高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的

高数下要点含微分方程自己的HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第六章 微分方程一、一阶微分方程1、一阶线性方程 )()(x Q y x P dxdy=+2、伯努利方程 )1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P xyn ).()(d d 1111x Q y x P xy n n n=+⋅---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程1．)()(x f yn = n 次积分2．)',("y x f y = 不显含y令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。

3．)',("y y f y = 不显含自变量令)('y p y =，dydpp dx y d =22，化为一阶方程。

三、线性微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ，0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。

1．二阶线性齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。

如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解,则)()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解.两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为C x y x y ≡/)()(21（常数）2．二阶线性非齐次线性方程设)(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+''的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程的通解.设)(*1x y 与)(*2x y 分别是二阶线性非齐次方程 )()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的两个特解。

高等数学大一下知识点梳理高等数学是大学数学的一门核心课程，通过学习高等数学，可以帮助我们建立起数学思维和分析问题的能力。

在大一下学期，我们将继续学习高等数学的一些重要知识点，包括微积分、线性代数等方面的内容。

本文将对高等数学大一下的知识点进行梳理和总结。

一、微积分1. 不定积分- 定义和基本性质- 基本积分公式- 分部积分法- 代换积分法2. 定积分- 定义和基本性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 变上限积分和变下限积分- 平均值定理3. 微分方程- 常微分方程和偏微分方程的区别- 一阶常微分方程的基本解法- 高阶常微分方程的解法- 特解和通解4. 无穷级数- 无穷级数的定义和收敛性- 级数收敛的判别法- 幂级数和它的收敛半径- 泰勒级数和麦克劳林级数二、线性代数1. 行列式- 行列式的性质：交换性、对换性、奇偶性- 数量阵、对角阵和三角阵的行列式计算2. 矩阵- 矩阵的定义和基本运算- 矩阵的转置、对角化和相似- 逆矩阵和伴随矩阵- 矩阵的秩和方程组的解3. 矩阵的特征值和特征向量- 特征值和特征向量的定义- 相似矩阵的特征值和特征向量的关系- 对称矩阵的对角化和主轴定理- 正交矩阵和正交对角化4. 线性空间与线性变换- 线性变换的定义和基本性质- 基变换和过渡矩阵- 相似变换和相似矩阵总结：通过对高等数学大一下的知识点进行梳理，我们可以看到微积分和线性代数是其中的重要内容。

微积分部分主要包括不定积分、定积分、微分方程和无穷级数等方面的知识；线性代数部分主要包括行列式、矩阵、特征值和特征向量以及线性空间与线性变换等内容。

通过系统地学习和掌握这些知识点，可以为我们进一步学习高等数学的相关课程打下坚实的基础，也为将来的专业课程奠定了重要的数学基础。

高数下大一知识点总结笔记一、导数与微分导数是研究函数变化率的重要工具，也是微积分的基础概念之一。

在高数下的大一课程中，我们学习了导数的基本定义、导数的四则运算、高阶导数以及一些特殊函数的导数。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，可以通过极限的方式来定义。

对于函数f(x)，它在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim[(f(x) - f(a))/(x - a)], 当极限存在时。

2. 导数的四则运算导数具有四则运算的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的导数。

- 常数函数的导数为0：(c)' = 0，其中c为常数。

- 幂函数的导数：(x^n)' = n * x^(n-1)，其中n为整数。

- 指数函数的导数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数。

- 对数函数的导数：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a))，其中a为底数。

- 三角函数的导数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。

3. 高阶导数高阶导数表示导数的导数，可以通过连续求导来得到。

- 一阶导数的导数称为二阶导数，一般用f''(x)表示。

- 二阶导数的导数称为三阶导数，一般用f'''(x)表示。

- n阶导数的导数称为n+1阶导数，一般用f^(n+1)(x)表示。

4. 特殊函数的导数在高数下的大一课程中，我们还学习了一些特殊函数的导数。

- 反函数的导数：如果f(x)的反函数存在，并且在点x=a处可导，则反函数在点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。

- 复合函数的导数：如果f(x)和g(x)分别可导，则复合函数(f[g(x)])' = f'(g(x)) * g'(x)。

二、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分中的另外两个重要概念，它们可以用来计算曲线下的面积和函数的原函数。

高数大一下知识点框架总结一、导数与微分1. 导数的定义及计算方法2. 函数的微分与微分形式3. 高阶导数及求导法则4. 隐函数微分与相关问题二、不定积分与定积分1. 不定积分的定义及基本积分表2. 定积分的定义及几何意义3. 牛顿-莱布尼茨公式与基本性质4. 微元法与变量代换法三、微分方程1. 一阶微分方程的基本概念与解法2. 高阶常系数线性微分方程及其解法3. 变系数线性微分方程的特解与齐次解4. 常见的常微分方程应用问题四、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义及性质2. 偏导数的计算与几何意义3. 链式法则与不完全微分4. 梯度、方向导数与极值判定五、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的计算方法与性质2. 三重积分的计算方法与性质3. 曲线积分的计算与应用问题4. 曲面积分的计算与应用问题六、无穷级数1. 数项级数与常数项级数的收敛性2. 收敛级数的性质与判别法3. 幂级数的收敛域与展开式4. 泰勒级数与常见函数的级数展开七、常微分方程的应用1. 随机增长与衰减问题2. 物理问题中的常微分方程建模3. 经济学问题中的常微分方程建模4. 生物学问题中的常微分方程建模八、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算法则2. 空间直线和平面方程的求解3. 空间曲线的参数方程与弧长4. 球面与圆柱面的参数方程与切线以上是高数大一下知识点的框架总结，涵盖了导数与微分、不定积分与定积分、微分方程、多元函数与偏导数、重积分与曲线曲面积分、无穷级数、常微分方程的应用、向量代数与空间解析几何等内容。

希望对你的学习有所帮助！。

高等数学大一下学期知识点在高等数学大一下学期中，我们将深入学习一些更加复杂和具体的数学知识点。

这些知识将为我们打下坚实的数学基础，为将来的学习和研究打下基础。

本文将重点介绍几个重要的高等数学知识点。

一、微分方程微分方程是数学中的重要分支，它描述了自然界中许多现象的变化规律。

在大一下学期中，我们将深入学习一阶和二阶微分方程的理论和应用。

一阶微分方程的求解方法有很多，比如分离变量法、恰当方程法和线性微分方程法等。

对于二阶微分方程，我们将学会使用特征根法和常数变易法等方法来求解。

二、概率论和数理统计概率论和数理统计是应用广泛的数学领域，它们研究了概率、随机变量和统计推断等内容。

在大一下学期，我们将学习概率论的基本概念，如事件、概率、条件概率以及贝叶斯定理等。

同时，我们会学习数理统计的基本概念，如样本、参数估计和假设检验等。

三、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的重要分支，它研究了多元函数的极限、连续性和可微性等性质。

