高中数学 第二章 解析几何初步 疑难规律方法学案 北师大版必修2

4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

第1课时空间直角坐标系及点的坐标[核心必知]1．空间直角坐标系(1)右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系．(2)坐标系中相关概念．如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系．[问题思考]1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．讲一讲1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．[尝试解答] 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O­xyz.∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．练一练1．如图，棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，12，12.讲一讲2．求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．[尝试解答] 如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C (1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB .则A 与B 关于x 轴对称且B (1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1)．A (1,2，－1)关于x 轴对称的点B (1，－2,1)．点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： (1)P (x ，y ，z )关于原点对称,P 1(－x ，－y ，－z )； (2)P (x ，y ，z )关于x 轴对称,P 2(x ，－y ，－z )；P (x ，y ，z )――→关于y 轴对称P 3(－x ，y ，－z )； P (x ，y ，z )――→关于z 轴对称P 4(－x ，－y ，z )．记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”． (3)P (x ，y ，z )――→关于坐标平面xOy 对称P 5(x ，y ，－z )；P (x ，y ，z )――→关于坐标平面yOz 对称P 6(－x ，y ，z )； P (x ，y ，z )――→关于坐标平面xOz 对称P 7(x ，－y ，z )．练一练2．设正四棱锥S ­P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为a ，建立适当的坐标系，求点S 、P 1、P 2、P 3和P 4的直角坐标．解：以底面中心作为坐标原点，棱P 1P 2，P 1P 4分别垂直于Oy 轴和Ox 轴(如图)． 正四棱锥S －P 1P 2P 3P 4如图所示，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴，P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上，∵d (P 1P 2)＝a ，而P 1，P 2，P 3，P 4均在xOy 平面上，∴P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a2，0. P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称．∴P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 2，0，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，0.又∵|SP 1|＝a ，|OP 1|＝22a ， ∴在Rt △SOP 1中，|SO |＝ a 2－a 22＝22a . ∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22a .如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[错解] 如图，分别以AB 、AC 、AA 1所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．显然A (0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B 、C 、A 1均在坐标轴上， ∴B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1，C 1分别在xOz 平面和yOz 平面内，∴B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，∴各点坐标为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．[错因] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC 为正三角形，即∠BAC ＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy ≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．[正解] 取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ， 分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵A ，B ，C 均在坐标轴上， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 点A 1与C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，点B 1在xOy 面内射影为B ，且BB 1＝1.∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1， ∴各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C 0，12，0，A 10，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.1．z 轴上点的坐标的特点是( ) A ．竖坐标为0B ．横坐标，纵坐标都是0C ．横坐标为0D ．横，纵，竖坐标不可能都是0解析：选B 点在某坐标轴上时，其他两轴对应的坐标均为零，点在z 轴上，所以其横、纵坐标都是0.2．已知空间直角坐标系中一点A (－3，1，－4)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( ) A ．(－3，－1,4) B ．(－3，－1，－4) C ．(3,1,4) D ．(3，－1，－4)解析：选A 点A 关于x 轴的对称点A ′的y 、z 坐标都变为相反数，x 坐标不变， ∴A ′(－3，－1,4)．3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．yOz 平面上解析：选C 点的纵坐标为0，∴点在xOz 平面上．4．在空间直角坐标系O ­xyz 中，点P (1,2,3)关于xOz 平面的对称点的坐标是________． 解析：求点P 关于xOz 平面的对称点，只要将y 坐标变为原来的相反数，∴对称点的坐标是(1，－2,3)．答案：(1，－2,3)5．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设其中点为M (x ，y ，z )，由中点坐标公式可知x ＝3＋52＝4，y ＝2－22＝0，z ＝－4＋22＝－1， 故M 的坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1) 6.如图所示，在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是BB ′，B ′D ′的中点，其中|AB |＝4，|BC |＝3，|DD ′|＝2.求点E ，F 的坐标．解：∵点E 在坐标平面xDy 上的射影为点B (3,4,0)，而点E 的z 坐标为1，∴E (3,4,1)．∵点F 在坐标平面xDy 上的射影的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，而点F 的z 坐标为2，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，2.一、选择题 1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)； ②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )； ④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )． 其中正确叙述的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C ①错误，②③④正确．2．已知点A (－3,1,4)，则点A 关于原点的对称点的坐标为( ) A ．(1，－3，－4) B ．(－4,1，－3) C ．(3，－1，－4) D ．(4，－1,3)解析：选C 空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．∴A (－3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4)．3．在空间直角坐标系中P (2,3,4)，Q (－2,3,4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对解析：选B ∵P ，Q 两点对应的三个坐标横坐标互为相反数， ∴P ，Q 关于yOz 平面对称．4．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是( )A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线解析：选D (2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值为( )A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7解析：选D 两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.二、填空题6．点A(－5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．解析：点A(－5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy 的对称点A2的坐标为(5,5，－6)．答案：(5,5，－6)7．点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为________．解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为(－2,4，－6)．答案：(－2,4，－6)8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M在xOz上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．答案：(2,0,3)三、解答题9．如图，棱长为a 的正方体OABC ­D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，z . 同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，12a .10．如右图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12. 过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ， 则|FM |＝|FN |＝12，故点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0； 点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0； 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK |＝12，|CK |＝18.