常微分方程讲义

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xyy x 或的项） ),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y yx xy dx dy 例：22y x y dxdyx-+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'xxyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdyyx ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-y x ydxxdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx y x例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy＊ 微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''=例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线 可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。

例2 求解方程 .解令，有原方程的参数形式为由基本关系式有积分得到从而原方程的参数形式通解为也可以消去参数t ，得到原方程的通积分为通解为例4 求解方程解令原方程的参数形式为(1.72)由基本关系式有或上式又可化为由，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 .再由，解得，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解例5求解方程(1.73)这里，假定是二次可微函数.解 (1.73)的参数形式为(1.74）由基本关系式有整理得由，得，代入(1.74)的第三式，得原方程通解(1.75)由于，由解得隐函数 ,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解(1.76)（第7讲几种可降阶的高阶方程例1求解方程解令则有通解为从而积分四次，得到原方程的通解第二种可降阶的高阶方程例2求解方程．解令,则代入原方程得或积分后得"其中a"为任意常数. 解出p"得或积分后得其中 b为任意常数. 于是有或其中为任意常数.1.7.3恰当导数方程假如方程（ 1.80）的左端恰为某一函数对 x的导数，即(1.80)可化为则(1.80)称为恰当导数方程.这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为之后再设法求解这个方程.例3求解方程.解易知可将方程写成故有即.积分后即得通解例4 求解方程.解先将两端同乘不为0的因子，则有故，从而通解为参数法第10讲解的延展2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设是初值问题（2，2）在区间上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间上的解，且满足(1)(2)当时，则称解是可延展的，并称是在I２上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解，则称是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I１和Ｉ２可以是开的也可以是闭的..3.2 不可延展解的存在性定义2.2设定义在开区域上，如果对于D上任一点，都存在以为中心的，完全属于D的闭矩形域R，使得在R上的关于y满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R的大小以及常数N可以不同，则称在D上关于y满足局部李普希兹条件“柯西收敛准则收敛对，N，使当1．数列，就有，存在对，N，使当2．，时，总有．存在对，A> 0，使当3．，总有．”例1试讨论方程通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间.解此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是故通过(1,1)的积分曲线为它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10.图 2-10通过(3,-1)的积分曲线为它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞).顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2讨论方程解的存在区间.解方程右端函数在无界区域内连续，且对y满足李普希兹条件，其通解为过D１内任一点的初值解.图 2-11在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D１的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例3考虑方程及在平面上连续，试证明：对于任意及假设,方程满足的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在(图2-12).2.4.1 奇解在本章 2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1求方程的所有解.解该方程的通解是此外还有两个特解和.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。

常微分方程讲义（六）线性微分方程的解法：常系数线性微分方程（特征方程）变系数线性微分方程（欧拉方程）N 阶线性齐次微分方程： 0)()()(1111=++++---y x a dx dyx a dxy d x a dx y d n n n n n n （A ）N 阶线性非齐次微分方程：)()()()(1111x f y x a dx dyx a dxy d x a dx y d n n n n n n =++++--- （B ）特解的初始条件限制：)(),(''),('),(01000x y x y x y x y n -引入记号：kkkdxd D =； )(D L ：N阶线性微分算子)()()()(1111x a dx dx a dx d x a dx d D L n n n n n n ++++=---y x a dx dyx a dxy d x a dx y d y D L n n n n n n )()()()(1111++++=---A 式可简写为0)(=y D L ，B 式可简写为)()(x f y D L =2121)()())((y D L y D L y y D L +=+，即可写成])()()([])()()([))(()()()()()(2211211211111111212111211121y x a dx dy x a dx y d x a dx y d y x a dx dy x a dx y d x a dx y d y y x a dx y y d x a dxy y d x a dx y y d n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++++=++++++++---------y D cL cy D L )())((=，即可写成])()()([)()()(11111111y x a dx dyx a dxy d x a dx y d c cy x a dx dcyx a dxcy d x a dx cy d n n n n n n n n n n n n ++++=++++------ 若)(x y i 是A 或B 的解，则∑)(x y c i i 也是A 或B 的解定理1：0)(=y D L 与)()(x f y D L =的解存在定理2：0)(=y D L 有n 个线性无关解定理3：设i y 是0)(=y D L 的n 个线性无关解，则0)(=y D L 的通解是∑=ni i i y c 1定理4：设Y 是0)(=y D L 的通解，而*y 是)()(x f y D L =的特解，则*y Y y +=是)()(x f y D L =的通解定理4揭示了线性微分方程与线性微分方程组的解题三部曲：第一步：求“齐次”的通解三部曲 第二步：求“非齐次”的特解第三步：相加，得到“非齐次”的通解常系数线性微分方程的求解（特征方程的方法）————三部曲之一：求“齐次”的通解x x a Ce y Ce y y a dxdy λ=−→−=−→−=+-101解x n x x n n n n n n n e C e C e C y y a dx dy a dxy d a dx y d λλλ++=−→−=++++--- 212111110猜因此，求“齐次”通解的关键是求i λ，引入特征方程：0111=++++--n n n n a a a λλλ特征方程的解分成四种情况：① 1、单的实根21λλ≠，则0)(=y D L 的通解为x x e C e C Y2121λλ+=2、单的复根⎩⎨⎧-=+=βαλβαλi i 21，则0)(=y D L 的通解为)sin cos (21x C x C e Yx ββα+=3、重的实根21λλ=，则0)(=y D L 的通解为x e x C C Y λ)(21+=4、重的复根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=βαλβαλβαλβαλi i i i 4321，则0)(=y D L 的解]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e Y x ββα+++=例：01823622=-+y dxdydx y d例：0'2''2)3()4(=+--y y y y例：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++15)0('0)0(029'422y y y y dx yd例：0)12(2=+-y D D例：已知常系数线性齐次微分方程的特征方程是013=-λ，求该微分方程的通解例：0168335577=+-dx yd dx y d dx y d例：02''''22=++y dxyd y例：04)4(=+y y①为书写方便，仅仅考虑特征方程只有2个解或2组解。

常微分⽅程考研讲义第⼆章⼀阶微分⽅程的初等解法第⼆章、⼀阶微分⽅程的初等解法[教学⽬标]1. 理解变量分离⽅程以及可化为变量分离⽅程的类型（齐次⽅程），熟练掌握变量分离⽅程的解法。

2. 理解⼀阶线性微分⽅程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努⼒⽅程的求解。

3. 理解恰当⽅程的类型，掌握恰当⽅程的解法及简单积分因⼦的求法。

4. 理解⼀阶隐式⽅程的可积类型，掌握隐式⽅程的参数解法。

[教学重难点] 重点是⼀阶微分⽅程的各类初等解法，难点是积分因⼦的求法以及隐式⽅程的解法。

[教学⽅法] 讲授，实践。

[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离⽅程，齐次⽅程以及可化为变量分离⽅程类型，⼀阶线性微分⽅程及其常数变易法，伯努利⽅程，恰当⽅程及其积分因⼦法，隐式⽅程。

