再求值：（2a+1+a+2a−1）÷aa−1，其中a=√5−1．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】（1）原式＝4−√2−2×√22+1＝4−√2−√2+1＝5﹣2√2；（2）原式＝[2(a−1)(a−1)(a+1)+a+2(a−1)(a+1)]•a−1a=3a(a−1)(a+1)•a−1 a=3a+1，当a=√5−1时，原式=3√5−1+1=3√55．49．（2020•遵义）化简式子x 2−2xx 2÷（x −4x−4x），从0、1、2中取一个合适的数作为x 的值代入求值． 【分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．【解析】原式=x(x−2)2÷x 2−4x+4x =x(x−2)x 2•x (x−2)2=1x−2， ∵x ≠0，2，∴当x ＝1时，原式＝﹣1．50．（2020•湖州）计算：√8+|√2−1|．【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可．【解析】原式＝2√2+√2−1＝3√2−1．。

ɦ８．６㊀与三角形有关的综合题㊀能运用三角形以及前面的代数知识解决问题．一㊁选择题１．(２０１２ 贵州黔东南)如图,在矩形A B C D 中,A B ＝３,A D ＝１,A B 在数轴上,若以点A 为圆心,对角线A C 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M ,则点M 的坐标为(㊀㊀)．A．(２,０)B ．(５－１,０)C ．(１０－１,０)D．(５,０)(第１题)㊀㊀(第２题)２．(２０１２ 山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,点P 坐标为(－２,３),以点O 为圆心,以O P 的长为半径画弧,交x 轴的负半轴于点A ,则点A 的横坐标介于(㊀㊀)．A．－４和－３之间B ．３和４之间C ．－５和－４之间D．４和５之间３．(２０１２ 四川攀枝花)已知实数x ,y 满足|x －４|＋y －８＝０,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是(㊀㊀)．A．２０或１６B ．２０C ．１６D．以上答案均不对４．(２０１２ 福建三明)如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限,点P 在x 轴上,若以P ㊁O ㊁A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P 共有(㊀㊀)．(第４题)A．２个B ．３个C ．４个D．５个二㊁填空题５．(２０１２ 四川巴中)已知a ,b ,c 是әA B C 的三边长,且满足关系式c ２－a ２－b ２＋|a －b |＝０,则әA B C 的形状为㊀㊀㊀㊀．三㊁解答题６．(２０１２ 重庆)如图,在R t әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,点D 在边B C 上,且әA B D 是等边三角形．若A B ＝２,求әA B C 的周长．(结果保留根号)(第６题)７．(２０１２ 吉林长春)感知:如图(１),点E 在正方形A B C D 的边B C 上,B F ʅA E 于点F ,D G ʅA E 于点G ,可知әA D GɸәB A F ．(不要求证明)拓展:如图(２),点B ㊁C 分别在øM A N 的边AM ㊁A N 上,点E ㊁F 在øM A N 内部的射线A D 上,ø１㊁ø２分别是әA B E ㊁әC A F 的外角．已知A B ＝A C ,ø１＝ø２＝øB A C ,求证:әA B E ɸәC A F ．应用:如图(３),在等腰三角形A B C 中,A B ＝A C ,A B ＞B C ．点D 在边B C 上,C D ＝２B D ,点E ㊁F 在线段A D 上,ø１＝ø２＝øB A C ．若әA B C 的面积为９,则әA B E 与әC D F 的面积之和为㊀㊀㊀㊀．(１)㊀(２)㊀(３)(第７题)８．(２０１２ 山东泰安)如图,在әA B C 中,øA B C ＝４５ʎ,C D ʅA B ,B E ʅA C ,垂足分别为D ㊁E ,F 为B C 中点,B E 与D F ㊁D C 分别交于点G ㊁H ,øA B E ＝øC B E ．(１)线段B H 与A C 相等吗?若相等,请给予证明,若不相等,请说明理由．(２)求证:B G ２－G E ２＝E A ２．(第８题)９．(２０１２ 四川绵阳)已知关于x 的方程x ２－(m ＋２)x ＋(２m －１)＝０．(１)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(２)若此方程的一个根是１,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长．ɦ８．６㊀与三角形有关的综合题１．C㊀２．A㊀３．B㊀４．C５．等腰直角三角形６．ȵ㊀әA B D是等边三角形,ʑ㊀øB＝６０ʎ．ȵ㊀øB A C＝９０ʎ,ʑ㊀øC＝１８０ʎ－９０ʎ－６０ʎ＝３０ʎ．ʑ㊀B C＝２A B＝４．在R tәA B C中,由勾股定理,得A C＝B C２－A B２＝４２－２２＝２３．ʑ㊀әA B C的周长是A C＋B C＋A B＝２３＋４＋２＝６＋２３．７．拓展:ȵ㊀如图(１),ø１＝ø２,ʑ㊀øB E A＝øA F C．ȵ㊀ø１＝øA B E＋ø３,ø３＋ø４＝øB A C,ø１＝øB A C,ʑ㊀øB A C＝øA B E＋ø３．ʑ㊀ø４＝øA B E．ʑ㊀øA E B＝øA F C,øA B E＝ø４,A B＝A C．ʑ㊀әA B EɸәC A F(A A S)．(第７题(１))㊀㊀(第７题(２))应用:ȵ㊀如图(２),在等腰三角形A B C中,A B＝A C,C D＝２B D,ʑ㊀әA B D与әA D C等高,底边比值为１ʒ２．ʑ㊀әA B D与әA D C的面积比为１ʒ２．ȵ㊀әA B C的面积为９,ʑ㊀әA B D与әA D C的面积分别为３,６．ȵ㊀ø１＝ø２,ʑ㊀øB E A＝øA F C．ȵ㊀ø１＝øA B E＋ø３,ø３＋ø４＝øB A C,ø１＝øB A C,ʑ㊀øB A C＝øA B E＋ø３．ʑ㊀ø４＝øA B E．ʑ㊀øA E B＝øA F C,øA B E＝ø４,A B＝A C．ʑ㊀әA B EɸәC A F(A A S)．ʑ㊀әA B E与әC A F面积相等．ʑ㊀әA B E与әC D F 的面积之和为әA D C的面积．ʑ㊀әA B E与әC D F的面积之和为６．故答案为６．(第８题)８．(１)ȵ㊀øB D C＝øB E C＝øC D A＝９０ʎ,øA B C＝４５ʎ,ʑ㊀øB C D＝４５ʎ＝øA B C,øA＋øD C A＝９０ʎ,øA＋øA B E＝９０ʎ．ʑ㊀D B＝D C,øA B E＝øD C A．ȵ㊀在әD B H和әD C A中,øB DH＝øC D A,B D＝C D,øH B D＝øA C D,ʑ㊀әD B HɸәD C A．ʑ㊀B H＝A C．(２)连接C G．ȵ㊀F为B C的中点,D B＝D C,ʑ㊀D F垂直平分B C．ʑ㊀B G＝C G．ȵ㊀øA B E＝øC B E,B EʅA C,ʑ㊀øA E B＝øC E B．在әA B E和әC B E中,ȵ㊀øA E B＝øC E B,B E＝B E,øC B E＝øA B E,ʑ㊀әA B EɸәC B E．ʑ㊀E C＝E A．在R tәC G E中,由勾股定理,得C G２－G E２＝C E２,即B G２－G E２＝E A２．９．(１)ȵ㊀Δ＝(m＋２)２－４(２m－１)＝(m－２)２＋４,ʑ㊀在实数范围内,m无论取何值,(m－２)２＋４ȡ４,即㊀Δȡ４．ʑ㊀关于x的方程x２－(m＋２)x＋(２m－１)＝０恒有两个不相等的实数根．(２)根据题意,得１２－１ˑ(m＋２)＋(２m－１)＝０,解得m＝２,则方程的另一根为m＋２－１＝２＋１＝３．①当该直角三角形的两直角边长是１,３时,由勾股定理得斜边的长度为１０,则该直角三角形的周长为１＋３＋１０＝４＋１０;②当该直角三角形的直角边和斜边长分别是１,３时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为２２,则该直角三角形的周长为１＋３＋２２＝４＋２２．。

专题04 分式与分式方程一、单选题 1．（2021·河北）由1122c c +⎛⎫-⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c 时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <【答案】C 【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．【详解】解：11=224+2c cc c +-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意； 当0c 时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意； 当2c <-时，04+2c c>，12A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．2．（2021贺州）若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程43233m xx x +=+--有增根， ∴3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3．（2021·四川眉山）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a + B ．1a a+ C ．1a a- D ．21a a+ 【答案】B【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简． 【详解】解：原式()()()()221111111=11a a a a a aa a a a a a+-+--++⨯=⨯=--故答案是：B ． 【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．4．（2021·天津）计算33a ba b a b---的结果是（ ） A ．3 B ．33a b +C ．1D ．6aa b- 【答案】A【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式33a b a b -=-，3()a b a b-=-3=．故选A ． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键．5．（2021·山东临沂）计算11()()a b b a -÷-的结果是（ ）A ．ab-B ．a bC ．b a-D ．b a【答案】A【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：11a b b a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab ab b b a a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab a b ab -⨯-=a b-故选A ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 6．（2021·江西）计算11a a a+-的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．2a a+D ．2a a- 【答案】A【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】解：11111a a aa a a a++--===．故选：A ．【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2021·江苏扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．1x + B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】分别找到各式为0时的x 值，即可判断．【详解】解：A 、当x =-1时，x +1=0，故不合题意；B 、当x =±1时，x 2-1=0，故不合题意； C 、分子是1，而1≠0，则11x +≠0，故符合题意；D 、当x =-1时，()210x +=，故不合题意；故选C ． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 8．（2021·湖北州）分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x = B ．2x =- C ．34x =D ．2x =【答案】D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解：3111x x x +=-- 去分母:13x x +-=，∴2x =， 经检验：2x =是原方程的解；故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2021·湖南怀化）定义12a b a b⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（ ） A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =【答案】B【分析】根据新定义,变形方程求解即可 【详解】∵12a b a b ⊗=+,∴342x ⊗=⊗变形为1123242x ⨯+=⨯+,解得25x = ，经检验25x =是原方程的根，故选B 【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键10．（2021·山东临沂）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（ ）A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x += C ．10021003 1.5x x += D ．10010021.53x x =+ 【答案】D【分析】根据清扫100m 2所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟列出方程即可． 【详解】解：设A 型扫地机器人每小时清扫x m 2，由题意可得：10010021.53x x =+，故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 11．（2021·四川成都）分式方程21133x x x-+=--的解为（ ） A ．2x = B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-【答案】A【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解． 【详解】解：21133x x x -+=--，21133x x x --=--，2113x x --=-，213x x --=-，解得：2x =， 检验：当2x =时，32310x -=-=-≠，2x ∴=是分式方程的解，故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．12．（2021·重庆）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5 B ．8C ．12D ．15【答案】B【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a+<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和． 【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥，解不等式②得，5+2ax >不等式组的解集为：6x ≥562a+∴<7a ∴< 解分式方程238211y a y y y +-+=--得238211y a y y y +--=--2(38)2(1)y a y y ∴+--=-整理得5=2a y +，10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠- 分式方程的解是正整数，502a +∴>5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数， ∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5, 11358∴-+++=故选：B ．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·重庆）关于x 的分式方程331122ax x x x--+=--的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组32122y y y a-⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5- B ．