在大一下学期，我们将深入学习二元函数和三元函数的偏导数、全微分和多元函数的极值等内容。

这些知识将为我们理解和分析多元函数提供重要的工具。

四、向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何是应用数学中的基础知识，它们在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有广泛的应用。

在大一下学期，我们将学习向量的基本运算、向量的模、数量积和向量积等。

同时，我们也将学习空间解析几何的基本概念，如直线、平面和球面等。

五、级数级数是数学中非常重要的概念，它涉及到数列的无穷求和。

在大一下学期，我们将学习级数的定义和性质，如等比级数、调和级数和幂级数等。

我们还将学会使用级数收敛的判别法和计算级数的和。

总结：高等数学大一下学期的知识点涵盖了微分方程、概率论和数理统计、多元函数微分学、向量代数与空间解析几何以及级数等内容。

掌握这些知识将为我们打下坚实的数学基础，为将来的学习和研究奠定基础。

在学习这些知识的过程中，我们不仅需要理论的掌握，还要注重实际问题的应用和解决方法的灵活运用。

第七章 微分方程§1 微分方程的基本概念 一.基本概念:1.微分方程; 凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2.常微分方程; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3.偏微分方程; 如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4.微分方程的阶; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5.微分方程的解; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程: 例1．曲线在点处(,)x y 的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为()y f x =,则由题意得: 2'y x =.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例2．曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ,且线段PQ 被y 轴平分.解：设该曲线的方程为()y f x =,且设曲线在点P 处的法线记为L ，则其斜率为1/'y -；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M (,)X Y ，进而得法线Ｌ的方程为：()Y y k X x -=-且1/'k y =-即()/'Yy X x y -=--；则易求得：'Q X x y y =+⋅且/'A Y y x y =+．．．．．．．．① 由题意知点Ａ为线段PQ 的中点知：2Q P A X X X +=且2Q P A Y Y Y +=．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：2'xy y =⋅--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§2．可分离变量的一阶微分方程 （注：它是一类最易求解的微分方程！） 一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：(,,')0F x y y =⇔对称形式：(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，可等价地转化为()()0f x dx g y dy +=的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量x ，dx 与因变量y ，dy 的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．§３．一阶齐次微分方程 （注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！） 一．一阶齐次微分方程的定义：在某个一阶微分方程(,)dy f x y dx =中，如果方程右边的函数(,)f x y 可写成y x 的函数式即(,)()yf x y xϕ=，也即原方程形如：()dy ydx xϕ=，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．二．一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令y ux =，则,dy du y ux u x dx dx ==+，代入原一阶齐次微分方程()dy y dx x ϕ=得：()du u x u dxϕ+=； 第二步，进行变量u 与x 的左右分离得：()du dxu u xϕ=-；第三步，两边求不定积分即可得其解．．．． 三．例题分析 参见Ｐ271．例１． 又如．Ｐ276．１．（4）．求方程332()30xy dx xy dy +-=的通解．解：原方程可转化为332223dy x y x ydx xy y x+==+，作变量代换令yux=，则,dy du y ux u x dx dx==+；则原方程转化为：213()du u xu dx u+=+（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！） 紧接着就进行自变量与因变量的左右分离212du x u dx u ⇒=-212u du dx u x ⇒=-．最后两边作不定积分即可．．． §４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义： 称形如：()()dyP x y Q x dx+=的方程为一阶线性微分方程． （注：因为方程的左边对未知函数y 及其导数'y 来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！） （i ）.当()0Q x =时，则称()0dyP x y dx +=为一阶线性齐次微分方程． （ii ）.当()0Q x ≠时，则称()()dyP x y Q x dx+=为一阶线性非齐次微分方程．二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数()u x 来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数()u x 的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）２．一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+=的通解公式如下：()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=⋅⋅+⎰―――请牢记！ 三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！） １．伯努利方程的定义我们称形如：()()n dyP x y Q x y dx+=⋅．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂n 级伯努利方程＂）． ２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令1n zy -=，则1(1)n dz dyn y dx dx-=-⋅，将其代入原n 级伯努利方程（＊）可得 (1)()(1)()dzn p x z n Q x dx⇒+-⋅=-⋅-----这是一个一阶线性非齐次方程! 进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（＊）的解! ３．变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ282．9．（1）．2()dyx y dx=+ 解：可令u x y =+，则原方程转化为222111dy du du duu u dx dx dx dx u =-=⇒=+⇒=+两边积分就可得其解．．．．． 例２．Ｐ282.9.（3）解方程'(ln ln )xy y y x y +=+解：可令ln ln ln u ux y xy xy e =+=⇒=两边关于自变量Ｘ求导得'u duy xy e dx⇒+=⋅代入原方程得： 1u u du ue x e dx-=⋅，1du du dxuxdx u x-⇒=⇒=两边积分就可得其解．．．．． §６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法） 一．()()n y f x =型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分n 次，就可得其通解．二．''(,')y f x y =型微分方程首先此方程''(,')y f x y =的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y ＂．此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令dyp dx=，则22d y dp dx dx =， 进而原方程转化为：(,)dpf x p dx=―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去求解．．．．．得其通解设为1(,)p x c ϕ=又dy p dx =，也即有1(,)dyx c dxϕ=1(,)dy x c dx ϕ⇒=，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解． 三．''(,')y f y y =型微分方程首先方程''(,')y f y y =的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x ＂．此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令dyp dx=，则22d y dp dp dy dp p dx dx dy dx dy ==⋅=⋅，进而原方程转化为(,)dpp f y p dy⋅=――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去求解．．．设得其通解为1(,)p y c ϕ=又dy p dx =，也即有1(,)dyy c dxϕ=1(,)dy dx y c ϕ⇒=，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解． 四．例题分析Ｐ292．1．（5）求解方程：'''y y x =+解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量y ，即''(,')y f x y =型．接着可令dy p dx =，则22d y dp dx dx =，进而原方程转化为：dp x p dx =+．―――这是一阶线性非齐次方程dpp x dx⇒-=． 由一阶线性非齐次方程的通解公式知：11[][]dx dxx x p e x e dx c e xe dx c ----⎰⎰=⋅⋅+=⋅+⎰⎰2x x x e ce =-++；进而知：2x x dyp x e ce dx==-++2()x x dy e ce x dx ⇒=+-，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．． 五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画． 即将微分方程的自变量x 与因变量y 都表达成某个参数p 的函数式的形式．例如：Ｐ292．1．（4）求解方程：2''1'y y =+．解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x 和y ，它同属''(,')y f x y =与''(,')y f y y =型；所以解法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设dy p dx =，则22d y dp dx dx =．进而原方程转化为：21dp p dx =+2211dp dp dx dx p p ⇒=⇒=++⎰⎰． 1arctan x p c ⇒=+―――这就求得了自变量x 关于参数p 的函数式；以下再来求出因变量y 关于参数p 的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．由21dy pdp p dy pdx dx p =⇒==+，所以221ln(1)2y p c =++；从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：122arctan 1ln(1)2x p c y p c =+⎧⎪⎨=++⎪⎩．