[考核⽬标]1.⼀阶微分⽅程的初等解法：变量分离法、⼀阶线性微分⽅程的常数变易法、恰当⽅程与积分因⼦法、⼀阶隐⽅程的参数解法。

2.会建⽴⼀阶微分⽅程并能求解。

§1 变量分离⽅程与变量变换1、变量分离⽅程1) 变量分离⽅程形如()()dyf xg y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）的⽅程，称为变量分离⽅程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解⽅法如果()0g y ≠，⽅程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+??（2.2）把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()()f x y ?的某⼀个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满⾜⽅程（2.1）.因⽽（2.2）是如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在⽅程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解⽅程dy x dx y=- 解将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因⽽，通解为22x y c += 这⾥的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解⽅程2cos dyy x dx= 并求满⾜初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得到 2cos dyxdx y= 两边积分，即得1sin x c y-=+因⽽，通解为1sin y x c=-+这⾥的c 是任意的常数.此外，⽅程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代⼊通解中确定常数c ，得到 1c =- 因⽽，所求的特解为11sin y x=-例3 求⽅程 ()dyP x y dx的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= 两边积分，即得ln ()y P x dx c =+?这⾥的c 是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx cy e +?=即()P x dxc y e e ?=±令ce c ±=，得到()P x dxy ce ?=（2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因⽽，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数. 注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.⽅程的通解不⼀定是⽅程的全部解,有些通解包含了⽅程的所有解，有些通解不能包含⽅程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分⽅程的通解表⽰的是⼀族曲线，⽽特解表⽰的是满⾜特定条件00()y x y =的⼀个解，表⽰的是⼀条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离⽅程的类型1）.形如 dy y g dx x ??=（2.5）的⽅程，称为齐次⽅程，这⾥的()g u 是u 的连续函数. 另外,ⅰ)对于⽅程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡事实上，取1t x=，则⽅程可改写成形如(2.5)的⽅程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y== ⅱ)对⽅程(,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则⽅程也可改写成形如(2.5)的⽅程(1,)dy y f dx x= 对齐次⽅程（2.5）利⽤变量替换可化为变量分离⽅程再求解. 令yu x= （2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代⼊（2.5），则原⽅程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=（2.8）⽅程（2.8）是⼀个可分离变量⽅程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原⽅程（2.5）的解.例4 求解⽅程dy y y tg dx x x=+ 解这是齐次⽅程，以,y dy duu x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgudx x=（2.9）分离变量，即有dx= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这⾥的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，⽅程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，⽅程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原⽅程的通解为sinycx x =例5 求解⽅程(0).dyxy x dx+=<解将⽅程改写为(0)dy y x dx x=<这是齐次⽅程，以,y dy du u x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为dux dx=（2.11）分离变量，得到dxx = 两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>(2.12)这⾥的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u = 注意，此解不包括在通解（2.12）中.原⽅程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ?-+-+>=?它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次⽅程dy y g dx x ??=的求解⽅法关键的⼀步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu x dx dx=+，再将其代⼊齐次⽅程使⽅程变为关于,u x 的可分离⽅程.2.齐次⽅程也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代⼊齐次⽅程dxx f dy y ??=使⽅程变为,v y 的可分离⽅程⼩结：这⼀讲我们主要讲解了⼀阶微分⽅程的可分离变量法和齐次⽅程的dy y g dx x ??=形状的解法.⽽这⼀齐次⽅程通过变量替换任然可化为可分离⽅程，因⽽，⼀定要熟练掌握可分离⽅程的解法. 2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13）的⽅程经变量变换化为变量分离⽅程，这⾥的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形. 这时⽅程（2.13）属齐次⽅程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +??== ?+??此时，令yu x=，即可化为变量可分离⽅程. （2）0a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则⽅程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则⽅程化为22()dua b f u dx=+ 这是⼀变量分离⽅程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时⽅程（2.13）右端的分⼦、分母都是,x y 的⼀次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=??++=?（2.14）代表xy 平⾯上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进⾏坐标平移，将坐标原点(0,0)移⾄(,)αβ就⾏了，若令X x Y y αβ=-??=-?（2.15）则（2.14）化为11220a X bY a X b y +=??+=?从⽽（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +??== ?+??（2.16）因此，得到这种情形求解的⼀般步骤如下：(1)解联⽴代数⽅程（2.14），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.15）将⽅程化为齐次⽅程（2.16）； (3)再经变换Y将（2.16）化为变量分离⽅程； (4)求解上述变量分离⽅程，最后代回原变量可得原⽅程（2.13）的解. 上述解题的⽅法和步骤也适⽤于⽐⽅程（2.13）更⼀般的⽅程类型111222a x b y c dyf dx a x b y c ??+== ?++??()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyx f xy dx= 2dy y xf dx x= ?以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等⼀些⽅程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离⽅程.例6 求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- （2.17）解解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=? 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+??=+?代⼊⽅程（2.17），则有 dY X YdX X Y-=+ （2.18）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u22ln ln 21X u u c=-+-+22(21)c X u u e +-=± 记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.18）的解.因此⽅程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.3、应⽤举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所⽰的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升⾼，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第⼆定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ dI Cu C dt dt dt=== （2.20）将（2.20）代⼊（2.19），得到c u 满⾜的微分⽅程 cc du RC u E dt+= （2.21）这⾥R 、C 、E 都是常数.⽅程（2.21）属于变量分离⽅程.将（2.21）分离变量，得到C C du dtu E RC=-- 两边积分，得到11ln C u E t c RC-=-+ 即1112t t c RCRCC u E e e c e---=±=这⾥12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代⼊，得到2c E =-. 所以 1(1)t RC C u E e -=-这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增⼤，且当t →+∞时，C u E →，在电⼯学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实⽤上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进⾏.例8 探照灯反射镜⾯的形状在制造探照灯的反射镜⾯时，总是要求将点光源射出的光线平⾏地射出去，以保证照灯有良好的⽅向性，试求反射镜⾯的⼏何形状.解取光源所在处为坐标原点，⽽x 轴平⾏于光的反射⽅向，设所求曲⾯由曲线()y f x z =??=?（2.23）绕x 轴旋转⽽成，则求反射镜⾯的问题归结为求xy 平⾯上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任⼀点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：⼊射⾓等于反射⾓，容易推知12αα= 从⽽OM ON = 注意到2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满⾜的微分⽅程式dy dx =（2.24）这是齐次⽅程.由2.12知引⼊新变量xu y=可将它化为变量分离⽅程.再经直接积分即可求得⽅程的解.对于⽅齐次⽅程（2.24）也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程也可由x yv =得dx dvv y dy dy=+代⼊（2.24）得到sgn dvv y v y dysgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+（2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平⾯曲线，它是抛物线，因此，反射镜⾯的形状为旋转抛物⾯22(2)y z c c x +=+ （2.27）⼩结: 本节我们主要讨论了⼀阶可分离微分⽅程和齐次微分⽅程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性⽅程与常数变易法1、⼀阶线性微分⽅程()()()0dya xb x yc x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成()()dyP x y Q x dx=+ （2.28）对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这⾥假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dyP x y dx= （2.3）称为⼀阶齐线性⽅程.若()0Q x ≠，（2.28）称为⼀阶⾮齐线性⽅程.2、常数变易法（2.3）是变量分离⽅程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ?=（2.4）这⾥c 是任意的常数.下⾯讨论⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的求解⽅法.⽅程(2.3)与⽅程(2.28)两者既有联系⼜有区别,设想它们的解也有⼀定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令 ()()P x dx（2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx=+ （2.30）将（2.29）、（2.30）代⼊（2.28），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx-?= 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -?=+?（2.31）这⾥c 是任意的常数..将（2.31）代⼊（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--=+ +（2.32）这就是⽅程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的⽅法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是⼀种变量变换的⽅法.通过变换（2.29）可将⽅程（2.28）化为变量分离⽅程.注: ⾮齐线性⽅程的通解是它对应的齐线性⽅程的通解与它的某个特解之和. 例1 求⽅程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这⾥的n 为常数. 解将⽅程改写为 (1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33）先求对应的齐次⽅程01dy n y dx x -=+ 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35）以（2.34）、（2.35）代⼊（2.33），再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代⼊公式（2.34），即得原⽅程的通解 (1)()n x y x e c =++ 这⾥c 是任意的常数. 例2 求⽅程22dy ydx x y=-的通解. 解原⽅程改写为2dx x y dy y=- （2.36）把x 看作未知函数，y 看作⾃变量，这样，对于x 及dxdy来说，⽅程（2.36）就是⼀个线性⽅程了.先求齐线性⽅程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代⼊（2.36），得到()ln c y y c =-+ 从⽽，原⽅程的通解为2(ln )x y c y =-这⾥c 是任意的常数,另外0y =也是⽅程的解. 特别的，初值问题00()()()dyP x y Q x dxy x y ?=+=? 的解为00()()()=()xxsx x x P d P d P d xx y ceeQ s eds ττττττ-+?例3 试证（1）⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性⽅程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的⾮零解，⽽()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）⽅程（2.3）任⼀解的常数倍或两解之和（或差）仍是⽅程（2.3）的解. 证（1）设12,y y 是⾮齐线性⽅程的两个不同的解，则应满⾜⽅程使1122()(1)()(2)dy py Q x dxdy py Q x dx=+=+（1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=-说明⾮齐线性⽅程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性⽅程的解.（2）因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论成⽴.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成⽴.3、Bernoulli ⽅程。

