高三数学思想方法策略专题_7

第3讲 分类讨论思想1． 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2． 分类讨论的常见类型条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．面的位置关系等．同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要使用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3． 分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4． 解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数实行分类讨论．(2)对所讨论的对象实行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 (1)14 (2)－34解析 (1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． (2)当a >0时，1－a <1,1＋a >1.这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32. 不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综上可知，a 的值为－34. 应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1实行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选择相对应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知圆的方程x 2＋y 2＝1，则过点P (1,2)的圆的切线方程为________．答案 x ＝1或3x －4y ＋5＝0解析 当k 不存有时，直线为x ＝1，也是切线，当k 存有时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.∴圆心(0,0)到直线的距离d ＝|2－k |k 2＋1＝1，解得k ＝34. ∴直线方程为3x －4y ＋5＝0.∴切线方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.类型二 由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论例2 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．解 ①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43， 它在[0,1]上是减函数，所以y max ＝f (0)＝43. ②当4－3m ≠0，即m ≠43时，y 是二次函数． 当4－3m >0，即m <43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(因为此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m <43，即23≤m <43时，y max ＝m . 当m <2－2m ，又m <43，即m <23时，y max ＝2(1－m )． 当4－3m <0，即m >43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m<0，所以函数y 在[0,1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m .由①、②可知，这个函数的最大值为y max ＝⎩⎨⎧ 2－2m ，m <23，m ，m ≥23.求解相关几何问题中，因为几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征实行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2的值为________． 答案 2或72解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43， ∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2， 解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 类型三 由参数变化引起的分类讨论例3 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x(0<a <1)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. (1)若0<a <12，则x 2>x 1. 当0<x <1或者x >1a－1时，f ′(x )<0； 当1<x <1a－1时，f ′(x )>0. 故此时函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1，1a －1. (2)若a ＝12，则x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，且仅在x ＝12处等于零，故此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1， 当0<x <1a－1或者x >1时，f ′(x )<0； 当1a－1<x <1时，f ′(x )>0. 故此时函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，1. 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围实行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)由已知x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x， 因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1，所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a 2＝1，所以a ＝0， 此时f (2)＝2－2＝0，故曲线f (x )在(2，f (2))处的切线方程为x －y －2＝0.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x. ①当0<a <1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a,1)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ， 极小值是f (1)＝－12； ②当a ＝1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，若x ＝1，f ′(x )＝0，若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，所以函数f (x )在定义域内单调递增，此时f (x )没有极值点，也无极值．③当a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(1，a )，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ； 综上，当0<a <1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12； 当a ＝1时，f (x )无极值；当a >1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集的讨论．(2)函数：对数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论．(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．(7)(理排列、组合、)概率中的分类计数问题．(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.1． 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．答案 43或833解析 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．2． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________．答案 1或－12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q ＝21，解之得，q ＝－12. 3． 若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ·1lg x＝2； 当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎡⎦⎤(－lg x )＋⎝⎛⎭⎫－1lg x ≤－2(－lg x )⎝⎛⎭⎫－1lg x ＝－2. 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4． 过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．答案 3解析 由2x 2－y 2＝2，得x 2－y 22＝1. 当l 无斜率时，AB ＝2b 2a＝4，符合要求． 当l 有斜率时，若A 、B 两点都在右支上，则AB >4不符合要求．A 、B 在左、右两支上，有两条．所以共3条．5．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析 因为函数f (x )的定义域为一切实数，所以mx 2＋mx ＋1≥0对一切实数恒成立，当m ＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立，当m ≠0时，则需⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上，实数m 的取值范围是[0,4]．6． 已知线段AB 和平面α，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．答案 1或2解析 此题分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况，答案为1或2.7． (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点，若点P ，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________． 答案 10，－1解析 P A 2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2ax －2a 1x ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2a ＋2a 2－2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －a 2＋a 2－2由x >0，得x ＋1x ≥2，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2a 2－2＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a <2(2－a )2＋a 2－2＝8解得a ＝10，或a ＝－1.8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n＋1(q －1)2 (q ≠1).若方程242||20x x x a a ---++=恰有两个不同的实数解，求a 的范围.。

