不等式组方案设计【不等式组型方案设计题例析】

12月29日家庭作业姓名：1、2011年我国云南盈江发生地震，某地民政局迅速地组织了30吨饮用水和13吨粮食的救灾物资，准备租用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装饮用水5吨和粮食1吨，乙型货车每辆可装饮用水3吨和粮食2吨.已知可租用的甲种型号货车不超过4辆。

(1)若一共租用了9辆货车，且救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？(2)若甲、乙两种货车的租车费用每辆分别为4000元、3500元,在(1)的方案中，哪种方案费用最低？最低是多少？(3) 若甲、乙两种货车的租车费用不变,在保证救灾物资一次性运往灾区的情况下，还有没有费用更低的方案？若有，请直接写出该方案和最低费用，若没有，说明理由。

（租车数量不限）2、某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？3、2011年4月28日，以“天人长安，创意自然-----------城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张数为y。

（1）、写出y与x 之间的函数关系式（2）、设购票总费用为W元，求出W（元）与x（张）之间的函数关系式（3）、若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A,B,C三种票的张数。

一元一次不等式(组）应用题类型及解答1.分配问题1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人?。

3、把若干颗花生分给若干只猴子.如果每只猴子分3颗,就剩下8颗；如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗。

问猴子有多少只,有多少颗？4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。

问这些书有多少本？学生有多少人？5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只。

问有笼多少个？有鸡多少只？7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空。

请问：有多少辆汽车?8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人,剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

(1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组:(2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二、比较问题1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。

甲旅行社说如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）①学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式)②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ ③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。

③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。

2、李明有存款600元,王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元，试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款。

不等式建模在实际问题中的应用—设计方案一、问题的提出：自课改以来，青岛市每年中考都会出现方案设计考试题。

大多是联系生活实际的开放题,往往以立意活泼、设计新颖、富有创新意识以生活应用为载体,通过设置一个实际问题情景,给出若干信息,提出解决问题的要求,要求学生运用所掌握的技能和方法,进行设计和操作,寻求恰当的解决. 平日的教学给老师提出更高的要求。

结合平日教学，教师往往多给学生锻炼的机会，让学生多读题、审题、讨论，在读懂题意的基础上，让学生要弄清题意,根据题意准确地写出表达各种量的代数式,建构恰当的不等式（组）模型,求出未知数的取值范围,利用未知数的整数解,结合实际问题确定方案设计的种数,从而得出方案.二、模型的创建：模型一、一般的方案设计方案设计的问题往往是在结果出现多种情况下产生，需要根据实际情况和问题的具体情景考虑。

青岛市某区为武汉疫情地区进行募捐，共募捐到蔬菜100吨，水果56吨。

现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往武汉，已知一辆甲种货车同时可装蔬菜20吨、水果6吨；一辆乙种货车同时可装蔬菜8吨、水果8吨，将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？分析：此题中并没有可以体现不等关系的关键词。

但是通过我们的分析我们可以明确题目中隐含的两个不等关系：甲种货车装运蔬菜量+乙种货车装运蔬菜量 100甲种货车装运水果量+乙种货车装运水果量 56解：设租用了甲种火车x辆，则乙种火车（8-x）辆根据题意可得： 20x+8(8-x) 1006x+8(8-x) 56解得： 4 x 3因为x是整数，所以x=3、4所以共有2种设计方案。

分别为：租用甲种火车3辆，乙种货车4辆…租用甲种火车4辆，乙种货车4辆模型二、最优的方案设计所谓的“最优购买方案”即是要明确当实付款在不同的范围内在哪家购买商品相应数值较少，从而确定相应的购买方案。

小明同学用的圆珠笔可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买，已知两家超市的标价都是2元一支，但两超市的优惠条件不同，分别是：甲超市：购买80支以上，从第81支开始按标价的80%卖出；乙超市：购买50支以上，从第51支开始按标价的85%卖出问：你能帮小明同学设计一个购买方案吗？这个问题中由于甲超市的优惠方案是购物满80元后，再购买的商品按原价的80%收费，而乙超市的优惠方案是购物满50元后，再购买的商品按原价的85%收费。

用不等式（组）模型解决现实生活中的方案设计问题摘要：从日常生产生活实践情况来看，不等关系较为常见，包括方案设计、利润优化、活动安排等等，用不等式（组）模型解决生活中的数学问题，体现了学以致用的教育思想，也是近年来中考数学改革的关注点之一。

