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复变函数2

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复变函数02

复变函数02

en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y

复变函数2章

复变函数2章

| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。 单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。 如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！

复变函数第2章

复变函数第2章

By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。

.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。

)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。

复变函数2(zh)2014级

复变函数2(zh)2014级
注:定理提供了判别函数解析性的方法及如何 求f (z)的导数值.
使用时: i)判别u(x, y)，v (x, y)可微（偏导数的连续性)
ii) 验证C-R条件. iii)求导数： f '(z) u i v
x x 15
例 4 判定下列函数在何时可导? 何处解析?
并在可导处求出导数。
(1) f (z) ( x3 y3 ) i2x2 y2
与g( z )的 和 、 差 、 积 、 商(除 去 分 母 零 的 点)在D内解析。
(2) 设函数h g(z)在z平面上的区域D内 解析,函数w f (h)在h平面上的区域G内 解析。那么复合函数w f [g(z)] 在D内解析。
12
由以上讨论
P(z) a0 a1 z an z n是整个复平面上的解析函数； R(z) P(z) 是复平面上（除分母为0点外）的解析函数.
Ln z1 z2

Ln z1
Ln z2
4) Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内 解析, 且由反函数的导数得
dw (ln z)' dz
当y 当x

0, x 0, y

00时 时不!
故函数处处不可导
函数f (z)=x+2yi在复平面上处处连续，但处处 不可导
8
3、求导公式与法则 (1) c=(a+ib)=0. (2) (zn)=nzn-1 (n是正整数).
(3) 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
Q(z)
4
例 2 试讨论下列函数的连续性。 1、f (z) z Re(z) 在复平面上处处连续

复变函数2

复变函数2
df (z) f ′( z), 或者 . dz
2011-9-17 第一章 复变函数2 2
2、求导法则 形式上与实函数一样! 求导法则: 形式上与实函数一样! 求导法则
d dw1 dw2 ( w1 ± w2 ) = ± , dz dz dz d n z = nz n −1 , dz
d z e = ez , dz
7
4、可导的充要条件
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点 在区域 内一点z=x+iy可导 复变函数 可导 的充分必要条件是
∂u ∂u ∂v ∂v (1) 偏导数 , , , 在( x, y )点处存在， 且连续； ∂x ∂y ∂x ∂y
（2） 复变函数在( x, y)点处满足C − R条件.
最后得到
z = x + iy =
π
2
+ 2kπ − i ln(2 ± 3 ).
2011-9-17
第一章 复变函数2
15
习题：推导极坐标下的C-R条件 习题：推导极坐标下的 极坐标下的 条件
令z = reiθ， ∆z = e iθ ∆r + ire iθ ∆θ . 若f ( z ) = u (r,θ ) 增量 + iv(r , θ )在点z处可导，其导数与∆z → 0的方式无关。
导数与∆z→0的方式无关，可沿复平面上任一曲线 导数与∆ 的方式无关， 的方式无关 逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。 逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。
2011-9-17 第一章 复变函数2 4
沿实轴：∆y=0, ∆z= ∆x→0, 式(A)可写为 沿实轴 可写为
∆v ∂u ∂v ∆u lim +i = + i = f ' ( z ). ∆x →0 ∆x ∆x ∂x ∂x

复变函数-第2章

复变函数-第2章

(1) 若 Δz 沿实轴趋于0, 即 Δz = Δx,
f ′( z0 ) = lim u ( x0 + Δx, y0 ) + iv( x0 + Δx, y0 ) − u ( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) Δx →0 Δx u ( x0 + Δx, y0 ) − u ( x0 , y0 ) v( x0 + Δx, y0 ) − v( x0 , y0 ) = lim + i lim Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx ∂u ∂v = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ∂x ∂x
∀ z0 ∈ C,
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) z0 + Δz − z0 Δz = = Δz Δz Δz Δx − iΔy ⎧ 1, Δy = 0 = →⎨ 差商的极限不存在！ Δx + iΔy ⎩− 1, Δx = 0
所以, 与 z 有关的函数不可微. 比如, x, y作为一元或者二元实函数都是可微的, z+z z−z 但作为复函数则不可微! x= ,y= 2 2i
但是,
| ΔxΔy | f (0 + Δz ) − f (0) = Δz Δx + iΔy
取 Δy = kΔx
Δx → 0 +
|k| 1 + ik
差商极限不存在, 故不可微. ★ 想一想问题出在哪里? 注意到, 实函数 u ( x, y ) = | xy | 在(0,0)不可微!
反证, 若实函数 u ( x, y ) = | xy | 在(0,0)可微, 则
2. 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程
若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 z0 = x0 + iy0 可导, 则

复变函数复变函数2


z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.

