第5章 空间任意力系

x
y
F1x + F2x − Fx = 0
F y + F2 y + Fy = 0 1
z
F z − Fz + F = 0 1 O
∑M = 0, − F2 yl2 − Fy (l1 + l2 ) = 0 ∑M = 0, F2xl2 + Fzr − Fx (l1 + l2 ) = 0 ∑Mz = 0, Fyr − MO = 0
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 6
解：
以整个系统为 研究对象， 研究对象 ， 建立如 图坐标系Oxyz ， 图坐标系 Oxyz， 画 出系统的受力图。 为了看清胶带 轮 C 和 D 的受力情 况，作出右视图。
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 6
下面以对 x 轴之矩分析为例 说明力系中各力对轴之矩的求法。 说明力系中各力对轴之矩的求法。 力FAx和FBx平行于轴 x ，力 F2和F1通过轴 x 。它们对轴x 的 它们对轴x 矩均等于零。 矩均等于零。 力FAz和FBz对轴 x 的矩分别 为－Faz×0.25 m和FBz × 1.25 m。 m和 m。 力F3和F4可分解为沿轴 x 和沿轴 z 的两个分量，其中沿轴 x 的分量对 的两个分量， 轴 x 的矩为零。所以力F3和F4对轴 x 的矩等于－（F3+F4）cos 30o × 0.75 m 的矩为零。所以力F 的矩等于－
cos( MB , i) =
yFz − zFy MB
zF − xF z cos( MB , j) = x MB
cos( MB , k) =
xFy − yFx MB
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 4
铅直桅杆AB 受彼此互 铅直桅杆 AB受彼此互 相垂 直 的两个 水 平力 F1 和 F2 的作用 ， 并由张索 CD维 的作用， 并由张索CD 维 持平衡。 已知尺寸l 持平衡 。 已知尺寸 l ， 力 F1 和F2，向D点简化的结果是 力螺旋，试求D点的位置。 力螺旋，试求D点的位置。
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 4
解：
令BD=s,将力F1和F2 BD=s,将力F
向 D 点 简 化得 主 矢 F'R 和 主矩M 在坐标轴x 主矩 MD 在坐标轴 x1 ， y1 上的投影： 上的投影：
F'Rx1 = −F 1 F'Ry1 = −F 2
Mx1 = F s 2 My1 = F (l − s) 1
例 题 5
涡轮发动机的涡轮叶片上受 到的燃气压力可简化成作用在涡轮 盘上的一个轴向力和一个力偶。 盘上的一个轴向力和一个力偶。图 示中F 示中FO ， MO , 斜齿轮的压力角为α， 斜齿轮的压力角为α 螺旋角为β 节圆半径r 螺旋角为β，节圆半径r及l1 , l2尺寸 均已知。发动机的自重不计， 均已知。发动机的自重不计，试求 输出端斜齿轮上所受的反作用力F 输出端斜齿轮上所受的反作用力 F 以及径向推力轴承O 以及径向推力轴承 O1 和径向轴承 O2 处的约束力。 处的约束力。
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 6
系统受空间任意力系的作用， 系统受空间任意力系的作用， 可写出六个平衡方程。 可写出六个平衡方程。
∑F
x
= 0,
FAx + FBx + (F3 + F4 ) sin 30o = 0
∑F = 0,
z
FAz + FBz − (F3 + F4 ) cos 30o − (F + F2 ) = 0 1
可得力F 对坐标轴的矩： 可得力F 对坐标轴的矩：
F
C
α β
B
MBx = 7.80 N ⋅ m
y
F′
MBy = 0
x y1
MBz = −3.18 N ⋅ m = MAB (F)
此后可按下式计算出力矩 M B（F） 的大小和方向余弦。 的大小和方向余弦。
A
x1
2 2 2 MB (F) = MBx + MBy + MBz
力 F 对 AB 的矩等于 AB的矩等于
z
F
B C
α β
这力在平面Bxy 上的投影 这力在平面 Bxy上的投影 F '对点B的矩，即 对点B的矩，
y
F′
MAB (F) = MB (F′)
y1
x
= −F cos β × BC cos αAx1= −3.18 N ⋅ m
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例题 空间任意力系 空间任意力系
则
7
例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 2
在直角弯杆的C 在直角弯杆的C端作 用着力F 用着力F，试求这力对坐 标轴以及坐标原点O的矩。 标轴以及坐标原点O的矩。 已知OA 已知OA =a = 6 m，AB=b= m， 4 m，BC=c=3 m，α=30º, BC=c= m，α=30º β=60º β=60º。
∑M
x