2013-10课堂内外高三高考数学复习策略文/黄晓妹高三数学复习任务重,怎样在短暂的半年多的时间搞好总复习,提高复习的效率,减轻师生的负担,在高考中考出好成绩,是每个师生所关心的问题。

本人结合自身的教学实践,提出几点建议,供大家参考。

一、切实重视基础知识、基本技能和基本方法的教学众所周知,近年来高考数学试题变化性不大、难度不大,而不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上,认为只有通过解决难题才能培养能力,因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。

其实近几年来高考命题趋势事实已明确告诉我们:高三的复习,既要系统全面,又要突出重点、强化三基,不要在知识的非本质的细枝末节上纠缠,避免过分关注偏题、怪题。

事实上基础知识、基本技能、基本方法始终是高考数学试题考查的重点。

选择题、填空题以及解答题中的基本常规题已达整份试卷的80%左右,特别是选择题、填空题主要是考查基本知识的积累和基本运算能力,但其命题的叙述或选择题往往具有迷惑性,有的选择题就是学生中常见的错误。

如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解,都会导致在考试中判断失误。

可见,在切实重视基础知识落实的同时也应重视基本技能和基本方法的培养。

二、加强对重点、热点问题的研究研究这几年高考试题,一个显著的特点是:突出主体知识考查。

主体知识是高考不回避的命题重点,复习时要抓重点,就一定要明确高考试题的主体知识:①函数与不等式,以函数为主干,其中导数与函数、不等式与函数的结合是“热点”;②数列前n项和与通项公式是考查的重点;③空间直线、平面与简单几何体,突出“空间”“立体”,即把线段、线面、面面的位置关系考查置于某几何体的情景中,几何体以棱柱为重点;④圆锥曲线,考查直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等;⑤概率与统计,各种概率的计算;⑥导数及其应用,用导数来研究函数的单调性和最值,可能与函数、不等式结合;⑦向量的应用,与空间问题结合,体现在可以解决空间几何的所有证明和计算问题上。

1、全面复习夯实基础打好基础，首先必须重视数学基本概念、基本定理(公式、法则)的复习，在理解上下功夫，整体把握数学知识。

这部分内容的复习要做到，不打开课本，能选择适当途径将它们一一回忆出来，它们之间的脉络框图，能在自己大脑中勾画出来。

如函数可以利用框图的形式由粗到细进行回忆。

概念要抓住关键及注意点，公式及法则要理解它们的来源，要理解公式法则中每一个字母的含义，即它们分别表示什么，这样才能正确使用公式。

在平时的学习时，不要满足这个问题我们会解出答案就行了，而其他的方法却不去研究了，尤其课堂上，老师通过一个典型的例题介绍处理这种问题有哪些方法，可以从哪些不同的角度来思考问题。

事实上，从宏观上讲，方法没有好坏之分，只是在解决具体的问题时才有优劣之分，更重要的是要关注通性、通法的掌握，而不能仅关注此问题特殊的、简单的方法。

因此课堂上，每一种方法我们都应积极思考，认真研究并掌握，这样在解决具体问题时才能游刃有余。

2.突出重点在考试说明的要求中，对知识的考查要求依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用几个层次。

一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。

在历年考试中，这方面考题出现的概率较大;在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。

突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次。

主要内容理解透了，其他的内容和方法就迎刃而解。

3.不断"内化"提高分析和解决问题的能力多做练习，但不能仅满足于得到问题的答案，要对做过的类似问题放在一起及时进行比较总结，将问题解决方法进行总结，解决的步骤程序化，以更好指导自己以后的解题，再在应用的过程中不断调整，这样可以"事半功倍"，从而提高自己分析、解决问题的能力，这是获得优异成绩的关键所在。

