高考数学必考题型预测

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第一章集合与简单逻辑1.1 集合高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．题型一.集合中元素的个数1．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的个数为3．故选：B．2．（2015•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．2【答案】D．【解析】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．3．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C ．【解析】解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，∴A ∩B ＝{（x ，y ）|{y ≥xx +y =8，x ，y ∈N ∗}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}．∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．4．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A ．【解析】解：当x ＝﹣1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，当x ＝0时，y 2≤3，得y ＝﹣1，0，1，当x ＝1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，即集合A 中元素有9个，故选：A ．5．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B ．【解析】解：法一：由{x 2+y 2=1y =x ，解得：{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22，∴A ∩B 的元素的个数是2个，法二：画出圆和直线的图象，如图示：，结合图象，圆和直线有2个交点，故A ∩B 中元素的个数为2个，故选：B ．题型二.集合与集合之间的关系1．（2015•重庆）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，则（ ）A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ⫋BD ．B ⫋A 【答案】D ．【解析】解：集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，可得A ≠B ，A ∩B ＝{2，3}，B ≠⊂A ，所以D 正确．故选：D ．2．（2015•港澳台）设集合A ⊆{1，2，3，4}，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个 【答案】C ．【解析】解：∵集合A ⊆{1，2，3，4}，A 至少有3个元素，∴满足条件的集合A 有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，∴这样的A 共有5个．故选：C ．3．（2012•新课标）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则（ ）A ．A ⫋BB ．B ⫋AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅【答案】B ．【解析】解：由题意可得，A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，在集合B 中的元素都属于集合A ，但是在集合A 中的元素不一定在集合B 中，例如x =32∴B ⫋A ．故选：B．4．（2012•湖北）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】解：由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选：D．5．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【答案】D．【解析】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1＜x＜2}；则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，故选：D．题型三.集合的基本运算1．（2021•北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}【答案】B．【解析】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：B．2．（2021•新高考Ⅲ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}【答案】B．【解析】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以∁U B＝{1，5，6}，故A∩∁U B＝{1，6}．故选：B．3．（2019•新课标Ⅲ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【答案】C．【解析】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．4．（2016•天津）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【答案】D．【解析】解：把x＝1，2，3，4分别代入y＝3x﹣2得：y＝1，4，7，10，即B＝{1，4，7，10}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}，故选：D．5．（2021•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C．【解析】解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，则T⊊S，则S∩T＝T，故选：C．6．（2017•山东）设集合M＝{x||x﹣1|＜1}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）【答案】C．【解析】解：集合M＝{x||x﹣1|＜1}＝（0，2），N＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2），∴M∩N＝（0，2），故选：C．7．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅【答案】A．【解析】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．8．（2013•辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]【答案】D．【解析】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A＝（1，4），∵B＝（﹣∞，2]，∴A∩B＝（1，2]．故选：D．题型四.集合中的含参问题1．（2013•江西）若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【答案】A．【解析】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．2．（2020•新课标Ⅲ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【答案】B．【解析】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤−12a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得−12a＝1，则a＝﹣2．故选：B．3．（2017•新课标Ⅲ）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【答案】C．【解析】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．4．（2013•上海）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a﹣1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【答案】B．【解析】解：当a＞1时，A＝（﹣∞，1]∪[a，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a＝1时，易得A＝R，此时A∪B＝R；当a＜1时，A＝（﹣∞，a]∪[1，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．5．（2020•海南）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C．【解析】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．一．单选题（共8小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，若A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣1或0B．0或1C．﹣1或2D．1或2【答案】D．【解析】解：集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．2．设全集U＝R，集合A={x|xx+3＜0}，B={x|x≤−1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜﹣3}C．{x|﹣3＜x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【答案】D．【解析】解：由xx+3＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A＝{x|﹣3＜x＜0}，∵B＝{x|x≤﹣1}，∴∁U B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜0}，故选：D．3．若集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2x≥√2}，则A∩B＝（）A．[12，3]B．[12，1]C．[−3，12]D．[2，3]【答案】A．【解析】解：∵A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≥12}，∴A∩B=[12，3]．故选：A．4．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B．【解析】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．5．集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，集合B＝{y|y=√x2+2x+5}，则A∩∁R B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（1，2）D．（1，2]【答案】C．【解析】解：∵y=√x2+2x+5=√(x+1)2+4≥2，∴B＝[2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2）．∵x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞）．∴A∩∁R B＝（1，+∞）∩（（﹣∞，2）＝（1，2）．故选：C．6．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【答案】D．【解析】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），故选：D．7．集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，1，0}【答案】D．【解析】解：∵集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，B⊆A，∴B＝∅或B＝{﹣1}或B＝{2} ∴a＝0，1，﹣2．∴由实数a组成的集合为：{﹣2，1，0}．故选：D．8．已知集合A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +3}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣4）＞0}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．（1，3）C ．[1，3]D ．[3，+∞）【答案】B ．【解析】解：B ＝{x |x ＜1，或x ＞4}；∵A ∪B ＝R ；∴{a −2＜1a +3＞4；∴1＜a ＜3； ∴a 的取值范围是（1，3）．故选：B ．二．多选题（共4小题）9．若集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则（ ）A ．0∈PB ．﹣1∉TC ．P ∩T ＝∅D ．P ＝T 【解答】解：集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }＝{x |x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，故0∈P ，选项A 正确，故﹣1∉T ，选项B 正确，故P ∩T ＝[0，+∞），选项C 错误，P ＝R ，T ＝[0，+∞），选项D 错误．故选：AB ．10．设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，则（ ）A ．A ∩B ＝{0，1}B ．∁U B ＝{4}C ．A ∪B ＝{0，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为8【解答】解：∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，∴A ∩B ＝{0，1}，故A 正确，∁U B ＝{2，4}，故B 错误，A ∪B ＝{0，1，3，4}，故C 正确，集合A 的真子集个数为23﹣1＝7，故D 错误故选：AC ．11．已知集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，使A ∩B ≠∅的实数m 的值可以是（ ）A ．0B ．﹣2C ．4D ．6【解答】解：因为集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ≠∅，则m ＞﹣2．故选：ACD ．12．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列说法正确的是（）A．若A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2＞4}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}B．若A﹣B＝∅，则B⊆AC．若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则S﹣A＝∁S AD．若A∩B＝{2}，则2一定是集合A﹣B的元素【解答】解：对于A：B＝{x|x2＞4}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}，故A正确；对于B：如A＝{3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝∅，但B⊈A，所以B错误；对于C：A是高一（1）班全体女同学的集合，∁S A是高一（1）班全体男同学的集合，S﹣A是高一（1）班全体男同学的集合，所以C正确；对于D：若A∩B＝{2}，则2∈A且2∈B，所以2∉A﹣B，故D错误；故选：AC．。

