课题等比数列的前n项和(第一课时)

《等比数列的前n项和公式》说课稿(第一课时)各位老师，大家好！今天，我说课的内容是人教版普通高级中学教科书(必修5)《数学》第二章第八节“等比数列的前n项和公式”第一课时。

一、教材结构与内容分析：学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着作用性的作用。

首先：数列有着广泛的实际应用。

例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。

其次：数列有着承前启后的作用。

数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。

再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。

学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。

二、教学目标分析：1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，初步错位相减法及等比数列前n项和公式及应用。

2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能够灵活运用分类讨论思想分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。

3、情感目标：锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。

三、重点难点分析重点:等比数列前n项和公式及应用。

难点:等比数列前n项和公式的推导。

五、教学方法分析：教法：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。

学法：在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了（１）创设情景（２）观察归纳（３）讨论研究（４）即时训练（５）总结反思（６）任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。

自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。

课题：等比数列的前n项和（第一课时）教学目标：1、知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导方法，公式的特点能初步应用公式解决有关问题。

2、能力目标：培养学生观察、比较、抽象、概括等能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题。

3、情感目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．课型与教法：新授课启发式下的讲解式.教学手段：多媒体教学时间：45分钟授课教师：刘洋讲解过程：一、引入创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．对他们的这种思路给予肯定.如何求出他们的值呢，带着这个问题，我们一起来学习今天的内容，引出课题． 二、新课讲解1、师生互动，探究问题提问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？回忆等差数列前n 项和公式的推导过程。

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，若（1）式两边同乘以2则有 ，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：．老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？这个2是什么？2、类比联想，解决一般化问题此时顺势引导学生将结论一般化，因为 123nn S a a a a =++++根据等比数列通项公式，上式可写成211111n n S a a q a q a q -=++++ （3）如果将公比q 乘（3）式的两边，可得211111n n n qS a q a q a q a q -=++++ （4）由（3）-(4)式，得11(1)n n q S a a q -=-于是，当1q ≠时，等比数列的前n 项和公式为⋅⋅⋅⋅⋅⋅23631+2+2+2++2⋅⋅⋅236364设s =1+2+2+2++2s ⋅⋅⋅236364642=2+2+2++2+2公比为，q n 如何求前n 项和s ？{}a ,a ,n 1设等比数列首项为 646421s =-探讨3：这里的q 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时s n =？探讨4：结合等比数列的通项公式11n n a a q -=,如何把n S 用a 1、a n 、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）因为111111(1)111n n n n a q a a q a a q q S q q q----===--- ，于是n S 还可以写成探讨5：比较前后两个等比数列前n 项和公式有何区别。

§3.5等比数列的前n项和（第一课时）教学目标1．知识目标理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，能初步应用公式解决问题．2．能力目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透由特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括的能力．3．情感目标通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．教学重点与难点重点:公式的推导和公式的运用；难点:公式的推导方法和公式应用中q是否为1的讨论．教学方法启发诱导与讲练结合.教学过程1．引入问题印度国际象棋发明者的故事.（国际象棋棋盘上共有8行8列，构成64格子，关于它有一个这样的传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第三个格子里放上4颗麦粒，在第四个格子里放上8颗麦粒依次类推，每个格子的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述要求.”）2．探究新课引导学生写出麦粒总数为：1+2+22++263？探讨:发明者要求的麦粒总数是：=1+2+22++263①S64上式有何特点？①式两边同乘以2，得2S 64=2+22+23++263+264 ② 两式相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到 S 64= 264 -1．在此，强调错位相减法，同时反问： 纵观全过程，体会①式两边为什么要乘以2 ？问题：{}n n a a q s 1设等比数列,首项为,公比为， 如何求前n 项和？211111n n s a a q a q a q -=+++⋅⋅⋅+211111n n n q s a q a q a q a q -⋅=++⋅⋅⋅++探讨1：由11(1)n n q s a a q -=-，得：111nn a a q s q-⋅=-，对不对？q =1时n s =？ 探讨2：结合等比数列的通项公式11n n a a q -=⋅, 如何把n s 用1a 、n a 、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）得出：111nn a a q s q -⋅=-（1q ≠），或11n n a q a s q-⋅=-（1q ≠） 当1q =时，1n s n a =⋅.探讨3：引导学生从其他的途径求和：211111n n s a a q a q a q -=+++⋅⋅⋅+11231()n a q a a a a -=++++⋅⋅⋅+3.例题讲解例1．求等比数列1111,,,,24816前8项和？ 解：由等比数列前n 项和公式，得：11122111212n nn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭- 所以，该等比数列的前8项和为255256. 变式练习：1.等比数列1111,,,,24816前多少项和是6364？ 2. 等比数列1111,,,,24816求第5项到第10项的和? 3.等比数列1111,,,,24816求前2n 项中所有偶数项的和? 答案：1.n=6; 2.104631024s s -=; 3.11134n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 例2.求和2311n a a a a -++++.解：当a=0时，2311n a a a a -++++=1；当a=1时，2311n a a a a -++++=n;当a ≠0,且a ≠1时, 2311n a a a a -++++=11na a--； 故2311n a a a a -++++(1)1(1)1nn a a a a =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩4. 总结归纳我学到了什么…我知道了什么…我收获到了什么…归纳、总结：1.等比数列的前n 项和公式；2.错位相减法；3.特殊到一般、类比与转化、分类讨论的思想.5.首尾呼应646419641221 1.8410()12s -==-≈⨯-粒 约7000亿吨6.课后作业必做： P 129练习1、2、3、4选作：(1)求和2323n x x x nx ++++(2) “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 这个问题的答案是多少？板书设计：等比数列的前n 项和错位相减法当1q =时，1n s n a =⋅.例.教学反思：本节课是《等比数列的前n 项和》的第一课时，学生在学习了等比数列的概念、等差与等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式前提下学习的，对于本节课所需的知识点和探究方法都有了一定的储备。

