最新高三教案-2018年高考第一轮复习数学：9.9空间距离 精品

芯衣州星海市涌泉学校空间的间隔[考点注释]掌握空间两点间隔的求法；理解图形F1与图形F2的间隔的概念；掌握点和面、直线和直线、直线和平面、平面和平面间隔的概念〔对于异面直线的间隔，只要求利用给出的公垂线计算间隔〕，会解决一些简单的间隔问题。

1、求间隔，这类试题多为求点与点之间的间隔或者者点到平面的间隔，是高考的热点，并且具有一定的综合性，高考中对空间间隔的考察，题型将仍以解答题为主。

采用分步设问的方式。

根据近年来高考命题的思路，多会在一些知识点的交汇处出题，在综合线、面位置关系的同时，考察有关三角知识。

2、纵观近几年的高考，有关间隔的概念和计算仍然是高考重点内容之一，它常以简单的多面体为载体，融线面关系于立体几何图形之中，不仅考察了空间线面平行和垂直关系，而且也考察了简单几何体的概念和性质，即考察了知识，也考察了学生分析解决问题的才能。

[知识整合]1、间隔的根本概念〔1〕点到面的间隔：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的间隔，叫做这个点到这个平面的间隔。

〔2〕直线到它平行平面的间隔：一条直线上的任一点到与它平行的平面的间隔，叫做这条直线到平面的间隔。

〔3〕两个平行平面间的间隔：两平行平面的公垂线段的长度叫做两平行平面的间隔。

〔4〕两条异面直线间的间隔是指两条异面直线的公垂线夹在两异面直线间的公垂线段的长度。

2、各种间隔的理解〔1〕各种间隔都是通过垂线或者者公垂线，按“最短〞原那么定义的。

①两点间隔是指连结两点的直线段长；②点线间隔是指该点与直线上任意一点间隔是最小值；③线线间隔〔包括异面直线的间隔〕是指分别在这两条直线上的两点间隔中最小者； ④点面间隔那么是指该点与平面上任意一点的间隔的最小值。

〔2〕“转化〞是求上述各种间隔最重要的思想方法。

在空间间隔中，点到面的间隔最重要，如线到面的间隔和两平行平面的间隔都是转化为点到面的间隔来表示，异面直线的间隔通过辅助平面也可转化为“线面距〞、“面面距〞或者者“点面距〞来求。