2024年高考数学临考押题卷02（新高考通用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A ．(]1,0-B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)0,1【答案】B【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合{}21210|12A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，因为211x +≥，所以()2lg 10x +≥，所以集合(){}{}2lg 1|0B y y x y y ==+=≥，所以10,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选：B.2．复数()i 1i 35i+-的共轭复数为（）A ．41i 1717--B ．41i 1717-+C ．41i 1717-D ．41i 1717+【答案】B【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的定义即可得解.【详解】因为()()()()()i 1i 1i 35i 1i 82i 41i 35i35i 35i 35i 341717+-++-+--====-----+，所以()i 1i 35i+-的共轭复数为41i 1717-+.故选：B.3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（）A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】A【分析】把等比数列{}n a 各项用基本量1a 和q 表示，根据已知条件列方程即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3215S a a =+，得：123215a a a a a ++=+，即：23114a a a q ==，所以，24q =，又54a =，所以，4222111()44a q a q a ==⨯=，所以，114a =.故选：A.4．若23a=，35b =，54c =，则4log abc =（）A ．2-B ．12C ．2D ．1【答案】B【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.【详解】由23a=，35b =，54c =，可得235log 3,log 5,log 4a b c ===，所以235lg 3lg 5lg 4log 3log 5log 42lg 2lg 3lg 5abc =⨯⨯=⨯⨯=，则441log log 22abc ==.故选：B.5．关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法：①()f x 的最大值为3②()f x 的图象可由3sin y x =的图象平移得到③()f x 的图象上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图象关于直线π3x =对称若有且仅有一个说法是错误的，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．32-C ．32D ．2【答案】D【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【详解】说法②可得1ω=，说法③可得π22T =，则2ππT ω==，则2ω=，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意3A =，1ω=，ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0k =，π6ϕ=，即()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；说法①③④成立时，由题意3A =，2ω=，2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ20,62k ϕπ⎛⎫=-∉ ⎪⎝⎭，故不合题意.故选：D.6．设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x轴切于点A ，直线0x +交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（）A B C D 【答案】D 【分析】先根据圆的弦长公式求出线段BC 的长度，再求出直线0x +的倾斜角，即可求得OA 与BC的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意()1,0A ，圆心()1,2M ，()1,2M 到直线0x +距离为12，所以BC =直线0x +π6，则OA 与BC 的的夹角为π6，所以cos ,1OA BC OA BC OA BC ⋅===故选：D ．7．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径r ，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232ππ22V R R R =⋅根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321V V V R R R =-.故选：C.8．定义{}{},,max ,,min ,,,a a b b a ba b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，对于任意实数0,0x y >>，则2211min max 2,3,49x y x y ⎧⎫⎧⎫+⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭的值是（）AB C D 【答案】A【分析】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则2211323(2)(3)M x y x y ≥+++，构造函数21()0)f x x x x=+>，利用导数求出函数()f x 的最小值进而得23632M ≥，化简即可求解.【详解】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则22112,3,49M x M y M x y ≥≥≥+，得222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++，设21()(0)f x x x x =+>，则33322()1x f x x x -'=-=，令()00f x x '<⇒<<，()0f x x '>⇒>所以函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，故min 233()2f x f ==，即233()2f x ≥，得223333(2)(3)22f x f y ≥≥，所以2222233311336323(2)(3)(2)(3)222M x y f x f y x y ≥+++=+≥+=，得2322M ≥2211min{max{2,3,}}49x y x y +=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++构造函数21()0)f x x x x =+>，利用导数求得M 即为题意所求.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