∴|DK |＝78.故点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.第2课时 空间两点间的距离公式[核心必知]1．长方体的对角线(1)连接长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P (x 0，y 0，z 0)与原点的距离 |OP |＝x 20＋y 20＋z 20.(2)空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离|AB|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考]1．空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.2．已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？提示：由x2＋y2＋z2为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值|r|.因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面．当r＝0时，x2＋y2＋z2＝0表示原点．讲一讲1.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AD|＝3，|CD|＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点B1到点E的距离．[尝试解答]建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，得A(3,0,0)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)，设E(x，y,0)．在Rt△ADC中，|AD|＝3，|CD|＝4，|AC |＝5，∴|DE |＝125.在Rt △ADE 中，|DE |2＝x ·|AD |，∴x ＝144253＝4825.在Rt △CDE 中，|DE |2＝y ·|CD |，∴y ＝144254＝3625.∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4825，3625，0. ∴|B 1E |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－48252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－36252＋4＝2935.空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项(z 1－z 2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点间距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令z 1＝z 2＝0，即得平面内两点间距离公式．练一练1．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别为A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3.判断△ABC 的形状．解：法一：|AB |＝ －1－22＋2＋22＋3－32＝5，|AC |＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＋3－32＝102， |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－522＋3－32＝3102. 所以|BC |2＋|AC |2＝|AB |2＝25，所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．法二：由它们的竖坐标都为3可知，此三点在平行于xOy 平面的一个平面内，故只考虑该平面内的边长情况即可．|AB |＝－1－22＋2＋22＝5.|BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－522＝3102， |AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＝102. 所以|BC |2＋|AC |2＝|AB |2，所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形.讲一讲2．在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上确定一点M ，使它到点P (－3,4 ,5)的距离最小，并求出最小值．[尝试解答] ∵点M 在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上， ∴设点M 的坐标为(a,2a,0)， 则|MP |＝ a ＋32＋2a －42＋52＝ 5a 2－10a ＋50＝ 5a －12＋45.∴当a ＝1时，|MP |取最小值35，此时M (1,2 ,0)． ∴M 坐标为(1,2,0)时，|PM |最小，最小值为3 5.确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．练一练2．在空间直角坐标系中，求到两定点A (2,3,0)，B (5,1,0)距离相等的点的坐标P (x ，y ，z )满足的条件．解：∵点P 的坐标为(x ，y ，z )， 则由题意可得|PA |＝x －22＋y －32＋z 2，|PB |＝x －52＋y －12＋z 2，∵PA ＝PB ， ∴x －22＋y －32＋z 2＝x －52＋y －12＋z 2，等式两边同时平方、整理得6x －4y －13＝0， ∴P 点坐标满足条件为6x －4y －13＝0.如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．求：(1)MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．[巧思] 建立空间直角坐标系，将MN 的长度转化为空间两点间的距离问题求解． [妙解] (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABCD .∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M22a,0,1－22a ，，N 22a ，22a,0. ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2)．(2)∵|MN |＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.即a ＝22时，MN 的长最小．1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )A．243 B．221C．9 D.86解析：选D 由空间两点间的距离公式可得|AB|＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：选C |AB|＝4－12＋2＋22＋3－112＝89，|AC|＝6－12＋－1＋22＋4－112＝75，|BC|＝6－42＋－1－22＋4－32＝14，∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形且一定不是等腰三角形．3．设点P在x轴上，它到P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )A．(1,0,0)B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0)D．(1,0,0)或(－1,0,0)解析：选D ∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴x－02＋0－22＋0－32＝2x－02＋0－12＋0＋12，解得x＝±1.∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．4．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．解析：∵P在z轴上可设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，∴1－02＋－2－02＋1－z2＝2－02＋2－02＋2－z2，解得z＝3.答案：(0,0,3)5．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为________．解析：|AB|＝t2＋t－22＋1＝2t－12＋3，∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.答案： 36．如图，在棱长分别为2,4,3的长方体ABCD­A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．解：以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，∴|AD1|＝22＋32＝13，|AB1|＝2－22＋42＋32＝5，|AC1|＝2－02＋－42＋－32＝29.一、选择题1．点B 是点A (1,2,3)在坐标平面上yOz 内的射影，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3 D.11解析：选B B 点坐标为(0,2,3)，∴|OB |＝13. 2．点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，33，66到原点O 的距离是( ) A.306B ．1 C.336 D.356解析：选B |OP | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫66－02＝12＋13＋16＝1. 3．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4 D ．6或－2解析：选D 由空间两点间的距离公式得x －22＋1－32＋2－42＝26，解得x ＝6或x ＝－2.4．已知三点A (－1,0,1)，B (2,4,3)，C (5,8,5)，则A 、B 、C 三点( ) A ．构成等腰三角形 B ．构成直角三角形 C ．构成等腰直角三角形 D ．不能构成三角形 解析：选D 由已知得 |AB |＝－1－22＋0－42＋1－32＝29， |AC |＝－1－52＋0－82＋1－52＝116＝229，|BC |＝2－52＋4－82＋3－52＝29，∴|AB |＋|BC |＝|AC |，故不能构成三角形．5．在空间直角坐标系中，与点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0，5,1)等距离的点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．无数解析：选D 由两点间距离公式可得|AB|＝26，|BC|＝74，|AC|＝26，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．二、填空题6．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．解析：设正方体棱长为a，则a2＋a2＋a2＝|AB|＝42＋－42＋42，所以a＝4，V＝43＝64.答案：647．点A(2，－1,2)到y轴的距离为________．解析：点A在y轴上的投影为(0，－1,0)，∴点A到y轴的距离为22＋－1＋12＋22＝2 2.答案：2 28．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x，0,1)，则x＝________.解析：由距离公式|AB|＝2－12＋1－12＋1－22＝2；|AC|＝2－x2＋1－02＋1－12＝2－x2＋1；|BC|＝1－x2＋1－02＋2－12＝1－x2＋2；∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.答案：2三、解答题9．已知正三棱锥A­BCD，高为1，底面正三角形边长为3，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．解：设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．