《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计第一课时：等比数列的前n项和一、教学目标1. 知识与技能：掌握等比数列的概念和性质，了解等比数列的通项公式以及前n项和的计算方法。

2. 过程与方法：通过案例分析和实例演练，引导学生建立等比数列的基本概念和计算方法。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生的解决问题的能力和思维逻辑能力。

三、教学准备1. 教学内容：等比数列的前n项和。

2. 教学资源：教材、教学课件、实例题材。

3. 教学环境：教室、黑板、投影仪。

4. 学生准备：学生需提前预习并准备好相关课文和课后习题。

四、教学过程1.导入（5分钟）教师可通过引入等比数列的概念及应用案例，引起学生的兴趣，激发学生的求知欲。

2.呈现（15分钟）教师通过教学课件或实例题材，讲解等比数列的概念，并引出等比数列的通项公式和前n项和的计算方法。

重点讲解等比数列前n项和的计算公式，并通过实例进行讲解和演练。

4.练习与讨论（15分钟）教师布置相关练习题，要求学生在课后完成，并组织学生进行解题讨论。

通过练习和讨论，巩固学生所学知识，加深对等比数列前n项和的理解。

5. 拓展与应用（10分钟）教师通过拓展性问题或应用案例，引导学生将所学知识应用于实际问题中，培养学生的数学建模能力。

五、课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点知识进行归纳和总结，澄清学生的疑问，为下节课的学习做好铺垫。

六、作业布置布置相关练习题，要求学生完成课后练习，巩固所学知识。

七、教学反思通过本节课的教学设计和实施，学生可以系统地学习到等比数列的前n项和的计算方法，培养了学生的数学思维能力和解决问题的能力。

通过实例演练和讨论，学生的学习兴趣得到了激发，课堂氛围良好。

需要改进的地方是在教学过程中，对于学生的个别问题能够给予更多的帮助和引导，以确保每个学生都能够理解和掌握所学知识。

课题：等比数列的前n项和（第一课时）北京市顺义一中刘世明一、教材分析●教学内容本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修5第二章第5节，课标安排本节课为两课时，本节课为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：本节课教学对象为示范高中普通班学生，学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维来说是一个难点，另外，对于1q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据新课标的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验。

《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计教学目标：知识与技能：了解等比数列的概念和性质，掌握等比数列通项公式和前n项和公式的推导和应用。

情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣和探究精神，培养学生合作学习和独立思考的能力。

教学重点与难点：难点：等比数列的性质和推导的逻辑思维。

教学准备：教学设备：投影仪、黑板、白板、计算器。

教学材料：教材、习题集。

教学过程：一、导入（5分钟）教师通过投影仪播放一段视频或展示一组图片，引入等比数列的概念。

视频或图片可以选择一组不断增大或减小的元素，让学生观察并思考，引导学生思考每个元素之间是否存在某种关系。

教师可以提问：1. 观察这组元素，你们觉得它们之间是否存在某种规律？2. 这组元素是否有一个公共的特点或性质？3. 你能用一句话来概括这组元素的规律吗？教师通过上面的引导引入等比数列的概念和性质，给出等比数列的定义：如果一个数列的任意两个相邻的数之间的比值都相等，那么就称这个数列为等比数列。