4-C ．3-D ．2-【答案】B【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为64x a =+,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到40a +>且43a +≠，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到20a -<，综合以上结论即可求出a 的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．【详解】解：331122ax x x x--+=--,两边同时乘以（2x -)，3213ax x x -+-=-,()46a x +=, 由于该分式方程的解为正数，∴64x a =+，其中4043a a +>+≠，;∴4a >-，且1a ≠-；∵关于y 的元一次不等式组32122y y y a -⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩①②有解，由①得：0y ≤;由②得：2y a >-;∴20a -<，∴2a <综上可得：42a -<<,且1a ≠-;∴满足条件的所有整数a 为：32,0,1--，；∴它们的和为4-；故选B ． 【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a 的限制不等式，求出a 的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题． 二、填空题1．（2021·四川资阳）若210x x +-=，则33x x-=_________．【答案】3【分析】先由210x x +-=可得21x x -=，再运用分式的减法计算33x x-，然后变形将21x x -=代入即可解答．【详解】解：∵210x x +-=∴21x x -=∴()2231333333x x x x x x x x---====．故填：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．2．（2021·四川南充）若3n m n m +=-，则2222m n n m+=_________ 【答案】174【分析】先根据3n m n m +=-得出m 与n 的关系式，代入2222m n n m+化简即可； 【详解】解：∵3n mn m+=-，∴()3n m n m +=-，∴2n m =， ∴22222222417+=44m n m m n m m m +=故答案为：174 【点睛】本题考查了分式的混合运算，得出2n m =是解决本题的关键． 3．（2021·四川达州）若分式方程22411x a x a x x --+-=-+的解为整数，则整数a =___________． 【答案】±1【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值． 【详解】解：22411x a x a x x --+-=-+，22411x a x ax x --+-=-+ (2)(1)(2)(1)4(1)(1)x a x a x x x x -+---=-+整理得：2x a=若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数， a 为整数，当1a =±时，解得：2x =±，经检验：10,10x x -≠+≠成立；当2a =±时，解得：1x =±，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:1a =±，故答案是：±1．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值，易错点，容易忽略对根的检验．4．（2021·湖南常德）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x =【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可．【详解】解：1121(1)x x x x x ++=--通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠，∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．5．（2021·湖南衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵． 【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=，400x =，经检验，400x =是原方程的解， ∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程． 6．（2021·四川凉山州）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【答案】m ＞-3且m ≠-2【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以x -1得，()231x x m --=-，解得3x m =+， ∵x 为正数，∴m +3＞0，解得m ＞-3．∵x ≠1，∴m +3≠1，即m ≠-2． ∴m 的取值范围是m ＞-3且m ≠-2．故答案为：m ＞-3且m ≠-2．【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．三、解答题1．（2021·湖北随州市）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x =． 【答案】22x -，-2 【分析】（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可．【详解】解：原式()()()21221222x x x x x x ++=⋅=++-- 当1x =时，原式2212==-- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，用到的知识是约分、分式的加减，熟练掌握法则是解题的关键．2．（2021·山东菏泽市）先化简，再求值：22221244m n n m m n m mn n --+÷--+，其中m ，n 满足32m n =-． 【答案】3nm n+;-6. 【分析】先变除法为乘法,后因式分解,化简计算,后变形32nm =-代入求值即可 【详解】∵22221244m n n m m n m mn n--+÷--+=2(2)12()()m n m n m n n m n m --+⨯--+=21m n n m --+=3n m n +, ∵32m n =-,∴32nm =-,∴原式=332nn n -+= -6． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键． 3．（2021·湖北宜昌市）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值． 【答案】11x -，1或12【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可． 【详解】解：原式21(1)(1)(1)1x x x x =⋅+--+-11x =-．∵x 2﹣1≠0，∴当2x =时，原式1=．或当3x =时，原式12=．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．4．（2021·四川达州市）化简求值：231041244a a a a a --⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，其中a 与2，3构成三角形的三边，且a 为整数．【答案】24a -+，-2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a 的取值范围，把不合题意的a 的值舍去，最后代入求值即可求解．【详解】解：原式()22231024a a a a a ---+=⋅--()()224224a a a a ---=⋅--24a =-+； ∵2，3，a 为三角形的三边，∴3232a -<<+，∴15a <<，∵a 为整数，∴2a =，3或4，由原分式得20a -≠，40a -≠，∴2a ≠且4a ≠，∴3a =， ∴原式=242342a -+=-⨯+=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a 的值代入求值是要注意所求的a 的值保证原分式有意义．5．（2021·湖南株洲市）先化简，再求值：2223142x x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =． 【答案】12x -+，2-【分析】先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可． 【详解】解：原式=()()223231222222x x x x x x x x x -⋅-=-=-+++-++，把2x =代入得：原式=2=-． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．6．（2021·四川成都市）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中3=a ． 【答案】13a +，3【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+，当3=a时，原式3===． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．7．（2021·四川资阳市）先化简，再求值：222211111x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中30x -=． 【答案】原式=13． 【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，再将3x =代入原式，即可求解．【详解】解：原式=()()()22111111x x x x x x ⎡⎤+--⋅⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=211111x x x x x +-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=211x x x x -⋅-=1x 303x x -=∴= 将3x =代入原式，原式=13．【点睛】本题主要考查分式的混合运算．需要掌握分式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式、同分母分式相加减等相关知识．进行分式的混合运算时，要细心． 8．（2021·四川凉山州）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xyx y -，代入计算即可．【详解】解：∵2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-， ∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．9．（2021·四川遂宁市）先化简，再求值：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数．【答案】32m m --；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭222(2)99(2)33m m m m m m ⎛⎫--÷+ ⎪---⎝⎭= 2223m m m m ÷--=2232m m m m-⋅-=32m m --=， ∵m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3-2＜m ＜3+2，即1＜m ＜5，∵m 为整数，∴m =2、3、4，又∵m ≠0、2、3∴m =4，∴原式=431422-=-． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．10．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：22141x x 整理得22x =，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．11．（2021·陕西）解方程：213111x x x --=+-． 【答案】12x =- 【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．【详解】解：去分母（两边都乘以()()11x x +-），得，22(1)31x x --=-． 去括号，得，222131x x x -+-=-，移项，得，222113x x x --=--+．合并同类项，得，21x -=．系数化为1，得，12x =-．检验：把12x=-代入()()110x x+-≠．∴12x=-是原方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．12．（2021·山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【答案】25分钟【分析】设走路线一到达太原机场需要x分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的53倍列等式计算即可．【详解】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得5253037x x⨯=-．解得：25x=．经检验，25x=是原方程的解．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．13．（2021·四川自贡市）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，根据题意得：70050020x x=-解这个方程得：x=70．经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。

二次根式一、选择题1. (2021•武汉,第2题3分)假设在实数范围内有意义,那么x的取值范围是( )A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3D．x≤3考点：二次根式有意义的条件．分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式,求出x的取值范围即可．解答：解：∵使在实数范围内有意义,∴x﹣3≥0 ,解得x≥3．应选C．点评：此题考查的是二次根式有意义的条件,即被开方数大于等于0．2. (2021•邵阳,第1题3分)介于( )A．﹣1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间考点：估算无理数的大小分析：根据,可得答案．解答：解：∵ 2 ,应选：C．点评：此题考查了无理数比拟大小,比拟算术平方根的大小是解题关键．3. (2021•孝感,第3题3分)以下二次根式中,不能与合并的是() A．B．C．D．考点：同类二次根式分析：根据二次根式的乘除法,可化简二次根式,根据最|简二次根式的被开方数相同,可得答案．解答：解：A、,故A能与合并；B、,故B能与合并；C、,故C不能与合并；D、,故D能与合并；应选：C．点评：此题考查了同类二次根式,被开方数相同的最|简二次根式是同类二次根式．4. ( 2021•安徽省,第6题4分)设n为正整数,且n＜＜n +1 ,那么n的值为()A． 5 B． 6 C．7 D．8考点：估算无理数的大小．分析：首|先得出＜＜,进而求出的取值范围,即可得出n的值．解答：解：∵＜＜,∴8＜＜9 ,∵n＜＜n +1 ,∴n =8 ,应选；D．点评：此题主要考查了估算无理数,得出＜＜是解题关键．5．(2021·台湾,第1题3分)算式(6＋10×15)×3之值为何?() A．242 B．12 5 C．1213 D．18 2分析：先算乘法,再合并同类二次根式,最|后算乘法即可．解：原式＝(6＋56)×3＝66× 3＝18 2 ,应选D．点评：此题考查了二次根式的混合运算的应用,主要考查学生的计算能力,题目比拟好,难度适中．6. (2021·云南昆明 ,第4题3分 )以下运算正确的选项是 ( ) A . 532)(a a = B . 222)(b a b a -=- C . 3553=- D .3273-=-考点： 幂的乘方；完全平方公式；合并同类项；二次根式的加减法；立方根. 分析： A、幂的乘方：mn n m a a =)(； B 、利用完全平方公式展开得到结果 ,即可做出判断；C 、利用二次根式的化简公式化简 ,合并得到结果 ,即可做出判断．D 、利用立方根的定义化简得到结果 ,即可做出判断；解答： 解：A 、632)(a a = ,错误；B 、 2222)(b ab a b a +-=- ,错误； C 、52553=- ,错误； D 、3273-=- ,正确． 应选D点评： 此题考查了幂的乘方 ,完全平方公式 ,合并同类项 ,二次根式的化简 ,立方根 ,熟练掌握公式及法那么是解此题的关键． 