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。

9.3空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 作用：①用来确定一个平面；②证明点线共面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．『试一试』1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上述命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．『解析』由面面平行的判定定理可知，(1)正确．由线面平行的判定定理可知，(2)正确．对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.『答案』(1)(2)2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．『解析』b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．『答案』b与α相交或b⊂α或b∥α1．求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合． 3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 4．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 『练一练』(2014·镇江期末)如图，在多面体ABC ­DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1.(1)证明：四边形ABED 是正方形；(2)判断B ，C ，F ，G 是否四点共面，并说明理由； (3)连结CF ，BG ，BD ，求证：CF ⊥平面BDG . 『解』(1)证明：⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∥平面DEFG平面ABED ∩平面ABC ＝AB 平面ABED ∩平面DEFG ＝DE ⇒AB ∥DE . 同理AD ∥BE ，则四边形ABED 是平行四边形． 又AD ⊥AB ，AD ＝AB ，所以四边形ABED 是正方形． (2)取DG 的中点P ，连结P A ，PF . 在梯形EFGD 中，PF ∥DE 且PF ＝DE .又AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以AB ∥PF 且AB ＝PF ，所以四边形ABFP 为平行四边形，则AP ∥BF .在梯形ACGD 中，AP ∥CG ，所以BF ∥CG ， 所以B ，C ，F ，G 四点共面．(3)证明：同(1)中证明方法知四边形BFGC 为平行四边形． 又有AC ∥DG ，EF ∥DG ，从而AC ∥EF .⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EF AC ⊥AD ⇒EF ⊥AD BE ∥AD⇒BE ⊥EF .又BE ＝AD ＝2，EF ＝1，故BF ＝ 5.而BC ＝5，故四边形BFGC 为菱形，所以CF ⊥BG .连结AE ，又由AC ∥EF 且AC ＝EF 知CF ∥AE . 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD .⎭⎪⎬⎪⎫CF ⊥BGCF ⊥BD BG ∩BD ＝B ⇒CF ⊥平面BDG .考点一平面的基本性质及应用1．(2013·南京、盐城三模)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：(1)若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；(2)若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； (3)若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n . 其中真命题是________(填序号)．『解析』(2)中，m ∥n ，m 与n 相交都有可能． 『答案』(1)(3) 2．下列命题：①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题有________个．『解析』对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．『答案』23．如图，已知：E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点，证明：EF ，HG ，DC 三线共点．证明：连结C 1B ，HE ，GF ，如图所示．由题意知HC 1綊EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形， ∴HE ∥C 1B .又C 1G ＝GC ，CF ＝BF ， 故GF 綊12C 1B ，∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ，∴HG 与EF 相交，设交点为K ，则K ∈HG . 又HG ⊂平面D 1C 1CD ， ∴K ∈平面D 1C 1CD .∵K ∈EF ，EF ⊂平面ABCD ， ∴K ∈平面ABCD .∵平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝DC ， ∴K ∈DC ，∴EF ，HG ，DC 三线共点．『备课札记』 『类题通法』1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．考点二空间两直线的位置关系『典例』 (1)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是________．『解析』 依据题意，b ，c 分别为a 在α，β内的射影，可判断b ，c 相交、平行或异面均可．『答案』相交、平行或异面(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．①求证：BC与AD是异面直线；②求证：EG与FH相交．『证明』①假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．②如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．『备课札记』『类题通法』1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．『针对训练』若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列结论正确的是________．(填写序号)①α内的所有直线与l异面②α内不存在与l平行的直线③α内存在唯一的直线与l平行④α内的直线与l都相交『解析』如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．『答案』②『课堂练通考点』1．(2014·泰州期末)在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；(2)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；(3)若a∥γ，b∥γ，则a∥b；(4)若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号为________．『解析』根据公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”知(1)是正确的；根据线面垂直性质定理“同垂直一个平面的两条直线平行”知(4)是正确的；(2)(3)均不恒成立．故填(1)(4)．『答案』(1)(4)2．已知m，n，l是三条直线，α，β是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是________．(1)若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；(2)若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；(3)若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；(4)若m⊥α，m⊥β，则α∥β.『解析』(1)中只有当两条直线相交时，l⊥α才成立，所以(1)不正确；若l∥α，则过l 任作平面β与α相交，则交线必与l平行，由于β的任意性，故(2)正确；(3)m与n可以平行可以异面，故(3)不正确；(4)正确．『答案』(2)(4)3．(2013·南通三模)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)．『解析』当l⊥α时，有l⊥m且l⊥n；当l⊥m且l⊥n时，由于m，n不一定相交，故l不一定垂直于α.『答案』充分不必要4．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．『解析』∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交、平行、异面，故①错．∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.『答案』05．(2014·苏州调研)设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；(2)若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；(3)若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；(4)若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是________．『解析』(1)(2)正确；(3)错误，α，β相交或平行；(4)错误，n与m可以垂直，不妨令n ＝α∩β，则在β内存在m⊥n.『答案』(1)(2)。

高三第一轮复习数学---空间的距离（1）一、教学目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二、教学重点：求异面直线间的距离．以及巧用转移方法求距离．三、教学过程：（一）主要知识：(1) 点到直线的距离：点P 到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为A ，过A 作a 的垂线，垂足为B 连PB ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离．在直角三角形PAB 中求出PB 的长即可．(2)异面直线间的距离：异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB 为异面直线a,b 的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线a,b 间的距离．③找或作出分别过a,b 且与b,a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b 间的距离．④(垂面法)a 垂直于过 b 的平面，再过垂足作b 的垂线。