4、强化数学思想方法数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式，一种思想。

排列组合思维优化学案一．知识小结：一个核心思想： 分类讨论； 两个计数原理：（1）分类计数加法原理 （2）分步计数乘法原理 三个计数模型：(1)映射型 m n ：若 A={a,b,c ，… }，CardA=n, B={1，2，3，…} CardB=m ,则 A 到B 的映射有m n 个；(2)排列型 A n m ：从n 个不同元素中取出m 个排成一列，所有不同的排法数； (3)组合型 C n m： 从n 个不同元素中取出m 个组成一组，所有不同的组数； 四个性质 ：（1）A mn =A kn A kn n - （2）A m n =mA 11--m n +A 11--m n（3） C mn =C 1-m n（4）C mn =C 11--m n +C mn 1-五种技巧：（1）特殊优先 （2）相邻捆绑 （3）不相邻插空 （4）均匀分组 （5）隔板模型 六种常见题型：（1）定序问题 （2）指标分配问题 （3）至少至多问题 （4）多面手问题 （5）摸球问题 （6）染色问题二．思维训练：方法检测———基础组1.322(1)(1)(1)x x x y y z ++++++展开后的不同的项数为（ D ）A ．9 B.12 C.18 D.24解析 分步计数乘法原理 N=4*3*2=242．4本不同的书放入两个不同的抽屉中（设每个抽屉足够大），共有不同的放法为( C )A. 6种B. 8种C. 16种D. 20种 解析 映射型 N=24=163. 6名同学排成一排, 其中甲、乙两个必须在一起的不同排法有( C ) A. 720种 B. 360种 C. 240种 D. 120种 解析 排列数 相邻捆绑 N=2A 55=2404. 8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有( A )A. 3565A A 种B. 863863A A A - 种C. 5353A A 种D.8486A A -种解析 排列数 不相邻插空 N=A 55A 36 选A5. 高三年级有8个班，分派4个数学老师，每个教师任教2个班，则不同的安排方法( B )A.22228642A A A A B.22228642C C C C C.2222486424C C C C A D.2222864244C C C C A解析 组合数 均匀分组问题 先分组再分配 选B6. 从1，2，……，8这八个数字可任取两个组成平面上点的坐标(,)a b ，且要求点(,)a b 在直线y x =的上方，则这样的点共有( D )A. 56个B. 48个C. 32个D. 28个解析 组合数 在直线的上方即b>a ;N=C 28=28 选D7. 企业家计划在四个侯选城市投资三个不同项目，且在同一城市投资的项目部不超个两个，则不同的投资方案由 （ D ）A. 16B. 36 Ｃ. ４２ Ｄ. ６０解析 分类讨论项目投资方案：一是三个项目投资到三个城市 ， 有A 34=24种；二是三个项目投资到两个城市，有C 23A 24=36种； 共60种，选D8．三名医生和六名护士被分配到三所学校体检，每校一名医生和２名护士，则不同的分配方案有（ ）Ａ. ７２０ Ｂ. ５４０ Ｃ.３６０ Ｄ ４８０解析 排列组合综合 三名医生的分配方法为A 33=6；6名护士的分配方法为C 26C 24C 22=90； 所以共有6*90=540种分配方案。

高三数学第一轮复习方法和策略现阶段大部分学校的数学新授课即将结束，很快就要进入高三第一轮复习，有的班已经开始复习，现在我根据自己近几年一直在高三教学的体验，就“五严规定新形势下，高三数学如何进行第一轮复习方法和策略。

我认为高三的数学复习，除大家熟知的、常规的各项要求以外，以下几个方面值得注意：一、认清形势，提前谋划，周密安排，把握细节形势：省五严规定出台以后，学生在校学习，集体辅导，集中训练的时间明显减少，与以前的高三数学复习时间相比，集体辅导的时间，不足三分之二，这对曾经多次担任过高三毕业班数学指导，有高三复习经验的老师来说，更要提高认识，不能仅凭过去的经验和教学节奏办事。

谋划：高三数学复习的谋划，应该包括调查学情、选择基本资料、拟定复习计划、选择章节主备课人等多个方面，每一项都值得同备课组同仁们认真研讨、提前谋划，才能使本校、本班的高三数学复习有的放矢、事半功倍。