7． (2021•浙江湖州 ,第3题3分 )二次根式中字母x 的取值范围是 ( ) A ．x ＜1B ． x ≤1C ． x ＞1D ． x ≥1分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 解：由题意得 ,x ﹣1≥0 ,解得x ≥1．应选D ．点评：此题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 8． (2021·浙江金华 ,第5题4分 )在式子11,,x 2,x 3x 2x 3---- ,x 可以取2和3的是【 】A ．1x 2- B ．1x 3- C x 2- D x 3-【答案】C ． 【解析】试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件 ,在式子11,,x2x3--9. (2021•湘潭,第2题,3分)以下计算正确的选项是()A．a +a2 =a3B．2﹣1 = C．2a•3a =6a D．2 +=2考点：单项式乘单项式；实数的运算；合并同类项；负整数指数幂．分析：A、原式不能合并,错误；B、原式利用负指数幂法那么计算得到结果,即可做出判断；C、原式利用单项式乘以单项式法那么计算得到结果,即可做出判断；D、原式不能合并,错误．解答：解：A、原式不能合并,应选项错误；B、原式= ,应选项正确；C、原式=6a2 ,应选项错误；D、原式不能合并,应选项错误．应选B．点评：此题考查了单项式乘单项式,熟练掌握运算法那么是解此题的关键．10. (2021•湘潭,第6题,3分)式子有意义,那么x的取值范围是()A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1D．x≤1考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0 ,通过解该不等式即可求得x的取值范围．解答：解：根据题意,得x﹣1≥0 ,解得,x≥1．应选C．点评：此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子(a≥0 )叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数,否那么二次根式无意义．11. (2021•株洲,第2题,3分)x取以下各数中的哪个数时,二次根式有意义()A．﹣2 B．0C．2D．4考点：二次根式有意义的条件．分析：二次根式的被开方数是非负数．解答：解：依题意,得x﹣3≥0 ,解得,x≥3．观察选项,只有D符合题意．应选：D．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子(a≥0 )叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数,否那么二次根式无意义．12. (2021•呼和浩特,第8题3分)以下运算正确的选项是()A．•=B．=a3C．(+)2÷ (﹣) =D．(﹣a )9÷a3 = (﹣a )6考点：分式的混合运算；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．分析：分别根据二次根式混合运算的法那么、分式混合运算的法那么、同底幂的除法法那么对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、原式=3•=3,故本选项错误；B、原式=|a|3 ,故本选项错误；C、原式=÷=•=,故本选项正确；D、原式=﹣a9÷a3 =﹣a6 ,故本选项错误．应选C．点评：此题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法那么是解答此题的关键13. (2021•济宁,第7题3分)如果ab＞0 ,a +b＜0 ,那么下面各式：①=,②•=1 ,③÷=﹣b ,其中正确的选项是()A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：二次根式的乘除法．分析：由ab＞0 ,a +b＜0先求出a＜0 ,b＜0 ,再进行根号内的运算．解答：解：∵ab＞0 ,a +b＜0 ,∴a＜0 ,b＜0①=,被开方数应≥0a ,b不能做被开方数所以①是错误的,②•=1 ,•===1是正确的,③÷=﹣b ,÷=÷=×=﹣b是正确的．应选：B．点评：此题是考查二次根式的乘除法,解答此题的关键是明确a＜0 ,b＜0．二.填空题1. ( 2021•福建泉州,第16题4分)：m、n为两个连续的整数,且m＜＜n ,那么m +n = 7．考点：估算无理数的大小．分析：先估算出的取值范围,得出m、n的值,进而可得出结论．解答：解：∵9＜11＜16 ,∴3＜＜4 ,∴m =3 ,n =4 ,∴m +n =3 +4 =7．故答案为：7．点评：此题考查的是估算无理数的大小,先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键．2．(2021年云南省,第9题3分)计算：﹣=．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序,先将二次根式化成最|简二次根式,再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加,而根指数与被开方数都不变．3. (2021年广东汕尾,第11题5分)4的平方根是．分析：根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x ,使得x2 =a ,那么x就是a的平方根,由此即可解决问题．解：∵ (±2 )2 =4 ,∴4的平方根是±2．故答案为：±2．点评：此题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．4. (2021年江苏南京,第9题,2分)使式子1 +有意义的x的取值范围是．考点：二次根式分析：根据被开方数大于等于0列式即可．解答：由题意得,x≥0．故答案为：x≥0．点评：此题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．5. (2021•德州,第14题4分)假设y =﹣2 ,那么(x +y )y =．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式求出x ,再求出y ,然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：由题意得,x﹣4≥0且4﹣x≥0 ,解得x≥4且x≤4 ,所以,x =4 ,y =﹣2 ,所以, (x +y )y = (4﹣2 )﹣2 =．故答案为：．点评：此题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．三.解答题1. (2021•襄阳,第18题5分)：x =1﹣,y =1 +,求x2 +y2﹣xy﹣2x +2y的值．考点：二次根式的化简求值；因式分解的应用分析：根据x、y的值,先求出x﹣y和xy ,再化简原式,代入求值即可．解答：解：∵x =1﹣,y =1 +,∴x﹣y = (1﹣) (1 +) =﹣2,xy = (1﹣) (1 +) =﹣1 ,∴x2 +y2﹣xy﹣2x +2y = (x﹣y )2﹣2 (x﹣y ) +xy= (﹣2)2﹣2× (﹣2) + (﹣1 )=7 +4．点评：此题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用,要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．2. ( 2021•福建泉州,第19题9分)先化简,再求值：(a +2 )2 +a (a﹣4 ) ,其中a =．考点：整式的混合运算-化简求值分析：首|先利用完全平方公式和整式的乘法计算,再进一步合并得出结果,最|后代入求得数值即可．解答：解：(a +2 )2 +a (a﹣4 )=a2 +4a +4 +a2﹣4a=2a2 +4 ,当a =时,原式=2× ()2 +4 =10．点评：此题考查整式的化简求值,注意先化简,再代入求值．。

专题03 二次根式一、单选题1．（2021·取1.442 ）A ．-100B ．-144．2C ．144.2D ．-0.01442【答案】B【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．【详解】33 1.442= 33333(13-=--=-144.2=- 故选B ．【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．2．（2021·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．2=∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．3．（2021·湖北恩施州），这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：(2,==-=∴所有积中小于2的有2-两个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．4．（2021·湖南常德市）计算：11122⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2 D【答案】C【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：1⎫-⎪⎪⎝⎭=1122⋅=512- =2．故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键． 5．（2021·湖南衡阳市）下列计算正确的是（ ）A 4=±B ．()021-=C =D 3=【答案】B【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．4=，故A 选项错误，不符合题意；0(2)1-=，故B 选项正确，符合题意；C 选项错误，不符合题意；D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．6．（2021·浙江杭州市）下列计算正确的是（ ）A 2=B 2=-C 2=±D 2=± 【答案】A 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．7．（2021·上海）下列实数中，有理数是（ ）A B C D 【答案】C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】A 是无理数;BC 12为有理数;D 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键8．（2021·江苏苏州市）计算2的结果是（ ）AB ．3C ．D ．9 【答案】B【分析】直接根据二次根式的性质求解即可．【详解】解：2=3，故选B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握2(0)a a =≥是解答此题的关键． 9．（2021·甘肃武威市）下列运算正确的是（ ）A 3=B ．4=C =D 4=【答案】C 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．=A 错；=B 错；=C 2=，故D 错．故选：C ．【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键．10.（2021柳州） 下列计算正确的是（ ）= B. 3+== D. 2=【答案】C【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可【详解】A.B. 3，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C. ==D.2， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．11．（2021· ）A ．7B ．C ．D ． 【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；===B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．12．（2021湖北襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣3B ．x ≥3C ．x ≤﹣3D ．x ＞﹣3 【答案】A【分析】根据二次根式的概念，形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则x +3≥0，解得：x ≥﹣3．故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．13．（2021·浙江嘉兴市·）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．1x =B ．1x =C ．x =D ．x =【答案】C【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．【详解】解：A 、)221=3x =-B 、)221x =C 、(22=18x =，是有理数，符合题意；D 、22=5x =-C ．【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 14．（2021·重庆）下列计算中，正确的是（ ）A．21=B．2+=C=D3=【答案】C【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．【详解】解：A. =，原选项错误，不符合题意；B. 2C. =D. =C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．15．（2021·）A．4 B．4±C．D．±【答案】C()0,0,a b a b=≥≥直接化简即可得到答案．==故选：.C【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键．二、填空题1. （2021在实数范围内有意义，x的取值范围是________．【答案】1x≥-【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】10x∴+≥，1x∴≥-.故答案为：1x≥-【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．2．（2021贵阳）计算（+）（﹣）＝．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝（3+3）（﹣）＝3（+）（﹣）＝3×（3﹣2）＝3．故答案为3．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．3．（2021·天津）计算1)的结果等于_____．【答案】9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】21)19-=-=．故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．4．（2021·_______________________． 【答案】5【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.5=5，故答案为5.【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.5．（2021·有意义，则x 可取的一个数是__________．【答案】如4等（答案不唯一，3x ≥） 【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．6. （2021x 的取值范围是____________．【答案】任意实数【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解．【详解】解：∵20x ≥，∴22x ＋＞0，∴无论x∴x 的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．7．（2021·四川广安市）在函数y =x 的取值范围是___． 【答案】1x 2≥ 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负在实数范围内有意义，必须12x 10x 2-≥⇒≥．8．（2021·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =，b =则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____． 【答案】10【分析】先根据1ab =求出1111n n n S a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S 的值，再求和即可得． 