本文以生活中的方案设计问题为例，结合不同类型的题目探讨不等式（组）模型的应用策略。

关键词：中考数学；不等式（组）模型；生活化问题；方案设计初中阶段的数学课程中，不等式（组）的应用作为重难点内容，也是多年来中考数学的必考内容之一。

基于学以致用的教学视角出发，关于不等式（组）的数学题目，除了最基本的求解以外，很多情况下还结合生活中的实际案例，要求学生计算不等式（组）中系数、代式的值，或者求系数的取值范围等等。

为了培养学生解题能力，提高解题效率，基于数学建模思想构建不等式（组）模型，用以解决现实生活中的方案设计问题，综合函数、方程等相关知识，解题效率事半功倍。

1.用不等式（组）模型解决现实生活中的方案设计问题2.1 用不等式（组）模型解决工程方案【例1】某工程队接到一项土方挖掘工程任务，目前工程队有A、B两种型号的挖掘机，收费标准分别为350元/小时和200元/时，如果按照每小时开挖140m³土的标准，需要A型挖掘机2台和B型挖掘机3台；如果按照每小时开挖80m³土的标准，需要A型挖掘机1台和B型挖掘机2台。

请问：①A型挖掘机每小时能挖土多少立方米？②如果需要施工4小时，且挖土量在1360m³以上，一共需要A型挖掘机和B型挖掘机共10台，总成本控制在14000元以内，如何设计方案？最低支出成本是多少？解答这道题目的关键在于设未知数并列不等式组，从题目中确定不等式关系。

解析：①设A型挖掘机每小时挖土x立方米，B型挖掘机每小时挖土y立方米。

则：2x+3y=140m³；x＋2y=80m³。

得出：x=40，y=20。

②再设A型挖掘机m台参加施工，B型挖掘机（10-m）台参加施工，则4［40m+20（10-m）］>1360,350×4m+200×（10-m）<14000解得7得出两种调配方案，A型挖掘机8台、B型挖掘机2台；A型挖掘机9台、B 型挖掘机1台。

不等式（组）应用问题典例四川 蒋成富列一元一次不等式（组）解实际问题在成本核算、方案设计、合理规划等方面应用广泛，也是近年中考的热点。

解决这类问题主要是将实际问题转化为数学问题，寻找实际问题中的不等关系建立不等式（组），再利用有关不等式（组）知识和方法进行求解。

例1 南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区，被国家农业部列为罗非鱼养殖优势区域。

某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产量G （吨）满足：1580≤G ≤1600，总产值为1000万元。

已知相关数据如右表所示：问：该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围？（产值=产量×单价）（广西南宁市中考题）分析：本题是不等式组在养殖产区产量决策中的应用。

只需依据题中已知的不等关系“1580≤G ≤1600”建立符合题意的不等式组即可解决。

解：设该养殖场下半年罗非鱼的产量为x 吨。

由题意得1580≤x+8504501000.x.-≤1600。

解得857.5≤x ≤900。

答：该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在857.5吨至900吨的范围内。

评注：解题关键在于正确理解“1580≤G ≤1600”，寻找变量之间的关系，并建立不等式（组）模型，通过解决数学问题，进而解决实际问题。

例2 双蓉服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若购进A 种型号的服装9件，B 种型号的服装10件，需要1 810元；若购进A 种型号服装12件，B 种型号服装8件，需要1 880元。

（1）求A 、B 两种型号的服装每件分别为多少元？（2）若销售1件A 型服装可获利18元，销售1件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A 型服装的数量要比购进B 型服装数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货。