【考前预测篇1】热点试题精做1．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}2320A x x x =-+>，{}1,B m =，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()(),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()2,+∞ 【答案】B【解析】由题可知，{}()(){}{}232012012A x x x x x x x x x =-+>=-->=或．因为A B ≠∅，所以m A ∈，即1m <或2m >，所以实数m 的取值范围是()(),12,-∞+∞．故选：B2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知集合{}{}22540,7100A x x x B x x x =-+<=-+<，则A B ⋃=（ ）A ．()1,2B ．()1,5C ．()2,4D ．()4,5【答案】B【解析】{}{}14,25A x x B x x =<<=<<，故A B ⋃=()1,5.故选：B. 3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））若1i1iz +=-，则z z ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2【答案】A 【解析】解：()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z +++===--+，则i z =-，所以()i i 1z z ⋅=⋅-=，故选：A4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z +=，则z =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B 【解析】由已知2222221ii (1i)12i i 2i i i z ======-+++，所以i 1z =-=．故选：B ．5．（2022·湖南湘潭·三模）已知平面向量()2,3a x =+-，()6,24b x x =++，则“2x =-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为向量()2,3a x =+-，()6,24b x x =++， 由a b ⊥，可得()()()263240x x x ++-+=，解得0x =或2x =-， 所以“2"x =-是“a b ⊥"的充分不必要条件.故选：B. 6．（2022·陕西宝鸡·三模（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间(0,)4π上单调递减B ．()f x 的图像关于直线()Z 2x k k ππ=+∈对称C ．()f xD ．()f x 在区间[,]-ππ上有3个零点 【答案】C【解析】依题意，函数),224()sin cos (Z)),224x k x k f x x x k x k x k ππππππππ+≤<+=+=∈+-≤<， 对于A ，(0,)4x π∈时，())4f x x π+在(0,)4π上单调递增，A 不正确；对于B，()sin cos444f πππ=+=(2)|sin(2)|cos(2)444f k k k πππππππππ+-=+-++-sincos044ππ=-=，Z k ∈，即点(,())44f ππ在函数()f x 的图像上，而该点关于直线()Z 2x k k ππ=+∈的对称点(2,())44k f ππππ+-不在函数()f x 的图像上，B 不正确；对于C ，当22(Z)k x k k πππ≤≤+∈时，522(Z)444k x k k πππππ+≤+≤+∈，函数())4f x x π+的取值集合是[-，当22(Z)k x k k πππ-≤≤∈时，322(Z)444k x k k πππππ-≤+<+∈，函数())4f x x π=+的取值集合是[-，因此，函数()f x 在R 上的值域为[-，则()f x 的最大值为，C 正确；对于D ，当[,0]x π∈-)04x π+=得34x π=-，当[0,]x π∈时，由)04x π+=得34x π=，则()f x 在[,]-ππ上只有2个零点，D 不正确. 故选：C7．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象大致如图所示．将函数()2236g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为偶函数，则θ=（ ）A ．6πB ．3πC ．8πD ．12π【答案】C【解析】由图可知，1A =，22436πππω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1ω=，又由五点画图法有106πϕ⨯+=，可得6πϕ=-，可得()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()cos 2cos 2sin 2cos 2236664g x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()g x 向左平移02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后，所得函数为 ()()22244h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由奇偶性及02πθ<<，可得242θππ+=，可得8θπ=．故选：C8．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC1b c -=，1cos 4A =，则=a （ ）A ．10B ．3 CD【答案】C 【解析】因为1cos 4A =，则sin A1sin 2ABCS bc A ===， 所以6bc =，又1b c -=，可得3b =，2c =，所以2222cos 10a b c bc A =+-=，即a =故选：C9．（2022·北京通州·一模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3520a a +=，则7S =（ ）A ．60B ．70C ．120D ．140【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，3520a a +=，则44220,10a a == ， 故174747()7277022a a a S a +⨯====，故选：B 10．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ）A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C【解析】对于2n S n =，当n =1时，111a S ==； 当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=； 经检验，21n a n =-对n =1也成立，所以21n a n =-.所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以201111112012335394141T ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：C11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有（ ）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角 ③截面1AEC 周长的最小值为A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【答案】C【解析】取AC 中点D ，11A C 中点F ，连接DF ，矩形11ACC A 中可得1//DF AA ，1DF AA =，1AA ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，所以D 是ABC 外心，同理F 是111A B C △的外心，所以DF 的中点O 是直三棱柱外接球的球心，由已知AC CD =，又1211A O A D ==，所以OC ，所以外接球的体积为343V π=⨯=，①正确；矩形11AA B B 中，11,2AB AA ==，1AA 为直径的圆与1BB 相切，切点为1BB 的中点，当E 为切点时，190AEA ∠=︒．当E 是1BB 上其他点时，190AEA ∠<︒，②错误；1AEC中，1AC =11BB C C 与矩形11ABB A 摊平，得正方形11''AAC C ，当1,,A E C '共线时，1AE EC +最短，最短为 所以截面1AEC周长的最小值为故选：C ．12．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知在ABC 中,角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且π,a A ==26.又点 ,,A B C 都在球O 的球面上,且点O 到平面ABC则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．63π2C ．36πD ．45π【答案】C【解析】设ABC 的外接圆半径为r ，球的半径为R ，则 在ABC 中，由正弦定理，得πsin sin a r A ===2246，解得2r =.又因为点O 到平面ABC 所以3R ==.所以球O 的表面积为224π4π336πS R ==⨯⨯=.故选：C.13．（2022·广西南宁·二模（理））已知F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）．A B ．13C D 【答案】C【解析】设椭圆右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=． 因为120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒．所以62PF PF PF a ''+==，则13PF a '=，53PF a =．由余弦定理可得()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-，即2222574433c a a a =-=，即22712c a =故椭圆离心率e =， 故选：C ．14．（2022·河南·模拟预测（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在C 的一条渐近线上，且FB BO ⊥（点O 为坐标原点），直线FB 与y 轴交于点D ．若直线AB 过线段OD 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2 D【答案】C【解析】设OD 中点为Q ，即直线AB 交y 轴于Q ，由双曲线方程知：一条渐近线方程为by x a=-，(),0F c -，(),0A a ， 则直线FD 方程为：()a y x c b =+，令0x =，则D ac y b =，即0,ac D b ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2a x c ab yc ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab B c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2ABabc c k a a c a c∴==-+--，∴直线AB 方程为：()b y x a a c =--+， 令0x =，则Q aby a c =+，又Q 为OD 中点，2ab ac a c b∴=+， 则2222222b ac c c a =+=-，即2220c ac a --=，220e e ∴--=，解得：1e =-（舍）或2e =.