注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292．１．（8）；（9）；（10）．§７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！） 一．二阶线性微分方程的定义： 称形如：''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．（注：方程的左边对未知函数y 及其导数',''y y 这三者来说，是一次线性组合形式！） （i ）.当()0f x =时，则称''()'()0y P x y Q x y ++=为二阶线性齐次微分方程．（ii ）.当()0f x ≠时，则称''()'()()y P x y Q x y f x ++=为二阶线性非齐次微分方程．二．二阶线性微分方程的解的结构１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂ 定理１：设1()y x 与2()y x 都是二阶线性齐次微分方程''()'()0y P x y Q x y ++=的解，则此两解的任意线性组合1122()()yc y x c y x ⋅+⋅也是此二阶线性齐次微分方程的解．―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂． ２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296从略） 特别地，两个函数1()y x 与2()y x 在区间Ｉ上线性相关⇔12()()y x y x =常数，x ∀∈Ｉ．３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构 定理２：设1()y x 与2()y x 是二阶线性齐次微分方程''()'()0y P x y Q x y +⋅+⋅=的解，且1()y x 与2()y x 线性无关，则此两解的任意线性组合1122()()yc y x c y x ⋅+⋅就是原二阶线性齐次微分方程的通解．―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！ ４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构 定理３：设*()y x 是二阶线性非齐次微分方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．（＊）的一个特解，且()Y x 是对应的二阶线性齐次方程''()'()0y P x y Q x y ++=的通解，则*()()y Y x y x +就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的通解．―――定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解y ＝齐次通解Y ＋非齐次特解*y ．５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297 定理４） 定理４：设有二阶线性非齐次微分方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=，（其中12()()()f x f x f x =+．） 而1()y x 是1''()'()()y P x y Q x y f x ++=的特解，且2()y x 是2''()'()()y P x y Q x y f x ++=的特解则12()()()Y x y x y x +就是原二阶线性非齐次方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=的一个特解．―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！ ６．定理５：设1()y x 与2()y x 是二阶线性非齐次微分方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．（＊）的两个不相等的特解，则21()()()Y x y x y x -是对应的二阶线性齐次方程''()'()0y P x y Q x y ++=的一个非零特解．―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！ ７．例题分析Ｐ326.１．(4)．已知21231,,y y x y x ===是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．．（＊），则由定理３知：非齐次通解y＝齐次通解Y＋非齐次特解*y ，现由题意知＂非齐次特解*y ＂可取21231,,y y x y x ===之中的任意一个，故以下只要求出＂齐次通解Y ＂来即可．再由定理２知：＂齐次通解Y ＂是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：1122()()()Y x c Y x c Y x =⋅+⋅（其中12(),()Y x Y x 是两个线性无关的齐次特解）．而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得到！由＂定理５＂知，可令：121()()()1Y x y x y x x -≡-且2231()()()1Y x y x y x x -≡-，且显然两者线性无关，所以原非齐次方程的通解为211122112()()()()()(1)(1)1y Y x y x c Y x c Y x y x c x c x =+=⋅+⋅+=⋅-+⋅-+．三．二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式 １．二阶线性非齐次微分方程求解过程中的＂常数变易法＂． 为了求解二阶线性非齐次微分方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．（１），可先求解与之对应的齐次方程； 第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程''()'()0y P x y Q x y ++=．．．（２）的两个线性无关特解1()y x 与2()y x ， 则由定理２知：1122()()yc y x c y x ⋅+⋅．．．．（３）就是原二阶线性齐次微分方程（２）的通解；第二步：对齐次方程的通解（３）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（１）的解为12()()()()yu x y x v x y x ⋅+⋅．．．(４)（其中(),()u x v x 是两个待定的未知函数）；第三步：接下来将（４）式代入原非齐次方程（１）并设法去求出(),()u x v x ，这样也就求出了原非齐次方程（１）的解了！ ――――这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法． ２．二阶线性非齐次微分方程的通解公式 定理６．设1()y x 与2()y x 是二阶线性齐次方程''()'()0y P x y Q x y ++=．．．．．（１）的两个线性无关的特解，记12''110y y W y y =≠，则与之对应的二阶线性非齐次方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．．．（２） 有通解公式：1221f y f y y y dx y dx W W⋅⋅=-⎰⎰． §８．常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！） 一．二阶线性常系数微分方程的定义： 在二阶线性微分方程：''()'()0y P x y Q x y ++=．．．．（１）之中，(i)．如果',y y 的系数(),()p x Q x 都是常数，即（１）式成为'''0y py qy ++=（其中,p q 为常数），则称其为二阶线性常系数微分方程；(ii)．如果,p q 不全为常数，则称'''0y py qy ++=为二阶线性变系数微分方程．二．二阶常系数齐线性微分方程'''0y py qy ++=的解法：（如下方法通常称为＂特征根公式法＂）第一步，写出原微分方程的特征方程20rpr q ++=，并求出此方程的二个特征根12,r r ；第二步，根据特征根12,r r 的不同情形，原方程'''0y py qy ++=的通解公式如下：(i)．若特征根12,r r 不相等，则原方程的通解为：1212r x r x y c e c e =+； (ii)．若特征根12,r r 为相等，则原方程的通解为：112()r x y c c x e =+；(iii)．若特征根12,r r 为一对共轭复根1,2r i αβ=+，则原方程的通解为：12(cos sin )x y e c x c x αββ=⋅+．三．二阶常系数齐次线性微分方程'''0y py qy ++=的求解举例：参见教材Ｐ304--305例１; 例２; 例３等．§９．常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！） 一．关于二阶线性常系数非齐次微分方程'''()y py qy f x ++=（其中,p q 为常数）有如下结论：定理６＇：设1()y x 与2()y x 是二阶线性常系数非齐次微分方程'''0y py qy ++=．．．．．（１）的两个线性无关的特解，记12''110y y W y y =≠，则与之对应的二阶线性非齐次方程'''()y py qy f x ++=．．．．．（２） 有通解公式：1221f y f y y y dx y dx W W⋅⋅=-⎰⎰―――请记牢！ ――――注：此定理６＇只不过是第七节中介绍的＂定理６＂的一个特例而已！ 二．常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例 例如Ｐ313.例２．求方程2''5'6x y y y xe -+=的通解．解：由定理５＇应首先求对应的齐次方程''5'60y y y -+=的通解，再运用定理５＇来求原非齐次方程的通解．易知齐次方程''5'60y y y -+=的特征方程为2560r r -+=，特征根122,3r r ==．于是，齐次方程的两个线性无关的特解为2312,x x y e y e == 125''11xy y W e y y ⇒==； 进而原非齐次方程的通解为：222332122155x x xx x x x x f y f y xe e xe e y y dx y dx e dx e dx W W e e⋅⋅⋅⋅=-=-⎰⎰⎰⎰ y ⇒3222322121211()()()22x x x x x x x e xe e c e x c d e d e x x e --=--+-+=+-+．三．本章杂例Ｐ327．7．设有可导函数()x ϕ满足0()cos 2()sin 1xx x t tdt x ϕϕ+=+⎰，求()?x ϕ=分析与解答：这是一个＂积分方程＂，求解＂积分方程＂的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解． 现由0()cos 2()sin 1xx x t tdt x ϕϕ+=+⎰两边关于自变量Ｘ求导数得：'()cos ()sin 2()sin 1'()cos ()sin 1x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕ-+=⇒+=现记()y x ϕ=，则有'cos sin 1'tan sec y x y x y y x x +=⇔+=――这是＂一阶线性非齐次微分方程＂．由通解公式得：()()tan tan [()][sec ]p x dx p x dx xdx xdxy e Q x e dx c y e x e dx c --⎰⎰⎰⎰=⋅⋅+==⋅⋅+⎰⎰sin cos x c x =+⋅．又由条件0()cos 2()sin 1xx x t tdt x ϕϕ+=+⎰知，当0x =时，则(0)1y ϕ==，所以1c =．综上得原方程的解为：sin cos y x x =+．四．综述＂求解微分方程的一般程序＂如下：第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可分离变量方程；②齐次方程；③一阶线性（非）齐次方程；④贝努利方程）； 第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后再按上面的标准步骤去解决问题．第八章 空间解析几何§１ 向量及其线性运算 一. 一些基本概念①向量与自由向量;②单位向量与零向量;③向量的共线与共面;④向量的模,方向角,以及投影等. 二. 向量的加法运算与数乘运算的定义 三.向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算． §２ 向量的数量积 向量积 混合积 一．