（2005年哈尔滨市中考题）分析：此题为购货方案的决策应用题，其数量多、关系复杂，但只要认真审题，将数量关系归类分析，就不难找到相等与不等关系。

不等式组帮你设计方案山东 史瑞良运用不等式(组)设计方案,是近年中考的一大热点.下面就以08年中考题为例说明此类问题的一般解法.一、设计运输方案例1 (08年资阳）惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后,某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资,准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨,乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨,但由于时间仓促,只招募到9名长途驾驶员志愿者.(1) 3名驾驶员开甲种货车,6名驾驶员开乙种货车,这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？(2)要使救灾物资一次性地运往灾区,共有哪几种运货方案？ 解析:(1) 因为3×5+6×3=33＞30,3×1+6×2=15＞13,所以3名驾驶员开甲种货车,6名驾驶员开乙种货车,这样能将救灾物资一次性地运到灾区．(2) 设安排甲种货车x 辆,则安排乙种货车(9–x )辆.由题意,得53(9)30,2(9)13.x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩解得：1.5≤x ≤5. 注意到x 为正整数,所以x =2,3,4,5.所以安排甲、乙两种货车方案共有下表4种:方案1:甲车2辆,乙车7辆;方案2: 甲车3辆,乙车6辆;方案3: 甲车4辆,乙车5辆;方案4: 甲车5辆,乙车4辆.温馨提示:本题没有明显的不等关系,应注意挖掘隐含条件:甲、乙两种货车所运食物的重量和不少于30吨,所运衣物的重量和不少于13吨.由此可列出不等式组.二设计生产方案例2 (08年佳木斯)某工厂计划为震区生产A B ，两种型号的学生桌椅500套,以解决1250名学生的学习问题,一套A 型桌椅(一桌两椅)需木料30.5m ,一套B 型桌椅(一桌三椅)需木料30.7m ,工厂现有库存木料3302m . (1)有多少种生产方案？(2)现要把生产的全部桌椅运往震区,已知每套A 型桌椅的生产成本为100元,运费2元;每套B 型桌椅的生产成本为120元,运费4元,求总费用y (元)与生产A 型桌椅x (套)之间的关系式,并确定总费用最少的方案.(总费用=生产成本+运费)解析:(1)本题隐含的不等关系:生产500套桌椅所用木料不超过3302m ;两种型号的椅子总数不少于1250.为此 设生产A 型桌椅x 套,则生产B 型桌椅(500)x -套,由题意得0.50.7(500)30223(500)1250x x x x +⨯-⎧⎨+⨯-⎩≤≥. 解得240250x ≤≤.因为x 是整数,所以有11种生产方案(2)(1002)(1204)(500)2262000y x x x =+++⨯-=-+因为-22<0,y 随x 的增大而减少．所以当250x =时,y 有最小值．所以当生产A 型桌椅250套、B 型桌椅250套时,总费用最少,是26500元.温馨提示:解决此类问题的关键是找准问题中的不等关系,列出不等式(组),然后通过解所列不等式(组),求出未知数的整数解,再运用一次函数的增减性选择最优.。

不等式（组)的应用——方案问题一．解答题（共12小题）1．（2014•舟山)某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．(2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？2．（2014•台湾)小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同,分给工作人员，预定每人分15颗,会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗,但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．3．(2014•湘潭)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万元/台) 12 10月污水处理能力（吨/月) 200 160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1)该企业有几种购买方案？(2）哪种方案更省钱，说明理由．4．（2014•南宁)“保护好环境,拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？5．（2014•福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．(1）求A，B两种商品每件各是多少元?(2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元,问有几种购买方案，哪种方案费用最低？6．(2014•齐齐哈尔）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元,且生产B产品不少于38件,问符合生产条件的生产方案有哪几种？(3)在（2）的条件下,若生产一件A产品需加工费40元,若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）7．（2014•黄石）某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）种植户玫瑰花种植面积（亩）蓑衣草种植面积（亩）卖花总收入（元）甲 5 3 33500乙 3 7 43500（1)试求玫瑰花,蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？(2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草,根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花的种植面积均为整数亩)，花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元;超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元;超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？8．(2014•开封二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）15 35售价(元/件）20 45(1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．9．（2014•道里区三模)我市为创建全国卫生城市，有关部门计划购买甲、乙两种名贵树苗，栽种在入城大道的两侧，已知买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元；买甲种树苗3棵，乙种树苗1棵共需420元，资料提示：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．(1）购买两种树苗每棵各需多少元；（2）市相关部门研究决定:购买甲、乙两种树苗共800棵，购买树苗的钱数不得超过86500元，且这批树苗的成活率不低于92％，共有多少种购买方案？（3）直接写出最省钱的购买方案及此时买树苗的费用．10．(2014•昌宁县二模)某商店欲购进甲、乙两种商品，已知购进的甲商品的单价是乙商品的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．(1）求购进的这两种商品的单价．（2）该商店有哪几种进货方案？11．(2014•牡丹江一模)为响应“大课间”活动，某学校准备购买棒球和篮球共200个,已知棒球每个55元，篮球每个95元，学校计划至少投入资金18200元，但不多于18300元．（1）学校有多少种购买方案;（2）哪种购买方案使学校投入资金最少?(3）当学校按（2)的方案买回200个球在“大课间”投入使用后，学校领导根据实际情况发现还应同时购买足球和大绳若干，来补充“大课间”活动，所以又投入资金2880元，若每个足球80元，每条大绳30元，则在钱全部用尽的情况下有多少种购买方法,请直接写出购买方法的种数．12．（2014•濮阳一模)某中学计划购买A，B两种型号的课桌凳，已知一套A型课桌凳比一套B型课桌凳少40元,且购买5套A型和1套B型共需1000元．（1）购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需要多少元？（2）学校根据实际情况计划购买A，B两种型号的共100套，且购买课桌凳的总费用不超过18480元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？不等式（组）的应用—-方案问题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2014•舟山)某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？考点：一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元,2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；（2)设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆,则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．解答：解：（1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得．答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；(2）设购买A型车a辆，则购买B型车(6﹣a）辆，则依题意得，解得2≤a≤3．∵a是正整数,∴a=2或a=3．∴共有两种方案:方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．2．(2014•台湾）小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒,于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上(含3颗)．请问所有可能的工作人员人数为何？请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．考点：一元一次不等式组的应用．分析：设该公司的工作人员为x人．则每盒巧克力的颗数是，根据不等关系:每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗,但她仍分到3颗以上(含3颗）,列不等式组．解答：解：设该公司的工作人员为x人．则，解得16＜x≤19．因为x是整数，所以x=17,18，19．答：所有可能的工作人员人数是17人、18人、19人．点评:本题考查了一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系．3．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格(万元/台）12 10月污水处理能力(吨/月）200 160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？（2)哪种方案更省钱,说明理由．考点：一元一次不等式组的应用．专题：应用题．分析：(1)设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号(8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．解答:解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号(8﹣x)台，根据题意,得，解这个不等式组，得：2。