故选：C.15．（2022·江苏泰州·模拟预测）将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】先将4人分成2，1，1的三组，有24C 6=种，再分配到3个核酸检测点有33A 6=种，按照分步乘法计数原理，共有6636⨯=种.故选：D.16．（2022·四川绵阳·三模（文））今4名医生分别到A 、B 、C 三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】先从4名医生中任选2人，组成一个小组，有24C 种不同的选法，将此小组连同另外的2人作为3个不同元素，在三所医院排序，有3!种排序方式，根据乘法计数原理，共有24C ?3!种不同的安排方式；其中甲、乙两名医生组成一个小组，与其余两人，看成三个不同元素，A 、B 、C 三所医院作为位置，进行全排列，共有3!种不同的安排方式，故甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为243!1C ?3!6=,故选：C.17．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知3log 16a =，2log 5b =，5log 35c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【答案】D【解析】25552223324825616163⎛⎫==<=⇒> ⎪⎝⎭，所以52335log 16log 32a =>=，25552222232552⎛⎫==>⇒< ⎪⎝⎭，499944422512625552⎛⎫==<=⇒> ⎪⎝⎭，所以9542222log 2log 5log 2<<，即9542b <<. 5555log 35log 5log 71log 7c ==+=+，45554445531252401775⎛⎫==>=⇒< ⎪⎝⎭， 所以5455591log 71log 5144c =+<+=+=，综上所述，a b c >>.故选：D18．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】因为()21,0212,02122,2x x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()()()2210f x k xf x kx -++=可得()()0f x x f x kx -⋅-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，关于x 的方程()f x x =、()f x kx =共有3个不同的实数解. ①先讨论方程()f x x =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x x =+=，可得0x =， 当102x <≤时，由()2f x x x ==，可得x ∈∅， 当12x >时，由()22f x x x =-=，可得23x =， 所以，方程()f x x =只有两解0x =和23x =； ②下面讨论方程()f x kx =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x kx =+=可得102x x k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得0x =或12x k =-，当102x <≤时，由()2f x x kx ==，可得2k =，此时方程()f x kx =有无数个解，不合乎题意，当12x >时，由()22f x x kx =-=可得22x k =+，因为0k >，由题意可得10221220k k k ⎧-<⎪⎪⎪≤⎨+⎪>⎪⎪⎩或10222230k k k ⎧-<⎪⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩或10221222223k k k ⎧-≥⎪⎪⎪>⎨+⎪⎪≠⎪+⎩， 解得112k ≤<或12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故选：B.19．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC内一个动点，且满足12PD PB += ）A ．1B D PB ⊥B ．点P的圆 C ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为3πD ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为32 【答案】ACD【解析】对于A 选项，连接11B D ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111AC DD ⊥，因为1111B D DD D =，11A C ∴⊥平面11B DD ，1B D ⊂平面11B DD ，111B D AC ∴⊥， 同理可证11B D A B ⊥，1111A B AC A ⋂=，1B D ∴⊥平面11ABC ， PB ⊂平面11A BC ，1PB B D ∴⊥，A 对；对于B 选项，设1B D ⋂平面11A BC E =，因为1111A B BC AC ===11111A B BB B C ==，所以，三棱锥111B A BC -为正三棱锥，因为1B E ⊥平面11A BC ，则E 为正11A BC的中心，则12sin3A B BE π==所以，1B E =13B D=，11DE B D B E ∴=-=1B D ⊥平面11A BC ，PE ⊂平面11A BC ，1PE B D ∴⊥，即1B E PE ⊥，DE PE ⊥，因为12PD PB +=2=0PE >，解得1PE =， 所以，点P 的轨迹是半径为1的圆，B 错；对于C 选项，1B E ⊥平面11A BC ，所以，1B P 与平面11A BC 所成的角为1B PE ∠，且11tan B E B PE PE ∠==102B PE π≤∠≤，故13B PE π∠=，C 对； 对于D 选项，点E 到直线1BC的距离为12BE =， 所以点P 到直线1BC1， 故1BPC的面积的最大值为3122=，因为1B E ⊥平面11A BC ，则三棱锥11B BPC -的高为1B E ， 所以，三棱锥11P BB C -体积的最大值为3132⨯D 对.故选：ACD.20．（2022·湖南常德·一模）如图所示，三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC PC ===，D 为线段AB 上的动点（D 不与,A B 重合），且AD PD =，则（ ）A ．PA CD ⊥B ．45DPC ∠=︒C ．存在点D ，使得PA BC ⊥ D ．三棱锥P BCD - 【答案】ABD【解析】三棱锥P ABC -中，取PA 中点E ，连接DE ，CE ，如图，因1AC BC PC ===，AD PD =，则,DE PA CE PA ⊥⊥，而DE CE E ⋂=，,DE CE ⊂平面CDE ，则有PA ⊥平面CDE ，又CD ⊂平面CDE ，所以PA CD ⊥，A 正确；因AC BC ⊥，1AC BC PC ===，则45CAB ∠=，又AD PD =，则PCD ACD ≅， 于是得45DPC CAB ∠=∠=，B 正确；假设存在点D ，使得PA BC ⊥，由选项A 知PA CD ⊥，又CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面ABC ，则PA ⊥平面ABC ，而AC ⊂平面ABC ，于是得线段AC 是平面ABC 的斜线段PC 在平面ABC 上的射影，必有PC AC >，与1AC PC ==矛盾，所以假设是错的，C 不正确；令(0PD AD x x ==<，则BD x =，令PD 与平面ABC 所成角为(0)2πθθ<≤，因此，点P 到平面ABC 的距离sin sin h PD x θθ==，而1sin )24CBDSCB DB x π=⋅， 则三棱锥P BCD -的体积21)sin sin 3BCDV Sh x θθ=⋅=≤≤当且仅当x =2πθ=时取“=”，所以当D 是AB 中点，且PD ⊥平面ABC时三棱锥P BCD -，D 正确. 故选：ABD21．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()()cos (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．f （x ）的最小正周期为2C ．将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数5cos()4y x ππ=-的图像D ．若f （x ）在区间[2，t ]上的值域为[－1，则t 的取值范围为[114，72]【答案】BD【解析】由图像可得()0cos f ϕ==2πϕ<，所以4πϕ=±又因为0x =属于()f x 的单调递减区间，0>ω，所以4πϕ=，故A 错误，因为()302f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33cos 1444f πω⎛⎫⎛⎫=⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322T T <<所以可得ωπ=，即()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2T =，故B 正确，将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数()3cos 1cos()44y x x ππππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图像，故C 错误，当[]2,x t ∈时，9,444x t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若值域为⎡-⎢⎣⎦，则153,44t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，解得117,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BD22．（2022·广西南宁·二模（理））已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()20c a b ⋅-=，则实数λ=______．【答案】12【解析】易得()23,6a b -=-，∵()20c a b ⋅-=，∴3160λ-⨯+=，解得12λ=．故答案为：12﹒23．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos (2)cos ,a B c b A a =-=D 在边BC 上，且2BD DC =，则AD的最大值是___________.【答案】1【解析】由cos (2)cos ,a B c b A a =-=sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，因为sin 0C ≠，0A π<<，所以1cos ,23A A π==，设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R，则由正弦定理得12sin 2sin 3a R A ===⨯， 如图所示，取BC 的中点M ，在t R BOM 中，221BC BM OM ====； 在t R DOM 中，DM BD BM OD =-====1AD AO OD R OD ≤+=+=+，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 的最大值是1，故答案为：1．