两个向量的数量积１．数量积的定义 ||||cos ,a ba b θ⋅⋅（其中θ为向量,a b 之间的夹角）２．数量积与投影之间的关系―――||Pr j ||Pr j a b a b a b b a ⋅==３．数量积的运算规律 二．两个向量的向量积１．向量积的定义 ||||sin ,a ba b θ⨯⋅（其中θ为向量,a b 之间的夹角）２．向量积的模的几何意义：它表示以向量,a b 为邻边所成的平行四边形的面积． 三．三个向量的混合积１．混合积的定义 [,,]()a b c a b c ⨯⋅２．三个混合积的模的几何意义：它表示以向量,,a b c 为邻边所成的平行六面体的＂有向体积＂． 即[,,]a b c V ε=⋅；(i) 当,,a b c 呈右手系时，1ε=；(ii) 当,,a b c 呈左手系时，1ε=-．§３ 曲面及其方程 一. 曲面方程的概念1. 如果某曲面S 上的点的坐标(,,)[,,]M x y z a b c V =⋅与某个三元方程(,,)0F x y z =的解之间能构成一一对应,则称这个三元方程(,,)0F x y z =为此曲面S 的方程;2. 建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一点M ，记其坐标为(,,)M x y z ,然后利用该曲面的特征并将其等价地表达为点(,,)M x y z 的坐标应满足的条件式即可!例如 :试求球心在点0000(,,)M x y z ,半径为R 的球面方程? 解:设(,,)M x y z 为所求球面上任意一点,则由0||M MR =即0||(M Mx R ==所以2222000()()()x x y y z z R -+-+-=二. 旋转曲面1. 旋转曲面的定义(参见P312)2. 坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点: 例如: 将yoz 坐标平面内的曲线Ｃ：(,)0f y z = 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面z S 的方程只要将平面曲线Ｃ：(,)0f y z =的方程中的y 代换为z S 的方程为()0f z =．又如: 将zox 坐标平面内的曲线Ｃ：(,)0g x z =绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面x S 的方程只要将平面曲线Ｃ：(,)0g x z =的方程中的z 代换为，即得旋转曲面x S 的方程为(,0g x =．三. 柱面1.柱面的定义(参见P314)2.四种常见的柱面:①圆柱面222x y a +=;②椭圆柱面22221x y a b +=;③抛物柱面22y px =;④双曲柱面22221x y a b-=3.二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面.例如:方程(,)0f x y =表示的就是一个以xoy 坐标平面内的曲线Ｃ：(,)0f x y =为准线，母线平行于Ｚ轴的柱面．四. 二次曲面1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状2. 掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;例如： 椭圆锥面：22222x y z a b +=的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的a 改成b ，易知方程：22222x y za a+=表示的是一个旋转曲面，且它可以由xoz 平面内的两条对称直线：222x z x az a =⇔=±绕Ｚ轴旋转来生成；进而把此旋转曲面沿y 轴方向伸或缩b a倍，即得椭圆锥面：22222x y z a b +=的形状！§4 空间曲线及其方程一. 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式．设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是某两张曲面的方程，则它们的交线为(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩； 二. 空间曲线的参数方程()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，（有关定义参见Ｐ３２０）三. 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见Ｐ３２３） 四. 二个三元方程联立消元的几何意义联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程． 例如：试求球面2229xy z ++=与平面1x z +=的交线在xoy 坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？解：即需求空间曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩，向xoy 坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程．为此，只要在上述方程组中消去变量Ｚ，得222(1)9xy x ++-=即为所需求的投影柱面的方程，而上述空间曲线向xoy坐标面的投影曲线的方程为222(1)90x y x z ⎧++-=⎨=⎩．§5平面及其方程一. 平面的点法式方程 设某平面过一定点0000(,,)M x y z 且以{,,}nA B C =为其法向量，则所求平面的点法式方程为：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=二. 平面的一般式方程：0Ax By Cz D +++= （应知此平面是以向量{,,}nA B C =为其法向量的某一张平面）三. 平面的截距式方程：1x y za b c++=； 数值,,a b c 分别称为该平面在Ｘ，Ｙ，Ｚ轴上的截距．四. 两个平面的夹角两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）． 五. 点到面的距离公式设0000(,,)P x y z 是空间中的任意一点，记其到平面π：0Ax By Cz D +++=的距离为d ，则d=．§6 空间直线及其方程一. 空间直线的一般方程(或称交线式方程)：111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩．二. 空间直线的点向式方程(或称对称式方程)：000x x y y z z m n p ---==．三. 空间直线的参数式方程 由空间直线的点向式方程：000x x y y z z t m n p ---==，得000x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩此即为该直线的参数式方程；四. 空间直线的两点式方程 设有直线过两点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z ，则此直线的两点式方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---． 五. 两直线的夹角两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）．六. 直线与平面的夹角（定义参见Ｐ３３３）七. 平面束的方程及其在解题中的运用１．所谓＂平面束＂就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得．具体地说，若设直线Ｌ的方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，其中系数111,,A B C 与222,,A B C 不成比例， 则以直线Ｌ为轴的平面束的方程为：11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D αβ+++++++=． （注：不同位置的平面对应于不同的参数,αβ的取值．）２．平面束的概念在解题中的运用 例１：参见Ｐ３３５例７．例２：Ｐ３３６．８．求过点(3,1,2)P -且过直线Ｌ：43521x y z -+==的平面方程？ 解：由直线Ｌ的对称式：43521x y z -+==，得直线Ｌ的一般式方程为25230230x y y z --=⎧⎨-+=⎩， 从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：(2523)(23)0x y y z αβ--+-+=．（其中,αβ为待定系数！）．．．．．．．．（１）现由点(3,1,2)P -在此平面上，所以应有(235123)[12(2)3]0αβ⋅-⋅-+⋅-⋅-+=，解得 /11/4βα=． 最后，将此值代入方程（１）即得所需求的平面方程．八．点到直线的距离公式设点0000(,,)M x y z 是直线Ｌ外一点，s 是直线Ｌ的方向向量且点(,,)M x y z 是直线Ｌ上任意一点，则点0000(,,)M x y z 到直线Ｌ的距离ｄ的计算公式为：0||||M M s d s ⨯=（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！） 九．直线与平面的位置关系―――线与面的位置关系有如下四种：①线在面内；②线面平行；③线面垂直；④线面斜交． 现设直线Ｌ的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，则有如下结论：１．线在面内：L s n π⊂⇔⊥且000(,,)A x y z L ∃∈但000(,,)A x y z π∉； ２．线面平行：Ls n π⇔⊥，000(,,)A x y z L ∃∈且000(,,)A x y z π∈； ３．线面垂直：L s n π⊥⇔； ４．线面斜交：L π⊥不成立s n ⇔不成立；十．本章有关的一些解题技巧１．求交点类问题： 在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些．例如：试求直线Ｌ：234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点？ 解：易知直线Ｌ的参数为2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，将其代入平面260x y z ++-=的方程，得2(2)(3)(24)60t t t +++++-=，解得1t=-，进而知交点的坐标为(1,2,2)．２．求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解． 例如：Ｐ３３６．１３．求点(3,1,2)P -到直线Ｌ：10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离ｄ＝？ 解：直线Ｌ：10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩1010233011x y z x y z y z x x x +-+=+-+=+=⎧⎧⎧⇔⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎩， 120011x y z -+-⇔==12x y t z t =⎧⎪⇔=-⎨⎪=⎩； 设点Ｍ为直线Ｌ上的一动点其坐标可设为(1,2,)M t t -，则有22222239||(13)(21)(2)2692()22MP t t t t t =-+-++-=-+=-+， 知当32t =时，距离3d=|MP|=213(1,2,)(1,,)22M t t -=-． ―――(注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)３．已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路．例如：Ｐ３３６．１１．求过点(1,2,1)A 而与直线1210:10x y z L x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和220:0x y z L x y z -+=⎧⎨-+=⎩都平行的平面方程？分析：现已知平面上一点(1,2,1)A ，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程．解： 记这两条直线的方向向量分别为12,n n ，而所以平面的法向量设为n ，则由1{1,2,1}{1,1,1}{1,2,3},n =-⨯-=--2{2,1,1}{1,1,1}{0,1,1}n =-⨯-=--，进而12{1,1,1}n n n =⨯=--，所以所求平面的方程为：(1)(2)(1)0x y z --+---=．。

