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第二章有限元方程的求解方法有限元方法是一种用于求解微分方程的数值近似方法，它将求解域（问题的区域）分割成许多小的子域，通过在每个子域上建立适当的数学模型，将微分方程转化为代数问题进行求解。
在有限元方法中，关键的一步是建立数学模型，即选择合适的试验函数空间和相应的权函数。
常用的有限元方法有有限元法和有限差分法，这两种方法都是在数学模型的基础上进行离散化处理，然后用有限元方程求解方法求解代数问题。
有限元法是一种建立在小区域上近似表示的方法，它将整个求解域分割成许多小的子域，每个子域内选取适当的试验函数来近似表示原问题的解。
这样，原问题就可以表示为求解子域上的代数问题。
有限元法的关键是选择适当的试验函数和权函数。
试验函数是用来近似表示原问题的解，而权函数则是用来衡量试验函数与原问题解之间的误差。
通常，试验函数和权函数都是在每个子域上选取的多项式函数。
有限差分法是一种将原问题的微分方程转化为代数方程的方法。
在有限差分法中，求解域被分割成格点，并在这些格点上定义函数的值。
通过使用各个格点上的函数值及其邻域的函数值，可以近似表示微分方程中的导数项。
然后，将微分方程转化为代数方程进行求解。
有限差分法的关键是选择合适的差分格式，这决定了在每个格点上求解代数方程时所使用的邻域函数值。
无论是有限元法还是有限差分法，最后都需要用数值算法求解得到的代数方程。
常用的数值算法有直接法和迭代法。
直接法是一种直接求解代数方程的方法，例如高斯消元法和LU分解法等。
迭代法是一种通过迭代求解逼近原问题解的方法，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。
在使用有限元方法求解微分方程时，步骤通常包括：建立数学模型，选择合适的试验函数和权函数；将微分方程离散化处理，得到代数方程；选择适当的数值算法求解代数方程；对得到的数值解进行后处理，例如计算导数或积分等。
在实际应用中，有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的求解。
16.901讲义笔记一维有限％首先，我们考虑•个比上一节稍微复杂点的问题; 豎二f(X),卫冲，V(O) = O.V(L)=O在这里，f(X)是)C的般函数，我们来看•个特别的情形：f(x)=x(L-x),此时，方程的梏确解如F：有限元方法利用加权残差的方法■其中:(1)设va)=£«Ma), v()()是我们对v(x)的近似，省为未知常数9 V|(x)是用户选择的歯数，即形状朗数：(2)定义N个加权残差LRj = p^(x)R(V)dx • j = l-> N to其中，RV)二器・f为绒差凹⑴足“用户”选择的加权函数，即权函数:(3)令加权残并为冬•町以确定⑷的值，即求耳使得对所fi 1=I->N, Rj=Oe令限元方法( )是加权残若法的一种，下血看看我们是如何用它来解决问题的。
一维有限元方法有限元方法（〉扌野个连续区域离散化-系列小单尤，这些单元与有限差分法（）或有限体积法（）产牛的网格完全相同，而佼之前两者主耍的优点在于：能够容易地把握单元的变化范囤。
对于我们讨论的一维问题,可以将区域（数轴〉离散化为如下图所示:这里，叫三单•元的个数。
我们还会用別下血i些定义：个三角划分；尽管令限元法对于一维，二维，三维甚至高细问题都是仃效的，们我们还是要谈及区域离散化的一种方浓，即三角划分。
4 T定义为第I个单元所在的区域。
对于_维问题,这表明，TS-个满足片心的X的集合。
接卜来耍确定的是毎个单兀该用什么样的函数，典型的函数形式就是用从一个单元到卜一个单兀保持解连续的多项式。
例如：一个线性有限元如卜團;i示:在毎个单元内的函数是线形的，在毎两个单元的交点处足连续的。
对于专门诜择的满足线件变化的形状函数,右估计残差时有一个很明显的问题：回忆前曲的内容，RV)二器一f,它在一个单冗里等于什么呢?因为函数是线性的,所以器=0,则有:R(V)=f ,即R(V)与无关。
冋时，满足线性变化的形状函数似乎也是一个好的近似，我们举-个例子来说明。
有限元方法求解微分方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解微分方程。
在本文中，我们将介绍有限元方法的基本原理和求解微分方程的步骤。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值方法，它将连续的物理域划分为许多小的子域，称为有限元。
这些有限元可以是简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。
通过在这些有限元上建立适当的数学模型，我们可以得到一个离散化的方程系统。
要求解微分方程，首先需要将微分方程转化为一个变分问题。
变分问题是通过将微分方程左右两边乘以一个测试函数，然后对整个方程进行积分得到的。
通过这样的转化，我们可以将微分方程问题转化为一个变分问题，这样就可以应用有限元方法进行求解。
在有限元方法中，我们选取一个适当的有限元空间，并在每个有限元上构建一个适当的试验函数空间。
试验函数空间是由一组基函数生成的，这些基函数是在每个有限元上定义的。
通过将基函数与试验函数空间上的权函数相乘，并在整个物理域上进行积分，我们可以得到一个离散化的方程系统。
接下来，我们需要对离散化的方程系统进行求解。
通常，我们使用线性代数方法，如高斯消元法或迭代法，来解决这个离散化的方程系统。
通过求解这个方程系统，我们可以得到有限元问题的近似解。
我们需要对有限元解进行后处理。
这包括计算物理量的值和误差的估计。
通过计算物理量的值，我们可以得到微分方程问题的数值解。
通过计算误差的估计，我们可以评估数值解的精度。
有限元方法是一种常用的求解微分方程的数值方法。
通过将微分方程转化为一个变分问题，然后应用有限元方法进行离散化和求解，我们可以得到微分方程的数值解。
通过对数值解进行后处理，我们可以评估数值解的精度。
有限元方法在工程和科学计算中有广泛的应用，可以解决各种不同类型的微分方程问题。