24．（2022·广西南宁·二模（理））从①()222cos cos c B b C b c +=+；②()sinA C b +=；③()2sin b A a B =．选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．已知ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．若______． (1)求角A 的大小；(2)设4a =，b =ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】(1)若选①，因为()222cos cos c B b C b c +=+及sin sin sin a b cA B C==，得()222sin cos sin cos sin sin sin C B B C B C B C +=+，所以()222sin sin sin sin C B B C B C +=+．因为πA B C ++=，所以222sin sin sin sin A B C B C =+．所以222a b c =+．又222cos 2b c a A bc+-=，所以cos A =因为0πA <<，得π6A =．若选②，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==及()sin A C b +=，得()sin sin A C B +=，则sin sin B B =得sin tan cos A A A ==因为()0,πA ∈，所以π6A =．若选③，由()2sin b A a B =得2sin cos b a B A =． 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得2sin sin sin cos B A B B A =． 因为sin 0B >，所以sin 2A A =． 即πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为0πA <<，所以ππ32A +=得π6A =． (2)由4a =，b =sin sin b aB A =且π6A =，4πsin 6=，化简得sin B =． 因为0πB <<，则π3B =或2π3B =． 若π3B =，则π2C =，则1sin 2ABC S ab C ==△， 若2π3B =，则π6C =，则1sin 2ABCS ab C == 所以ABC的面积为25．（2022·甘肃兰州·模拟预测（文））在①5913S S =，②2a 是1a 和4a 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =． (1)______，求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2na nb =，n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】(1)选①：由于()1553552a a S a +==，()1995992a a S a +==所以53955193S a S a ==，又36a =，所以510a =，故()53122d a a =-=所以()332n a a n d n =+-=；选②：2a 是1a 和4a 的等比中项，则2214a a a =， 所以()()()23332d d a d a a -=-+，又36a =，解得2d =，0d =（舍去） 所以()332n a a n d n =+-=； (2)24==n a n n b ，24n n n n c a b n =+=+，则()()()22422424n n T n =++⨯++++ ()()2212444n n =+++++++ ()()22414441143n nn n n n -=++=++-- 26．（2022·河南焦作·二模（文））小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x （单位：2m ）和日均客流量y （单位：百人）的数据(),(1,2,,20)i i x y i =⋅⋅⋅，并计算得2012400i i x ==∑，201210i i y ==∑，()202142000i i x x =-=∑，()()2016300i i i x x y y =--=∑.(1)求y 关于x 的回归直线方程；(2)已知服装店每天的经济效益(0,0)W mx k m =>>，该商场现有260~150m 的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积．．．．的经济效益Z 最高，小李应该租多大面积的商铺?附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【解析】(1)由已知可得201112020i i x x ===∑，201110.520i i y y ===∑，()()()20120216300ˆ0.1542000iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ10.50.151207.5a y bx=-=-⨯=-， 所以回归直线方程为ˆ0.157.5yx =-. (2)根据题意得W Z m x ==，60150x ≤≤. 设220.157.50.157.5()x f x x x x -==-，令1t x =，1115060t ≤≤， 则22()()0.157.57.5(0.01)0.00075f x g t t t t ==-=-⨯-+， 当0.01t =，即100x =时，()f x 取最大值， 又因为k ，0m >，所以此时Z 也取最大值， 因此，小李应该租2100m 的商铺.27．．（2022·河南·模拟预测（理））已知直角梯形ABCD 如图1所示，其中//AD BC ，AD CD ⊥，E 为线段AD 的中点，12BC CD AD ==．现将DCBE 沿BE 翻折，使得AD AE =，得到的图形如图2所示，其中G 为线段BE 的中点，F 为线段DE 的中点.(1)求证：AF ⊥平面BCDE ；(2)求直线DG 与平面ABC 所成角的正弦值． 【解析】(1)由已知可知BE AE ⊥，BE DE ⊥， 而AE DE E =，∴BE ⊥平面ADE ． ∵AF ⊂平面ADE ，∴BE AF ⊥．∵AE DE AD ==，∴ADE 为等边三角形． 又点F 为DE 的中点．∴AF DE ⊥． 又BE DE E ⋂=，∴AF ⊥平面BCDE ．(2)如图，设AE 的中点为O ，AB 的中点为P ，连接DO ，PO ．∵ADE 为等边三角形，∴DO AE ⊥．∵BE ⊥平面ADE ，DO ⊂平面ADE ，∴BE DO ⊥． 又∵BE AE E =，∴DO ⊥平面ABE ，∴DO OP ⊥． ∵点O ，P 分别为AE 和AB 的中点，∴OP BE ∥，∴OP ⊥平面ADE ，∴OP EA ⊥，∴OP ，OA ，OD 两两互相垂直．以O 为坐标原点，以OP ，OA ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设1OA =，则()0,1,0A ，(D ，()0,1,0E -，()2,1,0B -，()1,1,0G -，∴()2,2,0AB =-，(BC ED ==，(1,1,DG =-． 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则2200n AB x y n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则()3,3,1n =-．3cos n DG n DG n DG⋅∴===，故直线DG 与平面ABC28．（2022·福建三明·模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点恰好为圆A ：22430x y x +-+=的圆心，且圆A 上的点到直线1l ：0bx ay -=1． (1)求C 的方程；(2)过点（3，0）的直线2l 与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且)(OM OP OQ λ=+，弦PQλ的取值范围．【解析】(1)圆A 化为标准方程：22(2)1x y -+=，圆心(2,0)A ，半径1r =，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即2a =，圆心(2,0)A 到直线1:0l bx ay -=的距离d =∴圆A 上的点到直线1:0l bx ay -=的距离的最大值为11d r +=++，=1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)由题意可知，直线2l 的斜率一定存在，设直线2l 的方程为(3)y k x =-，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程22(3)14y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(14)243640k x k x k +-+-=，∴∆42225764(14)(364)16800k k k k =-+-=->，解得2105k <，∴21222414k x x k +=+，212236414k x x k -=+，()2121222246661414k ky y k x x k k k ⎛⎫-∴+=+-=⋅-= ⎪++⎝⎭， 因为PQ ==≤所以可解得218k ≥，所以21158k >≥设PQ 中点N ，所以2212(14kN k +，23)14k k -+， ∴22242(14k OP OQ ON k +==+，26)14k k -+， 222311412414ONkk k k k k -+∴==-+，∴直线ON 的方程为14y x k=-，)(OM OP OQ λ=+，M ∴为直线ON 与椭圆的交点，联立方程221414y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x =M ∴或(M，∴16(1OM =或(OM =， 222414k k λ⋅+，∴2222221624()1414k k k k λ=⋅++， 2222222161411()1424369k k k k k λ+∴=⋅=++，又21185k ≤<，2111133694k ∴≥+>， ∴13≥214λ>，12λ∴<≤12λ≤<-即实数λ的取值范围为1122⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦29．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知函数()1ln 1xf x x x-=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>. 【解析】(1)()()()()2222ln 112ln 111xx x x x f x x x x x x ---'=-+=+++， 令()212ln g x x x x =--，则()()22ln 22ln 1g x x x x x '=---=-++，()12221x g x xx+⎛⎫''=-+=-⎪⎝⎭； 当0x >时，()0g x ''<，()g x '∴在()0,∞+上单调递减， 又()()22e2e10g --'=-->，()140g '=-<，()20e ,1x -∴∃∈，使得()00g x '=，则当()00,x x ∈时，()0g x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()()()0max 10g x g x g ∴=>=，又当()0,1x ∈时，210x ->，2ln 0x x ->；∴当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<；()f x ∴的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.