数学：选修1-1人教版精品课件1.2.1充分条件与必要条件 课件

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[解] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0； 而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0. ∴p 是 q 的充分不必要条件． (2)∵两个三角形相似 两个三角形全等； 但两个三角形全等⇒两个三角形相似． ∴p 是 q 的必要不充分条件． (3)∵m<－2⇒方程 x2－x－m＝0 无实根； 方程 x2－x－m＝0 无实根 m<－2. ∴p 是 q 的充分不必要条件.
得 0<m<3.
综上，实数 m 的取值范围是 m<3.
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[点拨] 根据充分条件、 必要条件求参数的取值范围时， 主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系， 将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关 于参数的不等式(组)进行求解．
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练 2 已知条件 p：x ＋x－6＝0，条件 q：mx＋1＝0， 且 q 是 p 的充分不必要条件，求 m 的值．
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[解] (1) 当|a|≥2 时，如 a＝3，则方程 x2＋3x＋6＝0 无实根，而方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根则必有 a≤－2 或 a≥6 可推出，|a|≥2，故 p 是 q 的必要不充分条件． (2)a＋b＝0D a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故 p 是 q 的必要不充分条件． (3)四边形的对角线相等 D 四边形是矩形；四边形是矩 形⇒四边形的对角线相等，故 p 是 q 的充分不必要条件．
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练 3 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的： 曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者 路险，但近 50 余里；后者路平，却远 50 余里，曹操令人上 山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并 无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使 我军不敢从这条山路上走， 他却伏兵于大路等着， 吾已料定， 偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解 释这种现象．
答案：B
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3．设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3
)
解析：x>2⇒x>1，但 x>1 x>2.
答案：A
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4．若┐A 是 B 的充分不必要条件， ┐ 必要不充分 则 A 是 B 的________________ 条件．
解析：由题知 A⇒B，则 B⇒A，反之不成立．
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一、选择题 1．下列说法正确的是( ) x>0 A. xy>0⇒ B. xy＝0⇒x＝0 y>0 x>0 C. xy<0⇒ D. xy≠0⇒x≠0 且 y≠0 y<0
解析：A 中，x、y 同号即可；B 中，y 也可以为零； C 中，x，y 异号即可．
答案：D
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解析： 因为方程 ax ＋2x＋1＝0 有一个正根和一个负根， 1 所以 x1x2＝ <0，即 a<0，所以设 A＝{a|a<0}，当 B A 时，B a 是 A 的充分不必要条件，故选 C.
答案：C
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5．设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线，l1，l2 是平面 β 内的两条相交直线，则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 ( ) A. m∥β 且 l1∥α B. m∥l1 且 n∥l2 C. m∥β 且 n∥β D. m∥β 且 n∥l2
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当命题“若 p，则 q”为假命题时，记 p q.在这种情况 下，p 是 q 的不充分条件，q 是 p 的不必要条件． 例如：“若 a＝b，则 a2＝b2”是真命题，可写成 a＝b 2 2 2 2 2 2 ⇒a ＝b .a＝b 叫做 a ＝b 的一个充分条件，a ＝b 是 a＝b 的一个必要条件．而“若 a2＝b2，则 a＝b”是假命题，可写 成 a2＝b2 a＝b，a2＝b2 是 a＝b 的一个不充分条件，a＝b 2 2 是 a ＝b 的一个不必要条件.
2．a<0，b<0 的一个必要条件为( A. a＋b<0 B. a－b>0 a a C. >1 D. <－1 b b
)
解析：a<0，b<0，则一定有 a＋b<0.
答案：A
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3．“2x2－5x－3<0”的一个必要不充分条件是( 1 A．－ <x<3 B．0<x<2 2 1 C．－1<x<2 D．－ <x<4 2
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充分条件与必要条件的判断 例 1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． (1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根； 2 2 (2)p：a＋b＝0，q：a ＋b ＝0； (3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[分析] 判断 p 是 q 的什么条件，主要判断 p⇒q 及 q⇒ p 两命题的正确性，若 p⇒q 真，则 p 是 q 成立的充分条件； 若 q⇒p 真，则 p 是 q 成立的必要条件．
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解析：因 m⊂α，l1⊂β，若 α∥β，则有 m∥β 且 l1∥α， 故 α∥β 的一个必要条件是 m∥β 且 l1∥α，排除 A.因 m，n ⊂α，l1，l2⊂β 且 l1 与 l2 相交，若 m∥l1 且 n∥l2，因 l1 与 l2 相交，故 m 与 n 也相交，∴α∥β；若 α∥β，则直线 m 与直 线 l1 可能为异面直线，故 α∥β 的一个充分而不必要条件是 m∥l1 且 n∥l2，应选 B.