如图以OB 所在直线为x 轴， 以OA 所在直线为z 轴，以过O 与CD 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 设CD 中点为E ，由BC ＝3，O 为△BCD 中心可知， |OB |＝23|BE |＝23·32|BC |＝1，|OE |＝12|OB |＝12，∴B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0.又|CE |＝|ED |＝32， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0.又∵A 在z 轴上，且|AO |＝1，∴A (0,0,1)． 由两点间的距离公式|AB |＝1－02＋0－02＋0－12＝2，∴各点坐标为A (0,0,1)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0，侧棱AB 长为 2.10．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O ­xyz ，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是(a 2，a 2，a2)．因为点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z )．|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22＋12a 2.当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a ，即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a .(2)因为P 在对角线AB 上运动，Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短．因为当点Q 为棱CD 的中点时，|AQ |＝|BQ |，△QAB 是等腰三角形，所以，当P 是AB 的中点时，|PQ |取得最小值22a .1．直线的五种方程解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A 2＋B 2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．2．距离问题距离包括平面两点间的距离、空间两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离． 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中，圆心是C (a ，b )，半径长是r .特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a ，b ，r 或D ，E ，F )，而确定这三个参数必须有三个独立的条件．因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．4．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ，其中d 为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，则切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.②若切线所过点(x 0，y 0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．5．常用的直线系和圆系(1)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，且λ≠C )．(2)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)． (3)过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程是：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，且λ ≠0)．(4)过直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的交点的圆系方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0，λ是待定的系数．6．对称问题对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思想方法．一般来说，对称问题可分为四个类型：①点关于点的对称；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．归根结底，都可转化为点关于点的对称．(1)中心对称． ①点的中心对称：若点M (x 1，y 1)关于P (a ，b )的对称点为N (x ，y )，则由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线的中心对称：主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程．(2)轴对称． ①点的轴对称：点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点B (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1AB ≠0，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．②直线的轴对称：主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程．特殊情况：①关于x 轴对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧x 不变，以－y 代换y ；②关于y 轴对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧以－x 代换x ，y 不变；③关于直线y ＝x 对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧以y 代换x ，以x 代换y ，即x ，y 对调；④关于直线y ＝－x 对称，方法⎩⎪⎨⎪⎧以－y 代换x ，以－x 代换y ，即x ，y 对调之后加负号．考点1直线的倾斜角与斜率[典例1] 求直线ax ＋3y ＋2＝0(－1≤a ≤1)的倾斜角的取值范围． [解] ∵直线的斜率k ＝－33a ，∴－33≤k ≤33， 当0≤k ≤33时，直线的倾斜角α满足0≤α≤π6. 当－33≤k <0时，直线的倾斜角α满足5π6≤α<π， ∴直线的倾斜角的取值范围是0，π6∪5π6，π.[借题发挥] 求倾斜角的范围，应先求出斜率的范围然后根据倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围即可解出相应的答案．[对点训练]1．点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是 ( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：选D如图，令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.考点2求直线方程[典例2] 直线l 过点P (8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程． [解] 法一：直线l 与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l 在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a＝1(a ≠0)， 当直线l 的方程为x a ＋y a＝1时， 把P (8,6)代入得8a ＋6a＝1，解得a ＝14，∴直线l 的方程为x ＋y －14＝0； 当直线l 的方程为x a ＋y－a＝1时， 把P (8,6)代入得8a －6a＝1，解得a ＝2，∴直线l 的方程为x －y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0.法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－bk. ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b k . ∵b ≠0，∴k ＝±1.当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0；当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0.[借题发挥] 本题法一和法二分别应用了直线方程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为0.[对点训练]2．一条直线被两条直线l 1：4x ＋y ＋6＝0和l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l 的方程．解：法一：当直线的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ，且l 与已知两直线的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，4x 1＋y 1＋6＝0，3x 2－5y 2－6＝0，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－64＋k ，x 2＝63－5k .∵O 是P 1P 2的中点，∴x 1＋x 2＝0， 即63－5k －64＋k ＝0，解得k ＝－16. 当斜率不存在时，直线l 是y 轴，它和两已知直线的交点分别是(0，－6)和(0，－65)，显然不满足中点是原点的条件．∴所求的方程为y ＝－16x .法二：设过原点的直线l 交已知两直线于P 1，P 2，且O 为P 1，P 2的中点，∴P 1与P 2关于原点对称．若设P 1(x 0，y 0)，则P 2(－x 0，－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0， ①－3x 0＋5y 0－6＝0. ②①＋②得x 0＋6y 0＝0.∴点P 1(x 0，y 0)，P 2(－x 0，－y 0)都满足方程x ＋6y ＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线l 的方程即为x ＋6y ＝0.[典例3] 已知直线l 1：x ＋ay －2a －2＝0，l 2：ax ＋y －1－a ＝0. (1)若l 1∥l 2，试求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，试求a 的值．[解] l 1：x ＋ay －2a －2＝0，l 2：ax ＋y －1－a ＝0. (1)由A 1B 2－A 2B 1＝0得a 2－1＝0，解得a ＝±1. 又A 1C 2－A 2C 1≠0，即－1－a －a (－2a －2)≠0,2a 2＋a －1≠0， 解得a ≠－1，且a ≠12.综上所述，a ＝1.(2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋a ＝0. ∴a ＝0.[借题发挥] 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1； (2)l 1与l 2重合⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2＝B 2C 1； (3)l 1与l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1； (4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. [对点训练]3．已知直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 的值为________．解析：由(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0. 即(a －1)(a ＋1)＝0，a ＝±1. 答案：1或－1[典例4] 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点；若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意， 则OA ⊥OB ，设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y ，得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0. 