【详解】解：1ab =，111111()1nn n n n n n a S a b a a b ∴=+=+++++（n 为正整数）， 11()n n n n a a a ab =+++，111n n n a a a =+++，1=， 12101S S S ===∴=，则121010S S S +++=，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．9．（2021·湖南岳阳市）已知1x x +=，则代数式1x x +=______． 【答案】0【分析】把1x x +=【详解】10x x+==故答案为：0． 【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．10．（2021·四川眉山市）观察下列等式：1311212x ===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；…… 根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______． 【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．11．（2021·x 的取值范围是________． 【答案】0x >【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：0x ≠且20x≥，∴0x >；故答案为0x >． 【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．三、解答题1．（2021·湖南长沙市）计算：(02sin 451-+°【答案】5．【分析】先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得．【详解】解：原式21=++14=+5=． 【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．2．（2021·山东临沂市）计算221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭．【答案】【分析】化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．【详解】解：221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭11112222⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎭⎭⎭⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算．3．（2021·四川遂宁市）计算：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+- ⎪⎝⎭π【答案】-3【分析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行计算即可．【详解】解：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+-- ⎪⎝⎭π(=2-=221--=3- 【点睛】本题考查了负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】
专题2整式及因式分解(共50题)
一．选择题(共18小题)
1．(2020•绥化)下列计算正确的是()
A．b2•b3＝b6B．(a2)3＝a6C．﹣a2÷a＝a D．(a3)2•a＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解析】A．b2•b3＝b5，故本选项不合题意；
B．(a2)3＝a6，故本选项符合题意；
C．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；
D．(a3)2•a＝a7，故本选项不合题意．
故选：B．
2．(2020•连云港)下列计算正确的是()
A．2x+3y＝5xy B．(x+1)(x﹣2)＝x2﹣x﹣2
C．a2•a3＝a6D．(a﹣2)2＝a2﹣4
【分析】分别根据合并同类项法则，多项式乘多项式的运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解析】A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．(x+1)(x﹣2)＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．(a﹣2)2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．
故选：B．
3．(2020•泸州)下列各式运算正确的是()。

专题11 二次根式重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含五类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算、二次根式的压轴题。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一 二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1.（南雅）在函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A. 1x ≥-B. 1x >-且12x ≠C. 1x ≥-且12x ≠D. 1x >- 【解答】解：由题意得，x +1≥0且2x ﹣1≠0，解得x ≥﹣1且x ≠．故选：C ．2.x 的取值范围是 . 【解答】解：x +1≥0，x ≠0，解得，x ≥﹣1且x ≠0，则式子有意义，则x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．3.（青竹湖）函数xx y 2-=中，自变量x 的取值范围是 . 【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4.（青竹湖）已知3y =，则yx的值为（ ） 【解答】解：由题意可得：x ＝4，则y ＝3，则的值为：．故选：C ．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 .【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6. （长郡）如果()a a 21122-=-，则（ ） A. 21<aB. 21≤aC. 21>aD. 21≥a 【解答】解：∵，∴1﹣2a ≥0，解得a ≤．故选：B ．7.（广益）若13x <<，则4x -的值为( ) A.25x -B.3-C.52x -D.3【解答】解：由题意可知：x ﹣4＜0，x ﹣1＞0，∴原式＝﹣（x ﹣4）+（x ﹣1）＝3，故选：D ．8. （长梅）已知实数a ，b 的结果是( )A.1a -B.1a --C.1a -D.1a +【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a ＜0，0＜b ＜1，则﹣﹣＝﹣a ﹣b ﹣（1﹣b ）＝﹣a ﹣1．故选：B ．9.（长郡）已知a 、b 、c 是ABC ∆a b c +-的值为( )A.2aB.2bC.2cD.()2a c -【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a ﹣b ﹣c ＜0，a +b ﹣c ＞0 ∴+|a +b ﹣c |＝b +c ﹣a +a +b ﹣c ＝2b ．故选：B ．10.（青竹湖）实践与探索（1 ，= ；（2）观察第（1）的结果填空：当0a ≥= ，当0a <= ；（3，其中23x <<.【解答】解：（1）＝3；＝5；故答案为：3，5；（2）当a ≥0时＝a ；当a ＜0时，＝﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（3）∵2＜x ＜3，∴x ﹣2＞0、x ﹣3＜0，原式＝（x ﹣2 ）﹣（x ﹣3）＝1．题型二 二次根式的乘除11.（长梅）计算：= .【解答】解：原式=12.==12. （青竹湖） = .【解答】解：原式12.=13．（青竹湖）下列各数中，与2 ）A ．2B ．2C ．2-D 【解答】解：∵（2+）×（2﹣）＝22﹣＝1，∴2+与2﹣互为有理化因式．故选：B ．14.0)x ≠的结果是（ ）A. B.- C.- D.【解答】解：由﹣x 3≥0知x ≤0，则原式＝|x |＝﹣x ，故选：D ．15.（郡维）把根号外的因式移入根号内得( )C.D.【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m ＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D ．题型三 最简二次根式16.（雅礼）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. 7B. 3C.21D. 2【解答】解：C 、∵＝＝；∴它不是最简二次根式故选：C ．17.（青竹湖）下列根式中是最简二次根式的是（ ）)0a >【解答】解：（A ）原式＝，故A 不是最简二次根式；（C ）原式＝a，故C 不是最简二次根式； （D ）原式＝2，故D 不是最简二次根式；故选：B ．18.(郡维）最简二次根式有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个【解答】解：最简二次根式有；；，故选：B ．19．）ABCD【解答】解：的被开方数是3，而、＝2、的被开方数分别是5、2、2，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A 、B 、D 都不符合题意．＝2的被开方数是3，与是同类二次根式，能合并，即选项C 符合题意．故选：C ．20.a =________. 【解答】解：∵＝2，∴a +1＝2，∴a ＝1；故答案为：1．题型四 二次根式的混合运算21.（广益）已知1m =，1n =223m n mn ++= . 【解答】解：原式=22()2(1) 2.m n mn ++=+=22.（雅礼）（1）1213212-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+（2）348312123÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. 【解答】解：(1)原式=;323232=--+（2）原式＝（3×2﹣2×+4）÷＝（6﹣+4）÷＝（6﹣+4）÷＝．23.0((3)π+- 【解答】解：原式=110.+=24.（广益）计算： ()220160112π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【解答】解：原式=14225+-+=-25.（雅境）计算：(1)(2)计算：)21+.【解答】解：（1）原式=3=（（2）原式=52317-+-=-26.（雅实）已知a =b =求值：（1）b aa b+； （2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b abab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=27.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a aba ab b a b +-÷++-，其中2a =2b =。

专题04 分式和分式方程一、单选题1．（2021·湖南中考真题）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm 的光刻机难题，其中1nm 0.000000001m =，则7nm 用科学记数法表示为（ ） A ．80.710m ⨯ B ．8710m -⨯ C ．80.710m -⨯ D ．9710m -⨯【答案】D【分析】由题意易得nm 0.000000007m 7=，然后根据科学记数法可直接进行求解．【详解】解：由题意得：nm 0.000000007m 7=，∴7nm 用科学记数法表示为9710m -⨯，故选D ．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．2．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义12a b a b ⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（）A ．15x =B ．25x =C ．35x = D ．45x =【答案】B【分析】根据新定义,变形方程求解即可【详解】 ∵12a b a b ⊗=+,∴342x ⊗=⊗变形为1123242x ⨯+=⨯+, 解得25x = ， 经检验25x = 是原方程的根，故选B【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键二、填空题3．（2021·湖南岳阳市·中考真题）要使分式51x -有意义，则x 的取值范围为_________． 【答案】x ≠1【解析】由题意得x -1≠0,∴x ≠1.故答案为x ≠1.4．（2021·有意义的x 的取值范围是________． 【答案】0x >【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：0x ≠且20x≥， ∴0x >；故答案为0x >．【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键． 5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=， 400x =，经检验，400x =是原方程的解，∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程．6．（2021·湖南衡阳市·中考真题）计算：11+a a a -=_____ 【答案】1【详解】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．解：原式=11a a-+=1． 故答案为1．本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 7．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x =【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可．【详解】 解：1121(1)x x x x x ++=-- 通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠，∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =．【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．三、解答题8．（2021·湖南常德市·中考真题）化简：2593111a a a a a a ++⎛⎫+÷⎪---⎝⎭ 【答案】31a a ++ 【分析】直接将括号里面的分式，通分运算进而结合分式的混合运算法则，计算得出答案．【详解】 2593111a a a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭ 222591=113a a a a a a a ++-⨯--+(+) 2691=(1)(1)3a a a a a a ++-⨯+-+ 2(3)1=(1)(1)3a a a a a +-⨯+-+ 31a a +=+ 故答案为：31a a ++． 【点睛】本题考查了分式的化简，分式的通分，因式分解，平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算，熟练运用公式和分式的计算法则是解题关键．9．（2021·湖南株洲市·中考真题）先化简，再求值：2223142x x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =．【答案】12x -+，【分析】 先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可．【详解】解：原式=()()223231222222x x x x x x x x x -⋅-=-=-+++-++，把2x =代入得：原式=2=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．10．（2021·湖南怀化市·中考真题）先化简，再求值：221262443x x x x x x x+-+⋅-++，其中2x =．【答案】122x - 【分析】 先将乘法部分因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．【详解】解：原式=()()()()()223121222132222x x x x x x x x x x x x x +--++⨯=+==+----当2x =时，原式=122x ===-故答案是：122x -． 