高数下册总结篇一：高数下册总结高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程ypy??qy?f(x)的特解y?的形式为：主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求z?x时，应将y看作常量，对x求导，在求z?y时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设z?f?u,v?，ux,y?，vx,y?，则z?xz?uu?xz?vv?xz?yu?yz?vv?y几种特殊情况：1）z?f?u,v?，ux?，vx?，则2）z?f?x,v?，vx,y?，则z?xdzdxf?vdzduu?xz?vdvdxv?yf?xv?x，z?yf?u3）z?f?u?，ux,y?则3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况z?xdzdu，z?ydzduu?y设z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则z?xfxfz0?，z?yfyfzfz0?或者视z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出2）方程组的情况 ?z?x(或z?y).f?x,y,u,v??0?z?z)即可. 由方程组?两边同时对x(或y)求导解出(或x?y??gx,y,u,v?0 ?二、全微分的求法方法1：利用公式du?u?xdx?u?ydy?dz方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zduu?dz??z?dx??x??z?v?z?ydvdy三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法xt?1）设空间曲线г的参数方程为?yt?，则当t?t0时，在曲线上对应点zt??p0?x0,y0 ?,z0?处的切线方向向量为tt0?,?t0?,??t0??，切线方程为x?x0t0?y?y0t0?z?z0t0?法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??02）若曲面?的方程为f?x,y,z??0，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量n?fx,fy,fzp0，切平面方程为fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为x?x0fx?x0,y0,z0?y?y0fy?x0,y0,z0?z?z0fz?x0,y0,z0?若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0z?z0??0 法线方程为x?x0fx?x0,y0?y?y0fy?x0,y0?z?z0?1四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fyx,y??0，解出驻点?x0,y0，记a?fxxx0,y0，b?fxyx0,y0，c?fyyx0,y0?.2c?b1）若a?0，则f ?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当a?0时有极大值，当a?0时有极小值.2）若ac?b2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值. 3）若ac?b20，不能判定fx,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.2 条件极值的求法函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数f?x,y??f?x,yx,y?，其中?为参数，解方程组篇二：高数下册总结(同济第六版)高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程ypy??qy?f(x)的特解y的形式为：主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运?x?y用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设z?f?u,v?，ux,y?，vx,y?，则z?z?u?z?v?z?z?u ?z?v，???? ?x?u? x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：1）z?f?u,v?，ux?，vx?，则2）z?fdzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?vx,v?，vx,y?，则?x??x??v??x，z?fz?f?v?? ?y?u?y 3）z?f?u?，ux,y?则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况zdz?u?zdz?u， ?xdu?x?ydu?y设z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则f?zxxfzfzz0?， ??yfyfzfz0?或者视z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出2）方程组的情况由方程组?z?z(或). ?x?y ?f?x,y,u,v??0?z? z两边同时对x(或y)求导解出(或)即可.x?y?g?x,y,u,v?? 0二、全微分的求法方法1：利用公式du?u?u?udx?dy?dz ?x?y?z方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：z??zdu?dv??v??udz??z?z?dx?dyyx三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法xt?1）设空间曲线г的参数方程为?yt?，则当t?t0时，在曲线上对应点zt??p0?x0,y0,z0?处的切线方向向量为tt0?,??t0?,??t0?，切线方程为x?x0y?y0z?z0t0?t0?t0法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程为f?x,y,z??0，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量n??fx,fy,fz?p0，切平面方程为fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为x?x0y?y0z?z0fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0z?z0??0 法线方程为x?x0y?y0z?z0fxx0,y0fyx0,y0?1四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出驻点?x0,y0?，记a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a时有极小值.2）若ac?b2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.220，则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当a?0时有极大值，当a?02 条件极值的求法函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数f?x,y??f?x,yx,y?，其中?为参数，解方程组篇三：高数下册公式总结第八章向量与解析几何- 2 -- 3 -第十章重积分- 4 -- 5 -第十一章曲线积分与曲面积分- 6 -篇四：高数下册积分方法总结积分方法大盘点现把我们学了的积分方法做个大总结。