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2 ＝12(b 2＋2b －4)，③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1，或b ＝－4，且b ＝1，或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1，或y ＝x －4.[借题发挥] 本题是一类探索性问题，解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．[对点训练]4．已知过点M (－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2＝25，如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是45， 所以弦心距为52－4522＝5，即圆心到所求直线l 的距离为 5.因为直线l 过点M (－3，－3)，易见，当直线l 与x 轴垂直时不合题意， 所以斜率存在，所以可设所求直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k －3＝0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3k －3|k 2＋1. 因此，|2＋3k －3|k 2＋1＝5，即|3k －1|＝5＋5k 2，两边平方，并整理得到2k 2－3k －2＝0. 解得k ＝－12或k ＝2.所以，所求直线l 有两条，方程分别为y ＋3＝－12(x ＋3)或y ＋3＝2(x ＋3)．即x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝0.考点5圆的几何性质的应用[典例5] 以原点为圆心，且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝5 B ．x 2＋y 2＝16 C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋y 2＝25[解析] 设圆的半径为r ，圆心O 到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离是d ＝|15|9＋16＝3，由题意得d 2＋42＝r 2，所以r 2＝32＋42＝25， 所以圆的方程是x 2＋y 2＝25. [答案] D[借题发挥] 圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．[对点训练]5．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0解析：选B 圆x 2＋y 2＝1的圆心为坐标原点O ，以OP 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134. 显然这两个圆是相交的，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134，得2x ＋3y －1＝0，这就是弦AB 所在直线的方程．6．求与x 轴切于点(5,0)并在y 轴上截取弦长为10的圆的方程．解：法一：设所求圆的方程为(x －5)2＋(y －b )2＝b 2，并且与y 轴交于A ，B 两点．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －52＋y －b2＝b 2，x ＝0，得y ＝b ±b 2－25.∵|y B －y A |＝10，∴|b ＋b 2－25－b ＋b 2－25|＝10，b ＝±5 2. ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ±52)2＝50.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． ∵圆与x 轴相切于点(5,0)，∴r ＝|b |，①a ＝5.②∵圆在y 轴上截得的弦长为10，∴a 2＋(102)2＝r 2.③由①②③得a ＝5，r ＝52，b ＝52或b ＝－5 2. ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋52)2＝50或 (x －5)2＋(y －52)2＝50.考点6直线和圆中的最值和范围问题[典例6] 求经过直线x ＝－2与已知圆x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0的交点的所有圆中，面积最小的圆的方程．[解] 法一：设x ＝－2与圆x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0的两交点分别为A ，B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0，得两交点A (－2,2＋15)，B (－2,2－15)． 从而所求圆的圆心的坐标为(－2,2)， 半径r ＝12·|AB |＝12×|2＋15－(2－15)|＝15.因此，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝15.法二：设直线x ＝－2与圆x 2＋y 2＋2x －4y －11＝0的交点分别为A ，B ，且横坐标都为－2，从而所求圆的圆心的横坐标为－2.设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，把直线方程代入圆方程，整理得y 2－4y －11＝0.则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－11.所以圆心的纵坐标为y 1＋y 22＝2.半径r ＝12|y 2－y 1|＝12·y 1＋y 22－4y 1y 2＝1242－4×－11＝15.因此，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝15.[借题发挥] 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可应用平面几何知识，找到要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求出要求的量的最值．[对点训练]7．已知实数x ，y 满足y ＝3－x 2，试求m ＝y ＋1x ＋3及b ＝2x ＋y 的取值范围．解：∵y ＝3－x 2可化为x 2＋y 2＝3(y ≥0)，∴它表示以原点为圆心，3为半径的半圆，如图(1)．而m ＝y ＋1x ＋3可看作半圆上的点与点P (－3，－1)连线的斜率． k PB ＝13＋3＝3－36. 设直线y ＋1＝m (x ＋3)与半圆相切，则|3m －1|m 2＋1＝ 3.∴m 1＝3－216(舍去)，m 2＝3＋216.∴3－36≤m ≤3＋216. 由b ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋b ，如图(2)，当直线2x ＋y ＝b 经过(－3，0)时，b ＝－23；。

北师大版高中数学必修2全册学案第一章立体几何初步1.1 简单旋转体[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.课前自主学习几种简单旋转体【即时小测】1．思考下列问题(1)铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．课堂互动题型一球的结构特征例1 有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①类题通法透析球的概念(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．[变式训练1]下列命题：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球面上任意三点可能在一条直线上；③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．其中正确的命题序号为________．答案③解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.题型二圆柱、圆锥、圆台的结构特征例2 下列命题：①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱的任意两条母线平行；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．[答案] C 类题通法透析几种旋转体的概念解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．[变式训练2] 下列命题中：①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．答案 ①②③④解析 由圆台与球的定义可知①②③④都对. 题型三 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的应用例3 如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．[解] 如图，设圆台的母线长为y cm ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm ，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x4x， 解此方程得y ＝9，因此，圆台的母线长为9 cm.类题通法处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.[变式训练3]圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．答案3，2解析设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.培优训练易错点空间位置关系考虑不全导致漏解[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．[错解] 如图(1)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D 的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，OC＝102－62＝8.在Rt△DOF中，OD＝102－82＝6.所以CD＝OC－OD＝8－6＝2.故这两个截面间的距离为2.[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.当两截面在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.所以这两个截面间的距离为2或14.课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.随堂巩固训练1．图1是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 D解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥答案 D解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．3．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②解析 ①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．答案 9π解析 如下图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O 1的半径为r ，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SO SO 2＝14.设SO ＝x ，则SO 2＝4x ，从而OO 2＝3x .因为OO 1∶O 1O 2＝2∶1，所以OO 1＝2x ，则SO 1＝SO ＋OO 1＝3x .在△SBO 1中，1r ＝SO SO 1＝x3x ，所以r ＝3，因此截面的面积是9π.1.2 简单多面体[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.课前自主学习1．几种常见的简单多面体2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．【即时小测】1．思考下列问题(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥提示：D 六棱锥的所有棱长不能都相等．