【点睛】 本题考察分式的化简求值、因式分解和分母有理化，题目难度不大，属于基础计算题．解题的关键是掌握分式的计算法则．11．（2021·湖南中考真题）先化简，再求值：23219a a a ⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，其中2a =． 【答案】23a -，2-． 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后将2a =代入求值即可得．【详解】 解：原式32(3)(3)a a a a a a ⎛⎫+⋅+= ⎪-⎝⎭， 32(3)(3)a a a a a +=+⋅-， 23a =-， 将2a =代入得：原式222323a ===---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．12．（2021·湖南娄底市·中考真题）先化简，再求值：23210119x x x x --⎛⎫⋅- ⎪--⎝⎭，其中x 是1,2,3中的一个合适的数． 【答案】13x x -+，15． 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可．【详解】 解：23210119x x x x --⎛⎫⋅- ⎪--⎝⎭ 2392101(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x ⎡⎤---=⋅-⎢⎥-+-+-⎣⎦ 23211(3)(3)x x x x x x --+=⋅-+-23(1)1(3)(3)x x x x x --=⋅-+- 13x x -=+， ∵1x ≠，3x ≠±，∴2x =， 原式211235-==+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．13．（2021·湖南张家界市·中考真题）先化简2222424421a a a a a a a a a ---++++-÷，然后从0，1，2，3中选一个合适的a 值代入求解．【答案】2a ，6【分析】将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a 的取值不能使原算式的分母及除数为0．【详解】解：原式()2(2)(2)(2)(1)212a a a a a a a a a -++-=⨯+--+ 2a =因为a =0，1，2时分式无意义，所以3a =当3a =时，原式6=【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a 的取值不能使原算式的分母及除数为0．14．（2021·湖南中考真题）先化简，再求值：2213111a a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭，其中a =【答案】2【分析】 先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可．【详解】原式=2213111a a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭=131(1)(1)(1)1a a a a a a a ⎛⎫----⋅ ⎪++-⎝⎭=()()2131(1)(1)(1)(1)1a a a a a a a a a a ⎛⎫----⋅ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭=()()2131(1)(1)1a a a a a a a ----⋅+- =222131(1)(1)1a a a a a a a a -+-+-⋅+- =11(1)(1)1a a a a a +-⋅+- =1a， 原式2=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．15．（2021·湖南邵阳市·中考真题）先化简，再从1-，0，1，21中选择一个合适的x 的值代入求值．2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭． 【答案】1;11x --（答案不唯一） 【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简，再结合分式有意义的条件和除数不为0，即可代值计算．【详解】 解：原式()()()()()()2211111=1111111x x x x x x x x x x x +++-⨯=⨯=++-++--代数式有意义，分母和除数不为0∴()()110x x +-≠即1x ≠±∴当0x =时，原式=111101x ==---（答案不唯一）． 【点睛】本题考察分式的化简求值、分式有意义的条件、因式分解和分母有理化，属于基础题，难度不大．解题的关键是掌握分式的运算法则和分式有意义的条件．16．（2021·湖南永州市·中考真题）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A ，B 两种经济作物．预计B 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A 种经济作物年总产值20万元，B 种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A ，B 两种经济作物应各种植多少亩？【答案】2022年A ，B 两种经济作物分别种植20亩和10亩【分析】设A ，B 两种经济作物分别种植x 和(30-x )亩，根据B 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2万元，建立分式方程即可求解．【详解】解：设2022年A ，B 两种经济作物分别种植x 和(30-x )亩，由题意可知：A 种经济作物亩产值为20x万元， B 种经济作物亩产值为3030x万元， 由“B 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2万元”可知：3030x =20x+2， 解得：20x 或15x =-(负值舍去)，经检验，当20x时原分式方程的分母不为0， 故2022年A ，B 两种经济作物分别种植20亩和10亩．【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是要审题仔细，找到题中隐藏的等量关系进而建立方程求解． 17．（2021·湖南岳阳市·中考真题）星期天，小明与妈妈到离家16km 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．【答案】妈妈开车的平均速度是48km/h ．【分析】设妈妈开车的平均速度为x km/h ，根据小明行驶的时间比妈妈多用1小时列出方程，求解并检验可得结论．【详解】解：设妈妈开车的平均速度为x km/h ，则小明的速度为4x km/h ，根据题意得， 161614x x -=解得，48x =经检验，48x =是原方程的根，答：妈妈开车的平均速度是48km/h ．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系“小明用时-1=妈妈用时”是解答此题的关键．18．（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．（1）求A ，B 奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．预算资金且购买A 奖品的资金不少于．．．720元，A ，B 两种奖品共100件．求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？【答案】（1）A ，B 奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A 奖品23件，B 奖品77件；购买A 奖品24件，B 奖品76件；购买A 奖品25件，B 奖品75件．【分析】（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买B奖品的数量是A奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解；（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．【详解】（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，由题意得：8001700800325x x-⨯=+，解得：x=15，经检验：x=15是方程的解，且符合题意，15+25=40，答：A，B奖品的单价分别是40元，15元；（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，由题意得：400.8150.8(100)1700400.8720a aa⨯+⨯-≤⎧⎨⨯≥⎩，解得：22.5≤a≤25，∵a取正整数，∴a=23，24，25，答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题的关键．。

二次根式一.选择题1.〔2021•淄博第4题,4分〕x=，y=，那么x2+xy+y2的值为〔〕A． 2 B． 4 C． 5 D． 7考点：二次根式的化简求值．.分析：先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可．解答：解：原式=〔x+y〕2﹣xy=〔+〕2﹣×=〔〕2﹣=5﹣1=4．应选B．点评：此题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法那么是解答此题的关键．2．(2021•江苏南京,第5题3分)估计介于〔〕A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间【答案】C．【解析】试题分析：∵≈2.235，∴≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间，应选C．考点：估算无理数的大小．3. 〔2021•浙江滨州,第1题3分〕数5的算术平方根为( )A. 5B.25C.±25D.±5【答案】A考点：算术平方根4. 〔2021•浙江滨州,第4题3分〕如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的选项是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：先根据二次根式的意义，其有意义的条件是被开方数大于等于0，因此可得2x+6≥0，可解不等式得x≥－3，因此可在数轴上表示为C.应选C考点：二次根式的意义，不等式的解集5. 〔2021•绵阳第6题，3分〕要使代数式有意义，那么x的〔〕A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是考点：二次根式有意义的条件．.分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：解：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤．应选：A．点评：此题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．6. 〔2021•四川省内江市，第5题，3分〕函数y=+中自变量x的取值范围是〔〕A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．.分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．应选：B．点评：此题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．7.〔2021•四川凉山州,第5题4分〕以下根式中，不能与合并的是〔〕A．B．C．D．【答案】C．考点：同类二次根式．8．〔2021•安徽省,第2题，4分〕计算8×2的结果是〔〕A．10 B．4 C． 6 D．2考点：二次根式的乘除法．.分析：直接利用二次根式的乘法运算法那么求出即可．解答：解：×==4．应选：B．点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．9．〔2021•山东日照，第2题3分〕〕的算术平方根是〔〕A． 2 B． ±2 C．D． ±考点：算术平方根．.专题：计算题．分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．解答：解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，应选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否那么容易出现选A的错误．10．〔2021·四川甘孜、阿坝，第4题4分〕使二次根式的有意义的x的取值范围是〔〕A．x＞0 B．x＞1 C．x≥1D．x≠1考点：二次根式有意义的条件．.分析：根据中a≥0得出不等式，求出不等式的解即可．解答：解：要使有意义，必须x﹣1≥0，解得：x≥1．应选C．点评：此题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式的应用，解此题的关键是得出关于x的不等式，难度适中．11．〔2021·山东潍坊第8 题3分〕假设式子+〔k﹣1〕0有意义，那么一次函数y=〔k ﹣1〕x+1﹣k的图象可能是〔〕A． B． C． D．考点：一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．.分析：首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0=1〔a≠0〕，判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=〔k﹣1〕x+1﹣k的图象可能是哪个即可．解答：解：∵式子+〔k﹣1〕0有意义，∴解得k＞1，∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，∴一次函数y=〔k﹣1〕x+1﹣k的图象可能是：．应选：A．点评：〔1〕此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，〔0，b〕在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，〔0，b〕在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．〔2〕此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1〔a≠0〕；②00≠1．〔3〕此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．12．〔2021·山东潍坊第5 题3分〕以下运算正确的选项是〔〕A．+=B． 3x2y﹣x2y=3C．=a+b D．〔a2b〕3=a6b3考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；约分；二次根式的加减法．.分析：A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可．B：根据合并同类项的方法判断即可．C：根据约分的方法判断即可．D：根据积的乘方的运算方法判断即可．解答：解：∵，∴选项A不正确；∵3x2y﹣x2y=2x2y，∴选项B不正确；∵，∴选项C不正确；∵〔a2b〕3=a6b3，∴选项D正确．应选：D．点评：〔1〕此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①〔a m〕n=a mn〔m，n是正整数〕；②〔ab〕n=a n b n〔n是正整数〕．〔2〕此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法那么去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．〔3〕此题还考查了合并同类项，以及约分的方法的应用，要熟练掌握．13．〔2021•四川广安，第3题3分〕以下运算正确的选项是〔〕A．5a2+3a2=8a4B．a3•a4=a12 C．〔a+2b〕2=a2+4b2 D．﹣=﹣4考点：完全平方公式；立方根；合并同类项；同底数幂的乘法．.分析：根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可．解答：解：A、5a2+3a2=8a2，错误；B、a3•a4=a7，错误；C、〔a+2b〕2=a2+4ab+4b2，错误；D、，正确；应选D．点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法那么计算．14.〔2021•江苏徐州,第4题3分〕使有意义的x的取值范围是〔〕A．x≠1B．x≥1C．x＞1 D．x≥0考点：二次根式有意义的条件．.分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：解：∵有意义，∴x﹣1≥0，即x≥1．应选B．点评：此题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．