常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xyy x 或的项） ),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dxdyx-+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'x xyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdy y x ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-yx ydx xdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx y x例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy ＊ 微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy = ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''=例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线 可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有 在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。

微分方程讲义与例解一．常微分方程的基本概念一．常微分方程的基本概念1．1常微分方程常微分方程::含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式. . 1．2方程1阶:方程中所含未知函数导数的最高阶数方程中所含未知函数导数的最高阶数. . 1．3方程的解及初始条件方程的解及初始条件::设一般的n 阶方程为,,;(y y x F ¢…,0))(=n y ,)(x y j =是定义在某区间I 上的函数上的函数,,切满足),(),(;(x x x F j j ¢¢¢…,0))()(=x nj ,I x Î,则称)(x j 为方程的解方程的解..条件条件: :,)(,)(0000y x y y x y ¢=¢=…,)1(0)1()(--=n n y x y 称为方程,,;(y y x F ¢…,0))(=n y 的初始条件条件..满足初始条件的解称为特解满足初始条件的解称为特解..含有n 个任意常数的解称为通解个任意常数的解称为通解. .二．一阶方程二．一阶方程一般的一阶微分方程为),(y x f dxdy =或者0),(),(=+dy y x N dx y x M . 2．1可分离变量的方程可分离变量的方程::)()(y g x f dxdy =. 求解的步骤是求解的步骤是(1)分离变量得dx x f y g dy )()(=, (2)两边同时积分c dx x f y g dy +=òò)()(.如果令)(x G 为)(1x g 的某一原函数,)(x F 为)(x f 的某一原函数,则c x F x G +=)()(为方程的隐式通解.2．2齐次方程齐次方程::)(x y dxdyj =. 求解的步骤是求解的步骤是 (1) 作变换:令,u xy =则xu y =,两端同时求导得dxdu x u dxdy +=代入原方程得代入原方程得)(u dxdu xu j =+,于是xuu dx du -=)(j 为一分离变量的方程为一分离变量的方程,,由2．1可解可解,,设其通解为设其通解为c x u +=F ln )(.(2)(2)代回原变量得c x xy+=F ln )(. 2．3一阶线性方程一阶线性方程: :)()(x Q y x P y =+¢ (1)当)(x Q ≡0时,称方程称方程0)(=+¢y x P y (2)为一阶齐线性方程否则称为一阶非齐线性方程方程方程(2)(2)(2)是可分离变量方程是可分离变量方程是可分离变量方程,,其通解为其通解为ò=-)(xdx P ce y .而非齐线性方程而非齐线性方程(1)(1)(1)的通解为的通解为的通解为=y ))(()()(ò+òò-dxx P dxx P ex Q c e .2．4佰努利方程佰努利方程::ny x Q y x P y )()(=+¢,)1,0(¹n 解:以ny 除方程两端除方程两端,,得 ),()(1x Q y x P dx dy yn n=+-- )()(1111x Q y x P dxdy n n n =+---,令ny z -=1,有)()(x Q z x P dxdz =+为一阶线性方程为一阶线性方程,,求解后再把ny z -=1回代即得原方城的通解的通解. .2．5全微分方程全微分方程::对称式的微分方程对称式的微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M ,为全微分方程的充分必要条件是为全微分方程的充分必要条件是xN yM ¶¶=¶¶.其通解为其通解为c dy y x N dx y x M y x u y x y x =+=ò),(),(00),(),(),(.例1 设连续函数)(x f 满足关系式1)3()(30+=òdt tf x f x,则_________)(=x f . 解 )(3)(x f x f =¢,且1)0(=f 于是x ce x f 3)(=,又1)0(=f ,知1=c 从而从而x e x f 3)(=.例2 已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量为处的增量为)(12x o x xy y D +D ×+=D ,且p =)0(y ,则_______)1(=y .解 21x y y +=¢或dxx y dy 21+=,这是可分离变量的方程这是可分离变量的方程,,解之得解之得 ò=+21x dx cey =xcearctan ,由p =)0(y ,知p =c ,于是xey arctanp =,4)1(pp e y =.例3 求方程22y xy y x =+¢的通解的通解. .解 当0¹x 有x yx yy -=¢2)(,令x y u =代入原方程得代入原方程得u u u x 22-=¢,uu du 22-x dx =,22cx u u =-,cx y x y =-2.例4 求方程0)1()1(=-++dy yxe dx e yx y x的通解的通解. . 解 令u y x =,yu x =,dy duy u dy dx +=,代入原方程得代入原方程得1++-=u u e u e dy duy ,01=+++y dy du ue e u u ,c u e y u =+)](ln[,因此c u e u e y =+)(,代回原变量有c yxe y yx=+)(. 例5 求微分方程x x y y sin sin =+¢的通解的通解. . 解 dx ex c ey xdxxdxò×+ò=ò-sin sinsin (xcecos1+=.例6 设函数)(x f 具有一阶连续导数具有一阶连续导数,,且0)0(=f ,若曲线积分若曲线积分ydy x f ydx e x f x Lcos )(sin ])([--ò与路径无关与路径无关,,则)(x f 的表达式为的表达式为( ). ( ).(A) )(21x x e e --.(B))(21x x e e --.(C)1)(21-+-xxe e .(D))(211x x e e -+-.解 由曲线积分与路径无关由曲线积分与路径无关,,因此有因此有y y e x f x y x f x ¶-¶=¶-¶sin ))(()cos )((,即x e x f x f =+¢)()(.解之得xxce e x f -+=21)(,由于0)0(=f ,因此1=c ,所以)(21)(x x e e x f --=,选(B). 例7 若xe y 2=是0)(=+¢y x P y 的一个特解的一个特解,,则该方程满足初始条件的特解为则该方程满足初始条件的特解为( ). ( ). (A)22+=xey .(B)12+=xey .(C)xe y 2=.(D)xe y 22=.解 dxx P ce y ò=-)(,由于有一特解xey 2=,因此知1=c ,且xxdx P e e 2)(=ò-,所以有x dx x P 2)(-=ò,2)(-=x P ,原方程为02=-¢y y ,其通解为x ce y 2=,由2)0(=y 得2=c ,因此x e y 22=,选(D).例8 求微分方程0)(=-++dy e x xy ydx y的通解的通解. .解 ye x y y dy dx y++-=1,因此因此 )()(11dy ye ec ey x ydy yy dy yy ò×ò+ò=++-)21(2yy e c y e +=-. 例9 求x y x x dx dy y =+-1412的通解的通解. . 解 原方程为x y x x dx y d =+-1422,令u y =,得 2122x u x xdx du =+-.解之解之 )]1ln()[1(4122+++=x c x u ,于是于是))1ln(()1(161222+++=x c x y .例10 求解y yx y tan cos -=¢.解 将原方程两端同乘y cos 变形为变形为y x dx dyy sin cos -=,于是有于是有y x dxyd sin sin -=,令u y =sin , 有x u dxdu+-=为一阶线性方程为一阶线性方程,,可解之可解之. . 例11已知函数)(x f 在],0[+¥上可导上可导,,且满足等式0)(11)()(0=+-+¢òdt t f x x f x f x ,求)(x f ¢的表达式的表达式. .解 由)(x f 的可导的可导,,由上式知)(x f ¢可导可导,,故)(x f 二阶可导二阶可导,,对上式两端同时对x 求导得0)()111()(=¢+++¢¢x f x x f , 解之得1)(+=¢-x ce x f x .由于1)0()0(-=-=¢f f ,1-=c ,故1)(+-=¢-x e x f x.例12 0)()1(32=++++y y x dx y 的通解的通解. .解 由y y xy y x ¶+¶=¶++¶)1()(32,因此因此,,方程是全微分方程方程是全微分方程,,存在),(y x u 使 dy y y x dx y y x du )()1(),(32++++=,,1y x u ++¶¶32y y x yu ++=¶¶,ò++=)()1(y Q dx y u )()1(y Q x y ++=, 又32)(y y x y Q x yu ++=¢+=¶¶,c y y dy y dy y y Q ++=+=òò43)(4332故c y y xy x =+++4343为其通解为其通解. .三、可降阶的高阶方程三、可降阶的高阶方程 3．