信号与系统课件

《信号与系统》信号与系统Signals and Systems朱家富重庆文理学院电子电气工程学院本章的基本内容：第三章离散时间系统的时域分析¾离散时间信号-序列¾离散时间系统的数学模型¾常系数线性差分方程的求解¾离散时间系统的单位样值（冲激）响应¾卷积与反卷积2《信号与系统》§1 概述一、离散时间系统研究的发展史¾17世纪的经典数值分析技术—奠定它的数学基础；¾20世纪40和50年代的研究抽样数据控制系统；¾60年代计算机科学的发展与应用是离散时间系统的理论研究和实践进入一个新阶段。

《信号与系统》3¾1965年库利（J.W.Cooley)和图基(J.W.Tukey) —发明FFT快速傅里叶变换。

同时，超大规模集成电路研制的进展使得体积小、重量轻、成本低的离散时间系统得以实现。

用数字信号处理的观点来认识和分析各种问题。

¾20世纪未，数字信号处理技术迅速发展。

如通信、雷达、控制、航空与航天、遥感、声纳、生物医学、地震学、核物理学、微电子学…。

《信号与系统》4《信号与系统》二、离散时间、连续时间系统时域分析对比时域经典求解方法相同。

先求齐次解，再求特解。

数学模型差分方程微分方程连续时间系统离散时间系统5三、离散、连续时间系统研究的差异研究二者差异主要方面：1、数学模型的建立与求解；2、系统性能分析；3、系统实现原理；4、连续时间系统注重研究一维变量的研究，离散时间系统更注重二维、三维或多维技术的研究。

离散时间系统的优点：1、精度高，便于实现大规模集成；2、重量轻、体积小；3、灵活，通用性。

《信号与系统》6《信号与系统》四、离散时间系统研究离散时间系统——数字信号处理；数字化；模拟与数字系统结合离散时间信号——连续时间信号抽样；计算机的输入、输出；时间序列（时钟信号）7§2 离散时间信号——序列一、离散时间信号概念序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时间nT有定义值,即X(nT),其中T为均匀的离散时刻之间隔;nT称函数的宗量,n=0,1,2,3,……样值:因离散信号处理的非实时性，用x(n)来表示序列，其中n表示各函数值在序列中出现的序号,某序号n的函数值x(n)称为在第n个采样点的“样值”。

《信号与系统》8《信号与系统》{}()(1)(1)(2)(0)x x n x x x −↑= 指针表示法：各线段的长短——各序列值的大小。

x(n)图解表示：n ——横坐标并取整数;纵坐标;↑－－表示原点位置9二、离散信号的运算()()()z n x n y n=+1）相加：()()()z n x n y n=⋅2）相乘：逐项对应相加两序列的样值=======新序列逐项对应相乘两序列的样值=======新序列()()z n x n m=±3）延时：m逐项依次左移或右移位原序列============新序列10《信号与系统》《信号与系统》()()z n x n =−4）反褶：相对纵轴反折波形原序列=========新序列()()z n x an =5）尺度变换：()a ∗需按规律去除某些点压缩时无法除尽的样点， 或补足相应的零值 （扩展时多出的样点）n 轴上压缩或扩展原序列的波形=========新序列11《信号与系统》例2-1根据x(n)的波形分别画出x(2n)和x(n/2)的波形0126n)(n x 1−2−3−35463012n )2(n x 32643−026n)2(n x 1−461812104212《信号与系统》((1)())x n x n x n =+−Δ6）差分：前向差分 []2()()()(1)()2(1)(2)()x n x x n x n n x x n x n x n n ∇∇∇∇=−−==−−+−后向差分 序列样值与其后面相邻的样值相减序列样值与其前面相邻的样值相减13[]2(2)2(1)(()())x n x n x x n x n n ==+−+ΔΔ+Δ 《信号与系统》()2n x n E ∞=−∞=∑8）能量：()()n k z n x k =−∞=∑7）累加：n 累加至第样点原序列中所有样值=======新序列绝对值平方和序列中所有样值=======能量14《信号与系统》三、离散信号的分解常用分解法：延迟将任意序列表示为、的单位样值加权信号之和。

()(())m x n m x m n δ∞=−∞−=∑()()()0x n m n x m n m m nδ=⎧−=⎨≠⎩　其中 15《信号与系统》一、离散时间系统§3 离散时间系统的数学模型()()x n y n ：激励信号为一序列， 响应为另一序离统列散时间系离散时间系统x(n)y(n)16《信号与系统》二、离散时间系统的基本单元基本单元:1Z（单延时元件位延时）)(n y )1(−n y 1Z 相加器)(n x )()(n y n x +)(n y ∑乘法器)(n y )(n ay a )(n y )(n ay a )(n y )(n ay a 17《信号与系统》例3-1 某离散时间系统的模拟方框图如右图所示，写出其差分方程。