复变函数 (2)

习题二解答A 类1．下列函数何处可导？何处解析？（1）()y x z f i 2-= （2）()y x xy z f 22i +=（3）()2222iy x yx y x y x z f +-+++=（4）()z z f Im =解 （1）由于1,0,0,2-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y vx v y u x x u在z 平面上处处连续，且当且仅当21-=x 时，u ,v 才满足C-R 条件，故()yx v u z f i i -=+=仅在直线21-=x 上可导，在z 平面上处处不解析。

（2）由于2y x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xyx v 2=∂∂，2x y v =∂∂在z 平面上处处连续，且当且仅当z =0时，u ,v 才满足C-R 条件，故()y x xy z f 22i +=仅在点0=z 处可导，在z 平面处处不解析。

（3）()()[]y x y x y x y x y x y x y x z f i i i 1i 222222-+-+=+-+++=()z zz zi 1i 1+=+=且故()z f 在除原点外的z 平面上处处可导，处处解析。

（4）由于0,1,0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u x u可知u 、v 在z 平面上处处不满足C-R 条件，故()z f 在z 平面上处处不可导，处处不解析。

2．试确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数。

（1）()()()3122+-=z z z f ； （2）()z z z f i 23+=；（3）()112-=z z f ； （4）()1123++=z z z f解 （1）由于()()()()()()[]131********2-++-=-++-='z z z z z z z z z f ()()32122+--=z z z故()z f 在z 平面上处处可导，处处解析。

（2）由于()i 232+='z z f ，知()z f 在z 平面上处处可导，处处解析。

复变函数第二章1导数


f
(z)

A.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
A lim f (z) 意味着： z z0
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意
方式趋近于z0时，f (z)均以A为极限。
1
例1：证明函数f (z) e z 在z 0时极限不存在。
证明 当z沿实轴从0的右方趋于0时，即z x 0, x 0
解： u(x, y) x3 3xy2 v(x, y) 3x2 y y3
u 3x2 3 y2 x v 6xy
x
u
6xy
v
y 3x2

3y2
y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u

v y 在复平面内处处成立 v
u
[2]
在区域D内处处满足柯西
黎曼方程
x u

v y v
y x
(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。
若u(x, y), v(x, y)在区域D内具有一阶连续偏导数，
则在区域D内可微。
计算：判定f (z)在哪些点处可导？ a. 确定u(x, y), v(x, y);
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
lim u(x, y) lim x
x0 ( ykx)
x0 ( ykx)
x2 y2
lim
x
1 .
x0 (1 k 2 )x2
1 k2
故极限不存在.
2.2 复变函数的连续性
定义: 若若f (zlzim)z在0 f区(z域) D内f 处(z0处)则连称续函，数 则f称(z函)在数fz(0处 z)在连续。

复变函数2i求导

复变函数复变函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个自变量和一个或多个复数之间的关系。

复变函数可以看作是将一个复数映射到另一个复数的规则，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。

函数的定义复变函数是指从复数集合到复数集合的映射。

一般来说，如果z是一个复数，则可以将其表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。

而复变函数f(z)则可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部。

用途复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1.物理学：在电磁场理论中，使用复变函数可以方便地描述电磁场的行为。