1 )()(x f y n = 解1)1()(c dx x f yn +=ò-,212)2()(c x c dx x f yn ++=òò-,…,ò=y …+-+-+--ò2211)!2()!1()(nnnxn c xn cdx x f …n c +.3．2 ),(y x f y ¢=¢¢,方程中不显含变量y .解 令,p y =¢则p y ¢=¢¢,于是将原方程降为一阶方程为),(p x f dxdp =,此方程通解为此方程通解为 ),(1c x p p =,即),(1c x p dxdy =,因此21),(c dx c x p y +=ò. 3．3 ),(y y f y ¢=¢¢,方程中不显含自变量x .解 令,p y =¢把p 看作y 的函数的函数,,而y 又是x 的函数的函数,,从而y 是x 的复合函数的复合函数,,于是有于是有dydpp dx dy dy dpy ==¢¢.因此得到一阶方程为),(p y f dy dp p =,解此一阶方程得通解为),(1c y p p =,则),(1c y p dxdy =,这是可分离变量方程这是可分离变量方程,,因此可求解因此可求解. . 例1 求x x y y x ln =¢+¢¢的通解的通解. .解 方程中不含变量y ,因此令P y P y ¢=¢¢=¢,,于是于是x P P x =+¢,)41ln 21(1221x xx c x P -+=,即 )41ln 21(1221x x x c x y -+=¢,从而有从而有212ln )1(ln 41c x c x x y ++-=.例2 求初值问题的解îíì=¢==¢+¢¢.0)0(,1)0(,0)(22y y y x y解 令y P y P ¢¢=¢¢=,.02=+¢xP P ,cx P +=21,或P ≡0,由,0)0()0(=¢=y P知P ≡0,从而0==¢P y ,c y =,又由1)0(=y 知1=y .例3 求y y y y y ln )(2¢-¢¢的通解的通解. .解 令dydPPy P y =¢¢=¢,,于是于是y y P dy dPyP ln 22=-,即y P y y P dy dP ln =-为佰奴里方程为佰奴里方程,,y y y P dydP ln 2122=-,令uP =2,yy yu dy du ln 22=-,)ln 21(212y c y u +=,yc y P 21ln +=,y c y y 21ln +=¢,dx yc y dy =+21ln ,221)ln ln(ln c x y c y +=++四、高阶线性方程四、高阶线性方程++-)1(1)()(n n y x p y …)()(x f y x p n =+, (3) 当)(x f ≡0时,得到得到++-)1(1)()(n n y x p y 0)(=+y x p n , (4)方程方程(3)(3)(3)称为称为n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程,,方程方程(4)(4)(4)为方程为方程为方程(3)(3)(3)相应的相应的n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程. .定理1．(解的叠加性解的叠加性))n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4)(4)(4)的任意的任意k 个解),(),(21x y x y …,)(x y k的线性组合组合::++=)()(2211x y c x y c y …)(x y c k k +仍是仍是(4)(4)(4)的解的解的解,,其中,,21c c …,k c 为任意常数为任意常数. . 定理2．n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4)(4)(4)存在存在n 个线性无关的解个线性无关的解::,,21y y …n y ,.于是它的通解为于是它的通解为+=11y c y …n n y c +.定理3．(3)(3)的一个解加上的一个解加上的一个解加上(4)(4)(4)的一个解是的一个解是的一个解是(3)(3)(3)的一个解的一个解的一个解;(3);(3);(3)的任意两个解之差是的任意两个解之差是的任意两个解之差是(4)(4)(4)的一的一个解个解. .定理4．(3)(3)的通解等于的通解等于的通解等于(4)(4)(4)的通解加上的通解加上的通解加上(3)(3)(3)的一个特解的一个特解的一个特解,,即+=11y c y …*y y c n n ++.五、常系数线性方程五、常系数线性方程((以二阶为例以二阶为例) ) 1．二阶常系数齐线性方程．二阶常系数齐线性方程021=+¢+¢¢y a y a y ,其中21,a a 为实常数为实常数. .解 其特征方程212=++a a l l ,因此因此,,特征根有三种情况特征根有三种情况: : (1)21l l ¹,两个不同的实根两个不同的实根,,则其通解为xxe c e c y 2121l l +=.(2)21l l =,两个相同的实根两个相同的实根((二重根二重根),),),则其通解为则其通解为xe x c c y1)(21l +=. (3)21l l =b a i +=,一对共轭复根一对共轭复根,,则其通解为xe x c x c y ab b )sin cos (21+=. 2．二阶常系数非齐线性方程．二阶常系数非齐线性方程)(21x f y a y a y =+¢+¢¢.(Ⅰ)x me x P xf a )()(=,其中)(x P m 是x 的m 次多项式次多项式. . 解 由定理由定理(4)(4)(4)知仅对其求一特解即可知仅对其求一特解即可知仅对其求一特解即可,,用代定系数法求一特解用代定系数法求一特解..设其特解为设其特解为: :x m k e x Q x y a )(=,其中k 取决于a 为其特征根的重次为其特征根的重次::a 不是特征根不是特征根,,0=k ;a 是单根是单根,,1=k ;a 是二重根,2=k .++=-110)(mmm mm x a x a x Q …nn a x a++-1.代入确定)(x Q m.(Ⅱ))sin )(cos )(()(x x P x x P e x f n m xb b a +=,其中)(),(x P x P n m 分别是x 的n m ,次多项式多项式. .解 设其特解为)sin )(cos )(()2()1(x x Q x x Q e x y l l x k b b a +=,其中k 取决于b a i +为特征根的重次特征根的重次::b a i +不是特征根时不是特征根时,,0=k ;b a i +为单根时为单根时,,1=k .)(),()2()1(x Q x Q ll 分别是x 两个不同的l },max{n m =次多项式次多项式. .例1 微分方程xxe y y y y -=+¢+¢¢+¢¢¢特解形式特解形式. .解 由于特征方程0)1)(1(1223=++=+++l l l l l ,1-是单特征根是单特征根,,因此因此,,方程的特解形式为xeb ax x y -*+=)(.例2 已知xxe xe y 21+=,xxe xe y -+=2,xxxe e xe y --+=23,是某二阶线性非齐次方程的三个解方程的三个解,,则此微分方程是则此微分方程是_________. _________.解 x e y y -=-31,x e y y y 23212=--,因此因此,,2,121=-=l l ,于是特征方程为于是特征方程为 (1+l )02)2(2=--=-l l l ,对应的齐次方程是02=-¢-¢¢y y .设非齐项为)(x f ,令)(2x f y y y =-¢-¢¢,将xxe xe y 21+=代入方程确定xe x xf )21()(-=,从而方程为从而方程为x e x y y y )21(2-=-¢-¢¢.例3 设21,y y 是二阶线性齐次微分方程0)()(=+¢+¢¢y x q y x p y 的两个特解的两个特解,,21,c c 是任意常数任意常数,,则(C ).(A ) 2211y c y c +一定是微分方城通解一定是微分方城通解. . (B ) 2211y c y c +不可能是通解不可能是通解. . (C ) 2211y c y c +是方程的解是方程的解. . (D ) 2211y c y c +不是方程的解不是方程的解. .例4 设)(),(),(321x y x y x y 是二阶非齐线性方程)()()(x f y x q y x p y =+¢+¢¢的三个线性无关的解线性无关的解,,21,c c 是任意常数是任意常数,,则此方程通解是则此方程通解是( ). ( ).(A )32211y y c y c ++.)(B 3212211)1(y c c y c y c --++. )(C 3212211)(y c c y c y c +-+.)(D 3212211)1(y c c y c y c ---+.例5 具有特解xe y -=1,,cos 22x y =xysin 33=的三阶线性常系数齐次微分方程是( ).)(A 0=+¢-¢¢-¢¢¢y y y y . )(B 0=-¢=¢¢+¢¢¢y y y y . )(C 0=+¢+¢¢+¢¢¢y y y y . )(D 06116=-¢+¢¢-¢¢¢y y y y .解i i -==-=321,,1l l l ,有0)1)(1(2=++l l ,即0123=+++l l l ,于是方程为于是方程为 0=+¢+¢¢+¢¢¢y y y y .例6设)(x y y =是xe y y y 32=+¢+¢¢满足0)0()0(==¢y y 的解,则极限)()1l n (lim20x y x x +®( ). )(A 不存在不存在..)(B 等于1.)(C 等于2.)(D 等于3.解 由已知得0)(lim )(lim 0==¢®®x y x y x x ,又)()(23x y x y e y x-¢-=¢¢,1)(lim 0=¢¢®x y x ,2)(2lim )(2lim )(12lim )()1ln(lim 002020=¢¢=¢=¢+=+®®®®x y x y x x y x xx y x x x x x . 例7 求12322++=¢+¢¢x x y y 的通解的通解. .解 特征方程为022=+l l ,2,021-==l l .齐方程通解为=y xe c c 221-+.所以非齐方程的特解有)(2c bx ax x y ++=*代入原方程得代入原方程得43,41,21=-==c b a ,)32(42+-=*x x x y,因此通解为因此通解为 )32(42221+-++=-x x xe c c y x .例8 求方程xex y y y -+=+¢+¢¢)13(2的通解的通解. .解 1,0122-==++l l l 为二重根为二重根,,因此齐方程的通解为因此齐方程的通解为则==,2122+=)(22-=+就变成常系数方程25+-2--)2ln +。