解：围绕图中相加器可写出)(n x )(n y )1(−n y ∑a 1Z)(n y )()1()(n x n ay n y =−−整理得：)1()()(−+=n ay n x n y 18《信号与系统》三、离散时间系统的数学模型常系数线性差分方程：（递归关系式）0101M ()(1)()()(1)(M)N a y n a y n a y n N b x n b x n b x n +−++−=+−++− 00()()N Mk r k r a y n k b x n r ==−=−∑∑或(()())()x n x y n n k n y r −−其中等式左端由响应序列及其移位序列等构成； 右端由激励序列及其延时序列等构成； 阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值差。

()注：一般因果系统用形后式向右移的向差分方程19《信号与系统》四、离散时间、连续时间系统的数学模型联系差分方程与微分方程：(),(),y t t nT y nT T =对连续若在各点取样值且足够小()1))((y n T y nT d Tt y t d +−⎡⎤⎦≈⎣则20§4 常系数线性差分方程的求解一、求解常系数线性差分方程的方法⎧ ⎧手算逐次代入 ：仅得数值解 ⎪迭代法 ⎨ ⎩利用计算机 ⎪ 代入边界条件 ⎪ 时域经典法：先求齐次解与特解======= 求系数 ⎪ ⎪ ⎨ （求解过程麻烦） ⎪ ⎪零输入与零状态求法：利用齐次解得零输入响应， ⎪ 利用卷积和求零状态响应 ⎪ ⎪ ⎩变换域法：利用Z 变换法（简便有效）《信号与系统》21二、差分方程的迭代法求解 差分方程的迭代解法是在已知差 分方程和初始条件的情况下，用手工 的方法来推导方程的解。

其优点是简 单明了，缺点是不易得到方程的解析 解。

《信号与系统》22例4-1：已知系统的差分方程、初始条件和激励信号，求系统的响应。

y ( n ) = 1.5 x ( n ) + 0.5 y ( n − 1) 初始条件 y ( n ) = 0 ( n < 0), 输入信号 x ( n ) = δ ( n )解：由题目知：n < 0时，y(n) = 0n = 0时，y(0) =1.5x(0) + 0.5 y(−1) = 3 2n =1时，y(1) =1.5x(1) + 0.5 y(0) = 3 4《信号与系统》23n = 2时，y(2) =1.5x(2) + 0.5 y(1) = 3 8 n = 3时，y(3) =1.5x(3) + 0.5 y(2) = 3 16实际上，在n>0时，由于输入为零，差分方 程可改写为y ( n ) = 0.5 y ( n − 1)因此得到差分方程的解为：3 1 n y (n ) = ( ) u(n ) 2 2思考：若将初始条件改为y(n)=0 (n>0时),其 它条件不变，系统的输出为怎样？ 《信号与系统》24三、差分方程的时域经典求解设LTI离散系统的常系数线性差分方程a0 y ( n ) + a1 y ( n − 1) + ... + a N y ( n − N ) = b0 x ( n ) + b1 x ( n − 1) + ... + bN x ( n − N )或∑ ak y (n − K ) = ∑ br x(n − r )k =0 r =0 N M则 y ( n ) = yh ( n ) + y p ( n )齐次解《信号与系统》特解251、齐次解当∑ ak y (n − K ) = 0齐次方程的特征方程k =0 Na0α N + a1α N −1 ++ aN −1α + aN = 0无重根时（α i )，n + cN α N ；n + 齐次解 yh (n) = c1α1n + c2α 2当特征方程有K 次重根( β1 )时, 齐次解 yh (n) = c1n K −1β1n + c2 n K −2 β1n +当特征方程有共轭根时， 齐 次 解 可 为 各 形 式 的 正 ( 余 )弦 序 列 。

《信号与系统》+ cK β1n；262、特解特解由差分方程右端的自由项函数形式来决定 如 n k 形式 → 特解选D0 n k + + Dk； a n 形式（a不为特征根） → 特解选Da n 《信号与系统》273、完全解—矩阵形式N 阶差分方程应给定N 个边界条件，如y (0), y (1), , y ( N − 1)代入无重根情况下完全解构成一组联立方程为⎧ y (0) − D(0) = C1 + C2 + + C N ⎪ y (1) − D(1) = C α + C α + + C α ⎪ N N 1 1 2 2 ⎨ ⎪ N −1 N −1 N −1 ⎪ ( 1) y N D ( N 1) C C C α α α − − − = + + + N N 1 1 2 2 ⎩矩阵形式为 Y (k ) − D (k ) = VC， k = 0,1,..., N − 1《信号与系统》284、完全响应的分解完全响应的分解：（） 1 y (n) = ∑ Ckα kn + D (n)k =1 自由响应 y h (n)NN强迫响应 y p (n)（2）y (n) = ∑ Czikα + ∑ Czskα + D(n)k =1 n k k =1 n k 零输入响应 yzi(n) 零状态响应 yzs(n)N《信号与系统》29其中Czik 是由零输入条件下边界值yzi (k )求得， 由起始状态y (−1), , y (− N ) = yzi (−1), , yzi (− N )迭代 ⎯⎯⎯ → 初始条件yzi (0), , yzi ( N − 1)； C zsk 是由零状态条件下边界值 y zs ( k )求得， 《信号与系统》由零状态条件 y zs ( −1),, y zs ( − N ) = 0 , y zs ( N − 1)。