接着，教师给出等比数列的通项公式：对于等比数列an，如果其首项是a1，公比是r，那么第n项an的计算公式为：an = a1 * r^(n-1)三、示例与讲解（15分钟）教师选择一些实际生活中的例子，如存款的利息、人口增长等，给出具体的数列，引导学生分析其中的规律，并用等比数列的公式来计算相关问题。

示例：某银行的存款利率为每年5%，小明决定每年将存款利息再投资进去，问他每年的存款金额是多少？解析：假设小明的初始存款为a1，第一年的存款金额为a2，第二年的存款金额为a3，依此类推，可以得到等比数列an = a1 * (1 + 0.05)^(n-1)。

通过计算，可以得到小明每年的存款金额。

四、练习与巩固（20分钟）教师提供一些练习题，让学生运用等比数列的通项公式计算。

练习题：1. 已知等比数列的首项是2，公比是3，求第8项的值。

2. 已知等比数列的首项是5，第4项是320，求公比。

3. 已知等比数列的首项是1，公比是0.5，求前10项的和。

等比数列的前n 项和（第一课时）研究数列的主要问题之一，就是求数列各项（或某些项）的和，在§3．3中，我们研究了求等差数列前n 项和的办法，本节我们将从数列本身的特点出发，寻求有效的方法求等比数列的前n 项和．【学习目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式的推导，分清公式在公比等于1与公比不等于1的两种不同形式，会进行分类讨论．2．能利用等比数列求和公式解决一些简单问题．【学习障碍】1．对等比数列求和公式的条件关注不够，导致解题不够严密．2．对等比数列求和公式的推导方法理解不够深刻，运用不够灵活．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P 127～130．2．本课时课本首先探讨了求等比数列前n 项和的方法，然后通过四个例题从四个方面给出了求和公式的应用．（1）关于求和公式的推导，课本是通过一个具体的等比数列{2n －1}的前64项和S 64＝1＋2＋4…＋263与它的2倍2S 64＝2＋4＋8＋…＋263＋264的比较，看出它们之间的差异，从而类比到一般的等比数列，把S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n－1与qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n进行比较，得（1－q ）S n ＝a 1－a 1q n ＝a 1（1－q n ）进而得到q ≠1时，S n ＝q q a n --1)1(1，q ＝1时，S n ＝na 1．课本中求和公式的这一推导方法称为“乘比错位相减法”，其特征是先乘一个公比，再错项后相减．学习中要注意掌握这一方法．在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q ≠1．故当q ＝1时应按常数列求和即S n ＝na 1．在含字母参数的等比数列求和时，应分类讨论q ＝1与q ≠1两种情况．等比数列的前n 项和公式在q ≠1时有两种形式：S n ＝q q a a S qq a n n n --=--11)1(11与 在使用时要视具体情况灵活选用．（2）关于课本中给出的四个例题．例1是已知a 1、q 及n 求S n ，是对公式的直接应用；例2是数列在经济生活中的应用，其实质是已知a 1，q ，S n 求n ，要运用公式，通过解方程来得到．例3是混合数列求和问题，要将原数列拆分组合，转化为两个等比数列求和问题；例4是利用S n 讨论a n 的相关问题，在解题过程中使用了整体解决问题的思想．Ⅱ．知识拓宽1．等比数列的前n 项的和公式还有以下证法：（1）用乘法公式证明．S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1（1＋q ＋q 2＋…＋q n －1） ＝q a -11·（1－q ）（1＋q ＋q 2＋…＋q n －1）＝q q a n --1)1(1．（2）用裂项相消法证明．∵q ≠1，∴S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1∴S n ＝)11()11()11()11(111312121111q q a q q a q q a q q a q q a q q a q q a q a nn ---+⋅⋅⋅+---+-+-+---- ＝q q a qq a q a n n --=---1)1(11111． （3）用解方程的思路证明．∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q （a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2）＝a 1＋q （S n －a 1q n －2） ∴S n ＝a 1＋q （S n －a 1q n －1） ∵q ≠1，∴解关于S n 的方程，可得S n ＝q q a n --1)1(1．（4）用等比数列的定义证明．∵{a n }是等比数列，∴q a a a a a a a a n n ==⋅⋅⋅===-1342312． ∴1321432-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++n n a a a a a a a a ＝q ，即n n n a S a S --1＝q ．于是S n ＝q q a qq a a n n --=--1)1(111． 2．由一个数列的前n 项和S n 可以判断这个数列是否是等比数列．由于非常数列的等比数列的前n 项和S n ＝q a q q a qq a n n -+⋅--=--111)1(111．可以看出，式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项为互为相反的数，由此可以根据前n 项和公式判断等比数列，即，非常数列的等比数列是S n ＝aq n －a （a ≠0，q ≠0，n ∈N *）的充分必要条件．3．等比数列前n 项和公式有时常变为如下形式使用：q a q S n n -=-111． Ⅲ．