常微分方程讲义（十）定性解；近似系统；奇点与极限环的稳定性：二维自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dtdy y x X dtdx例：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x dtdy y dtdx法1，⎩⎨⎧+=+-=t c t c y t c t c x sin cos cos sin 2121，圆柱螺线法2，222R y x =+，园二维自治系统的积分曲线、相平面，轨线，闭轨，开轨，奇点轨线的均衡：奇点与闭轨近似系统：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂==+∂∂+∂∂==),(),(),(),(21y x R y y Y x x Y y x Y dtdy y x R y y X x x X y x X dt dx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=≡),(),(21y x R dy cx dtdy y x R by ax dt dx线性非齐次微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=≈dy cx dtdy by ax dt dx线性齐次微分方程组分析方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dtdy by ax dtdx的奇点的性质，用特征方程：0))((=---=--=-bc d a d cb a I A λλλλλ02=++⇒q p λλ特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。

第一种情况：相异实根，21λλ≠ （一）0,021><λλ，鞍点，图像 （二）0,021<<λλ，稳定结点，图像 （三）0,021>>λλ，不稳定结点，图像第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i （一）0=α，中心，图像 （二）0<α，稳定焦点，图像 （三）0>α，不稳定焦点，图像 第三种情况：相同实根，λλλ==21 （一）c b ,同时为01、当0>λ时，不稳定临界结点，图像2、当0>λ时，稳定临界结点，图像 （二）c b ,不同时为01、当0>λ时，不稳定退化结点，图像2、当0<λ时，稳定退化结点，图像例：求各系统的奇点类型⎪⎩⎪⎨⎧+=+=••y x y yx x 423⎪⎩⎪⎨⎧--=+=••y x y yx x 35⎪⎩⎪⎨⎧=--=••x y yx x 2 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=••y x y yx x 45 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=••y x y yx x 3⎪⎩⎪⎨⎧+=+=••y x y yx x 243 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=••yx y yx x ⎪⎩⎪⎨⎧==••yy xx⎪⎩⎪⎨⎧--=+=••yx y yx x 5奇点在经济学中的应用 我们事实上在讨论两个问题：1、 在一个经济体系中，若存在着稳定状态（奇点），那么随着时间t 的变化，一个非均衡的动点 (x,y) 是否会趋向于稳态？2、 若非均衡动点会趋向于稳态，那么它趋向于稳态的过程（时间路径）是什么样子？Perron 定理：自治系统与近似系统的奇点性质一致意味着要考察⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dtdy y x X dt dx的奇点性质，只需考察它的近似系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dtdy by ax dtdx的奇点性质即可。

第四章 常微分方程与数学模型微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。

一、什么是微分方程例1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如()dyu x dx=，其中()y f x =为未知函数，()u x 为已知函数。

满足上述方程的函数()y f x =称为微分方程的解。

求下列微分方程满足所给条件的解： （1）2(2)dyx dx=-，20x y ==； （2）2232d x dt t =，11t dx dt ==，11t x ==。

二、分离变量法※例2：求微分方程y xy '=的通解。

解： 变形为：dy xy dx =， 分离变量：1dy xdx y=（此时漏掉解0y =）， 两边同时积分：1dy xdx y =⎰⎰， 得：211ln 2y x C =+， 22111122x C x C y ee e+==，从而22111222x x C y e eC e =±=，其中12CC e =±，为任意非零常数，但0y =亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：212x y Ce=，C 为任意常数。

上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为：两边同时积分：1dy xdx y =⎰⎰， 得：21ln ln 2y x C =+， 从而 2211ln 22xx C y e e Ce==这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。

例3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况）。

命()T t 表示在时刻t 物体的温度，c T 表示周围环境的温度（假定是常数），建立微分方程并求解，得出()T t 的变化规律。

(2)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30时测量体温为18℃，7:30时再测一次为16℃，室外温度为10℃（假定不变），人正常体温为37℃，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为0t ，则0()37T t =，时刻6:30计算时看成6.5）例4：人口预测记时刻t 的人口为()P t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()P t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()P t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0P ，假设人口增长的速度（即增长率）与t 时刻的人口数量()P t 成正比，利用下表中数据为20世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相符合吗？解：设比例系数为μ（即增长率），则()P t 满足的微分方程为：0,(0)dPP P P dtμ==. 解出 0()tP t Pe μ= ， 表明人口将按指数规律随时间无限增长(0μ>)．上式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型．以1900年为初始时刻，0(0)=1650P P =，得()1650tP t e μ=， 以1910年数据估计μ，即10(10)16501750P e μ==，解11750l n .0584101650μ=≈，即增长率约为0.6%，增长模型为0.005884()1650t P t e =若以1950年为初始时刻，为20世纪后50年建模，则0=2560P ，得()2560tP t e μ=，以1960年数据估计μ，即10(10)25603040P e μ==，解13040l n 0.017185102560μ=≈，即增长率约为1.7%，增长模型为0.017185()2560t P t e =但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．阻滞作用体现在对人口增长率μ的影响上，使得μ随着人口数量P 的增加而下降。

常微分方程讲义微分方程是数学的一个重要分支，它的本质是求解某个函数的微分（偏导数）方程等式，并得出相应的函数解。

因此，它也被称为“函数微分学”。

微分方程常常用于研究物理和其他科学的解析理论上的问题，比如力学、流体力学、声学、电磁学等方面的研究。

一般来说，微分方程包括微分解析方程、积分方程和偏微分方程，其中，最常用的是偏微分方程。

它是由一个或多个复变量函数的某个变量（或多个变量）的偏导数组成的方程，而它的解就是被偏微分方程包含的函数。

偏微分方程可以分为常微分方程和时滞微分方程，本文讲义主要介绍的是前者，即常微分方程。

常微分方程是由一个复变量函数的某个变量的导数组成的方程式，它的解是一个关于变量的函数。

它的基本思想是：将某些可变量的函数表示为可以用一个或几个未知函数的函数，求解该未知函数，从而求解特定问题所对应的函数，用以描述和分析物理系统的特性。

常微分方程可以通过三种方式求解：第一种是数值方法，即将微分方程的求解转换成一系列的算数计算，它是最常用的解法；第二种是图像方法，它是通过拟合图形来确定方程的解的；第三种是函数解法，即求解方程的解析表达式，它也是研究微分方程的重要方法。

如何求解一般常微分方程？一般来说，要先将原始方程化为不带高次导数（称为常数阶微分方程）或不带高次导数和常数（称为普通微分方程）的形式，然后再进行解算。

这些方程又可以分为线性微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程及一类特殊微分方程。

线性微分方程是指形如y′+ay=f(x)的微分方程，它的解可以通过谱解的方法求出，就是将此方程转换为一个定义域上的线性算子的本征方程，再根据本征方程的本质解其求解。

二阶微分方程是指形如y′′+ay′+by=f(x)的微分方程，它的解可以利用解析方法或特殊求解的方法求得，常见的有求解公式或积分方法。

高阶微分方程是指形如y′(n)+ay′(n-1)+…+by=f(x)的微分方程，它的解是求解公式，这种公式只有当所求解的方程满足某些条件时才可以得出，如果不满足，就只能利用特殊的解法来解高阶方程。