周密：特别是学情调查和计划研制要周密，要对前两年的教学，特别是更换过教师、调整过班级的教与学，学生的实际学习效果、实际基础，进行认真周密的调查、梳理和分析。

不了解学情，高三的数学复习，就可能是盲人骑瞎马，百密必有一漏，不能实现复习效果的最优化。

复习的计划更是要尽可能地周密，大家都有经验，不再赘述。

细节：细节决定成败。

高中数学的每个章节、每个重要的知识点突破，每个考点的夯实，每一节课的效率，每一种重要题型的解题思想、方法，解题教学后的训练和巩固，都是高三数学复习要特别关注的细节，值得高三数学教师因班而异、因校而异地认真思考和谋划。

二、突出重点，注重实效，抓实课堂，巧用课外高三数学第一轮复习的重点：一是基本知识，每位教师要认真研读贵州省考试说明，对三种要求的知识点目标要确保心中有数。

书本上有关的概念，定理，法则，运算性质，还有那些约定俗成的重要结论，不仅要让学生记住，还要通过将知识习题化，训练学生灵活运用。

二是基本技能，高中数学中常见的一些解题方法、技巧，考试热点和比较常见的特定题型、特定解法，教师要精心备课，反复训练。

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

专题07 三角函数图像与性质【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【试题解析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换， 第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：B.【命题意图】函数图象的平移变换（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【命题方向】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用．【得分要点】（一）函数图象的平移变换（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；（2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.一、单选题1．（2021·河南商丘市·高一月考）要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上各点（ ）A ．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移6π个单位长度 B ．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移12π个单位长度C ．纵坐标不变，横坐标变成原来的12，然后再向左平移6π个单位长度D ．纵坐标不变，横坐标变成原来的12，然后再向左平移12π个单位长度【答案】D 【分析】有函数的平移伸缩变换的性质选出即可. 【详解】由sin y x =将各点横坐标变成原来的12得到sin 2y x =. 再向左平移12π个单位长度变换得到sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D.2．（2021·河南焦作市·高一月考）若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数)24x y π=+的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】B 【分析】由给定函数按各选项指定的变换进行处理，再分析所得函数的性质即可得解. 【详解】对于A ，得到的函数为13()])24428x y x πππ=++=+，不是奇函数，图象关于原点不对称，A 错误；对于B ，得到的函数为1()]cos()224222x xy x πππ=++=+=，是奇函数，图象关于原点对称，B 正确；对于C ，得到的函数为1()])24428x y x πππ=-+=+，不是奇函数，图象关于原点不对称，C 错误；对于D ，得到的函数为1()]2242xy x ππ=-+=，不是奇函数，图象关于原点不对称，D 错误； 故选：B3．（2021·河南商丘市·高二月考（理））将函数()cos f x x π=图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移13个单位长度，得到()g x 的图象，则()2021g =（ ）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】C 【分析】由图像伸缩平移变换知，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-，将2021x =代入即可求得结果.【详解】由图像伸缩平移变换知，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-， 则()202112021cos()262g ππ=-= 故选：C4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（ ） A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】C 【分析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以22Tπ=，可得2T ππω==， 所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心， 所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=， 所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对于A ：将2cos2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误； 对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确. 故选：C5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，22ππϕ-<<）的最小正周期是π，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数()y g x =图象过点()0,2P ，则关于函数()g x 的说法不正确的是（ ） A ．2x π=-是函数()g x 一条对称轴B ．5,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心 C ．()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D 【分析】根据条件求出ω、ϕ，然后可得()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】2ω=，()f x 向左平移3π个单位长度后所得到的函数是()22sin 23x x g πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 其中图象过()0,2P ，所以2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为22ππϕ-<<，6πϕ=-，所以()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 因为()2cos 22g ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2x π=-是函数()g x 一条对称轴，故A 正确 因为552cos 042g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以5,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心，故B 正确当3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()23,2x ππ∈--，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确 当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调递减，故D错误 故选：D二、多选题6．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将cos 2y x =的图象（ ）A ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度 B ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移3π个单位长度C ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D ．先向右平移3π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【答案】BC 【分析】利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项. 【详解】如果是先伸缩再平移，那么需先将cos 2y x =横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到cos y x =，再向右平移3π个单位长度，即得cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭如果是先平移再伸缩，需先将cos 2y x =向右6π的单位长度，得到cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：BC7．（2021·福建高三三模）已知函数()sin (sin )(0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π，则下列结论中正确的是（ ） A ．()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立 B ．