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3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85)B ．(65，－45，－85)C ．(－65，－45，85)D ．(65，45，85)[答案] A[解析] 设C (a ，b ，c )，∵AB →＝(－3，－2，－4) ∴25(－3，－2，－4)＝(a ，b ，c )， ∴(a ，b ，c )＝⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85.故选A.2．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2) [答案] C[解析] (－1,3，－2)＝－a ，与a 共线．3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] a·b ＝2－λ＋4＝6－λ |a |＝5＋λ2，|b |＝9. cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝6－λ5＋λ2·9＝8955λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255. 4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10 C ．2 5D ．±10[答案] D[解析] CB →＝(－6,1,2k )，CA →＝(－3,2，－k )则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k (－k ) ＝－2k 2＋20＝0，∴k ＝±10.5．已知A (3,5,2)，B (－1,2,1)，把AB →按向量(2,1,1)平移后所得向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0)D ．(－2，－2,0)[答案] B[解析] AB →＝(－4，－3，－1)，而平移后的向量与原向量相等，∴AB →平移后仍为(－4，－3，－1)．故选B.6．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3时，a ∥b ，但是a ∥b ，不一定a 1b 1＝a 2b 2＝a3b 3成立，如a ＝(1,0,1)，b ＝(2,0,2)．7．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45[答案] D[解析] 建立如图所示坐标系由题意设A (1,0,0)，B (1,1,0)． D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)．由AD 1→＝(－1,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)． ∴cos 〈AB 1→，AD 1→〉＝－45·5＝－45，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45，故选D.8．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1B.15C.35D.75[答案] D[解析] ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2) 2a －b ＝(3,2，－2)∴(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0， ∴k ＝75.9．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5)D ．[1,25][答案] B [解析] |AB →|＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2 ＝13－12cos(α－θ)∈[1,5]．10．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13 B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73[答案] C[解析] 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值．二、填空题11．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，<a ，b >＝120°，则k ＝________. [答案] －39[解析] ∵2k ＝13·k 2＋9×⎝⎛⎭⎫－12 ∴16k 2＝13k 2＋13×9∴k 2＝39，∴k ＝±39.∵k <0，∴k ＝－39.12．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______________．[答案] (－1,0,2)[解析] PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2，∴P (－1,0,2)．13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，AP →＝12(AB →－AC →)，则点P 的坐标是________．[答案] (5，12，0)[解析] ∵CB →＝(6,3，－4)，设P (a ，b ，c )则(a －2，b ＋1，c －2)＝(3，32，－2)，∴a ＝5，b ＝12，c ＝0，∴P (5，12，0)．14．已知向量a ＝(2，－1,2)，则与a 共线且a ·x ＝－18的向量x ＝________. [答案] x ＝(－4,2，－4)[解析] 设x ＝(x ，y ，z )，又a·x ＝－18， ∴2x －y ＋2z ＝－18①又∵a ∥x ，∴x ＝2λ，y ＝－λ，z ＝2λ② 由①②知：x ＝－4，y ＝2，z ＝－4， ∴x ＝(－4,2，－4)． 三、解答题15．已知A 、B 、C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P 点坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12AB →－AC →)．[解析] AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则P 点坐标为(3，32，－2)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．又∵12(AB →－AC →)＝AP →＝(3，32，－2)，∴x ＝5，y ＝12z ＝0.故P 点坐标为(5，12，0)．16．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c . (2)求a 与b 的夹角．(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . [解析] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)． 设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3， ∴λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)a ＝AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ∴cos<a ，b >＝a·b|a|·|b|＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.∴a 和b 的夹角为<a ，b >＝π－arccos1010. (3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则k (a ＋b )·(k a －2b )＝0， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝k 2＋k －2＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52.17．正四棱柱AC 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于点N ，BC 1与B 1C 交于点M ，且AM ⊥BN ，建立空间直角坐标系．(1)求AA 1的长； (2)求<BN →，AD 1→>；(3)对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，如果存在不全为零的n 个实数λ1，λ2，…，λn ，使得λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0成立，则这n 个向量a 1，a 2，…，a n 叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断AM →，BN →，CD →是否线性相关，并说明理由．[解析] (1)以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AA 1的长为a ，则B (4,4,0)，N (2,2，a )，BN →＝(－2，－2，a )，A (4,0,0)，M (2,4，a 2)，AM →＝(－2,4，a 2)，由BN →⊥AM →得BN →·AM →＝0，即a ＝2 2. (2)BN →＝(－2，－2,22)，AD 1→＝(－4,0,22)， cos 〈BN →，AD 1→〉＝BN →·AD 1→|BN →||AD 1→|＝63，〈BN →，AD 1→〉＝arccos 63.(3)由AM →＝(－2,4，2)，BN →＝(－2，－2,22)，CD →＝(0，－4,0)， λ1(－2,4，2)＋λ2(－2，－2,22)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0) 得λ1＝λ2＝λ3＝0，则AM →，BN →，CD →线性无关．18．如图所示，AB 和CD 是两条异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ＝a ，点M ，N 分别是BD ，AC 的中点．求证：MN ⊥BD .[证明]由点M ，N 分别为BD ，AC 的中点可知MN →＝12(MA →＋MC →)＝12(MB →＋BA →＋MD →＋DC →)， ∵MB →＋MD →＝0， ∴MN →·BD →＝12(BA →＋DC →)·BD →＝12(BA →·BD →＋DC →·BD →)， ∵BA →⊥BD →，DC →⊥BD →， ∴BA →·BD →＝0，DC →·BD →＝0. ∴MN →·BD →＝0， ∴MN ⊥BD .。