Examples of Ordinary differential equations(1)y =1(2)y =x 2−1(3)y +xy =1(4)y =y(5)cos 2(y y )=(y 2−x )e y(6)y =sec(xy )(7)xy +e x y −xy =2(8)y +7y +12y =e x (9)(y )2−x 2=sin y (10)y [1+(y )2]=2(11)y =7xy −3x 2y +3x(12)xy −3(x 2−1)y =2(13)(1+x 2)y +xy =(1+x 2)5/2(14)y =x +yx −y (15)yy+x =0(16)dy dx=(x +y )6(17)(x −√xy )y =y (18)(x −y +3)dy =(x +y +1)dx(19)(x +y +2)dydx=(x +y −4)(20)e t/y (y −t )y +y (1+e t/y )=0(21)(y 2+3x )dx +xydy =0(22)xy =sin x(23)1+cos(x +y )=−y cos(x +y )(24)2t sin y +y 3e t +(t 2cos y +3y 2e t )y =0(25)3y 2+4xyy =0(26)(y 2+4ye x )dx +2(y +e x )dy =0(27)y +a (t )y =b (t )y n (Bernoulli differential equation)(28)y +xy +y 2=0(29)y =P (x )+Q (x )y +R (x )y 2(Riccati equation)(30)x 2y −2xy +3y =0(Euler equation)(31)(x −1)2y +3(x −1)y −7y =x 212(32)y =(y )2+xy (33)y +2y +y =0(34)y −7(y )3+7=cos x (35)sin(y )=y(36)x 2y −xy −y =2x +1(37)y −y +y −y =0(38)3t 2+4ty +(2y +2t 2)y =0,y (0)=1(39)2(y −1)y =3x 2+4x +2,y (0)=−1(40)y =k (1−y )(2−y ),y (0)=0(41)dy dt =2t y +yt 2,y (2)=3(42)d 2y dt 2+2dydt +5y =0,y (0)=0,y (0)=2(Initial value problem)(43)4y−4y +y =0,y (0)=y (1)=0(boundary value problem)(44)3y +4y +y =(sin t )e −t ,y (0)=1,y (2)=0(45)y −2(t +1)t 2+2t −1y +2t 2+2t −1y =0(46)(1−t 2)y −2t +2y =0(47)xy −(1+3x )y +3y =0(48)y +3y =t 3−1(49)y −y =t 2e t(50)y +y =cos t cos 2t (51)y +y =tan t(52)y =y +xe x(53)∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2=0(Laplace equation)(54)∂u ∂t =∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2(Heat equation)(55)∂2u ∂t 2=∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2(Wave equation)3 MA3220Ordinary Differential EquationsText:Simmons:QA372Sim,Ref:Williamson:QA371WilCh.1.First Order Equations and introduction§1.1.Introduction(Sections1,2,3,7;Chapters1.1,1.3)1.Ordinary differential equations.An ordinary differential equation(ODE for short)is a relation contain-ing one real variable x,the real dependent variable y,and some of its derivatives y ,y ,···,y(n),···,with respect to x.Remark.y can be either dydx or dydtand y(n)can be either d n ydx nor d n ydt n.The order of an ODE is defined to be the order of the highest derivative that occurs in the equation.Thus,an n-th order ODE has the general formF(x,y,y ,···,y(n))=0,F:R n+2→R.(1.1.1) We shall almost always assume that(1.1.1)can be solved explicitly for y(n) in terms of the remaining n+1quantities asy(n)=f(x,y,y ,···,y(n−1)),(1.1.2) where f is a known function of x,y,y ,···,y(n−1).Hence F(x,y,y ,···,y(n)) can be taken as y(n)−f(x,y,y ,···,y(n−1)).Example(1)y 2=x2+y2,(2)sin y =y +xy.4An n-th order ODE is linear if it can be written in the forma0(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+···+a n(x)y=r(x).(1.1.3)The functions a j(x),0≤j≤n are called coefficients of the linear equa-tion.If r(x)≡0,(1.1.3)is called a homogeneous equation.If r(x)≡0, (1.1.3)is said to be a non-homogenous equation,and r(x)is called the non-homogeneous term.2.Solutions.A functional relation between the dependent variable y and the indepen-dent variable x that satisfies the given ODE in some interval J is called a solution of the given ODE on J.Afirst order ODE may be written asF(x,y,y )=0.(1.1.4)The function y=φ(x)is called an explicit solution of(1.1.4)in the interval J providedF(x,φ(x),φ (x))=0in J.(1.1.5)The pair of equationsx=x(t),y=y(t)(1.1.6)5is said to be a parametric solution of (1.1.4)ifF (x (t ),y (t ),˙y (t )˙x (t ))=0.Example Check that x =cos t,y =sin t is a parametric solution ofy 2(1+[y ]2)−1=0.3.Integral curves.The solutions of an ODEy =f (x,y )1.1.7represent one-parameter family of curves in the xy -plane.They are also called integral curves .Example(1)The one-parameter family of curves y =ce 2x are solutions of y =2y .(2)y =ce −x +2x −2are solutions of y =2x −y(3)tan(x +y )−sec(x +y )=x +c are solutions of y =sin(x +y ).(4)x 2+y 2=c are solutions of x +yy =0.(5)x 4+6x 2y 2+y 4=c are solutions of (x 3+3xy 2)dx +(3x 2y +y 3)dy =0.(Take note of the notation dx and dy here.)(6)(x +c )(1+tan x +y2)=−2are solutions of y =sin(x +y ).64.Separable equations and change of variables.The easier type of ODE that we can hope is separable equation!Typical separable equation can be written asy =f(x)g(y),or g(y)dy=f(x)dx.1.1.8The solution is given byg(y)dy=f(x)dx+C.(Thus,technique of integration is important in this module.)How do we know solution must be of this form?Recall Mean Value Theorem and its consequence:Theorem If f is differential on(a,b)and continuous on[a,b],then thereexists c∈(a,b)such that f (c)=f(b)−f(a)b−a.Corollary If f (x)=g (x)on(a,b),then there exists a constant C such that f(x)=g(x)+C for all x∈(a,b).Example1.y =1+y.Example2.y =−2xy,y(0)=1.Ans:y=e−x2.7Change of variableIn many cases,a change of variable is needed in order to transform theequation into a separable equation.For example,the equation y =f (yx )can be reduced to a separable equation by letting u =y x ,i.e.y =xu .Sof (u )=y =u +xu ,du f (u )−u =dxx.Example.