3．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点提示：C 只有正棱台的侧棱都相等．课堂互动题型一棱柱的结构特征例1 下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.[答案] D类题通法棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[变式训练1]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.题型二棱锥、棱台的结构特征例2 下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．[答案]①②③类题通法棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？答案图①，②，③都不是棱台．解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.题型三几类特殊的四棱柱例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形D．每个侧面都是全等的矩形[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.[答案] C类题通法几种四棱柱之间关系是判断基础四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是( )A．六边形B．菱形C．梯形D．直角三角形答案 D解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．培优训练易错点⊳概念理解不透判断易错[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解]满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系棱柱、棱锥、棱台的关系如下图所示.2.棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．所谓多面体就是由平面多边形所围成的几何体，它还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.随堂巩固训练1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面．2．下列几何体中棱柱有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个答案 D解析由棱柱的定义可知，只有①③两个满足棱柱的定义，故选D.3．下面三个命题，其中正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分一定是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题主要考查棱台有关的概念．关键利用棱台的定义和特殊的几何体加以说明．命题①中的平面不一定平行于底面，故①错；命题②③可用举反例说明不成立，如图所示，故②③不对．4．已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是( )答案 C解析各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以选项D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知选项A中的关系是正确的；同理选项B的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以选项C的关系不正确．2 直观图[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.课前自主学习1．平面图形直观图的画法 斜二测画法规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.2．立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴，其直观图中对应于z 轴的是 z ′轴，平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示直立平面．平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．【即时小测】1．思考下列问题(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形． (2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同． 2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤提示：C 因为长方形的直观图中直角应为45°角，且平行线仍为平行的平行四边形，只有②⑤满足．3．梯形的直观图是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．三角形D ．任意四边形提示：A 因为梯形的两底在直观图中应平行且不相等，故仍为梯形． 4．如图所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________．提示：6 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S△AOB＝12OA ·OB ＝6.课堂互动题型一 画水平放置的平面图形的直观图例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解] 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．类题通法本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”“画图”简便易行.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.[变式训练1] 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴， 使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.题型二 空间几何体的直观图 例2 画出正五棱柱的直观图．[解] (1)画轴．画x ′轴、y ′轴和z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x ′轴、y ′轴画正五边形的直观图ABCDE .(3)画侧棱．过点A 、B 、C 、D 、E 分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′都相等．(4)成图，顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．类题通法画空间几何体的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.[变式训练2] 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．解 画法：(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．题型三 由直观图还原平面图形例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B ．22a 2C ．a 2D ．2a 2 [解析] 由直观图还原出原图，如图，所以S ＝a ·22a ＝22a 2.[答案] B类题通法由直观图还原平面图形的关键两点(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[变式训练3]一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为( )A．2 B. 2 C．2 2 D．4答案 D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的22倍，梯形OA′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.培优训练易错点⊳画直观图时忽略斜二测画法的规则[典例] 画出下图中四边形OABC的直观图．[错解] 如图(1)所示，画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ＝45°.在x ′轴上取O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，在y ′轴上取O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝90°，取A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，擦去辅助线，所得四边形O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的直观图，如图(2)所示．[错因分析] 错解中没有将∠B ′D ′A ′画成135°.[正解] 如图(1)所示，画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上取O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，在y ′轴上取O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，取A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，擦去辅助线，所得四边形O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的直观图，如图(2)所示．课堂小结1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S 直S 原＝24. 2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.随堂巩固训练1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )A ．16B ．64C．16或64 D．无法确定答案 C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )答案 C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，与轴不平行的线段的长度( ) A．变大B．变小C．一定改变D．可能不变答案 C解析当与x轴不平行时，过该线段的中点作x轴的垂线，该垂线与y轴平行，画直观图时，该直线平行于y′轴，并且长度减半，从而原线段端点位置改变，导致长度改变．4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案 C解析水平放置的△ABC有一边在水平线上，因为直观图是正三角形，所以原图形有一角大于90°，故为钝角三角形．3 三视图[学习目标] 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图． 2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图． 3.能识别三视图所表示的立体模型.课前自主学习1．组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体．(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．三视图(1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图．(2)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．(3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．【即时小测】1．思考下列问题(1)对于一般的物体，三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?提示：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度．(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？提示：三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”．(3)下面是某一几何体的三视图，想象几何体的结构特征，你能画出几何体的直观图吗？提示：由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如下图．2．如下图所示，乙图是甲几何体的________视图．。