15.〔2021•江苏徐州,第2题3分〕以下计算正确的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：A、=2－=，正确；B、a6÷a3=a3，故错误；C、〔a+b)2=a2+2ab+b2，故错误；D、2a+5b不能合并，故错误；应选A.考点：1、二次根式的加减法；2.同底数幂的除法；3.完全平方公式；4.单项式的加法.16.〔2021•山东聊城,第14题3分〕计算：〔+〕2﹣=5．考点：二次根式的混合运算．.分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算．解答：解：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：此题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．17．〔2021·湖北省武汉市，第2题3分〕假设代数式2x在实数范围内有意义，那么x的取值范为是〔〕A．x≥－2 B．x＞－2 C．x≥2D．x≤21.C【解析】二次根式有意义，被开方数是非负数，故x－2≥0，x大于等于2.备考指导：代数式有意义的条件，一般从三个方面考虑：〔1〕当表达式是整式时，可取全体实数；〔2〕当表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；〔3〕当表达式是二次根式时，被开方数非负．18．〔2021·湖南省衡阳市，第5题3分〕函数中自变量的取值范围为〔〕．A．B．C．D．二.填空题1.〔2021上海,第8题4分〕方程2-x的解是_______________．23=【答案】x=2【解析】两边平方，得：3x－2＝4，解得：x＝22.〔2021•淄博第2题,4分〕计算：=．考点：二次根式的乘除法．.分析：根据二次根式的乘法法那么计算．解答：解：原式===3．故填3．点评：主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法那么=．3．〔2021·湖南省衡阳市，第15题3分〕计算：．4．〔2021·湖南省益阳市，第8题5分〕计算：=4．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用二次根式的乘法法那么计算，将结果化为最简二次根式即可．解答：解：原式===4．故答案为：4点评：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．5．(2021•江苏南京,第7题3分)4的平方根是，算术平方根是．【答案】±2；2．考点：1．算术平方根；2．平方根．6．(2021•江苏南京,第8题3分)假设式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是_________．【答案】．【解析】试题分析：根据题意得：x+1≥0，解得，故答案为：．考点：二次根式有意义的条件．7．(2021江苏南京,第9题3分)计算的结果是____________ ．【答案】5．考点：二次根式的乘除法．8.〔2021湖南邵阳第13题3分〕以下计算中正确的序号是③．①2﹣=2；②sin30°=；③|﹣2|=2．考点：二次根式的加减法；绝对值；特殊角的三角函数值．.分析：根据二次根式的加减法、三角函数值、绝对值，即可解答．解答：解：①2﹣=，故错误；②sin30°=，故错误；③|﹣2|=2，正确．故答案为：③．点评： 此题考查了二次根式的加减法、三角函数值、绝对值，解决此题的关键是熟记相关法那么．9.〔2021湖北鄂州第11题3分〕假设使二次根式有意义，那么x 的取值范围是 ．【答案】x ≥2． 【解析】考点：二次根式有意义的条件3m10.〔2021•福建泉州第8题4分〕比拟大小：4 ＞ 〔填“＞〞或“＜〞〕解：4=， ＞， ∴4＞，故答案为：＞．11．〔2021•四川资阳,第14题3分〕：()226230a b b ++--=，那么224b b a --的值为_________．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.分析：首先根据非负数的性质可求出a 的值，和2b 2﹣2b =6，进而可求出2b 2﹣4b ﹣a 的值．解答：解：∵〔a +6〕2+=0，∴a +6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a =﹣6，b 2﹣2b =3，可得2b 2﹣2b =6，那么2b 2﹣4b ﹣a =6﹣〔﹣6〕=12，故答案为12．12、〔2021•四川自贡,第11题42= .考点：绝对值、无理数、二次根式2值得正负，再根据绝对值的意义化简.略解：2 20< 22=13、〔2021•四川自贡,第12题4分〕假设两个连续整数x y 、 满足x 1y <<，那么x y +的值是 .考点：无理数、二次根式、求代数式的值.1值是在哪两个连续整数之间.略解：∵23 ∴314< ∴,x 3y 4== ∴x y 347+=+=；故应填 7 .点评：此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式〔算术平方根〕．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．14.〔2021•四川乐山,第12题3分〕函数的自变量x的取值范围是．【答案】．【解析】试题分析：根据题意得，，解得．故答案为：．考点：函数自变量的取值范围．15. 〔2021•四川眉山，第14题3分〕计算：2=﹣．考点：二次根式的加减法．.分析：把化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．解答：解：2﹣=2﹣3=〔2﹣3〕=﹣，故答案为：﹣．点评：此题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．16. 〔2021•四川成都,第21题4分〕比拟大小：51-________58.〔填"">，""<，或""=〕【答案】：<【解析】51-为黄金数，约等于0.618，50.6258=，显然前者小于后者。

ɦ３．２㊀新定义运算ʌ题型概述ɔ新定义运算类问题是通过文字㊁符号或图形的形式定义一种全新的概念,学生只有理解其内容,把握其本质,才可能会正确解答试题中的问题．解答问题时,要善于挖掘定义的内涵和本质,并能够用旧知识对新定义进行合理解释,进而将陌生转化为熟悉的知识去理解和解答．ʌ典题演示ɔʌ例１ɔ㊀(２０１２ 上海)我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为２,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为㊀㊀㊀㊀．ʌ思路点拨ɔ设等边三角形的中线长为a ,则其重心到对边的距离为１３a ．由它们的一边重合时(如图(１)),重心距为２,得２３a ＝２,解得a ＝３．当它们的一对角成对顶角时(如图(２)),中心距＝４３a ＝４３ˑ３＝４．(１)㊀(２)ʌ完全解答ɔ４．ʌ归纳交流ɔ先设等边三角形的中线长为a ,再根据三角形重心的性质求出a 的值,进而可得出结论．本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质,即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为２ʒ１．ʌ例２ɔ㊀(２０１２ 湖南张家界)阅读材料:对于任何实数,我们规定符号a ㊀bc ㊀d 的意义是a ㊀b c ㊀d ＝a d －b c ．例如:１㊀２３㊀４＝１ˑ４－２ˑ３＝－２,－２㊀４３㊀㊀５＝(－２)ˑ５－４ˑ３＝－２２．(１)按照这个规定,请你计算５㊀６７㊀８的值;(２)按照这个规定,请你计算:当x ２－４x ＋４＝０时,x ＋１㊀２x x －１㊀２x －３的值．ʌ思路点拨ɔ本题的阅读材料取材于高等数学中的 行列式 ,取材虽新,但解答过程并不难,主要考查即学即用能力．由定义, ㊀ 实质上表示的是一种积差运算．ʌ完全解答ɔ(１)５㊀６７㊀８＝５ˑ８－７ˑ６＝－２;(２)由x ２－４x ＋４＝０,得(x －２)２＝４,得㊀x ＝２．ʑ㊀x ＋１㊀２xx －１㊀２x －３＝３㊀４１㊀１＝３ˑ１－４ˑ１＝－１．ʌ归纳交流ɔ这是一道定义新法则的阅读理解题．记号叫什么与怎样解的关系不大,把陌生的符号 ㊀ 转化为熟悉的四则运算才是关键．ʌ名题选练ɔ一㊁选择题１．(２０１２ 湖北随州)定义:平面内的直线l １与l ２相交于点O ,对于该平面内任意一点M ,点M 到直线l １,l ２的距离分别为a ,b ,则称有序非实数对(a ,b )是点M 的 距离坐标 ,根据上述定义,距离坐标为(２,３)的点的个数是(㊀㊀)．A．２㊀㊀B ．１㊀㊀C ．４㊀㊀D．３２．(２０１２ 四川宜宾)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是抛物线的切线．有下列命题:①直线y ＝０是抛物线y ＝１４x ２的切线;②直线x ＝－２与抛物线y ＝１４x ２相切于点(－２,１);③直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝１４x ２相切,则相切于点(２,１);④若直线y ＝k x －２与抛物线y ＝１４x ２相切,则实数k ＝２．其中正确命题的是(㊀㊀)．A．①②④B ．①③C ．②③D．①③④３．(２０１２ 贵州六盘水)定义:f (a ,b )＝(b ,a ),g (m ,n )＝(－m ,－n )．例如f (２,３)＝(３,２),g (－１,－４)＝(１,４)．则g [f (－５,６)]等于(㊀㊀)．A．(－６,５)B ．(－５,－６)C ．(６,－５)D．(－５,６)４．(２０１２ 浙江嘉兴)定义一种 十位上的数字比个位㊁百位上的数字都要小 的三位数叫做 V 数 ,如 ９４７ 就是一个 V 数 ．若十位上的数字为２,则从１,３,４,５中任选两数,能与２组成 V 数 的概率是(㊀㊀)．A．１４㊀㊀B ．３１０㊀㊀C ．１２㊀㊀D．３４二㊁填空题５．(２０１２ 湖北荆门)新定义:[a ,b ]为一次函数y ＝a x ＋b (a ʂ０,a ,b 为实数)的 关联数 ．若 关联数 [１,m －２]的一次函数是正比例函数,则关于x 的方程１x －１＋１m＝１的解为㊀㊀㊀㊀．６．(２０１２ 山东菏泽)将４个数a ,b ,c ,d 排成２行㊁２列,两边各加一条竖直线记成a ㊀㊀b c ㊀㊀d ,定义a ㊀㊀b c ㊀㊀d ＝a d －b c ,上述记号就叫做２阶行列式．若x ＋１㊀１－x １－x ㊀x ＋１＝８,则x ＝㊀㊀㊀㊀．７．(２０１２ 湖南株洲)若(x １,y １) (x ２,y ２)＝x １x ２＋y １y ２,则(４,５) (６,８)＝㊀㊀㊀㊀．８．(２０１２ 浙江台州)请你规定一种适合任意非零实数a ,b 的新运算 a ⊕b ,使得下列算式成立:１⊕２＝２⊕１＝３,第三章㊀开放探究与新定义运算(－３)⊕(－４)＝(－４)⊕(－３)＝－７６,(－３)⊕５＝５⊕(－３)＝－４１５, ,你规定的新运算a ⊕b ＝㊀㊀㊀㊀．(用a ,b 的一个代数式表示)三㊁解答题９．(２０１２ 贵州铜仁)如图,定义:在直角三角形A B C 中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作c o t α,即c o t α＝角α的邻边角α的对边＝A C B C ,根据上述角的余切定义,解下列问题:(１)c o t ３０ʎ＝㊀㊀㊀㊀;(２)如图,已知t a n A ＝３４,其中øA 为锐角,试求c o t A 的值．(第９题)１０．(２０１２ 湖北孝感)我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图,在四边形A B C D 中,E ㊁F ㊁G ㊁H 分别是边A B ㊁B C ㊁C D ㊁D A 的中点,依次连接各边中点得到中点四边形E F G H ．(１)这个中点四边形E F G H 的形状是㊀㊀㊀㊀;(２)请证明你的结论．(第１０题)１１．(２０１２ 江苏无锡)对于平面直角坐标系中的任意两点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２),我们把|x １－x ２|＋|y １－y２|叫做P １㊁P ２两点间的直角距离,记作d (P １,P ２)．(１)已知O 为坐标原点,动点P (x ,y )满足d (O ,P )＝１,请写出x 与y 之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形;(２)设P ０(x ０,y ０)是一定点,Q (x ,y )是直线y ＝a x ＋b 上的动点,我们把d (P ０,Q )的最小值叫做P ０到直线y ＝a x ＋b 的直角距离．试求点M (２,１)到直线y ＝x ＋２的直角距离．(第１１题)１２．(２０１２ 福建厦门)如图,在平面直角坐标系中,已知点A (２,３)㊁B (６,３),连接A B ．如果点P 在直线y ＝x －１上,且点P 到直线A B 的距离小于１,那么称点P 是线段A B 的 临近点 ．(１)判断点C ７２,５２()是否是线段A B 的 临近点 ,并说明理由;(２)若点Q (m ,n )是线段A B 的 临近点 ,求m 的取值范围．(第１２题)１３．(２０１２ 江苏常州)平面上有两条直线A B ㊁C D 相交于点O ,且øB O D ＝１５０ʎ(如图),现按如下要求规定此平面上点的 距离坐标 :(１)点O 的 距离坐标 为(０,０);(２)在直线C D 上,且到直线A B 的距离为p (p ＞０)的点的 距离坐标 为(p ,０);在直线A B 上,且到直线C D 的距离为q (q ＞０)的点的 距离坐标 为(０,q );(３)到直线A B ㊁C D 的距离分别为p ,q (p ＞０,q ＞０)的点的 距离坐标 为(p ,q )．设M 为此平面上的点,其 距离坐标 为(m ,n ),根据上述对点的 距离坐标 的规定,解决下列问题:(１)画出图形(保留画图痕迹):①满足m ＝１,且n ＝０的点M 的集合;②满足m ＝n 的点M 的集合;(２)若点M 在过点O 且与直线C D 垂直的直线l 上,求m 与n 所满足的关系式．(说明:图中O I 长为一个单位长)(第１３题)㊀(备用图)。

专题01 数与式一、单选题1．（2021·湖北荆州市）若等式22a a ⋅+（ ）=33a 成立，则括号中填写单项式可以是（ ） A ．a B ．2a C ．3a D ．4a【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解．【详解】解：∵33a -22a a ⋅=33a -32a =3a ，∴等式22a a ⋅+（ 3a ）=33a 成立，故选C ．【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键．2．（2021·湖北宜昌市）在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．16【答案】C【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π2个， ∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是2163=， 故选：C ．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．3．（2021·湖北荆州市）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠D ．54k ≥ 【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴()()21520k x k x ++-=．整理得，()2520kx k x k +-+=． ∵方程有两个实数根，∴判别式0≥且0k ≠．由0≥得，()225240k k --≥， 解得，54k ≤． ∴k 的取值范围是54k ≤且0k ≠． 故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．4．（2021·湖北荆州市）在实数1-，0，12 ）A ．1-B ．0C ．12D 【答案】D【分析】根据无理数的定义，即可求解．【详解】解：在实数1-，0，12故选D．【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握“无限不循环小数是无理数”，是解题的关键．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780 万用科学计数法表示为（）A．8⨯D．65.78010⨯5.780105.78010⨯B．657.8010⨯C．7【答案】C【分析】把5780万表示成57800000再用科学计数法表示出来即可．【详解】5780万7==⨯57800000 5.78010故选C．【点睛】本题考查了科学计数法，根据科学记数法的表示形式准确的表示出原数是解题关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．q=，则p的值为（）6．（2021·湖北随州市）根据图中数字的规律，若第n个图中的143A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7．