(1)2xyy +x 2−y 2=0.Ans:x 2+y 2=cx .(2)y =x +yx −y.(3)y =(x −y )3.(4)y=sin(x +y ).Ans:(x +c )(1+tan x +y 2)=−2.8Example:equations in the formy =a1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2.One strategy:find x0,y0such thata1x0+b1y0=c1and a2x0+b2y0=c2.(∗)Example:y =x+2y+1 x−y−1.What if(∗)has no solution?For example:y =2x−2y+1 x−y−1.Indeed,it may be easier tofind an”integrating factor”(see next section).9§1.2.Exact Equations,Integrating Factors(Sec8,9,Ch1.5)1.Exact equations.We can write afirst order ODE in the follow formM(x,y)+N(x,y)y =0(or M(x,y)dx+N(x,y)dy=0).1.2.1 (1.2.1)is called exact if there exists a function u:R2→R such thatdu dx =∂u∂x+∂u∂ydydx=M(x,y)+N(x,y)yor M(x,y)dx+N(x,y)dy=du=∂u∂xdx+∂u∂ydy.Once(1.2.1)is exact,the general solution is given byu(x,y)=c.Theorem1.1Assume M and N together with theirfirst partial deriva-tives are continuous in the rectangle S:|x−x0|<a,|y−y0|<b.A necessary and sufficient condition for(1.2.1)to be exact is∂M ∂y =∂N∂xin S.1.2.2When(1.2.2)is satisfied,a general solution of(1.2.1)is given by u(x,y)=c,whereu(x,y)= xx0M(s,y)ds+yy0N(x0,t)dt1.2.3and c is an arbitrary constant. Example(y2+x)dy+(x2+y)dx=0.10Example.(x3+3xy2)dx+(3x2y+y3)dy=0.Ans:x4+6x2y2+y4=c.Exercises y2cos xy2+(2xy cos xy2)y =0;y+xy =0;e x y+e x y =0.2.Integrating factors.A non-zero functionµ(x,y)is an integrating factor of(1.2.1)if the equiv-alent differential equationµ(x,y)M(x,y)dx+µ(x,y)N(x,y)dy=01.2.4is exact.Ifµis an integrating factor of(1.2.1)then(µM)y=(µN)x,that is,Nµx−Mµy=µ(M y−N x).1.2.5 One may look for an integrating factor of the formµ=µ(v),where v is a known function of x and y.Plugging into(1.2.5)wefind1µdµdv=M y−N xNv x−Mv y.1.2.6If M y−N xNv x−Mv yis a function of v,say,φ(v),thenµ=eφ(v)dvis an integrating factor of(1.2.1).(*)In particular,if M y−N xN is a function of x,say,φ1(x),i.e.,M y−N xN=φ1(x),then eφ1(x)dx is an integrating factor of(1.2.1).(*)Next,if−M y−N xM is a function of y,say,φ2(y),i.e.,−M y−N xM=φ2(x),then eφ2(y)dy is an integrating factor of(1.2.1).(*)Finally if M y−N xyN−xM =φ3(xy),then exyφ3(v)dv is an integrating factor of(1.2.1).Example(1)xdy−ydx=0,(2)(x2+y2+x)+xyy =0,(3)y2dx+(x2−3xy−y2)dy=0.§1.3.(Other)first Order Equations(sec10,ch1.4)1.First order linear differential equations.Afirst order homogeneous linear equation is in the formy +p(x)y=0,1.3.1 where p(x)is a continuous function on an interval J.Example.(1)y −y=e2x,(2)y −2y=e2x/(1+e2x).Ans:(1)y=ce x+e2x.2.Bernoulli equation.An ODE in the formy +p(x)y=q(x)y n,1.3.5 where n=0,1,is called Bernoulli equation.The functions p(x)and q(x) are continuous functions on an interval J.Let u=y1−n.Substituting into(1.3.5)we getu +(1−n)p(x)u=(1−n)q(x).1.3.6 This is a linear equation of order1.Example(1)y +xy=y2,(2)xy +y=x4y33.Riccati equation.An ODE of the formy =P(x)+Q(x)y+R(x)y21.3.7 is called Riccati equation.The functions P(x),Q(x),R(x)are continuous on an interval J.In general,a Riccati equation can not be solved by a sequence of integrations.However,if a particular solution is known,then (1.3.7)can be reduced to a linear equation,and thus is solvable.If P(x)=0,then it is Bernoulli!Example y =y/x+x3y2−x5.Key step:observe y=x is a solution. Let y=x=z.§1.4.First Order Implicit Equations(sec11,ch3.4)In the above we discussedfirst order explicit equations,that is,equations in the form y =f(x,y).In this section we discuss solution of somefirst order explicit equationsF(x,y,y )=01.4.1 which are not solvable in y .1.Method of differentiation.Consider an equations solvable in y:y=f(x,y ).1.4.2 Let p=y .Differentiating y=f(x,p)we get[f x(x,p)−p]dx+f p(x,p)dp=0.1.4.3 This is afirst order explicit equation in x and p.If p=φ(x)is a solution of(1.4.3),theny=f(x,φ(x))is a solution of(1.4.2).Example.y=(y )2;y=(y )2+xy Remark:Check your answer! Differentiation will produce more solutions than the original equation!2.Method of parameterization.This method can be used to solve equations where either x or y is missing. ConsiderF(y,y )=0,1.4.5 where x is missing.Let p=y and write(1.4.5)asF(y,p)=0.It determines a family of curves in yp plane.Let y=g(t),p=h(t)be one of the curves,that is,F(g(t),h(t))=0.Note thatdx dt =dydt/dydx=g (t)h(t).The solutions of(1.4.5.)are given byx= g (t)h(t)dt,y=g(t).This method can also be applied to the equationsF(x,y )=0,where y is missing.Example y(1+(y )2)=2;x(1+(y )2)=2.3.Reduction of order.Consider the equationF(x,y ,y )=0,1.4.6 where y is missing.Let p=y .Then y =p .Write(1.4.6)asF(x,p,p )=0.1.4.7 It is afirst order equation in x and p.IExample(1)y +y =x,(2)y −2xy =e x.21 Consider the equationF(y,y ,y )=0,1.4.8where x is missing.Let p=y .Then y =dpdx =dpdydydx=dpdyp.Write(1.4.8)asF(y,p,p dpdy)=0.1.4.9It is afirst order equation in y and p. Example(1)y +y=0,(2)y +yy =0.。