⑤利用异面直线两点间的距离公式。

⑥利用向量中的射影求距离思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理．特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计．（二）例题分析：例1：（１）棱长为a 的正四面体的对棱间的距离为_____；顶点到对面边的距离为____；高为_____；体积为______；外接球半径为_______;内接球半径为___;（２）把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成600的二面角，则点A 到BC 的距离是（ ） Ａ．a Ｂ．a 26 Ｃ．a 33 Ｄ．a 415 解：（１）a 22，a 23，a 36，3122a ；（２）Ｄ；[思维点拔]在翻折中注意什么变了，而什么没有变．例２：在平面β内有△ABC ，在平面外有点S ，斜线SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，且斜线SA ，SB 与平面β所成的角相等，点S 到平面β的距离为4cm ，AC ⊥BC ，且AB ＝６cm ，求点S 与直线AB 的距离解：如图，过S 作SD ⊥平面β于Ｄ点，连结DA ，DB ，则∠SAD ，∠SBD 分别为SA ，SB 和平面β所成的角，∵∠SAD=∠SBD ，从而，Rt △SAD ≌Rt △SBD ，∴SA=SB ，ΘSA ⊥AC ，SB ⊥BC ，∴∠SAC=∠SBC =900．又SC=SC ，∴Rt △SAC ≌Rt △SBC ，∴AC=BC ，取AB 的中点Ｏ，连结SO ，则由于SA=SB ，所以SO ⊥AB ．从而线段SO 的长就是S 点到直线AB 的距离．ΘSD ⊥β，∴DA 是SA 在平面β上的射影．又SA ⊥AC ，由三垂线定理的逆定理，得DA ⊥AC ．同理DB ⊥BC ．又AC ⊥BC ，AC=BC ，∴四边形ABCD 是正方形．∵Ｏ是对角线AB 的中点， OD ＝1/2ＡＢ＝３．在Rt △SOD 中，SD=4，OD=3，SO ＝22OD SD +＝５．即S 到直线AB 的距离等于５cm 。

1. 三种空间角的向量求法：（1）异面直线所成的角：设、a b 分别为异面直线a b 、的方向向量，a b 、所成的角为θ，则有|cos |cos |θ⋅=<>=a b |a,b |a ||b |。

（2）直线与平面所成的角： 记直线a （方向向量为a ）平面α（法向量为n ）所成的角为θ,则sin cos ,θ=<>a n |⋅=a n ||a ||n |。

（3）二面角：①先找出二面角的平面角，再用向量来计算；②先求出二面角中两个面的法向量12、n n ，则12>,<n n 就是所求二面角θ或其补角,即|cos |cos |θ⋅=<>=m n |m,n |m ||n |。

2. 异面直线间的距离的求法：（1）定义法，即求公垂线段的长；（2）转化法：转化为求直线到平面的距离；（3）函数极值法,依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间的距离中最小的；（4）向量法。

3. 点到平面的距离的求法：（1）直接法：直接由点向平面作垂线，求垂线段的长。

（2）转移法，转化成求另一点到该平面的距离（3）等积转化法： 把点到平面的距离看作是一个三棱锥的高，利用三棱锥的每个面都可以作为底面、体积不变的原理，求出这条高。

4. 空间距离的向量解法统一公式可表示为||AB d ⋅=n n 。

例题 （江苏高考卷） 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点。

（1）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；（2）求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值。

解析：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），D （1，1，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），所以A 1B →＝（2，0，－4），C 1D →＝（1，－1，－4），因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝1111A B C D A B C D＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D所成角的余弦值为31010。