（2021·湖北随州市）下列运算正确的是（ ）A ．22a a -=-B ．235a a a +=C ．236a a a ⋅=D ．()326a a =【答案】D【分析】根据负指数运算法则可判断A ，根据同类项的定义可判断B ，根据同底数幂的乘法可判断C ，根据幂的乘方可判断D【详解】A . 2221aa a -=≠-，故选项A 计算不正确； B . 2a 与3a 不是同类项不能合并，235a a a +≠，故选项B 计算不正确；C . 232356a a a a a +⋅==≠，故选项C 计算不正确；D . ()23236a a a ⨯==，故选项D 正确．故选择D ．【点睛】本题考查负整指数运算，同类项识别与合并，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握负整指数运算，同类项识别与合并，同底数幂的乘法，幂的乘方是解题关键．8．（2021·湖北随州市）从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（ ）A ．65.710⨯B ．65710⨯C ．75.710⨯D ．80.5710⨯【答案】C【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如,11001,na n a <⨯<为正整数，据此解题． 【详解】解：5700万=57000000，用科学记数法可表示为75.710⨯，故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：(2,==-=∴所有积中小于2的有2-两个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．10．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）下列运算正确的是（ ）A ．32734a a a -=B ．()325a a =C ．632a a a ÷=D ．2(1)a a a a --+=-【答案】D【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项及单项式乘多项式可直接进行排除选项．【详解】解：A 、37a 与23a 不是同类项，所以不能运算，错误，故不符合题意；B 、()326a a =，错误，故不符合题意；C 、633a a a ÷=，错误，故不符合题意；D 、2(1)a a a a --+=-，正确，故符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项及单项式乘多项式，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项及单项式乘多项式是解题的关键．11．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）-6的相反数是（）A．-6B．6C．6±D．1 6【答案】B【分析】根据相反数的代数意义：只有符号不同的两个数,互为相反数，即可得出结论．【详解】-6的相反数是6．故选B.【点睛】本题考查了相反数的意义，理解相反数意义是解题的关键．12．（2021·湖北宜昌市）2021年5月15月07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（）A．25.4610⨯B．35.4610⨯C．65.4610⨯D．75.4610⨯【答案】D【分析】先将“万公里”换算为“公里”，然后按科学记数法的形式和要求进行改写即可．【详解】解：∵5460万=54600000，∴754600000 5.4610=⨯．故选：D【点睛】本题考查了科学记数法的知识点，熟知科学记数法的形式和要求是解题的关键，尤其是10的指数与原整数位数的关系更为重要．13．（2021·湖北宜昌市）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a 米（6a >）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）A ．没有变化B ．变大了C ．变小了D ．无法确定【答案】C 【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．【详解】原来的土地面积为2a 平方米，第二年的面积为2(6)(6)36a a a +-=-22(36)360a a --=-<∴ 所以面积变小了，故选C ．【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．14．（2021·湖北宜昌市）下列运算正确的是（ ）A ．336x x x +=B ．3332x x x -=C ．()235x x =D ．339x x x ⋅=【答案】B【分析】利用合并同类项法则，可判断A 、B ，利用幂的乘方法则，可判断C ，利用同底数幂的乘法法则，可判断D ．【详解】解：A 、3332x x x +=，故本选项错误；B 、3332x x x -=，故本选项正确；C 、()236x x =，故本选项错误；D 、336x x x ⋅=，故本选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则等知识点，题目难度不大，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．15．（2021·湖北十堰市）下列计算正确的是（ ）A ．3332a a a ⋅=B ．22(2)4a a -=C ．222()a b a b +=+D ．2(2)(2)2a a a +-=-【答案】B【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．【详解】解：A ．336a a a ⋅=，该项计算错误；B ．22(2)4a a -=，该项计算正确；C ．222()2a b a ab b +=++，该项计算错误；D ．2(2)(2)4a a a +-=-，该项计算错误；故选：B ．【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．16．（2021·湖北黄冈市）下列计算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．32a a a ÷=C ．326326a a a ⋅=D ．22(2)4a a -=-【答案】B【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得．【详解】A 、3a 与2a 不是同类项，不可合并，此项错误；B 、32a a a ÷=，此项正确；C 、325326a a a ⋅=，此项错误；D 、22(2)44a a a -=-+，此项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键． 17．（2021·湖北黄冈市）2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ）A ．74710⨯B ．74.710⨯C ．84.710⨯D ．90.4710⨯【答案】C【分析】根据科学记数法的定义即可得．【详解】科学记数法：将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，则8470000000 4.710=⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．18．（2021·湖北武汉市）计算()32a -的结果是（ ）A ．6a -B ．6aC ．5a -D ．5a【答案】A【分析】运用幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可．【详解】解：()()()3332621a a a --==-． 故选A ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．19．（2021·湖北随州市）2021的相反数是（ ）A ．2021-B ．2021C ．12021-D ．12021【答案】A【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【详解】解：2021的相反数是：-2021．故选：A．【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．20．（2021·湖北黄冈市）3-的相反数是（）A．13-B．13C．3D．3-【答案】C【分析】依据相反数的定义求解即可．【详解】解：-3的相反数是3．故选：C．【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．21．（2021·湖北宜昌市）2021-的倒数是（）A．2021B．12021C．2021-D．12021-【答案】D【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．【详解】解：-2021的倒数为：1 2021 -，故选：D．【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．22．（2021·湖北武汉市）3的相反数是（）A．3B．-3C．13D．13-【答案】B【分析】根据相反数的定义进行解答即可．【详解】解：3的相反数是-3，故选B．【点睛】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．23．（2021·湖北十堰市）12-的相反数是（ ） A ．2- B ．2 C ．12- D ．12【答案】D【详解】因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12. 故选D.二、填空题24．（2021·湖北荆州市）已知：(1012a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b =，_____________． 【答案】2【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a 的值，利用平方差公式，求出b 的值，进而即可求解．【详解】解：∵(1012213a -⎛⎫=+ =⎪+⎝=⎭，221b ==-=，2=，故答案是：2．【点睛】本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键． 25．（2021·湖北随州市）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：227（约率）和355113（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （即有bd x a c <<，其中a ，b ，c ，d 为正整数），则b d a c ++是x 的更为精确的近似值．例如：已知15722507π<<，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：1572217950757+=+；由于179 3.140457π≈<，再由17922577π<<，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数……现已知7352<<，则使用两次“调日法”______． 【答案】1712【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：107，所以71057<<，根据第二次“调日法”进行计算即可. 【详解】解：∵7352<< ∴第一次“调日法”，结果为：7+310=5+27∵10 1.42867≈>∴71057<∴第二次“调日法”，结果为：7+1017=5+712故答案为：1712【点睛】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点．26．（2021·()012021π+-=______．【分析】的符号，再根据绝对值的定义及零指数幂的意义即可完成．【详解】()01202111π+-=+=【点睛】本题考查了算术平方根据的估值，绝对值的意义，零指数幂的意义等知识，关键是掌握绝对值的意义和零指数幂的意义，并能对算术平方根正确估值．27．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；1 第一行5 12 第二行22 35 51 第三行… … … … …观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为__________．【答案】1335【分析】分析表格中的图形和五边形数之间的规律，再找到排成数表中五边形数和行数之间的规律．【详解】解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有()()1+12n nn n+⋅-个点，化简得232n n-，即第n个图形的五边形数为232n n-．分析排成数表，结合图形可知：第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数；第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数；第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数；第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数；…∴第n 行从左至右第1个数，是第()11+2n n - 个图形的五边形数． ∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数．第30个图形的五边形数为：22333030=133522n n -⨯-=． 故答案为：1335．【点睛】本题是找规律题，解此题的关键是分析表格中的图形个数与五边形数，排成数表中的五边形数和行数，得出规律．28．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）分解因式：2a ax -=__________．【答案】()()11a x x +-【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()22111a ax a x a x x -=-=+-；故答案为()()11a x x +-．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．29．（2021·湖北宜昌市）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km 气温的变化量为6C -︒，攀登2km 后，气温下降__________C ︒．【答案】12【分析】根据题意知，气温变化量为6C -︒乘以攀登高度，即可求解．【详解】根据 “每登高1km 气温的变化量为6C -︒”知：攀登2km 后,气温变化量为：6212-⨯=-下降为负：所以下降12C ︒故答案为：12．【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．30．（2021·湖北十堰市）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=， 故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．31．（2021·湖北十堰市）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000科学记数法表示为_________．【答案】91.41210⨯【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解．【详解】解：1412000000用科学记数法表示为91.41210⨯，故答案为：91.41210⨯．【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．32．（2021·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =，b =则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．【答案】10【分析】先根据1ab =求出1111n n n S a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S 的值，再求和即可得．【详解】解：1ab =，111111()1nn n n n n n a S a b a a b ∴=+=+++++（n 为正整数）， 11()nn n n a a a ab =+++， 111nn n a a a =+++， 1=，12101S S S ===∴=，则121010S S S +++=，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．33．（2021·在实数范围内有意义，则a的取值范围是____．a≥-【答案】2【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得．