期末高数下册知识总结本文将对高等数学下册的知识进行总结，主要分为以下几个部分：空间解析几何、多元函数与偏导数、重积分、无穷级数与幂级数、常微分方程五个部分。

一、空间解析几何（平面与直线、空间曲线与曲面、空间直角坐标系下的曲线与曲面）空间解析几何是指在空间情形下分析和研究几何形体、几何运动、数学方程和几何方程之间的联系的一门数学学科。

学习空间解析几何可以帮助我们理解空间形体之间的关系以及其运动规律。

1.平面与直线- 平面方程：点法式、一般式、截距式、两平面交线、平面与平面垂直、平行关系- 直线方程：点向式、两点式、一般式、向量叉乘、直线与直线垂直、平行、斜率、角度的概念与求解2.空间曲线与曲面- 空间曲线的方程：参数方程、一般方程- 空间曲面的方程：二次曲面、旋转曲面、柱面、锥面的方程3.空间直角坐标系下的曲线与曲面- 参数方程下的曲线计算：弧长、速度、加速度、切线、法平面、法线- 参数化的曲面计算：一类曲面的面积、体积、切平面、切向量二、多元函数与偏导数多元函数是指具有多个自变量的函数，偏导数是研究多元函数对其中一个自变量求导数的方法。

学习多元函数与偏导数可以帮助我们更加深入地了解多元函数的性质和变化规律。

1.多元函数的极限- 多元函数极限的定义与性质- 极限存在的条件与计算- 多元函数极限与连续函数2.多元函数的偏导数- 偏导数的定义与性质- 高阶偏导数的计算与应用- 隐函数的偏导数3.多元函数的微分与全微分- 多元函数的微分定义与性质- 链式法则与全微分的计算4.多元函数的方向导数与梯度- 方向导数的概念与计算- 梯度的概念与计算- 梯度的几何意义5.多元函数的极值与最值- 多元函数的极值的判定与求解- 条件极值的求解- 二次型的矩阵表示与规范形三、重积分重积分是对多元函数在给定区域上的积分，通过重积分可以计算出在多元函数定义的区域上的一些量的总和。

1.二重积分- 二重积分的概念与性质- 直角坐标系下的二重积分的计算- 极坐标系下的二重积分的计算2.三重积分- 三重积分的概念与性质- 柱坐标系下的三重积分的计算- 球坐标系下的三重积分的计算3.坐标变换与积分- 坐标变换的概念与方法- 二重积分与三重积分的坐标变换4.重积分的应用- 质量、重心、质心的计算- 总质量与平均密度的计算- 转动惯量与转动半径的计算四、无穷级数与幂级数无穷级数是指所含项的个数为无穷多个的数列之和，幂级数是指形如∑\(a_n(x-a)^n\)的形式的级数。

高等数学(下)知识点总结[汇编]
1.常微分方程：常微分方程是涉及未知函数在某个函数域内的导数与该未知函数自身
的关系的方程。

在常微分方程的解法中，可以使用分离变量法、齐次法等方法求解。

同时，也需要掌握一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、高阶线性微分方程等方程的解法。

3.多元函数微积分学：多元函数微积分学是研究多元函数的微积分理论及其应用的学科。

在多元函数微积分学的知识点中，需要掌握多元函数的极限、连续性、偏导数、方向
导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的积分等内容。

4.向量代数与空间解析几何：向量代数与空间解析几何是研究向量相关理论及其在空
间解析几何中的应用的学科。

在向量代数与空间解析几何的知识点中，需要掌握向量的基
本运算、向量的数量积与向量积、直线及平面的方程、空间曲面方程等内容。

6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是利用数值方法求解常微分方程的
近似解。

其中，欧拉法、龙格-库塔法等是常用的数值解法。

掌握常微分方程的数值解法
有利于在实际问题中应用数学知识进行求解。

以上就是高等数学下学期的知识点总结。

对于学习这门学科的学生来说，掌握以上知
识点是非常重要的，可以帮助他们更好地应对考试和实际问题的求解。

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。

大一高数下知识点总结详细大一的下学期，高等数学课程内容较为深入，学生们需要掌握更多的数学知识点。

以下是对大一高数下学期的知识点总结，帮助学生们回顾和巩固所学内容。

1. 极限与连续- 函数极限的概念和性质- 常见函数的极限计算- 无穷小量和无穷大量- 连续函数的定义和性质- 已知导函数求原函数2. 导数与微分- 导数的定义和性质- 基本的导数公式- 高阶导数与高阶微分- 隐函数的求导法则- 参数方程的求导法则3. 微分中值定理与导数应用- 罗尔定理与拉格朗日中值定理 - 洛必达法则与洛必达不定式计算 - 反函数求导法则- 曲线的凹凸性和拐点- 最值问题的求解4. 不定积分- 不定积分的定义和性质- 基本的不定积分公式- 换元法和分部积分法- 有理函数的积分- 特殊函数的积分计算5. 定积分- 定积分的概念和性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 平均值定理和积分中值定理 - 定积分的几何应用- 参数方程下的弧长与曲线面积6. 微分方程基础- 微分方程的定义和基本概念 - 一阶常微分方程求解- 可分离变量方程和齐次方程 - 二阶线性常微分方程- 常系数线性常微分方程7. 多元函数与偏导数- 多元函数的定义和性质- 偏导数的概念及其计算- 隐函数求导与全微分- 多元函数的极值与条件极值 - 二重积分的概念和计算8. 重积分- 三重积分的概念和计算- 坐标变换与重积分的应用 - 曲线曲面的面积和体积- 重积分的物理应用- 广义积分的概念和收敛性9. 空间解析几何- 点、向量及其运算- 点线面的关系- 平面与直线的位置关系- 空间曲线与曲面- 曲线与曲面的参数方程以上是大一高数下学期的主要知识点总结，希望对广大大一学生有所帮助。