1.2.1 充分条件与必要条件
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1.理解充分条件、必要条件的定义． 2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件.
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1.“若 p，则 q”为真命题，它是指当 p 成立时，q 一定 推出 q 成立，即 p⇒q，此时我 成立．换句话说，p 成立可以__________ 们称 p 是 q 的充分条件． q 一定成立 2． “若 p， 则 q”为真命题是指： 当 p 成立时， __________. 即 p⇒q，q 必须成立，我们称 q 是 p 的必要条件．
┐
┐
解析：依题意 a b， c⇒ b，∴a b⇒c.
答案：B
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┐
┐
2．对于任意的实数 a，b，c，在下列命题中，真命题是 ( ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：若 a＝b，则 ac＝bc；若 ac＝bc，则 a 不一定等 于 b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
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利用充分条件与必要条件求参数的取值范围 例 2 已知 p： 关于 x 的不等式|2x－3|<m， q： x(x－3)<0， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 m 的取值范围是什么？
[分析] 可借助集合间的关系进行判断．设|2x－3|<m， x(x－3)<0 的解集分别为 A，B，由于 p 是 q 的充分不必要条 件，所以 A B.
答案：B
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6．一元二次方程(a－1)x2＋x＋2＝0(a≠1)有两个异号实 根的一个充分不必要条件是( ) A．a<1 B．a<0 C．a>1 D．a>0
解析：一元二次方程 (a－1)x ＋x＋2＝0(a≠1)有两个异 a－1≠0 号实根⇔ ⇔a<1，结合选项，所求的一个充分不必 x2<0 x 1 · 要条件是 a<0.
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“若 p，则 q”为真命题指当 p 成立时，q 一定也成立， 换句话说，p 成立可以推出 q 成立．在这种情况下，记作 p ⇒q，并把 p 叫做 q 的充分条件，q 叫做 p 的必要条件．p⇒q 可以理解为一旦 p 成立，q 一定也成立，即 p 对于 q 的成立 是充分的；换个角度思考，一旦 q 不成立，p 一定也不成立， 即 q 对于 p 的成立是必要的．
充分条件与必要条件的实际应用 例 3 在下面电路图(下图)中，闭合开关 A 是灯泡 B 亮 的什么条件？
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[分析] 若 p⇒q，则称 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件．我们把闭合开关 A 称为条件 p，而把灯泡 B 亮 称为结论 q 时，结合简单的电学知识，就可以得到正确的解 答．
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[解] 由题意知 B＝{x|0<x<3}．当 m≤0 时，A＝Ø，符合题 3－m 3＋m 3－m 意；当 m>0 时，A＝{x| <x < }，因为 ＝0，即 m＝3 2 2 2 3＋m 时， ＝3，A＝B，所以要使 A B， 2
3－m 2 >0， 应有3＋m 2 <3， m>0，
┐
┐
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5．下列各题中，p 是 q 的什么条件？ 3 (1)在△ABC 中，p：∠A≠60° ，q：sinA≠ ； 2 (2)p：m>0，q：关于 x 的方程 x2＋2x－m＝0 有实根．
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3 解：(1)因为在△ABC 中，∠A≠60° sinA≠ ，如当∠ 2 3 3 A＝120° 时，sinA＝ ；在△ABC 中，sinA≠ ⇒∠A≠60° ， 2 2 所以 p 是 q 的必要不充分条件． (2)因为 m>0⇒关于 x 的方程 x2＋2x－m＝0 的 Δ＝4＋ 2 4m>0， 即方程有实根； 关于 x 的方程 x ＋2x－m＝0 有实根， 即 Δ＝4＋4m≥0 m>0，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
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思考探究 若 p 是 q 的充分条件，则 p 唯一吗？
提示：不唯一．如 x>3 是 x>0 的充分条件，x>5，x>2 都是 x>0 的充分条件．
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1.已知 b 不是 a 的必要条件， b 是 c 的必要条件．则下 列为真命题的是( ) A．若 a，则 b B．若 b，则 c ┐ ┐ C．若 a，则 c D．若 c，则 a