【详解】a+≥，解：由二次根式的被开方数为非负数得：20a≥-，解得2a≥-．故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．34．（2021·_______________________．【答案】5【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.【详解】5=5，故答案为5.【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.三、解答题35．（2021·湖北荆州市）先化简，再求值：2221211a a a a a ++⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中a =【答案】1a a + 【分析】先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把a =【详解】解：原式=()()21111a a a a a ++⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭()()211=1+1a a a a a +-⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=a a +当a =6【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．36．（2021·湖北随州市）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =．【答案】22x -，-2 【分析】（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可．【详解】 解：原式()()()21221222x x x x x x ++=⋅=++-- 当1x =时，原式2212==-- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，用到的知识是约分、分式的加减，熟练掌握法则是解题的关键．37．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）先化简，再求值：222414816a a a a a ---÷+++，其中2a =．【答案】22-+a ，【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．【详解】解：原式=()()()242421142222a a a a a a a a +-+-+-⨯=-=-+++；把2a =代入得：原式==【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键． 38．（2021·湖北宜昌市）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值． 【答案】11x -，1或12 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可．【详解】 解：原式21(1)(1)(1)1x x x x =⋅+--+- 11x =-． ∵x 2﹣1≠0，∴当2x =时，原式1=．或当3x =时，原式12=．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 39．（2021·湖北十堰市）化简：22214244a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭．【答案】21(2)a - 【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解．【详解】解：原式=221(2)(2)4a a a a a a a ⎛⎫+--⋅ ⎪---⎝⎭=()()()22221(2)(2)4a a a a a a a a a a +--⎛⎫-⋅ ⎪---⎝⎭=2224(2)4a a a a a a a --+⋅-- =24(2)4a a a a a -⋅-- =21(2)a - 【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．40．（2021·1133-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭． 【答案】1 【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．【详解】解：原式33=+- 1=．【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．41．（2021·湖北黄冈市）计算：0|12sin60(1)π-︒+-．【答案】0．【分析】先化简绝对值、计算特殊角的正弦值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．【详解】解：原式121-=+，0=．【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．。

专题02 整式和因式分解一、单选题1. （2021·湖南衡阳市·中考真题）下列运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】A选项, , 不符合题意；B选项, , 不符合题意；C选项, , 符合题意；D选项, , 不符合题意．故选: C.【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加；同底数幂相除, 底数不变, 指数相减；幂的乘方, 底数不变, 指数相乘；积的乘方, 等于把积的每一个因式的积的乘方, 再把所得的幂相乘．2. （2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法的计算法则分别计算即可. 【详解】解: A., 此选项正确；B., 此选项错误；C., 此选项错误；D., 此选项错误；故选: A.【点睛】本题考查零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法, 熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键.3．（2021·湖南中考真题）已知, 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得.【详解】A., 此项错误, 不符题意；B., 此项错误, 不符题意；C., 此项正确, 符合题意；D., 此项错误, 不符题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．4. （2021·湖南娄底市·中考真题）下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据幂的乘方, 底数不变, 指数相乘;同底数幂相乘, 底数不变指数相加;合并同类项法则. 对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可.【详解】A、, 因为不属于同类项, 不能进行加减合并, 故A错误；B.,故B正确；C., 故C错误；D., 故D错误．故选: B.【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项, 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5. （2021·湖南张家界市·中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】直接利用合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可.【详解】解: A, 不能合并同类项, 故选项错误, 不符合题意；B, , 故选项错误, 不符合题意；C, , 故选项正确, 符合题意；D, , 故选项错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法, 解题的关键是: 熟练掌握合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则．6. （2021·湖南常德市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项可直接进行排除选项.【详解】A.原计算错误, 该选项不符合题意；B.原计算错误, 该选项不符合题意；C.原计算错误, 该选项不符合题意；D.正确, 该选项符合题意；故选: D.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项, 熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项是解题的关键．7. （2021·湖南中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后, 再进行判断即可得到答案.【详解】解: A., 故选项A计算错误, 不符合题意；B., 故选项B计算错误, 不符合题意；C., 此选项计算正确, 故符合题意；D.故选项D计算错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式, 熟练掌握运算法则是解答此题的关键．8. （2021·湖南长沙市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得.【详解】A., 此项正确；B., 此项错误；C., 此项错误；D., 此项错误；故选: A.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．9. （2021·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】逐一分析各选项, 利用对应法则进行计算即可判断出正确选项.【详解】解: A选项中: , 因此错误；B选项中: , 因此错误;C选项中: , 因此正确；D选项中: , 因此错误；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容, 解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．二、填空题10. （2021·湖南株洲市·中考真题）计算: __________.【答案】.【分析】根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法, 底数不变, 指数相加, 计算即可．【详解】解: .故答案: .【点睛】本题考查单项式乘以单项式, 熟练掌握单项式乘以单项式法则, 同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11. （2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：______.x x【答案】(2021)【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解, 熟练掌握提公因式法是解题关键．12. （2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()232x x y -【分析】直接提出公因式即可完成因式分解.【详解】解: ;故答案为: .【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解, 解决本题的关键是找到它们的公因式, 提出公因式后再检查分解是否彻底即可, 本题为基础题, 考查了学生对基础知识的掌握与运用．13. （2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解: ______.【答案】.【详解】解: .故答案为: .【点睛】此题考查了运用公式法因式分解, 熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．14. （2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：______.【答案】()()x y x y x -+【分析】提公因式与平方差公式相结合解题.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查因式分解, 涉及提公因式与平方差公式, 是重要考点, 难度较易, 掌握相关是解题关键． 15. （2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()33a a b -【分析】利用提取公因式法因式分解即可【详解】解:故答案为:()33a a b -【点睛】本题考查提取公因式法因式分解, 熟练掌握因式分解的方法是关键16．（2021·湖南中考真题）若x, y 均为实数, , , 则______；_______．【答案】20211【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可.【详解】解: ∵,∴, ,4347(43)(47)202120212021xy xy x y y x y x x y +⋅=⨯=⨯=，故答案为: 2021；∵=4)3(4347202147xy xy xy xy =⋅⨯，即20212021xy x y +=，∴xy x y =+， ∴111x y x y xy++==， 故答案为: 1.【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点, 熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键.17．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：, , , ……, 已知按一定规律排列的一组数：, , , ……, , 若, 用含的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将, , , ……, 用含的代数式表示, 再计算的和, 即可计算的和.【详解】由题意规律可得：.∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②②-①, 得 ∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=100(21)m -故答案为: . 【点睛】本题考查规律问题, 用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格, 其中第一个图形有个正方形, 所有线段的和为4, 第二个图形有个小正方形, 所有线段的和为12, 第三个图形有个小正方形, 所有线段的和为24, 按此规律, 则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1.2.3和4个图案找出普遍规律, 进而得出第n 个图案的规律为Sn=4n+2n ×(n -1), 得出结论即可.【详解】解: 观察图形可知:第1个图案由1个小正方形组成, 共用的木条根数第2个图案由4个小正方形组成, 共用的木条根数第3个图案由9个小正方形组成, 共用的木条根数第4个图案由16个小正方形组成, 共用的木条根数…由此发现规律是:第n 个图案由n2个小正方形组成, 共用的木条根数故答案为: 2n2+2n.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类, 熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．三、解答题19. （2021·湖南衡阳市·中考真题）计算: .【答案】23x【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则, 计算合并同类项即可【详解】解:22222=+++-+-x y y x y x xy4x4442=.3x【点睛】本题考查了完全平方公式, 平方差公式, 单项式乘以多项式, 合并同类项, 熟练掌握公式, 准确合并计算是解题的关键.20. （2021·湖南中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 7.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式, 再计算整式的加减法, 然后将代入求值即可得.【详解】解：原式,25=+，x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键.21. （2021·湖南长沙市·中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 1.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式, 再计算整式的加减, 然后将的值代入即可得.【详解】解：原式,=-，2x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟练掌握整式的运算法则是解题关键．。