(2)由（1）知：若()()()1212f x f x x x =≠，则1201x x <<<， 要证122x x +>，只需证212x x >-，1201x x <<<，121x ∴->，又()f x 在()1,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，()()12f x f x =，则只需证()()112f x f x <-，即证()()1120f x f x --<，则需证()11111111ln ln 2013x xx x x x --+-<+-，又110x ->，∴只需证()1111ln 2ln 013x x x x -+<+-，即证()()()11113ln 1ln 20x x x x -++-<， 令()()()()()3ln 1ln 201F x x x x x x =-++-<<， 则()()31ln ln 22x x F x x x x x-+'=-++---，()()221313022F x x x x x ''=----<--， ()F x '∴在()0,1上单调递减，()()10F x F ''∴>=，()F x ∴在()0,1上单调递增，()()10F x F ∴<=， ()()()11113ln 1ln 20x x x x ∴-++-<，原不等式得证.31．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()23f x x x =-+． (1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()2322f x m m ≥--恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)由题意，函数()23f x x x =-+， 不等式()2f x x >+，即为232x x x -+>+．当0x <时，322x x x -->+，解得14x <，故0x <； 当302x ≤≤时，322x x x -+>+，解得12x <，故102x ≤<； 当32x >时，232x x x -+>+，解得52x >，故52x >． 综上所述，不等式()2f x x >+的解集为1{|2x x <或5}2x >.(2)由题意，函数()33,03233,02333,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪=-+=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，根据一次函数的性质，可得当32x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为32， 又由不等式()2322f x m m ≥--恒成立，所以233222m m --≤，即223(3)(1)0m m x x --=-+≤，解得13m -≤≤，即m 的取值范围为[]1,3-． 32．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））已知函数()23f x x x =+-． (1)若对于任意的x ∈R ，不等式()22f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围； (2)若（1）中实数t 的最大值为0t ，正实数a ，b 满足0a b t +=，求证：1143ab+≥． 【解析】(1)当0x ≤时，得()2(3)33f x x x x =---=-+；当03x <<时，得()2(3)3f x x x x =--=+；当3x ≥时，得()2(3)33f x x x x =+-=-.所以33,0()3,0333,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，作出函数()f x 的图像，如图所示：显然min ()(0)3f x f ==，故不等式()22f x t t ≥-恒成立可得232t t ≥-，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，所以t 的取值范围为[]1,3-.(2)根据（1）可得03t =，即3a b +=，所以11111114()223333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当3a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 即32a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为43，即1143a b +≥.。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第二章 函数2.3 函数与方程、不等式高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.题型一.函数零点的个数1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝lnxD ．y ＝x 2+1【解答】解：对于A ，定义域为R ，并且cos （﹣x ）＝cos x ，是偶函数并且有无数个零点；对于B ，sin （﹣x ）＝﹣sin x ，是奇函数，由无数个零点；对于C ，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D ，定义域为R ，为偶函数，都是没有零点；故选：A ．2．（2013•天津）函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1，令f （x ）＝0，在同一坐标系中作出y ＝（12）x ．与y ＝|log 0.5x |，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B ．3．（2019•新课标Ⅲ）函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数 f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数，即方程2sin x ﹣sin2x ＝0 在区间[0，2π]的根个数，即2sin x ＝sin2x ＝2sin x cos x 在区间[0，2π]的根个数，即sin x ＝0 或 cos x ＝1 在区间[0，2π]的根个数，解得x ＝0或 x =π 或 x ＝2π．所以函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为3个．故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），若函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑ m i=1x i ＝（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【解答】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），故函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与 y ＝f （x ） 图象的交点也关于直线x ＝1对称，不妨设x 1＜x 2＜…＜x m ，则点（x 1，y 1）与点（x m ，y m ），点（x 2，y 2）与点（x m ﹣1，y m ﹣1），…都关于直线x ＝1对称，所以x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝…＝x m +x 1＝2，由倒序相加法可得∑ m i=1x i =12×2m ＝m ， 故选：B ．5．（2012•辽宁）设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．又函数g （x ）＝|x cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在[−12，32]上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【解答】解：因为当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．所以当x ∈[1，2]时2﹣x ∈[0，1]，f （x ）＝f （2﹣x ）＝（2﹣x ）3，当x ∈[0，12]时，g （x ）＝x cos （πx ），g ′（x ）＝cos （πx ）﹣πx sin （πx ）； 当x ∈[12，32]时，g （x ）＝﹣x cos πx ，g ′（x ）＝πx sin （πx ）﹣cos （πx ）． 注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数，且f（0）＝g（0），f（1）＝g（1）＝1，f（−12）＝f（12）=18，f（32）＝（2−32）3=18，g（−12）＝g（12）＝g（32）＝0，g（1）＝1，g′（1）＝1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[−12，0]，[0，12]，[12，1]，[1，32]上各有一个零点．共有6个零点，故选：B．题型二.已知函数零点求参1．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）={e x，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．2．（2019•天津）已知函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．若关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．[54，94]B ．（54，94]C ．（54，94]∪{1}D ．[54，94]∪{1} 【解答】解：作出函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．的图象，以及直线y =−14x 的图象，关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，即为y ＝f （x ）和y =−14x +a 的图象有两个交点，平移直线y =−14x ，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a =94或a =54，考虑直线与y =1x 在x ＞1相切，可得ax −14x 2＝1，由△＝a 2﹣1＝0，解得a ＝1（﹣1舍去），综上可得a 的范围是[54，94]∪{1}． 故选：D ．3．（2016•天津）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，23]B ．[23，34]C ．[13，23]∪{34}D ．[13，23）∪{34} 【解答】解：y ＝log a （x +1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a ＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：{3−4a 2≥00＜a ＜102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1；解得，13≤a ≤34； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f （x ）|＝2﹣x 有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f （x ）|＝2﹣x 同样有且仅有一个解，当3a ＞2即a ＞23时，联立|x 2+（4a ﹣3）x +3a |＝2﹣x ，则△＝（4a ﹣2）2﹣4（3a ﹣2）＝0，解得a =34或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为[13，23]∪{34}， 故选：C ．