()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调C ．()f x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恰有1个零点 D ．将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度，所得图像关于原点对称 【答案】AB 【分析】由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】 解：∵函数1cos 21()sin (sin )2sin 2262x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππω=，∵1ω=，1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令3x π=，求得3()2f x =为最大值，故有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，故A 正确； 在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，2,63x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，函数()f x 没有单调性，故B 正确；在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，5172,666x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 有2个零点，故C 错误； 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度，所得1sin 262y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像关于不原点对称，故D 错误， 故选：AB .8．（2021·广东高三其他模拟）关于函数2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．f (x )在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．f (x )在[0,]π有2个零点D ．f (x )在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为－1 【答案】AC 【分析】将函数()f x 化成正弦型函数，根据函数的平移关系，可判断A ；利用整体思想结合正弦函数的单调性判断B ；求出函数()f x 的零点，即可判断C ；根据正弦函数的最值，判断D. 【详解】2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭πcos2sin 2)4x x x =++，所以()f x 是由2y x =的图象向左平移8π个单位得到， 选项A 正确；30,,2(,),()2444x x f x ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭不具有单调性，选项B 不正确； 由()0f x =，得2(),()428k x k k Z x k Z ππππ+=∈=-∈， 所以()f x 在[0,]π的零点为37,88ππ，选项C 正确； 3,0,2[,]2444x x ππππ⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎣⎦，当32,428x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为 选项D 不正确. 故选：AC.9．（2021·山东济南市·高三其他模拟）分别对函数sin y x =的图象进行如下变换： ∵先向左平移3π个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来2倍，得到()y f x =的图象；∵先将其上各点的横坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，以下结论正确的是（ ） A ．()()f x g x = B ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心 C ．直线43x π=-为函数()g x 图象的一条对称轴 D ．()f x 的图象向右平移3π个单位长度可得()g x 的图象【答案】BCD 【分析】由三角函数平移和伸缩变换原则可求得()(),f x g x ；由解析式不同知A 错误；利用代入检验法，对应正弦函数的性质可确定BC 正确；由左右平移变换后的解析式可知D 正确. 【详解】∵sin y x =向左平移3π个单位长度可得sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；再将横坐标变为原来2倍，得到()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；∵sin y x =横坐标变为原来2倍可得1sin2y x =；再向左平移3π个单位长度，得到()11sin sin 2326g x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，两函数解析式不同，A 错误； 对于B ，当43x π=时，123x ππ+=且403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4,03π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，B 正确； 对于C ，当43x π=-时，1262x ππ+=-，43x π∴=-是()g x 的一条对称轴，C 正确；对于D ，()f x 的图象向右平移3π个单位长度得：1sin 3233f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1sin 26x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，D 正确；故选：BCD.10．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，ϕπ<)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得图像对应的函数是奇函数 C ．若把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在[],ππ-上是增函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则a 【答案】AB 【分析】由五点法求解析式可判断A ；利用三角函数的平移变换原则即可判断B ；利用三角函数的平移伸缩变换可判断C ；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D. 【详解】解析：由题图，知1732422T πππ=-=， ∵6T π=，∵2163πωπ==.∵()222sin 23f ππϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵2232k ππϕπ+=+(k ∈Z )，即26k πϕπ=-+(k ∈Z )， ∵ϕπ<，∵6πϕ=-，∵()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故A 正确；把()f x 的图像向左平移2π个单位，所得图像对应的函数解析式为12sin 2sin 3263xy x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确：把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变， 得到图像对应的函数解析式为12sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵[],x ππ∈-，∵12sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[],ππ-上不是增函数，故C 错误；,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，令()()332x f f x g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 2sin 2sin 2666x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()12g x ≤≤，所以a 2，故D 错误. 故选：AB.11．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．在ABC 中，sin sin A B <是BC AC <的充要条件 B ．将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象 C ．存在实数x ，使得等式3sin cos 2x x -=成立 D ．在ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理，余弦定理，可判断A 、D 的正误；根据图象平移原则，可判断B 的正误；根据辅助角公式及正弦型函数的性质，可判断C 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由正弦定理可得sin sin BC ACA B=， 因为sin sin A B <，所以BC AC <， 同理，若BC AC <，则有sin sin A B <，所以sin sin A B <是BC AC <的充要条件，故A 正确； 对于B ：将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度， 可得sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ：3sin cos 42x x x π⎛⎫-=-≤< ⎪⎝⎭，所以不存在x ，满足3sin cos 2x x -=，故C 错误； 对于D ：在ABC 中,因为222sin sin sin A B C +<，由正弦定理可得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以,2C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，为钝角，故D 正确.