例如，在求解电磁波传播问题时，可以使用复平面上的解析函数来表示电磁场分布。

2.工程学：在信号处理中，使用傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号。

傅里叶变换本质上就是对输入信号进行复变函数的变换，它可以方便地分析信号的频谱特性。

3.计算机科学：在计算机图形学中，复变函数可以用于生成各种图形效果。

例如，使用复变函数可以绘制出美丽的分形图形，如Mandelbrot集合和Julia集合。

复变函数2i求导对于给定的复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部。

我们可以使用复数的极坐标表示来对其求导。

假设z = x + yi是自变量z的一个小增量，即dz = dx + idy。

而f(z)在z点处的导数为：f’(z) = lim (f(z+dz) - f(z)) / dz根据极限定义，我们可以将上式展开为：f’(z) = lim (u(x+dx, y+dy) + iv(x+dx, y+dy) - u(x, y) - iv(x, y)) / (dx + idy)将u和v展开并整理得到：f’(z) = lim [(u(x+dx, y+dy) - u(x, y)) / (dx + idy)] + i [(v(x+dx, y+dy) - v(x, y)) / (dx + idy)]由于dz = dx + idy，我们可以进一步将上式化简为：f’(z) = ∂u/∂x + i ∂v/∂x根据复数的性质，我们可以将上式再次化简为：f’(z) = ∂u/∂x - i ∂u/∂y这就是复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在点z处的导数。

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推论： f ( z) u( x, y) iv( x, y)在区域 D内解析的充分 必要条件为 u( x, y), v( x, y)满足以下条件：
1)u, v在区域D内可微 2)在D内满足柯西 黎曼方程（简称 C R方程)：
u x v y , u y vx
并且在解析的条件下 f ( z ) u x ivx v y iu y
§3
初等函数
本节内容：介绍复变函数中的五类基本初等函数：
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
一、指数函数
1、定义：记 z x iy，则复指数函数为：
e e
z
x iy
定义
e (cos y i sin y)
x
注： 1 ） e z e x , Arge z y 2k , 即x, y分别决定
ux v y , uy v x
四个方程，四个未知数，解得
ux uy v x v y 0
小 结
一、导数的概念，复变函数求导法则
二、解析的概念，解析与可导的关系
三、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西—黎曼定理
f(z)在区域D内解析 f(z)在z0点解析
f(z)在区域D内可导
x x
即导数是其本身
3 )w 2 x 3 y i 解：u( x, y ) 2 x3 ,v( x, y ) 3 y 3 2 2 u x 6x , v y 9 y , u y 0, vx 0
3 3
u,v处处可微，由此：
仅当6 x 2 9 y 2 即 y 2 x上u,v满足C R方程 3
注：如何验证一个实函数的可微性?
只要具有连续的一阶偏导数即可!
例：判别下列函数的解析性
1 )w z
解：w x iy,u x,v y
u x 1, v y 1
不满足C-R方程 所以，函数处处不可导，处处不解析
2) w e x (cos y i sin y ) 解：u ( x, y) e cos y, v( x, y) e sin y
1)u, v在( x0 , y0 )点可微 2)在( x0 , y0 )点满足柯西 黎曼方程
u x v y , u y vx （简称C R方程)
并且在可导的条件下 f ( z0 ) u x ivx v y iu y
将z0点换为区域，则得到区域内可导因而解析的条件
容易证明:
x0 y 0
lim
1x 2y
(x)2 (y)2
0, lim
1y 2x
(x)2 (y)2
x0 y 0
0
由此说明：u( x, y), v( x, y)在z 0点可微，且
ux a,uy b;v x b,v y a
综上所述，我们的结是 论：若 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y) 在z 0 x0 iy 0点 可 导 ， 则 u ( x, y ), v( x, y )在( x0 , y 0 )点 定 可微，且：
处处可导，处处析
1 3) f ( z ) z
除z 0外可导，因而除 z 0外解析。
（因为复平面除去有限个点外剩下部分为一区域）
4）有理分式（即两个多项式的商） 定义域（分母不为0的点）内可导、解析
§2
可导、解析函数的判别——柯西-黎曼定理
本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非常 有效的方法。建立了函数可导时其实、虚部u,v应满 足的条件
思考：解析点不可能是孤立的！
即：若f ( z )在z0点解析， 则必定在z0的某个小邻域内都解析
例：研究下列函数的解析性 为什么？
1) f ( z) z
2
函 数 处 处 可 导 ， 因 而处 解 析 。 （因复平面是一区域）
2) 多项式pn ( z) a0 z a1z
n
n1