= 0, − FAZ × 0.25 m + FBZ ×1.25 m − (F3 + F4 ) cos 30o × 0.75 m = 0
= 0, (−F + F ) × 0.4 m + (F − F ) × 0.2 m = 0 1 2 3 4
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 4
因为向D点简化是力螺旋， 因为向D点简化是力螺旋，即 有F'R//MD ,故 //M
F'Rx1 F'Ry1
=
Mx1 My1
F F2 s 1 = F2 F (l − s) 1
从而解得所求距离
F s= 2 1 2l F + F2 1
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2
例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 3
z
力F 对点B 的矩可如下计算。 对点B 的矩可如下计算。
F
C
α β
B
坐标原点取在B 坐标原点取在B点，C点的坐标： 点的坐标：
y
F′
x=0 x=0，
y=0.18 m， y=0.18 m，
z=0 z=0
力F 的各投影： 的各投影：
x y1
Fx = F cos β cos α = 17.7 N
A
x1
Fy = F cos β sin α = 17.7 N
Fz = F sin α = 43.3 N
于是根据力对轴的矩之解析表达式
Mz (F ) = xFy − yFx
M y (F ) = zFx − xF z
Mx (F ) = yFz − zFy
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 3
z
5
例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 1
解：
方法1 方法1 应用合力矩定理求解。 应用合力矩定理求解。 力F 沿坐标轴的投影分别为： 沿坐标轴的投影分别为：
Fx = F sin α Fy = 0 Fz = −F cos α
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零， 时力对该轴的矩为零，则有
Mx (F ) = Mx (FZ ) = −Fz ( AB + CD) = −F(l + b) cos α Mz (F ) = Mz (Fx ) = −Fx ( AB + CD) = −F(l + b) sin α
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 5
解：
取整个系统为研究对象， 取整个系统为研究对象 ， 建 立如图坐标系O xyz， 立如图坐标系O1xyz，画出系统的 受力图。 受力图。 其中在径向推力轴承O 其中在径向推力轴承O1处的约 束力有三个分量。在径向轴承O 束力有三个分量。在径向轴承O2处 的约束力只有两个分量。 的约束力只有两个分量。 在斜齿轮上所受的压力F 在斜齿轮上所受的压力 F 可 分解成三个分力。周向力F 分解成三个分力 。周向力 Fy ， 径 向力F 和轴向力F 向力Fx 和轴向力Fz 。其中： 其中：
Mx cos( MO , i) = = 0.845 MO
cos( MO , j) =
My MO
= −0.531
Mz cos( MO , k) = = 0.064 MO
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例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 3
z
在轴AB 的手柄 的 在轴 AB的手柄 BC的 的手柄BC
F
C
α β
B
一端作用着力F 一端作用着力 F ， 试求这
6
M y (F ) = M y (FZ ) = −Fz BC = −Fl cos α
例题 空间任意力系 空间任意力系
例 题 1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。 方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
Mx (F ) = yFz − zFy M y (F ) = zFx − xF z Mz (F ) = xFy − yFx
因为力在坐标轴上的投影分别为： 因为力在坐标轴上的投影分别为：
Fx = F sin α,
x = −l,
Fy = 0,
Fz = −F cos α
z =0
力作用点D 的坐标为： 力作用点D 的坐标为：
y = l + b,
M x (F ) = yFz − zFy = (l + b)(− F cos α ) − 0 = −F(l + b) cos α Mz (F ) = xFy − yFx = 0 − (l + b)(F sin α ) = −F(l + b) sin α M y (F ) = zFx − xFz = 0 − (− l )(− F cos α ) = −Fl cos α