3．3 空间两点间的距离公式学习目标核心素养1.会推导和应用长方体对角线长公式．（重点）2。

会推导空间两点间的距离公式．（重点) 3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．（难点)1。

通过推导长方体对角线公式及空间两点间的距离公式提升逻辑推理素养。

2.通过用两点间的距离公式解简单的问题培养数学运算素养。

1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．（如图）（2）如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝错误!.2．空间两点间的距离公式（1)空间任意一点P(x0，y0,z0）与原点的距离｜OP｜＝错误!.(2)空间两点A(x1,y1，z1），B(x2，y2，z2）间的距离｜AB|＝错误!.思考:空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系?提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A（x1，y1)，B（x2，y2），则|AB|＝错误!;②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2,则｜AB｜＝|x2－x1|。

1．空间直角坐标系中,点A(－3,4，0)和点B(2，－1，6)的距离是( )A．243 B．2错误!C．9 D.错误!D [|AB|＝错误!＝错误!.]2．在空间直角坐标系中，设A（1，2，a）,B（2，3,4），若｜AB|＝3,则实数a的值是（）A．3或5 B．－3或－5C．3或－5 D．－3或5A [由题意得｜AB|＝1－22＋2－32＋a－42＝3，解得a＝3或5，故选A.］3．已知点A（4,5，6），B(－5,0，10），在z轴上有一点P，使|PA｜＝｜PB｜，则点P 的坐标是________．（0,0,6）[设点P(0,0,z）,则由|PA|＝|PB|，得0－42＋0－52＋z－62＝错误!，解得z＝6，即点P的坐标是（0,0,6）．］求空间两点间的距离(1）求△ABC中最短边的边长；（2）求AC边上中线的长度．［解］(1)由空间两点间距离公式得｜AB｜＝错误!＝3，｜BC|＝2－32＋3－12＋4－52＝错误!，｜AC|＝错误!＝错误!，∴△ABC中最短边是|BC|,其长度为错误!。

1．4两条直线的交点学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．知识点直线的交点思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点坐标？答案只需写出这两条直线方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( √ ) 2．无论m 为何值，x －y ＋1＝0与x －2my ＋3＝0必相交．( × )类型一 求两条直线的交点例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3. 考点 直线的一般式方程与直线的平行关系 题点 利用直线的一般式方程判断位置关系解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟 两条直线相交的判定方法特别提醒 在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况．跟踪训练1 (1)已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y ＝－x 上，那么k 的值是( ) A ．－4 B ．3 C ．3或－4D ．±4考点 两条直线的交点 题点 两直线交点的综合应用 答案 C解析 由两条直线相交，得k ≠－32.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 2－362k ＋3，y ＝k ＋242k ＋3，即两直线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－362k ＋3，k ＋242k ＋3. 又该交点在直线y ＝－x 上，所以k ＋242k ＋3＝－k 2－362k ＋3，解得k ＝3或k ＝－4，故选C.(2)已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．考点 两条直线的交点 题点 两直线交点的综合应用 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，2. 类型二 求过两条直线交点的直线方程例2 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．考点 过两条直线交点的直线方程题点 利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两条直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－35，－75. 又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋35， 即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二 设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝⎛⎭⎫2＋112x ＋⎝⎛⎭⎫112－3y ＋⎝⎛⎭⎫2×112－3＝0， 即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解． 解 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练2 直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y ＝0 C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0考点 过两条直线交点的直线方程题点 利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程 答案 B解析 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0. 因为直线l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x －y ＝0. 类型三 直线过定点问题例3 无论a ，b 为何值，直线(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0经过定点( ) A ．(3，－2) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(－3，－2) 考点 恒过定点的直线 题点 求直线恒过的定点坐标 答案 B解析 原直线方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线经过定点(－2,3)．故选B.反思与感悟 恒过定点问题的三种解法(1)直接法：将已知直线的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得出定点． (2)任意法：任取直线系中的两条直线，所有直线的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点．(3)方程法：将已知的方程整理成关于参数的方程．由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．形如A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0的直线一定过定点，且定点为直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点．跟踪训练3 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． 考点 恒过定点的直线 题点 求直线恒过的定点坐标解 方法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．方法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－ 3).1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 考点 两直线的交点 题点 两直线交点的综合应用 答案 B解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.2．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0B ．2x －y －7＝0C ．2x ＋y ＋7＝0D ．2x －y ＋7＝0 考点 两直线的交点 题点 两直线交点的综合应用 答案 B解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴交点坐标为(3，－1)，且斜率为2，直线方程为2x －y －7＝0，故选B.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0 考点 两直线的交点 题点 两直线交点的综合应用 答案 A解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．如图，两直线交点B 的坐标可以看作二元一次方程组________的解．考点 两直线的交点 题点 两直线交点的综合应用答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝35．不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________________． 考点 恒过定点的直线 题点 求直线恒过的定点坐标 答案 (9，－4)解析 方法一 取m ＝1，得直线y ＝－4. 取m ＝12，得直线x ＝9.故两直线的交点为(9，－4)．将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)·9－4·(2m －1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4)．方法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0， ∵对任意m 该方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，故直线恒过定点(9，－4)．1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )，与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过直线l 1与l 2交点的所有直线方程．一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1) 考点 两条直线的交点 题点 求两条直线的交点坐标 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，得交点坐标为(1,2)，故选C.2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2考点 两条直线的交点 题点 已知相交关系求参数的值 答案 A解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x ＋ky ＝0，得k ＝－12.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12 C.⎣⎡⎦⎤－14，12 D.⎝⎛⎦⎤－14，12 考点 两条直线的交点 题点 两条直线交点的综合应用 答案 A解析 直线y ＝－x ＋2与两坐标轴的交点为A (0,2)，B (2,0)．直线y ＝kx ＋2k ＋1恒过定点P (－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k 满足：k PB <k <k P A ，即－14<k <12.4．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A ．x －3y ＋7＝0 B ．