4．（2016•山东）已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2−2mx +4m ，x ＞m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ．【解答】当m ＞0时，函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m的图象如下：∵x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +4m ＝（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2，∴y 要使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．5．（2021•濂溪区校级开学）已知f （x ）={−sin π2x ，−2≤x ≤0，|lnx|，x ＞0，若关于x 的方程f （x ）＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.（其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4）则x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围是（ ）A ．（0，2e +1e −2）B ．（0，e +1e −2）C ．（1，e +1e −2）D ．（1，2e +1e −2） 【解答】解：关于x 的方程f （x ）k 有四个实根，则y ＝f （x ）与y ＝k 有四个交点，横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4．则x 1+x 2＝﹣2，1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，且ln |x 3|＝ln |x 4|，即x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2+x 3+2x 4=−2+x 3+2x 4=x 3+2x 3−2， 令g(x)=x +2x −2，x ∈(1e ，1)，则g′(x)=1−2x 2＜0，所以g （x ）在(1e ，1)上单调递减， ∴1＜g(x)＜2e +1e −2，即x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围为(1，2e +1e −2)．故选：D ．6．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a ＝（ ）A ．−12B ．13C ．12D ．1【解答】解：f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）＝（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+e ﹣x +1）﹣1， 令t ＝x ﹣1，则y ＝t 2+a （e t +e ﹣t ）﹣1为偶函数，图象关于t ＝0对称，若y ＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t ＝0时，y ＝﹣1+2a ＝0，所以a =12．故选：C ．题型三.函数与不等式1．（2014•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={e x−1，x ＜1x 13，x ≥1，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 x ≤8 ． 【解答】解：x ＜1时，e x ﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x ≥1时，x 13≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8．故答案为：x ≤8．2．（2018•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，则满足f （x +1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，0） 【解答】解：函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，的图象如图： 满足f （x +1）＜f （2x ），可得：2x ＜0＜x +1或2x ＜x +1≤0，解得x ∈（﹣∞，0）．故选：D ．3．（2013•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，1] C ．[﹣2，1] D ．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y ＝|f （x ）|的图象，和函数y ＝ax 的图象，由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2﹣2x ，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D ．4．（2014•辽宁）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ﹣1）≤12的解集为（ ） A ．[14，23]∪[43，74]B ．[−34，−13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[−34，−13]∪[13，34]【解答】解：当x ∈[0，12]，由f （x ）=12，即cosπx =12， 则πx =π3，即x =13，当x ＞12时，由f （x ）=12，得2x ﹣1=12，解得x =34， 则当x ≥0时，不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34，（如图）则由f （x ）为偶函数，∴当x ＜0时，不等式f （x ）≤12的解为−34≤x ≤−13， 即不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34或−34≤x ≤−13，则由13≤x ﹣1≤34或−34≤x ﹣1≤−13，解得43≤x ≤74或14≤x ≤23，即不等式f （x ﹣1）≤12的解集为{x |14≤x ≤23或43≤x ≤74}，故选：A ．1．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．2．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D ．[﹣4，0）【解答】解：因为f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 在区间（0，1]上是单调递增， 函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上， 所以{f(0)＜0f(1)≥0，即{m ＜0log 22+3+m ≥0，解得﹣4≤m ＜0．故选：D ．3．设偶函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．又函数g （x ）＝|cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在区间[−12，32]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：∵f （x ）＝f （2﹣x ），故f （x ）的图象关于x ＝1对称， 又函数f （x ）是R 上的偶函数，∴f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），∴f（x）是周期函数，T＝2，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝f（﹣x）＝x2．令h（x）＝0，则f（x）＝g（x），在同一坐标系中作y＝f（x）和y＝g（x）在区间[−12，32]上的图象，由图象可得y＝f（x）和y＝g（x）有5个交点，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为5．故选：A．4．已知函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[−12，0]D．(12，1]【解答】解：函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得x＞0时，ax﹣1＝lnx，有解；可得a=lnx+1x，令g（x）=lnx+1x，g′（x）=−lnxx2，所以x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，所以g（x）的最大值为：g（1）＝1，所以a≤1．故选：B．5．已知函数f(x)=lnxx，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则x1x2的最小值为（）A．﹣1B．−2e C．−2e2D．−1e【解答】解：g（x）＝xe﹣x=xe x=lnexe x=f（e x），函数f（x）定义域{x|x＞0}，f′（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）＞0，所以若存在x 1∈（0，+∞），x 2∈R ，使得f （x 1）＝g （x 2）＝k （k ＜0）成立， 则0＜x 1＜1且f （x 1）＝g （x 2）＝f （e x 2），所以x 1＝ex 2，即x 2＝lnx 1，所以x 1x 2＝x 1 lnx 1，x 1∈（0，1）， 令h （x ）＝xlnx ，x ∈（0，1）， h ′（x ）＝lnx +1，当x ∈（1e ，1）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（0，1e）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以当x =1e时，h （x ）min ＝h （1e）=1e ln 1e =−1e．故选：D ．6．（多选）已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）＝lnx +x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e a +lnb ＞2B ．e a +lnb ＜2C ．a 2+b 2＜3D ．ab ＜1【解答】解：由f （x ）＝0，g （x ）＝0得e x ＝2﹣x ，lnx ＝2﹣x ，函数y ＝e x 与y ＝lnx 互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，y ＝2﹣x 的图象， 如图所示，则A （a ，e a ），B （b ，lnb ），由反函数性质知A ，B 关于（1，1）对称，则a +b ＝2，e a+lnb ＝2，ab ＜(a+b)24=1，∴A 、B 错误，D 正确．∵f '（x ）＝e x +1＞0．∴f （x ）在R 上单调递增，且f （0）＝﹣1＜0，f(12)=√e −32＞0， ∴0＜a ＜12．∵点A （a ，e a ）在直线y ＝2﹣x 上，即e a ＝2﹣a ＝b ， ∴a 2+b 2=a 2+e 2a ＜14+e ＜3．C 正确．故选：CD ．。