故选：ABD.12．（2021·全国高三其他模拟）将函数f （x ）＝sin （ωx +3π）（ω＞0）的图象向左平移2π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值可能为（ ）A ．2B ．12-C ．12D ．2-【答案】BC 【分析】先算出ω的可能取值，即可进一步计算 【详解】将函数f （x ）＝sin （ωx +3π）（ω＞0）的图象向左平移2π个单位长度后得()sin[()]23g x x ππω=++因为所得图象与原图象关于x 轴对称()()f x g x ∴=-，即ωx +3π= ()(21)23x k ππωπ++++(21)422k k πωπω∴=+⇒=+∴51sin sin()sin 44323642f k f ππωππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=±∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或12- 故选：BC13．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()f x 的一个单调递增区间是,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的图象向左平移3π个单位，所得函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若322x f m f π⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则m 的最大值为12【答案】ACD 【分析】A ．根据函数图象先确定出周期T ，由此求解出ω的值，再根据最高点坐标求解出ϕ的值，由此求解出()f x 的解析式；B ．采用整体代入的方法判断,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否是一个单调递增区间； C ．根据图象平移先求解出()g x 的解析式，然后根据2g π⎛⎫⎪⎝⎭的值是否为零进行判断；D ．将问题转化为“,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，sin 33m x π⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭很成立”，先求解出sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，即可求解出m 的取值范围.【详解】 A ．由图象可知35346124T πππ=-=，所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以πsin φ16，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=+∈且2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故正确；B ．当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为sin y x =在2,32ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,23ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， 所以,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个单调递增区间，故错误； C ．由题意可知()()sin 2sin 2sin 2333g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为sin 02g ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故正确； D ．因为322x f m f π⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 332m x π⎛⎫≤++⎪⎝⎭， 即“,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，sin 33m x π⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭很成立”， 因为,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以53,366x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以min1sin 3sin 362x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以122m ≤-+，即12m ≤，所以m 的最大值为12，故正确.三、填空题14．（2021·全国高三其他模拟）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间[]0,π 上的单调递减区间是 ___________.【答案】7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出函数()g x 的解析式，再求函数()y g x =在区间[]0,π上的单调递减区间． 【详解】由题得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=+=+,因为70,2333x x ππππ≤≤∴≤+≤， 因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故由32232x πππ≤+≤，得71212x ππ≤≤ 所以()g x 在区间[]0,π 上的单调递减区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故答案为：7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题15．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()2sin cos 2g x x x x =--．(1)若()f x 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位，得到的图象在[],αα-上单调递增6πα⎛⎫>⎪⎝⎭，求α的最大值； (2)若函数()g x 在[]0,π内恰有3个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．(1) 把函数()f x 通过图像变换变为1sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据已知单调区间求α的最大值；(2) 利用函数1y t t=+(t ⎡∈-⎣)和t X =(5,44X ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的图象进行分类讨论来解决函数零点问题. 【详解】(1) ()f x 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位得到函数121sin sin 234212y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[],x αα∈-，所以111,212212212x πππαα⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦， 因为6πα>，所以110,0212212ππαα--<->， 又因为得到的图象在[],αα-上单调递增，所以1212212122ππαππα⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解566ππα<≤，所以α的最大值为56π.(2) ()2sin cos sin 22sin cos (sin cos )24g x x x x x x a x x π⎛⎫=-+-=-++- ⎪⎝⎭，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，t ⎡∈-⎣， 所以21y t at =-+-，t ⎡∈-⎣，令210y t at =-+-=，显然0t =不是其方程的解，所以得1a t t=+，t ⎡∈-⎣，画出函数1y t t=+和函数4t X X x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象，如下图，则当2a ≤-时，对应的()1,0t ∈-，而当()1,0t ∈-时，对应的X 只有一个解，不满足题意；当22a -<<时，此时没有t 的值对应，所以此时无解，不满足题意； 当2a =时，对应的1t =，而当1t =时，对应的X 有两个解，不满足题意；当2a =时，对应的12t =，1t =X 只有两个解，不满足题意；当22a <<12t t +=，得t =2t = ，此时对应的12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，(2t ∈，而当对应的1,12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，对应一个X 的值，而当(2t ∈时对应两个X 的值，所以此时有三个解，满足题意；当a ≥0,2t ⎛ ⎝⎭∈，而此时t 对应的X 只有一个解，不满足题意；故a 的取值范围为⎛ ⎝⎭.【点睛】函数零点个数的判断方法： (1)直接求函数的零点；(2)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数； (3)数形结合法：利用函数图象的交点个数判断.。