通过复习和掌握这些知识点，相信你将能够顺利应对考试，并打下坚实的数学基础。

加油！。

大一高数下册知识点手写在大一的高等数学课程中，下册的知识点是我们学习的重点。

本文将对下册知识点进行手写总结，以帮助同学们更好地学习和复习。

一、导数与微分1. 导数的概念与几何意义- 定义：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。

- 几何意义：导数可以表示曲线的切线斜率，切线斜率越大，曲线变化越快。

2. 导数的计算方法- 基本求导法则：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

- 特殊函数的导数：反函数、复合函数的导数计算方法。

3. 微分的概念与应用- 定义：微分是描述函数在某一点附近的线性近似。

- 应用：微分可以用于近似计算和误差估计，也可以用于优化问题的求解。

二、定积分与不定积分1. 定积分的概念与几何意义- 定义：定积分是函数在给定区间上的积分，表示曲线与坐标轴之间的有限面积。

- 几何意义：定积分可以用于计算曲线下的面积、弧长、质量等。

2. 定积分的计算方法- 基本计算法则：分割求和法、不定积分法。

- 特殊函数的定积分：反函数、复合函数的定积分计算方法。

3. 不定积分与原函数- 不定积分的定义和基本性质。

- 原函数的概念和求解方法。

三、微分方程1. 常微分方程的定义与分类- 定义：常微分方程是含有一或多个未知函数及其导数的方程。

- 分类：一阶常微分方程、二阶常微分方程等。

2. 解微分方程的基本方法- 可分离变量法：将方程进行变形，使得未知函数和自变量可以分离，再进行积分求解。

- 齐次方程法：对方程进行适当的变换，使其具备齐次性质，然后进行代换求解。

- 一阶线性微分方程法：将方程化为一阶线性微分方程形式，利用积分因子求解。

- 高阶线性方程的通解求解方法。

四、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质- 定义：多元函数是含有多个自变量和一个因变量的函数。

- 性质：定义域、值域、奇偶性、周期性等。

2. 偏导数的概念与计算方法- 定义：偏导数是多元函数在某一点上关于某个自变量的变化率。

大一高数知识点总结下册在大一学习高等数学过程中，我们接触到了许多重要的知识点，这些知识点对于我们的数学基础和后续学习都非常重要。

下面将对大一高数下册的知识点进行总结和梳理。

1. 多元函数及其极限- 多元函数的概念和表示方法- 极限的定义和性质- 多元函数的连续性与间断点- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值2. 重积分- 二重积分的概念和性质- 二重积分的计算方法（直角坐标系和极坐标系）- 三重积分的概念和性质- 三重积分的计算方法（直角坐标系和柱面坐标系）3. 曲线与曲面积分- 曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和性质- 参数方程下曲线积分的计算- 参数化曲面下曲面积分的计算4. 傅里叶级数- 傅里叶级数的基本概念和性质 - 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数展开和求和的方法 - 傅里叶级数在实际问题中的应用5. 偏微分方程- 偏微分方程的基本概念和分类 - 线性偏微分方程的一般解法- 热传导方程和波动方程的解法 - 边值问题和特征线法以上五个部分是大一下学期高等数学的重点内容，通过对这些知识点的学习，我们可以建立起良好的数学思维和方法论。

同时，我们也可以将这些知识应用到其他学科中，例如物理、工程等领域。

在学习这些知识点的过程中，我们需要掌握基本的概念和定义，理解其背后的思想和原理，并学会运用相应的公式和方法进行计算和推导。

同时，我们还需要通过大量的习题和练习来加深对这些知识点的理解和掌握。

为了更好地学习高等数学，我们可以采取以下几点策略：1. 注重基础知识的理解。

高等数学是建立在基础数学知识之上的，因此我们要确保自己对基础知识的理解扎实。

2. 多做习题，提高解题能力。

通过大量的练习可以巩固知识，提高解题的速度和准确度。

3. 学会思考与总结。

高等数学不仅仅是机械的计算，更需要我们发散思维，运用所学知识解决实际问题。

4. 多与同学交流与合作。

相互讨论、互相帮助是提高数学能力的重要途径。

总之，大一高数下册的知识点是我们数学学习中的关键内容，掌握这些知识点对于我们的数学基础与日后的学习发展至关重要。

大一高数下知识点总结归纳大一的高数下学期是许多学生的首次接触到高等数学的专业课程。

这门课程通常包含了微积分的基础知识和一些简单的微分方程。

在这篇文章中，我将对大一高数下的一些重要知识点进行总结和归纳。

1. 导数与微分
- 导数的定义和计算方法
- 导数的几何意义和物理意义
- 微分的定义和计算方法
- 微分的应用：局部线性化、近似计算等
2. 函数的极限
- 极限的概念和性质
- 无穷小量和无穷大量
- 极限的计算方法：夹逼准则、洛必达法则等
- 极限存在的判定方法
3. 连续函数
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
- 间断点和间断函数的分类和性质
4. 导数的应用
- 极值与最值问题：闭区间最值定理、开区间最值定理等
- 切线与法线方程
- 函数的单调性与凹凸性
- 曲线的凹凸性与拐点
5. 微分方程
- 微分方程的概念和基本解
- 可分离变量方程、一阶线性常微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程的解法
- 变量可分离和齐次线性微分方程的应用
6. 级数
- 级数的概念和收敛性
- 常见级数收敛性的判定方法：比值判别法、根值判别法等 - 幂级数和泰勒级数的应用
以上仅是大一高数下课程的一些主要知识点，每个知识点都需要深入学习和理解。

在学习过程中，建议大家多做习题和实践操作，加深对概念和方法的理解。

此外，及时和老师或同学交流讨论问题，相互学习和进步。

通过对这些知识点的总结和归纳，相信大家对于大一高数下的内容有了更清晰的了解。

希望本文对你的学习有所帮助，祝愿大家在高数课程中取得优异的成绩！。

高等数学下知识点总结高等数学是大学阶段的一门重要课程，它是数学的一个重要分支，也是理工科学生必修的一门课程。

高等数学下学期的内容相对较为复杂，包括微分方程、多元函数微积分、无穷级数等知识点。

下面我们将对高等数学下知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

1. 微分方程。

微分方程是研究函数的微分和积分的关系的数学分支，它在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。

微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类，常微分方程是指未知函数的自变量只有一个自变量的微分方程，而偏微分方程是指未知函数的自变量有两个或两个以上的微分方程。

在学习微分方程时，需要掌握常微分方程的解法、一阶线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等内容。