第4讲：常微分方程（1）1阶微分方程1. 知识范围（1）微分方程的概念：微分方程的定义阶解通解初始款件特解（2）可分离变量的方程（3）1阶线性方程2. 要求（1）理解微分方程的定义,理解微分方程的阶.解.通解.初始款件和特解。

（2）掌握可分离变量方程的解法。

（3）掌握1阶线性方程的解法。

（2）可降价方程1. 知识范围（1）y（n）= ƒ（x）型方程（2）y″= ƒ（x,y′）型方程2. 要求（1）会用降价法解（1）y（n）= ƒ（x）型方程（2）会用降价法解y″= ƒ（x,y′）型方程（3）2阶线性微分方程1. 知识范围（1）2阶线性微分方程解的结构（2）2阶常系数齐次线性微分方程（3）2阶常系数非齐次线性微分方程2. 要求（1）了解2阶线性微分方程解的结构。

（2）掌握2阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（3）掌握2阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为ƒ（x）=P n （x）e ax,其中P n（x）为x的n次多项式。

α为实常数。

ƒ（x）e ax（Acosβx + Bsinβx）,其中α.β.A.B为实常数）。

知识点讲授1.1阶微分方程（1）介绍相关概念：（1）凡含有未知函数的导数（或微分）的方程,称为微分方程．若未知函数只含有1个自变量,这样的微分方程称为常微分方程。

（2）微分方程的阶：微分方程中所含未知函数导数的最高阶数,称为微分方程的阶．（3）微分方程的解：在研究实际问题时,首先建立微分方程,然后设法找出满足微分方程的函数,也就是说,要找到这样的函数,将其代入微分方程后,能使该方程成为恒等式,这个函数叫做微分方程的解．求微分方程解的过程,叫做解微分方程．（4）微分方程的通解：如果微分方程的解中包含有任意常数,并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解．（5）微分方程的特解：通解中任意常数取某1特定值时,所得到的解称为微分方程的特解．确定通解中任意常数的附加款件叫微分方程的初值款件．该特解又叫满足初值款件的特解．（6）形如（1）的微分方程称为1阶线性微分方程,其中,都是自变量的已知函数,称为自由项．所谓“线性”指的是,方程中关于未知函数及其导数都是1次式．当时,称方程（1）称为1阶线性非齐次微分方程。