9.9 空间距离巩固·夯实基础 一、自主梳理1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行,那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行,它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距离(1)点面距离的向量公式平面α的法向量为n,点P 是平面α外一点,点M 为平面α内任意一点,则点P 到平面α的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值,即d=||||n n ∙.(2)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l,平面α的法向量为n ,点M ∈α、P ∈l,平面α与直线l 间的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值,即d=||||n n ∙.平面α∥β,平面α的法向量为n ,点M ∈α、P ∈β,平面α与平面β的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值,即d=||||n n ∙.(3)异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直,M ∈a 、P ∈b,则两异面直线a 、b 间的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值,即d=||||n n ∙.二、点击双基1.ABCD 是边长为2的正方形,以BD 为棱把它折成直二面角A-BD-C,E 是CD 的中点,则异面直线AE 、BC 的距离为( )A.2B.3C.23D.1解析:易证CE 是异面直线AE 与BC 的公垂线段,其长为所求.易证CE=1.∴选D. 答案:D2.在△ABC 中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14,则P 到α的距离是( )A.13B.11C.9D.7 解析:作PO ⊥α于点O,连结OA 、OB 、OC, ∵PA=PB=PC, ∴OA=OB=OC.∴O 是△ABC 的外心.∴OA=BCA AB ∠sin 2=︒120sin 215=53.∴PO=22OA PA -=11为所求.∴选B. 答案:B3.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.36a B.63a C.43a D.66a 解析:A 到面MBD 的距离由等积变形可得. V A —MBD =V B —AMD .易求d=66a.答案:D4.A 、B 是直线l 上的两点，AB ＝4，AC ⊥ｌ于A ，BD ⊥ｌ于B ，AC ＝BD ＝3，又AC 与BD 成60°的角，则C 、D 两点间的距离是___________________. 解析:CD=22223433±++. 答案:5或435.若a 、b 是两条异面直线,A ∈a,B ∈b,n 是直线a 、b 公垂线的方向向量,则a 、b 间的距离为( )A.·n B.|·n | C.·||n nD.||||n n ∙解析:如图,设EF 为公垂线段,则n ∥,n ⊥AE ,n ⊥,由=++FB ⇒n ·AB =n ·+n ·+n ·,得n ·=n ·=|n |·||·cos 〈n ,〉,而cos 〈n ,EF 〉=1或-1,∴||=||||n n .答案:D诱思·实例点拨【例1】如图,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、O 、O 1分别是A 1B 、AC 、A 1C 1的中点,且OH ⊥O 1B,垂足为H.(1)求证:MO ∥平面BB 1C 1C; (2)分别求MO 与OH 的长;(3)MO 与OH 是否为异面直线A 1B 与AC 的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离. (1)证明:连结B 1C,∵MO 是△AB 1C 的中位线, ∴MO ∥B 1C. ∵B 1C 平面BB 1C 1C,∴MO ∥平面BB 1C 1C.(2)解:MO=21B 1C=22a, ∵OH 是Rt △BOO 1斜边上的高, BO=22a, ∴OH=33a. (3)解:MO 不是A 1B 与AC 的公垂线,MO ∥B 1C,△AB 1C 为正三角形, ∴MO 与AC 成60°角. ∵AC ⊥BD,AC ⊥OO 1, ∴AC ⊥面BOO 1.∵OH 面BOO 1,∴OH ⊥AC,OH ⊥A 1C 1.∵OH ⊥O 1B,A 1C 1∩O 1B=O 1, ∴OH ⊥面BA 1C 1,OH ⊥A 1B.∴OH 是异面直线A 1B 与AC 的公垂线,其长度即为这两条异面直线的距离.链接·提示在立体几何的计算或证明中,常需要计算直角三角形斜边上的高,据面积关系得它等于直角边的积除以斜边,应作为常识记熟并可直接应用.立体几何问题求解,总体上可分为几何法与代数法,要注意选择最简方法求解.本题(3)利用代数向量方法解答也比较简单.