高三数学复习备考战略计划（7篇）高三数学复习备考战略计划篇1一、指导思想高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。

强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。

整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。

第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说。

“二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求、具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”、二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展、三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架、四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法、二、时间安排：1、第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。

2、第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。

3、最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。

三、怎样上好第二轮复习课的几点建议：明确“主体”，突出重点。

第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌、只有这样，才能讲深讲透，讲练到位、因此，每位教师要研究对口高考试题、第二轮复习的形式和内容1、形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。

高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

高考数学复习策略与方法推荐高考已经迎来最后一道关卡，你准备好上战场了么，在剩下的这段复习时间里，小编给大家带来的高考数学复习策略与方法推荐，希望大家喜欢！复习之初，先定方向从近年来的高考试题看，显然不要求每个学生都达到“深”度。

因此复习时要注意根据自身的实际情况有所取舍，譬如只参加高考的同学就没有必要去学习柯西不等式、排序不等式等竞赛内容，也没有必要花过多的精力在不等式的证明上，而对比较大小的基本方法、初等不等式的解法、基本不等式的应用上则要力求掌握。

什么是基本的、必须要掌握的呢?有一个比较简单的方法来确认，就是看教材的目录。

比如从不等式这一章教材目录上看，不等式的性质是基础;不等式的解法是重点(一元二次不等式的解法则是重中之重);对基本不等式则需思考：何为“基本”?在数学中如何体现出来;而不等式的证明仅是供学有余力的同学选用，这样在复习时方向就明确了，有利于合理分配时间与精力。

我们还可以将上述看目录的方法延伸到整个教材，来看章节之间的联系，体会数学知识的内在联系。

学会梳理、形成能力仍以不等式为例。

1.追根溯源，梳理知识我们可以从溯源开始，即知识是如何发现、发生、发展与其他知识之间的关系如何。

比较准则是不等式知识的源头，很多问题最后都会归于比较准则。

如下例：例 1：比较 |a+b|/1+|a+b|与|a|/1+|a|+ |b|/1+|b|的大小由比较准则可知：a>b,c>0→ac>bc(不等式性质 3)，在上述基础上可知：若a>b>0，m>0→am>bm→ab+am>ab+bm→b+m/a+m>b/a(两边同时乘 1/a(a+m))因为：|a+b|≤|a|+|b|→ |a+b|/1+|a+b| ≤|a|+|b|/1+|a|+|b|= |a|/1+|a|+|b| + |b|/1+|a|+|b|≤|a|/1+|a| + |b|/1+|b|因此|a+b|/1+|a+b|≤|a|/1+|a| + |b|/1+|b|从上述过程可以发现，复杂、未知的数学问题总是可以通过不断的转化，回归到基本的问题。