an1z an
4)若f ( z ) u iv在 区 域 D内 解 析 ， 且 u为 实 常 数 ， 则f ( z )也 为 常 数
2、证明罗比达法则：
若f ( z )、g( z )皆在z 0点解 析，且 f ( z 0 ) g( z 0 ) 0 g ( z 0 ) 0, 则 f ( z ) f ( z )
7)反 函 数 求 导 ， 若 w f ( z )与z h( w)互 为 反 函 数 ， 则 1 dw 1 f ( z ) ,即 h( w) dz dz dw
4、微分
定义： f ( z )在z 0点 的 微 分 为 ： df ( z ) f ( z 0 )z f ( z 0 )dz
ux vy , uy vx , f ( z0 ) a ib ux ivx
反之结论也成立。由此得到：
定理（柯西 黎曼）： f ( z ) u ( x, y) iv( x, y)在 z 0 x0 iy0点 可 导 的 充 分 必 要 条 为 件u ( x, y), v( x, y) 满足以下条件：
将水平带形域映成顶点在原点的角形域。
z
w
i
z
w

思考：垂直直线被映射成什么曲线？ 二、对数函数
1、定义：若 e w z, 则称w为z的对数函数
记为 ： w Lnz
即对数函数是指数函数的反函数。
2 x ay dx 2 y ax 2by (2cx dy )
解得
a d 2,b c 1
例： 1、f ( z)在区域 D解析且为实，证明： f ( z) c
2、f ( z ) u( x, y) iv( x, y)解析， au bv c, 证明： f ( z )为常数
二、解析函数的概念
定义：若 f ( z )不 仅 在 z 0点 可 导 ， 而 且 在 z 0的 某 个 小 邻 域 内 处 处 可 导 ， 则f 称 ( z )在z 0点 解 析 。
不解析的点称为奇点。 注：可导与解析是两个不同的概念； 解析的条件比可导的条件强 定理：若函数在区域D内可导，则D内定解析。 由此说明，在区域上，可导与解析二概念是等价的！
e
x2 y 2
例：指数函数映射特性：
记原象 z x iy 0 则 象 w e x iy0 e x (cos y 0 i sin y 0 )
这样，y固定x变动时，z划出一条水平直线 而w划出的是原点出发的射线
故此,指数函数具有这样的映射特性：
将水平直线映成原点出发的射线；
函数在直线y 2 x上可导，但处处不解析 3 （因直线不是区域）
注：定理直接给出的是可导的条件！
例：f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ), 问a, b, c, d 取何值时函数解析？
解：将u x 2 axy by 2 ,v cx 2 dxy y 2代入 C R方程中
f(z)在z0点可导
f(z)在z0点连续
练习：
1、判别真、假：
1)若f ( z 0 )存在，则 f ( z )在z 0点解析 2)若z 0为f ( z )的奇点，则 f ( z )在z0点不可导
3)若z 0 为f ( z )、g ( z )的 奇 点 ， 则 z 0 也 是f ( z ) g ( z ), f (z) 的奇点 g( z )
五类基本初等函数
§1、解析函数的概念 一、导数与微分 1、导数概念：
df ( z ) 定义：函数f ( z )在z0点的导数为： f ( z0 ) dz z z 0 f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
等价于

f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
1)c 0, (c为 常 数 ）2 ， )(z ) nz ，
n n 1
3） ( f g ) f g 4)( fg ) f g fg （乘积求导）
f f g fg 5） ( ) (商 求 导 ） 2 g g
6)复 合 函 数 求 导 ： 若 w f (t ), t g ( z ), 则 dw dw dt dz dt dz
z 3)e 处处解析，且 (e ) e z z
以上三条性质与实指数函数相同
4)e 为周期函数，周期为 2i,
z
因为e z 2ki e x( y 2k )i e xiy e z
例：e
3 i
e (cos i sin ) e
3
3
e
z2
e
x2 y 2 2 xyi
解：1、由已知，v 0，故此v x 0 ,v y 0 ,
再由C R方程ux v y ,u y v x
ux uy v x v y 0
2、au bv c两端分别对 x, y求导，得
aux bv x 0
再由C R方程
auy bv y 0
lim
z z0
g( z )

0
g ( z 0 )
3、 证 明 ： 若 f ( z )在 上 半 平 面 内 解 析 ， 则 f ( z )在 下半平面内解析
提示：
若f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ),则f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ), f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )
e z的模、幅角。
2）当z x时, y 0, 从而e z e x ,即复指数函
数是实指数函数的推广
2、性质：由定义，复指数函数有以下特性：
1 ）z, e 0,因其模e 恒不为 0