1.2 子集、全集、补集

1 子集、全集、补集习题课

例1 判定以下关系是否正确

(1){a}{a} (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}

≠ (4)0∈{0}

(5){0}

(6){0}

∈

＝

例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．

例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {ab}A{abcd}A

________．

例4 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下

列关系式中正确的 [ ]

AAB BAB

CAB DAB．＝．

．．≠≠



M与P的关系是

[ ]

A．M＝UP B．M＝P

CMP DMP．．≠

例7 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C

是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，

则变为B的一个子集，求集合C．

分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；

B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能

是4或7．

答 C＝{4}或{7}或{4，7}．

说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．

2 例8 设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若SM＝{1，4}，则p

＝________．

分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM＝{1，4}，

且，≠MS

∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．

答 p＝2×3＝6．

说明：集合问题常常与方程问题相结合．

例9 已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，SA＝{a＋3}，求a的

值．

S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对

这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．

解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

()1a33

|a1|a2a3

a2a32

1．2 .1 子集、全集、补集

数学与信息学院 06级11班 杨 力 200608630942

一.教学目标

（一）知识目标

（1）理解子集，真子集,两个集合相等的概念.

（2）掌握子集，真子集的符号及其表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合.

（3）会求已知集合的子集，真子集.

（4）能判断两个集合间的包含，相等关系，并会用符号及图形准确的表示出来.

（二）能力目标

（1）培养学生符号表示的能力.

（2）培养学生数形结合的数学思想.

（3）训练学生用集合的观点分析问题，解决问题的灵活性.

（三）德育目标

（1）激发学生的内在动机.

（2）养成良好的学习习惯.

二.教学重点、难点

( 1) 重点：子集、真子集的概念与性质．

（2）难点：弄清“元素”与“子集”“从属关系”与“包含关系”的区别并正确使用相关的表示符号．

三．教具准备

彩色粉笔

四.教学过程

（一）导入新课

师：前两节课我们已经学习了许多关于集合的知识，如：集合与元素的定义，集合中元素的特点、集合的分类、集合的表示方法等，显然这些知识仅局限于某个集合自身，从这节课起，我们将跳出某个集合的“小圈子”，把讨论的重点转到两个或几个集合的关系上来,首先我们来认识一下什么是子集。

师：我们先来观察下面一对集合，看看它们有什么特点？

生：前一集合中的元素均是后一集合的一部分。

师：好！你们的新发现很重要，能不能用图示的方法将这一发现直观地表示出来呢？

生：能。它们可分别图示如下： 师：这说明两个集合间还存在着一种所谓的“包含”（或“被包含”）的关系，如果我们形象地用“母子关系”对此进行描述时，就产生了所谓子集的概念

（二）新授知识

．子集

1．定义：一般地， 对于任何两个集合A、B，如果A的任何一个元素都是B中的元素则称集合A包含于集合B（或称集合B包含集合A）

记作：“A B”（“B A”）

读作：“A包含于B”（或“B包含A”）．

江苏新课标高一数学必修①教案

第 1 页 共 2 页 1.1.2子集、全集、补集

教学目标：

1.了解集合之间包含关系的意义.

2.理解子集、真子集的概念

3.了解全集的意义,理解补集的概念.

教学重点：子集,真子集,全集的概念

教学难点:补集的概念

教学过程：

一、问题情境

观察下列各组集合,A与B之间具有怎样的关系?如何用语言来表述这种关系?

（1）{1,1}A,{1,0,1,2}A;（2）,ANBR;

（3）{}Axx是北京人,{}Axx是中国人

（4）本班所有姓王的同学组成的集合A与本班所有同学组成的集合B间的关系.

三、建构数学

1.上述每组中的集合A,B具有的关系可以用子集的概念来表述.

如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素（若aA,则aB），那么称集合A为集合B的子集（subset），记作BA或AB,

读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

BA还可以用Venn图表示.

2.由定义易知AA,即:任何一个集合是它本身的子集.

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：

对于,我们规定:A.即空集是任何集合的子集.

3.如果BA与BA同时成立,那么,AB中的元素是一样的,即AB.

4.如果BA且AB,这时集合A称为集合B的真子集（proper subset）.

记作：A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）.

规定:空集是任何非空集合的真子集.

四、数学应用

1.例题

例题1写出集合{,}ab的所有子集.

例题2下列合组的三个集合中,哪两个集合之间具有包含关系?

（1）{2,1,1,2}S,{1,1}A,{2,2}B; AB江苏新课标高一数学必修①教案

第 2 页 共 2 页 （2）,{|0,}SRAxxxR,{|0,}BxxxR;

苏教版高中数学必修1讲义 第一讲

第 1 页 共 13 页 1.2 子集、全集、补集

要点一 子集、真子集[重点]

在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：

正整数集中的所有元素都在自然数集中；

自然数集中的所有元素都在整数集中；

整数集中的所有元素都在有理数集中；

有利数集中的所有元素都在实数集中.

其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.

1．子集

(1)定义：

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A” .

(2)举例：

例如，{4，5}Z，{4，5}Q，ZQ，QR.AB可以用图1-2-1来表示.

(3)理解子集的定义要注意以下四点：

①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1}{-1，0，1，2}.

②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属

于集合A本身，记作AA.

③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有A.

④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.

以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.

(4)例题：

例1 设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且AB，求a的值.

解：∵AB，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，

由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.

经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合苏教版高中数学必修1讲义 第一讲