障碍分析1．怎样合理选择公式解答等比数列问题？［例1］在等比数列{a n }中，已知S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1与n ．解：由S n ＝q q a n --1)1(1及通项公式a n ＝a 1q n －1得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=-11129621)21(189n n a a 即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=-⋅-96218921111n n a a a∴2×96－a 1＝189，a 1＝3；2n －1＝396＝32，n ＝6．点评：通项公式与前n 项和公式共含有5个量，知道其中3个便可求出其余2个，共10种情况，这就是“知三求二”法．本题也可利用公式S n ＝q qa a n --11先求出a 1，再利用公式a n ＝a 1q n －1求出n ．2．怎样利用拆项求和法解答数列求和问题？［例2］已知a n ＝－4＋3n ，b n ＝x n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ．思路：拆项求和，讨论x ＝1与x ≠1．解：S n ＝（a 1＋b 1）＋（a 2＋b 2）＋…＋（a n ＋b n ）＝（a 1＋a 2＋…＋a n ）＋（b 1＋b 2＋…＋b n ）＝T 1＋T 2．又T 1＝2n （a 1＋a n ）＝ 2n ［（－1）＋（－4＋3n ）］＝2n（3n －5），而 T 2＝x ＋x 2＋…＋x n ，要讨论三种情况：（1）x ＝0时，T 2＝0；（2）x ＝1时，T 2＝n ；（3）x ≠0且x ≠1时，T 2＝x x x n --1)1(点评一：在求T 2时，容易丢掉（1）（2）两种情况．一般对含参数求和问题要分类讨论进行．∴S n ＝n n 25232-，（x ＝0）S n ＝n n 23232-，（x ＝1）S n ＝x x x n n n --+-1)1(25232，（x ≠0且x ≠1）点评二：拆项求和，这是常用的求和方法．一般地，一个数列由n 个特殊数列组成，即有a n ＝b n ＋c n ＋…＋f n ，可用拆项求和法求解．3．怎样用错位相减法解数列求和问题？［例3］已知数列{n n2}，求前n 项和S n ．思路：观察数列及通项可知，该数列是由等差数列{n }及等比数列{n 21}的对应项的乘积组成的数列，因而可采用错位相减法求和．解：S n ＝n n 223222132+⋅⋅⋅+++， 两边同乘以公比21，得143222123222121++-+⋅⋅⋅+++=n n n n n S ． 用上面两式相减得到,221212121)211(132+-+⋅⋅⋅+++=-n n n n S ∴S n ＝1＋n n n n n n n 22222112112121212112+-=---=-+⋅⋅⋅++-． 点评：错位相减法是数列求和的又一常用方法．一般地，当数列{a n ·b n }中，{a n }是等差数列，{b n }是等比数列时，积数列{a n ·b n }的和可用错位相减法．Ⅳ．思维拓展［例4］某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险．若每年年末等差额年金p 元，即第一年年末存入p 元，第二年年末存入2p 元，…，第n 年年末存入np 元，年利率为k ．问第n ＋1年年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？思路：分期存款，应利用“本利和＝本金×（1＋利率）”分段计算：第1年年末存入的p 元现金，到第n ＋1年年初，共n －1年，逐年获得本利和依次构成公比为1＋k 有等比数列，即p （1＋k ）n －1； 同理，第2年末存入2p 元，…，第n 年末存入np 元的本利和，依次为 2p （1＋k ）n －2，…，np ．问题即为数列求和．解：设此人第n ＋1年初一次性获得养老保险金为S n 元，则S n ＝p （1＋k ）n －1＋2p （1＋k ）n －2＋…＋（n －1）p （1＋k ）＋np ① （1＋k ）S n ＝p （1＋k ）n ＋2p （1＋k ）n －1＋…＋（n －1）p （1＋k ）2＋np （1＋k ） ② ②－①，得：kS n ＝p （1＋k ）n ＋p （1＋k ）n －1＋…＋p （1＋k ）－np＝np k k k p n --++]1)1)[(1(，∴S n ＝21]1)1()1[(k k n k p n -+-++（元）．故第n ＋1年年初此人一次性获得养老金为2k p［（1＋k ）n ＋1－（n ＋1）k －1］元．Ⅴ．探究学习求数列12，1212，121212，…， 12121212个n ⋅⋅⋅的前n 项和．答案：解：a n ＝ 12121212个n ⋅⋅⋅＝12×102n －2＋12×102n －4＋…＋12×102＋12 ＝12（102n －2＋102n －4＋…＋102＋1）＝334（100n －1），∴S n ＝12＋1212＋121212＋…＋ 12121212个n ⋅⋅⋅ ＝334（100－1）＋ 334 （1002－1）＋…＋334（100n －1） ＝334（100＋1002＋…＋100n ）－3267400334=n （100n －1）－334n ．【同步达纲练习】一、选择题1．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是A ．179B ．211C ．243D ．2752．数列{a n }中，S n ＝3n ＋m ，当m 为何值时，数列{a n }是等比数列（ ）A ．m ＝1B ．m ＝－1C ．m ＝2D ．m ＝03．一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n 次着地时，共经过了a n 米，则当n ≥2时，有A ．a n ＝a n －1＋32100-nB ．a n ＝a n －1＋22100-nC ．