江苏省苏州市2024年数学（高考）统编版真题(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若复数，且，则实数（）A．或3B．或C．3D．第(2)题集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知对任意实数，有，且时，，则时A．B．C．D．第(4)题已知变量满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．第(5)题已知（），（），（），则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题设球的半径是1，，，是球面上三点，已知到，两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经，两点再回到点的最短距离是（ ）A．B．C．D．第(8)题组合数恒等于（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的有（）A．f(x)的周期为πB ．f(x)的单调递减区间是(k∈Z)C ．f(x)的图像的对称轴方程为(k∈Z)D．f(2020)+f(2021)=0第(2)题圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（）A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为第(3)题已知，，则下列说法正确的是（）A．若，两圆的公切线过点B．若，两圆的相交弦长为C．若两圆的一个交点为，分别过点的两圆的切线相互垂直，则D．若时，两圆的位置关系为内含三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

117个必考题型01题型一
运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。

解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。

数列的通向公式得求法。

05题型五
数列的前n项求和的求法。

06题型六
利用导数研究函数的极值、最值。

利用导数几何意义求切线方程。

利用导数研究函数的单调性，极值、最值
09题型九
利用导数研究函数的图像。

10题型十
求参数取值范围、恒成立及存在性问题。

数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系。

焦点三角函数、焦半径、焦点弦问题。

动点轨迹方程问题。

14题型十四共线问题。

15题型十五定点问题。

16题型十六
存在性问题。

存在直线y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆
17题型十七
最值问题。

利用圆锥曲线的切线求最值。

重庆市（新版）2024高考数学统编版测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的前项和为，且关于正整数的不等式与不等式的解集均为．命题：集合中元素的个数一定是偶数个；命题：若数列的公差，且，则．下列说法中正确的是（ ）A ．命题是真命题，命题是假命题B ．命题是假命题，命题是真命题C ．命题是假命题，命题是假命题D ．命题是真命题，命题是真命题第(2)题若，，，则（ ）A．B．C．D．第(3)题已知数列的前n 项和为，且，．若，则正整数k 的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14第(4)题已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（ ）A．B．C．D．第(5)题正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）A ．1B．C．D．第(6)题已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）A．B．C．D．第(7)题2022年4月23日是第27个世界读书日，以引导全民阅读为出发点，弘扬中华优秀文化，传承中华悠久文明，我校高一年级部举行了“培养阅读习惯，分享智慧人生”为主题的读书竞赛活动.如图所示的茎叶图是甲､乙两个代表队各7名队员参加此次竞赛的成绩，乙队成绩的众数为，则下列关于这两个代表队成绩的叙述中，其中错误的是（）A ．甲队的众数大于乙队的众数B ．甲队的中位数大于乙队的中位数C ．甲队的平均数小于乙队的平均数D ．甲队的方差小于乙队的方差第(8)题在△ABC 中，已知，，，D 为垂足，，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆，一个酒鬼家住在，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为B．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为C．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为D．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为第(2)题已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（）A．移动两次后，“”的概率为B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于D ．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0）第(3)题、为实数且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对于函数，有下列4个论断：甲：函数有两个减区间；乙：函数的图象过点；丙：函数在处取极大值；丁：函数单调.若其中有且只有两个论断正确，则的取值为______.第(2)题如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为______．第(3)题已知直线l为曲线的一条切线，写出满足下列两个条件的函数______.①原点为切点：②切线l的方程为.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．第(2)题为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024第(3)题若数列的前项和满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．第(4)题在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，，已知，且.(1)若，求的面积；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）第(5)题如图，在四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．(1)求的值；(2)设AC=3，求．。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。