【例2】如图所示,已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形,点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点.求:(1)PM 与所成的角;(2)P 点到平面EFB 的距离; (3)异面直线PM 与FQ 的距离.解:建立空间直角坐标系,使得D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a),则由中点坐标公式得P(2a ,0,2a )、Q(2a ,2a,0). (1)∴PM =(-2a ,0,2a ),FQ =(2a ,-2a ,-a), ·=(-2a )×2a +0+2a ×(-a)=43a 2, 且||=22a,|FQ |=26a. ∴cos 〈,〉=||||FQPM =2622432⨯-a a =-23.故得两向量所成的角为150°.(2)设n =(x,y,z)是平面EFB 的单位法向量,即|n |=1,n ⊥平面EFB,∴n ⊥,n ⊥.又=(-a,a,0),EB=(0,a,-a),即有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++.0,0,1222az ay ay ax z y x 得其中的一组解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.33,33,33z y x∴n =(33,33,33),=(2a ,0,2a ).设所求距离为d,则d=|·n |=33a. (3)设e=(x 1,y 1,z 1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由=(-2a ,0,2a ), =(2a ,-2a,-a),得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=++.022,022,111111212121az y a x a z a x az y x 求得其中的一个e=(33,-33,33),而MF =(0,a,0).设所求距离为m,则m=|·e|=|-33a|=33a. 【例3】如图,已知二面角α-PQ-β为60°,点A 和点B 分别在平面α和平面β内,点C 在棱PQ 上,∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a.(1)求证:AB ⊥PQ;(2)求点B 到平面α的距离;(3)设R 是线段CA 上的一点,直线BR 与平面α所成的角为45°,求线段CR 的长度. (1)证明:在平面β内作BD ⊥PQ 于D,连结AD. ∵∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,CD 公用, ∴△ACD ≌△BCD.∴∠ADC=∠BDC=90°,即AD ⊥PQ. 于是PQ ⊥平面ABD,则AB ⊥PQ.(2)解:由(1)知∠ADB 是二面角α-PQ-β的平面角, ∴∠ADB=60°.又PQ ⊥平面ABD, ∴α⊥平面ABD.过B 作BE ⊥AD 于点E,则BE 即为B 到平面α的距离. BE=BD ·sin60°=BC ·sin30°·sin60°=43a. (3)解:连结ER, ∵BE ⊥α,∴∠BRE 是BR 与α所成的角, 即∠BRE=45°,则有BR=45sin BE =46a.易知△ABD 为正三角形,AB=AD=BD=21a. 在△ABC 中,由余弦定理得cos ∠BCA=87.在△BCR 中,设CR=x,由余弦定理得(46a)2=x 2+a 2-2ax ·87,求得x 1=2a ,x 2=45a (舍去,∵CR<AC=a),故CR=2a. 【例4】在正北方向的一条公路上,一辆汽车由南向北行驶,速度为100千米/时,一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行,速度为1007千米/时,从汽车里看飞机,在某个时刻看见飞机在正西方向、仰角为30°,在36秒后,又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处,求飞机飞行的高度.剖析:解本题的关键是按题意画出相应的空间图形,将点(飞机)到水平面的距离,转化到水平面上,利用平面几何知识求解.解:如图,A 、C 分别是汽车、飞机开始的位置,B 、D 分别是经过36秒后的位置,ABEF 是水平面,CFED 是矩形,且CD=360036×1007=7(千米),AB=360036×100=1(千米),CF(或DE)则为飞机飞行的高度,设其为x 千米,在Rt △CFA 中,AF=3x;在Rt △DEB 中,BE=3x.作EG ⊥AB 于G ,EH ⊥AF 于H,则EG=AH=23x, EH=AG=AB+BG=1+23x,FH=23x. 在Rt △FHE 中,EF 2=FH 2+EH 2,即(7)2=(23x)2+(1+23x)2,∴x=1.故飞机飞行的高度为1千米.讲评:这是一道立体几何应用题,认识现实生活中常接触的一些概念:仰角、俯角、方位角、方向角等.应用时确定它们在图形中的位置是关键.。