2020年5月诊断性测试文科数学答案(一卷)

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试文科数学试卷2020．5本试卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=N* ，集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{1，3，5}B ．{2，4}C ．{6，8}D ．{2，4，6，8}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i =+)1(，则z 的虚部是A ．21B ．i 21-C ．i 21D ．21- 3．已知数列{}n a 的前项和*2,12N n n S n ∈+=，则15a a -=A ．13B ．14C ．15D ．164．若32)2cos(=-πθ．则)22sin(πθ-=A ．91-B ．91C ．95-D ．95 5．如图，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图．则该几何体的体积为A ．1B ．32C ．31D ．61 6．若△ABC 三边长分别为3，5，7，则△ABC 的面积为A ．8315B ．235C ．4315D ．8321 7．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70 ，80），[80，90），[90．100]，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为A ．72B ．72.5C ．73D ．73.58．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若AM λ=，则实数λ=A ．41B ．31C ．52D ．21 9．甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A ．61B ．31C ．21D ．6510．函数24x x x y --=的值城为A ．]4,222[-B ．]4,0[C ．]222,0[+D ．]222,222[+-11．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，则ω的取值范围为 A ．)313,310[ B ．)316,313[ C ．)617,37[ D ．)316,37[ 12已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x x 存在唯一零点，则实数a 的取值范围A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直．则l 的方程是 . 14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线0=+ay bx 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .15．半径为2的球O 内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 .16．已知函数)(x f 是定义在),0(+∞的单调函数，对定义域内任意x ，均有2]ln )([2=--x x x f f ，则函数在点))(,(e f e 处切线的纵截距为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(12*N n S a n n ∈+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a n b ⋅+=)12(，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

绝密★启用前广西自治区普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量诊断性联合考试数学(文)试题2020年5月考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x∈N|－3<x<6},N＝{－2,0,2,4,6},则M∩N＝A. {0,2,4}B. {－2,0,2,4}C. {0,2,4,6}D. {2,4}2.已知复数z＝1032ii+-(i是虛数单位),则z的共轭复数是A.－3－3iB.3＋3iC.151344i-- D.151344i+3.若sinα＝35,且a∈(2π,π),则tan(a＋4π)＝A.－34B.34C.7D.174.若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示,则这组数据的中位数是A.82.5B.83C.93D.725.已知命题p：若a>1,则log a0.2<1<a0.2；命题q：若函数f(x)＝mx2－m2x＋1在(1,＋∞)上单调递增,则实数m的取值范围为(－∞,0)∪(0,2]。

下列说法正确的是A.p∧q为真命题B.q为真命题C.p为假命题D.(⌝p)∧q为假命题6.设实数x,y满足不等式组123x yy xx⎧+≥+≥≥⎪⎨⎪⎩,则z＝2x－y的最小值为A.－2B.2C.1D.77.曲线y＝x3－sinx在点(0,0)处的切线方程为A.x＋y－1＝0B.x－y＝0C.x－y＋1＝0D.x＋y＝08.若双曲线C：22221(0,0) xya ba b-=>>的右焦点(c,0)到渐近线的距离为238ac,则双曲线C的离心率为A.3B.103C.324D.4239.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A.22π＋12B.24π＋12C.26π＋12D.20π＋1210.在△ABC中,∠ACB＝4π,点D在线段BC上,AB＝2BD＝12,AD＝10,则AC＝1022028716711.已知函数f(x)＝msinωx＋2cosωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π,且f(0)＋f(9π)＝6,则函数f(x)在下列区间单调递减的是。

西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y x =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =- 05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞ （D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，15．在四棱锥P ABCD -ABCD ABCD 4=，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．D 5. A6. B7. D8. A9. A 10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．② ③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ……………… 3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ……………… 6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ……… 8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则 1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分 所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． ……………… 2分 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ……………… 4分 所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分 即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．……………… 14分选择 ③： (Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列． ……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． ……………… 4分 所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *.……………… 6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， ……………从而b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+． ………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-.……………… 6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos ex xa =-. 设函数cos ()e x xh x =-，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()42h -=，所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>， 则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数） 所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。