a n ＝a n －1＋n 2100D ．a n ＝21210021--+n n a二、填空题4．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于____________．5．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10＝25．则a 1＋a 2＋…＋a 10＝____________．6．已知数列：x ＋a ，x 2＋2a ，x 3＋3a ，…，x n ＋na （x ≠1）的前n 项和为S n ，则S 9＝____________．三、解答题7．计算数列：1，2x ，3x 2，…，nx n －1，…（x ≠1）的前n 项和． 8．在等比数列{a n }中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．参考答案【同步达纲练习】一、1．B 提示：∵a 5＝a 1·q 4，∴81·q 4＝16．∴q 4＝8116∵数列的各项都是正数，∴q ＝32．∴S 5＝21123])32(1[3321])32(1[811)1(5555551=-=-⋅=--=--q q a ． 2．B 提示：∵a 1＝S 1＝3＋m ，a 2＝S 2－S 1＝32－3＝6，a 3＝S 3－S 2＝33－32＝18．由a 1·a 3＝a 22得：m ＝－1．3．B 提示：第二次着地时小球经过了200米，n ＝2时，验证选择排除A 、C 、D ，故选B ．二、4．17 提示：∵S 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋q 4（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）＝1＋24＝175．41023提示：由题意知：log 2（a 1·a 2…a 10）＝25∴a 1·a 2·a 3…a 10＝225．∴a 110·245＝225即a 110＝2021，∴a 1＝41．∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝410231)1(101=--qq a ． 6．110--x xx ＋45a 提示：S 9＝（x ＋a ）＋（x 2＋2a ）＋（x 3＋3a ）＋…＋（x 9＋9a ）＝（x ＋x 2＋…＋x 9）＋（a ＋2a ＋…＋9a ）＝12)9(91)1(109--=++--x x x a a x x x ＋45a ． 三、7．∵S ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1 ① ∴x ·S ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋（n －1）·x n －1＋n ·x n ② ①－② S （1－x ）＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝x x n--11－nx n∵x ≠1，∴S ＝x x n x x nn -⋅---1)1(12． 8．由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N *知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ② ①－②得：a n ＝2n －1，n ≥2． 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *． 而：212221)2()2(-+=n n n n a a ＝4即{a n 2}为公比为4的等比数列．∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--n n a ．。

4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.。

第四届全国高中青年数学教师优秀课大赛教案设计课题: 等比数列前n项和(第一课时)执教人: 谢业建(139********)单位: 安徽无为襄安中学课题：等比数列的前n项和（第一课时）一教学目标:1.知识与技能目标:1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二教学重点：等比数列项前n和公式的推导与简单应用。

三教学难点：等比数列n项和公式的推导。

四教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

五教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题：从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。

穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。

请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.注：师生合作分别给出两个和式：①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）2．师生互动，新课探究：如何求和：注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：1）等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和）2）公比是多少？（2） 即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.3）因此，如果两边……（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）从而有：师：如何求30T ？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）注：①学生解出30T ，并与30S 比较（到底能不能向富人借钱）。