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16.901讲义笔记一维有限％首先，我们考虑•个比上一节稍微复杂点的问题; 豎二f(X),卫冲，V(O) = O.V(L)=O在这里，f(X)是)C的般函数，我们来看•个特别的情形：f(x)=x(L-x),此时，方程的梏确解如F：有限元方法利用加权残差的方法■其中:(1)设va)=£«Ma), v()()是我们对v(x)的近似，省为未知常数9 V|(x)是用户选择的歯数，即形状朗数：(2)定义N个加权残差LRj = p^(x)R(V)dx • j = l-> N to其中，RV)二器・f为绒差凹⑴足“用户”选择的加权函数，即权函数:(3)令加权残并为冬•町以确定⑷的值，即求耳使得对所fi 1=I->N, Rj=Oe令限元方法( )是加权残若法的一种，下血看看我们是如何用它来解决问题的。
一维有限元方法有限元方法（〉扌野个连续区域离散化-系列小单尤，这些单元与有限差分法（）或有限体积法（）产牛的网格完全相同，而佼之前两者主耍的优点在于：能够容易地把握单元的变化范囤。
对于我们讨论的一维问题,可以将区域（数轴〉离散化为如下图所示:这里，叫三单•元的个数。
我们还会用別下血i些定义：个三角划分；尽管令限元法对于一维，二维，三维甚至高细问题都是仃效的，们我们还是要谈及区域离散化的一种方浓，即三角划分。
4 T定义为第I个单元所在的区域。
对于_维问题,这表明，TS-个满足片心的X的集合。
接卜来耍确定的是毎个单兀该用什么样的函数，典型的函数形式就是用从一个单元到卜一个单兀保持解连续的多项式。
例如：一个线性有限元如卜團;i示:在毎个单元内的函数是线形的，在毎两个单元的交点处足连续的。
对于专门诜择的满足线件变化的形状函数,右估计残差时有一个很明显的问题：回忆前曲的内容，RV)二器一f,它在一个单冗里等于什么呢?因为函数是线性的,所以器=0,则有:R(V)=f ,即R(V)与无关。
冋时，满足线性变化的形状函数似乎也是一个好的近似，我们举-个例子来说明。
有限元⽅法（课件）第⼀章有限元概貌与发展有限元⽅法是近似求解数理边值问题的⼀种数值技术。
这种⽅法⼤约有60年的历史。
它⾸先在本世纪40年代被提出，在50年代开始⽤于飞机设计。
后来，该⽅法得到了发展并被⾮常⼴泛地⽤于结构分析问题中。
⽬前，作为⼴泛应⽤于⼯程和数学问题的⼀种通⽤⽅法，有限元已相当著名。
有限元法应⽤于电磁场中，最先是⽤结点上的插值基函数来表征该结点上的⽮量电场或磁场分量的，称为结点有限元。
但是，在使⽤结点有限元进⾏电磁仿真时，会有⼏个严重的问题。
⾸先，⾮物理的或所谓伪解可能会出现。
其次，在材料界⾯和导体表⾯强加边界条件很不⽅便。
再次，处理导体和介质边缘及⾓也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。
在这些问题中，最后⼀个问题⽐其它两个问题更严重，因为它缺少通⽤的处理⽅法。
即使对前两个问题，⽬前的处理状况也不能完全令⼈满意。
因此，有必要探讨其它的可能性或其它⽅法，⽽不仅仅是改进，从⽽将电磁场有限元分析引⼊⼀个新的时代。
幸运的是，⼀种崭新的⽅法已经被发现。
这种⽅法使⽤所谓⽮量基或⽮量元，它将⾃由度（未知量）赋予棱边⽽不是单元结点。
因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。
虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应⽤及其重要性直到前⼏年才被认识到。
在80年代初，Nedelec 讨论了四⾯体和矩形块棱边元的构造。
Bossavit 和Verite 将四⾯体棱边元应⽤于三维涡流问题。
Hano 独⽴地导出了矩形棱边元，并⽤于介质加载波导的分析。
Mur 和de Hoop 考虑了⾮均匀媒质中的电磁场问题。
Van Welij 和Kameari 应⽤六⾯体棱边元进⼀步考虑了棱边元在涡流计算中的应⽤。
Barton 和Cendes 将四⾯体棱边元应⽤于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了⼀种更复杂的单元类型，即所谓的协变（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。