x －3y ＋13＝0 C ．x －3y ＋6＝0D ．x －3y ＋5＝0考点 过两条直线交点的直线方程题点 利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程 答案 B解析 直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点为(－1,4)，与直线3x ＋y －1＝0垂直，得斜率为13，由点斜式，得直线方程为y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B.5．已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若直线l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．与A 有关 考点 题点 答案 A解析 在直线方程2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0)．又∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上， ∴－2＋A ×0＋C ＝0， ∴C ＝2.6．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且在y 轴上截距为8的直线的方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 考点 题点 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，∴交点坐标为(1,6)．又直线过点(0,8)，∴直线方程为y －8＝8－60－1x ，即2x ＋y －8＝0.故选A. 7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点题点答案 B 解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1. 因为0<k <12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0， 所以交点在第二象限．8．直线l 1：x ＋my －6＝0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0只有一个公共点，则( )A ．m ≠－1且m ≠3B ．m ≠－1且m ≠－3C ．m ≠1且m ≠3D ．m ≠1且m ≠－1 考点题点答案 A解析 两直线相交，其系数关系为1×3－m (m －2)≠0，解得m ≠3且m ≠－1.二、填空题9．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p )，则m －n ＋p ＝________.考点 两条直线的交点题点 已知相交关系求参数的值答案 20解析 两直线互相垂直，得－m 4×25＝－1，m ＝10. 又垂足坐标为(1，p )，代入直线方程10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，将(1，－2)代入直线方程2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，所以m －n ＋p ＝20.10．已知直线l 1过点P 1(0，－1)，P 2(2,0)，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与l 2的交点坐标为________． 考点题点答案 ⎝⎛⎭⎫43，－13 解析 l 1的直线方程为x －2y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝－13.11．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 考点 两条直线的交点题点 已知相交关系求参数的值答案 2解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b ，得b ＝2.三、解答题12．已知直线l 1：2x －ay ＋1＝0，直线l 2：4x ＋6y －7＝0.(1)若l 1∥l 2，求a 的值；(2)若l 1与l 2相交，交点纵坐标为正数，求实数a 的取值范围．考点题点解 (1)由l 1∥l 2，得2×6－(－a )×4＝0，解得a ＝－3. (2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －ay ＋1＝0，4x ＋6y －7＝0，解得y ＝92a ＋6，a ≠－3. 由已知，得2a ＋6>0，解得a >－3.即实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．四、探究与拓展13．已知直线l 1：x －y －1＝0，l 2：2x －y ＋3＝0，l 3：x ＋my －5＝0，若直线l 1，l 2，l 3只有两个交点，则m ＝________.考点题点答案 －1或－12解析 ∵l 1与l 2相交，故只需l 1∥l 3或l 2∥l 3即可，得m ＝－1或m ＝－12. 14．是否存在实数a ，使三条直线：l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0围成一个三角形？并说明理由．考点题点解 ①当l 1∥l 2时，a 1＝1a≠1，解得a ＝－1； ②当l 1∥l 3时，a 1＝11≠1a时，无解； ③当l 2∥l 3时，11＝a 1≠1a，无解； ④当l 1与l 2，l 3相交于同一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，得交点坐标为(－1－a ,1)， 将其代入直线方程ax ＋y ＋1＝0，得a ＝－2或a ＝1.故当a ≠1且a ≠－1且a ≠－2时，这三条直线能围成一个三角形.。

高中数学学习材料唐玲出品第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1．倾斜角的概念和范围在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°．2．斜率的概念及斜率公式定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α取值范围当α＝0°时，______；当0°<α<90°时，______；且α越大，k 越大；当90°<α<180°时，______；且α越大，k 越大； 当α＝90°时，斜率________．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝__________ (x 1≠x 2)．一、选择题1．对于下列命题①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k26．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是()A．mn>0 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0二、填空题7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为____________________________________________________________________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是______________．三、解答题10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．能力提升12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系是________________．1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A ，B ，C ，若直线AB ，AC 的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB |＋|BC |＝|AC |，也可断定A ，B ，C 三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率答案知识梳理 1．逆时针 2．定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜 角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α 取值范围当α＝0°时，k ＝0；当0°<α<90°时，k >0；且α越大，k 越大； 当90°<α<180°时，k <0；且α越大，k 越大； 当α＝90°时，斜率不存在．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．作业设计1．C [①②③正确．]2．C [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3．]3．D [因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180° ＝α－135°．]4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．]5．D [由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大． ∴k 1<k 3<k 2．]6．C [由题意知，直线与x 轴不垂直，故n ≠0．直线方程化为y ＝－m n x ＋1n ，则－mn>0，且1n<0，即m >0，n <0．] 7．30°或150° 33或－338．0 9．20°≤α<200°解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)， 所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°． 10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°， αBD ＝120°．k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－3．11．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x， 解得x ＝2，即P (2,0)． 12．解y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB ＝23．所以得y x 的最大值为2，最小值为23．13．f (c )c >f (b )b >f (a )a解析 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．。

