1.6 子集与推出关系

BA C图2CA BCA B图1图3BA 1.5充分条件、必要条件【教学目标】1、从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；. 2、结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 【教学重点】充分条件、必要条件及充要条件的意义【教学难点】能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、充分必要性。

【教学过程】 一、课前预习反馈： 1. 复习⑴推出符号“⇒”的含义：一般地,如果“若α,则β”为真, 即如果成α立，那么β一定成立,记作:“βα⇒”;如果“若α,则β”为假, 即如果α成立，那么β不一定成立,记作:“α⇒β”. ⑵用推出关系的符号表示下列事件α与β的关系①:k α是能被4整除的自然数 :k β是偶数 ②2:870x x x α-+=实数适合 71x x β==：或 ③:5x α= :5x β= ④:A B α≠⊂ :A B β⊆⑤:x A B α∈ :x A B β∈⑥:2x α≠ :0x β>⑦:αA 键闭合；:β灯泡亮。

根据下图回答:α与:β之间的推出关系2、充分必要条件类型： （1）充分条件与必要条件如果（结论）条件βα⇒)(，那么称这个条件α是这个结论β的 条 (换句话说β的 条件是α)；如果（条件）（结论）αβ⇒，那么称这个条件α是这个结论β的 条件 (换句话说β的 条件是α)（2）充分必要条件如果既有αβ⇒，又有βα⇒，即有αβ⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，就称α是β的 条件，简称 。

（3）非充分非必要条件：条件α成立不能推出结论β成立，结论β成立不能推出条件α成立 称条件α是结论β的非充分非必要条件二、课堂学习探索： 1、充分必要条件类型：（1）α是β的充分必要条件（充要条件），即 ； （2）α是β的充分不必要条件，即 ； （3）α是β的必要不充分条件，即 ；（4）α是β的既不充分又不必要条件，即 ．2、充分必要条件的两种表达形式：（1）*** 是 *** 的 *** 条件 （2）*** 的 *** 条件 是 ***3、充分必要条件的判断：首先区别什么是条件，什么是结论；然后利用推出关系加以说明4、充分必要性的证明：必须先给出充分必要性的区别，再加以证明（不具备充分必要性只要举出反例）例1、上述练习中①α是β的 条件，β是α的 条件；②α是β的 条件。

即 A B 与 等价。
总结
1、集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的 性质具有推出关系。
2、设具有性质p的对象组成集合A，具有性质q的对象 组成集合B，则： （1）若A B，则p是q的充分条件。
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件。
（3）若A B，则p是q的必要条件。 （4）若A B，则p是q的必要不充分条件。 （5）若A = B，则p、q互为充要条件。
反之， A B则若 x A( x 5) 可以推得 x B( x 3)
即x>5可以推出x>3
二、建立子集与推出关系的联系
设A={a|a具有性质
}，B={b|b具有性质 }
等价
则 A B 与
证明：（1）充分性 即证 ( A B) ( ) 如果x具有性质 ，那么 x A ，而 A B, x B 则x 具有性质 ，即 (2) 必要性 即证 ( ) ( A B) 若 x A ,则x具有性质 X具有性质 x B A B

三、例题与应用
1、用子集与推出关系说明 是 的什么条件：
(1) : x 1; : x 1
2
（ 2）
: 正整数n被5整除， : 正整数n的个位数是5
2、设
: 1 x 3, : m 1 x 2m 4, m R
是 的充分条件，求m的取值范围。

四、学生练习
• P24 练习1.6
五、巩固提高
1、已知 P : x 2 或 x 10 , q : x 1 m 或 x 1 m 若非p是非q的必要非充分条件，求实数m的取值范围。

第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。

在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。

因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。

反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。

因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。

集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。

例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。

例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。

例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值范围。

巩固练习1.下列说法不正确的是 。

① 2<x ”是“4<x ”的必要条件； ③“0=xy ”是“0=y ”的充分条件； ② 0=x ”是022=+y x 的必要条件； ④“2x <1”是“1<x ”的充要条件2.试用子集与推出关系判断命题A 是B 的什么条件？（1）A:该平面图形是四边形 B:该平面图形为梯形（2）A: 3x =,B: (3)(4)0x x --=（3）A: 1x ≠-，B: 1x ≠3.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件4.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件四、课堂小结课后作业：1.用子集与推出关系来说明α 是β什么条件（1）αβ：a+b=3,:a=1且b=2,则α 是β的 条件；（2）0,x y x y x y αβ+：=+,:则α 是β的 条件；； （3）41x x αβ：是奇数,:被除余，则α 是β的 条件；；（4）x y x y αβ+：1，1,:2,则α 是β的 条件；（5）ABC ABC αβ：三角形是等腰三角形,:三角形是直角三角形， 则α 是β的 条件条件；。

子集与推出关系【学习目标】1．理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题；2．初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。

【学习重难点】重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。

难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。

【学习过程】一、情景引入1．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）｛x x 是上海人｝________｛x x 是中国人｝；我是上海人________我是中国人；{x|x>5}________{x|x>3}；x>5________ x>3；{x|x 2=1}_______{x|x=1}；x 2=1_______x=1。

2．讨论。

从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？________________________________________________。

二、概念形成1．定义：子集与推出关系是指集合的_______关系与集合性质的_______关系。

2．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

三、概念的应用 1．试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件。

（1）1:=x α，1:2=x β。

（2）:α正整数n 被5整除，:β正整数n 的个位数是5。

__________________________________________；__________________________________________。

2．试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系。

（1）{}12A x x =是的约数 ，{}36B x x =是的约数；（2）{}1A x x =>，{}3B x x =>；（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形。