2. 多元函数微积分。

多元函数微积分是高等数学下的重要内容，它是对多元函数的微分和积分进行研究。

在学习多元函数微积分时，需要了解多元函数的极限、偏导数、全微分、多元函数的微分法、多元函数的积分计算等知识点。

同时，还需要掌握多元函数的梯度、散度、旋度等概念，这些知识对于理解物理、工程等领域的问题具有重要意义。

3. 无穷级数。

无穷级数是指由无穷多项式组成的级数，它在数学分析、实变函数等领域有着重要的应用。

在学习无穷级数时，需要了解级数的收敛性、级数的性质、级数的审敛法等内容。

同时，还需要掌握级数的收敛域、幂级数、傅立叶级数等知识点，这些知识对于理解物理、信号处理等领域的问题具有重要意义。

4. 空间解析几何。

空间解析几何是高等数学下的一门重要课程，它是对空间中点、直线、平面等几何对象进行研究的数学分支。

在学习空间解析几何时，需要了解空间中直线和平面的方程、空间曲线的参数方程、空间曲面的方程等知识点。

同时，还需要掌握空间中直线和平面的位置关系、空间曲线的切线、法平面等内容，这些知识对于理解三维空间中的几何关系具有重要意义。

总之，高等数学下的知识点涉及到微分方程、多元函数微积分、无穷级数、空间解析几何等内容，这些知识对于理解和应用数学具有重要意义。

大一下高数笔记
以下是一份大一下学期高等数学笔记的示例，主要内容包括导数、微积分、线性代数和微分方程等方面的知识点。

高等数学笔记
一、导数与微分
1. 导数的定义：导数描述了函数值随自变量变化的速率。

2. 导数的计算：基本初等函数的导数公式，链式法则，乘积法则，商的导数公式等。

3. 微分的概念：微分是函数在某点的局部线性逼近。

4. 微分的计算：基本初等函数的微分公式，链式法则，乘积法则，商的微分公式等。

二、微积分基本定理
1. 积分的基本性质：积分区间可加性，函数值的性质等。

2. 微积分基本定理：定积分可表示为某个函数的原函数在积分上下限处的函数值之差。

三、线性代数
1. 向量与矩阵的基本概念：向量的加法、数乘、向量的模等；矩阵的加法、数乘、矩阵的乘法等。

2. 行列式：行列式的定义、性质、计算方法等。

3. 矩阵的逆与行列式的关系：一个矩阵的逆矩阵与其行列式值的关系。

4. 线性方程组：线性方程组的解法，包括高斯消元法、行变换法等。

四、微分方程
1. 微分方程的基本概念：定义、类型等。

2. 一阶微分方程：可分离变量的一阶方程、线性方程、一阶隐式方程等。

3. 二阶常系数线性微分方程：特征方程、通解公式等。

4. 微分方程的应用：物理、工程等领域中的应用实例。

以上是一份大一下学期高等数学笔记的示例，可以根据自己的学习情况适当增减内容。

在记笔记时，注意保持清晰的结构和条理，以便于后续复习和巩固。

大一高数下册知识点归纳总结高等数学是大学理工科专业中的一门基础课程，也是学习数学的重要一环。

下面将对大一高数下册的知识点进行归纳总结，以便帮助同学们更好地掌握和复习这些内容。

一、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算：- 向量的定义与表示方法- 向量的模、方向及单位向量- 向量的加法、减法和数量乘法- 向量的数量积和向量积运算2. 空间直线与平面：- 点、直线、平面的基本概念- 直线的方程与相关性质- 平面的方程与相关性质二、多元函数与极限1. 多元函数的定义和性质：- 多元函数的定义与表示- 多元函数的极限和连续性2. 偏导数与全微分：- 偏导数的概念与计算方法 - 高阶偏导数与混合偏导数 - 全微分的定义与计算3. 多元函数的导数与微分：- 方向导数与梯度- 多元复合函数的导数与微分4. 隐函数与参数方程的微分： - 隐函数的导数计算- 参数方程的微分计算三、微分学应用1. 函数的极值与最值问题：- 极值的判定条件与计算方法 - 条件极值问题2. 函数的曲率与凹凸性：- 曲率的概念与计算方法- 凹凸性的判定条件与计算方法3. 泰勒展开与函数的近似计算： - 泰勒展开的定义与计算- 数值微分与数值积分的应用四、重积分与曲线积分1. 重积分的概念与计算：- 二重积分的定义与计算方法 - 三重积分的定义与计算方法2. 重积分的应用：- 质量、质心与转动惯量的计算 - 重心与形心的计算3. 曲线积分的概念与计算：- 第一类曲线积分的定义与计算 - 第二类曲线积分的定义与计算4. 曲线积分的应用：- 曲线长度与质量的计算- 流量与环量的计算五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：- 常微分方程的定义与分类- 初值问题与解的存在唯一性2. 一阶常微分方程的解法：- 可分离变量的方程- 齐次方程与恰当方程- 线性方程3. 高阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程与常系数线性方程- 非齐次线性方程4. 常微分方程的应用：- 弹簧振动与电路分析- 生物学问题与经济学模型通过以上对大一高数下册知识点的归纳总结，我们可以更好地理解和回顾这些内容，为今后的学习打下坚实的基础。

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6）抛物柱面：ay x =2 （二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

大一下高数知识点总结高等数学（简称高数）是大学数学的一门重要基础课程，对于学习理工科专业及相关领域具有重要的意义。

下面将对大一下学期高数的知识点进行总结，以帮助同学们对该学科进行更深入的了解和掌握。

一、微分学1. 函数与极限函数的定义、数列极限、函数极限的性质和计算方法、无穷小量与无穷大量、L'Hospital法则等。

2. 导数与微分函数的导数概念、导数的性质和计算方法、高阶导数、隐函数与参数方程求导、微分的概念与计算方法等。

3. 导数应用函数的极值与最值、曲线的凹凸性与拐点、函数图像的绘制、泰勒公式与泰勒展开、微分中值定理与导数的应用等。

二、积分学1. 不定积分基本积分表、换元积分法、分部积分法、有理分式的积分、凑微分法、特殊函数的积分等。

2. 定积分定积分的定义与性质、定积分的计算方法、变上限积分、定积分的应用等。

3. 微积分基本定理牛顿－莱布尼茨公式、反常积分、广义积分等。

4. 微积分的应用长度、曲线和曲面的面积、体积、物理应用（质心、转动惯量）、反问题等。

三、级数与多项式近似1. 数项级数概念与性质、收敛级数与发散级数、常见级数的判敛法、幂级数与函数展开等。

2. 泰勒展开函数的泰勒展开、常用函数的泰勒展开式、泰勒级数收敛域的判断等。

四、常微分方程1. 一阶常微分方程可分离变量的微分方程、一阶齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程、可降阶的高阶方程等。

2. 高阶常微分方程高阶线性常微分方程、常系数齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程、欧拉方程等。

总结完毕。

通过对大一下高数知识点的总结，可以帮助学生们回顾复习已学知识，巩固基础，为进一步学习数学课程打下坚实的基础。

同时，也提醒同学们高数知识的重要性，希望同学们能够在学习中保持积极的态度，勤于思考，灵活运用所学知识。

只有不断地理解和实践，才能真正掌握高数这门学科，为今后的学习和科研打下坚实的数学基础。