第二章解析几何初步本章知识体系专题一倾斜角、斜率问题【例1】已知点A(2，－1)，B(5,3)，若直线l：kx－y＋1＝0与线段AB相交，求k的取值范围．【思路探究】k为直线l的斜率，所以本题可以从倾斜角入手，找出满足条件的直线l 的极端位置的斜率，根据倾斜角的变化情况求k的取值范围，也可以写出直线AB的方程，与l联立，求出交点的坐标，再对坐标的范围加以限制，这也是一种比较常见的思路和解法．【解答】 解法一：由方程kx －y ＋1＝0可知， 直线l 恒过定点P (0,1)，如图所示，连接P A ，PB ，解得k P A ＝－1，k PB ＝25.又∵直线l 的斜率为k ，∴k 的取值范围为－1≤k ≤25.解法二：由两点式求得直线AB 的方程为4x －3y －11＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －11＝0，kx －y ＋1＝0.解得x ＝－143k －4，满足2≤－143k －4≤5，解得－1≤k ≤25.已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx的最大值和最小值．解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率，由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.专题二 直线的方程【例2】 设直线l 的方程为(m ＋1)x ＋y ＋2－m ＝0(m ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，显然相等，所以m ＝2满足条件，此时直线l 的方程为3x ＋y ＝0.当m ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意． 当m ≠－1且m ≠2时，直线在x 轴上的截距为m －2m ＋1，直线在y 轴上的截距为m －2，因此m －2m ＋1＝m －2，即m ＋1＝1，所以m ＝0，此时直线l的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当m ＝2或m ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程转化为y ＝－(m ＋1)x ＋m －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(m ＋1)>0，m －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(m ＋1)＝0，m －2≤0，所以m ≤－1，所以m 的取值范围为(－∞，－1]．已知直线的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线方程．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则该直线在两坐标轴上的截距分别为b ，－6b ，∴S ＝12|b |·|－6b |＝3b 2＝3，∴b ＝±1，∴直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 专题三 两直线位置关系【例3】 已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝________. 【解答】 本题主要考查直线的位置关系． ∵l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0， ∴kl 1＝－a 3，kl 2＝－23，b 1＝1≠b 2＝16，又∵l 1∥l 2，∴kl 1＝kl 2，∴－a 3＝－23，∴a ＝2，故填2.【答案】 2已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( C ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2解析：本题考查平面中两直线平行的条件．由题意，得－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5.经检验知当k ＝3或5时，直线l 1与直线l 2平行．故选C.专题四 距离的最值问题【例4】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．62D ．5 2【解答】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝18，∴圆心坐标为C (2,2)，半径r ＝3 2.∴圆心C 到直线x ＋y －14＝0的距离为d ，则d ＝|2＋2－14|12＋12＝52，∴圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为d 1＝d ＋r ，最小距离d 2＝d －r ，∴d 1－d 2＝2r ＝6 2.故选C.【答案】 C规律方法 本题可直接利用几何性质知所求的最大距离与最小距离的差为2r ，只需把圆的一般方程化为标准方程，即可求出半径，可免去求点到直线的距离这一环节．已知x ，y 满足x ＋y ＋3＝0，求(x ＋1)2＋(y －2)2的最小值．解：x ，y 满足x ＋y ＋3＝0，即(x ，y )在此直线上．(x ＋1)2＋(y －2)2的几何意义就是(x ，y )到(－1,2)的距离的平方，问题转化为：求点P (－1,2)到直线x ＋y ＋3＝0上的点的距离平方的最小值(如图)．根据点到直线的距离公式得(x ＋1)2＋(y －2)2的最小值为8.专题五 直线与圆、圆与圆的位置关系【例5】 已知直线l ：kx －y －3k ＝0，圆M ：x 2＋y 2－8x －2y ＋9＝0. (1)求证：直线l 与圆M 相交．(2)当圆M 截l 所得的弦最长时，求k 的值．【解答】 (1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x －3)，则直线l 过定点A (3,0)． 因为⊙M 的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝8， 又(3－4)2＋(0－1)2<8，所以点A 在⊙M 的内部， 所以直线l 与⊙M 相交．(2)显然，当直线l 过圆M 的圆心时，弦最长，其值为42，此时k ＝1－04－3＝1.规律方法 (1)先判断出直线过定点，再根据点和圆的位置关系来确定；(2)最长的弦是过定点的直径．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝1.解析：本小题主要考查两圆的位置关系，求解时注意公共弦平行于x 轴．两圆方程相减得公共弦方程y ＝1a ，代入x 2＋y 2＝4得两圆交点横坐标x ＝±4－1a2，∴4－1a2＝3，∴a ＝1(a ＞0)，专题六 对称问题【例6】 在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．【思路探究】 利用图形将文字语言转化到图形中，结合图形求解即可，同时注意对于A 、B 两点，若求一点P 使|P A |＋|PB |最小，则遵循“同侧对称异侧连”，若求一点P 使|P A |－|PB |最大，则遵循“异侧对称同侧连”．【解答】 作图得A ，B 在l 异侧，A ，C 在l 同侧．设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点满足(1)；C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点满足(2)．事实上，若P ′是l 上异于P 的点，则对于(1)，|P ′A |－|P ′B |＝|P ′A |－|P ′B ′|<|AB ′| ＝|P A |－|PB ′|＝|P A |－|PB |；对于(2)，|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C ′|>|AC ′|＝|P A |＋|PC |.(1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1，∴a ＋3b －12＝0.①又由线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0， 即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)，于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.故l 与AB ′的交点P (2,5)即为所求．(2)如图所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝⎛⎭⎫35，245.∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267.故l 与AC ′的交点P ⎝⎛⎭⎫117，267即为所求．如图所示，光线从点A (－2,4)射出，经直线l ：2x －y －7＝0反射，若反射光线过点B (5,8)．(1)求反射光线所在直线的方程； (2)求光线从A 到B 经过的路程．解：(1)如图，设点A 关于直线l 的对称点为A ′(x ，y )，由⎩⎨⎧2·x －22－y ＋42－7＝0，y －4x ＋2＝－12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －22＝0，x ＋2y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－2.即A ′(10，－2)．∴反射光线所在直线A ′B 的方程为y ＋210＝x －10－5.即2x ＋y －18＝0.(2)s ＝|AP |＋|PB |＝|A ′P |＋|PB |＝|A ′B |＝102＋52＝5 5.专题七 空间直角坐标系【例7】 如图所示，已知正四面体A －BCD 的棱长为1，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点．(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A ，B ，C ，D 的坐标． (2)证明：△BEF 为直角三角形．【思路探究】 正四面体也是正三棱锥，即其顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高，以底面正三角形的中心为坐标原点，高为z 轴，建立空间直角坐标系．【解答】 (1)设底面正三角形BCD 的中心为点O ，连接AO ，DO ，延长DO 交BC 于点M ，则AO ⊥平面BCD ，点M 是BC 的中点，且DM ⊥BC ，过点O 作ON ∥BC ，交CD 于点N ，则ON ⊥DM ，故以O 为坐标原点，OM ，ON ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵正四面体A －BCD 的棱长为1，点O 为底面△BCD 的中心，∴OD ＝23DM ＝231－14＝33，OM ＝13DM ＝36.OA ＝AD 2－OD 2＝1－13＝63，BM ＝CM ＝12. ∴A (0,0，63)，B (36，－12，0)，C (36，12，0)，D (－33，0,0)． (2)证明：由(1)及中点坐标公式，得 E (312，－14，66)，F (－312，14，0)， ∴|EF |＝(－36)2＋(12)2＋(－66)2＝22， |BE |＝(312)2＋(－14)2＋(－66)2＝12， |BF |＝(34)2＋(－34)2＝32. ∴|BE |2＋|EF |2＝|BF |2，故△BEF 为直角三角形．规律方法 (1)在解答有关正三棱锥的问题时，常用的一条辅助线就是高线．建立空间直角坐标系必须根据题目的条件找出从同一点出发的三条两两垂直的直线．(2)求坐标易出错的原因有：一是弄不清y 轴与CD ，CB 的位置关系；二是忽视了重心定理的应用；三是忽视了点的位置对坐标的影响，如点B 的纵坐标应是BM 长的相反数．另外解答本类问题还常出现计算错误而失分，所以要加强计算能力的训练与培养．如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．解：由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，2－y ＝3.∴y ＝－1. ∴D (0，－1，3)．又∵A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，∴|AD |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫12＋12＋(3)2＝ 6.。

高中数学 第2章《解析几何初步》1直线的倾斜角和斜率导学案北师大版必修2【学习目标】1.理解倾斜角和斜率的定义、范围；2.掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能应用公式和概念解决问题.【重点难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率的公式.难点：能灵活应用公式和概念解决问题.【自主学习】1.直线的倾斜角： 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按 绕着交点旋转到和直线l ______所成的角，叫做直线l 的 ； 当直线l 与x 轴 时，规定它的倾斜角为___.通常倾斜角用 表示， 倾斜角的取值范围为 .2.直线的斜率：一条直线的倾斜角α（ 90≠α）的______叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即________.（1）由于当︒=90α时，αtan 无意义，故此时直线的斜率_____ _.（2）当︒<α≤︒900时，0_____tan α=k ，反之也成立.（3）当︒<<︒18090α时，0_____tan α=k ，反之也成立.3.过两点的直线的斜率公式：在直线l 上任取两个不同的点),(211y x P ，),(222y x P 是的两点，（其中21x x ≠）， 则直线l 的斜率可以表示为k= .4.描出下图中各直线的倾斜角.5.已知A （3,2）,B(-4,1),求直线AB 的斜率.2.已知过两点)6,(m A -，)3,1(m B 的直线的斜率是32-，求m 的值.【课堂检测】1.在直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点分别为A(0,0),B(5,0),C(6,4),D(4，8). 求：（1）四边形ABCD 四边所在直线的斜率；（2）四边形ABCD 两条对角线所在的直线的斜率.yxo ly x o l y x o l。