方案设计型问题【考题研究】方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。

【解题攻略】(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．【解题类型及其思路】方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。

所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。

这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。

解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。

【典例指引】类型一【利用不等式（组）设计方案】【典例指引1】光明小区房屋外墙美化工程工地有大量货物需要运输，某车队有载重量为8吨和10吨的卡车共15辆，所有车辆运输一次能运输128吨货物．（1）求该车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的扩大，车队需要一次运输货物170吨以上，为了完成任务，车队准备增购这两种卡车共5辆（两种车都购买），请写出所有可能的购车方案．【举一反三】如果第一次租用2辆A型车和1辆B型车装运水果，一次运货10吨；第二次租用1辆A型车和2辆B型车装水果，一次运货11吨（两次运货都是满载）①求每辆A型车和B型车满载时各装水果多少吨？②现有31吨水果需运出，计划同时租用A型车和B型车一次运完，且每辆车都恰好装满，请设计出有哪几种租车方案？③若A型车每辆租金200元，B型车每辆租金300元，问哪种租车方案最省钱，最省钱的方案总共租金多少钱？类型二【利用方程（组）设计方案】【典例指引2】星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的56，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【举一反三】为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？类型三【利用一次函数的性质与不等式（组）设计方案】【典例指引3】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【举一反三】1.新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：(方案一)降价8%，另外每套房赠送a元装修基金；(方案二)降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；(2)老王要购买第十六层的一套房，若他一次性付清所有房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．2.某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点.从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x吨.（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.【新题训练】1．某化妆品店老板到厂家购A、B两种品牌店化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元.(1)求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？(2)若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套B品牌的化妆品可获利20元，根据市场需求，化妆品店老板决定，购进B品牌化妆品的数量比购进A品牌的化妆品数量的2倍还多4套，且B品牌化妆品最多可购进40套，这样化妆品全部售出后，可使总的获利不少于1200元，问有几种进货方案？如何进货？2．学校准备租用一批汽车去韶山研学，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人.已知1辆甲种客车和3辆乙种客车需租金1320元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1860元.(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元?(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，总费用不超过3360元，则共有哪几种租车方案?3．5.1劳动节，某校决定组织甲乙两队参加义务劳动，并购买队服.下面是服装厂给出的服装的价格表：经调查：两个队共75人（甲队人数不少于40人），如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题：（1）如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省_________.（2）甲、乙两队各有多少名学生？（3）到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调a人，从乙队抽调b人，组成丙队（要求从每队抽调的人数不少于10人），现已知重新组队后，甲队平均每人需植树1棵；乙队平均每人需植树4棵；丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵，请写出所有的抽调方案.4．每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.5．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，已知每部甲种型号的手机进价比每部乙种型号的手机进价多200元，且购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金9600元；(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机共20台进行销售，现已有顾客预定了8台甲种型号手机，且该店投入购进手机的资金不多于3.8万元，请求出有几种进货方案？并请写出进货方案．(3)售出一部甲种型号手机，利润率为30%，乙种型号手机的售价为2520元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元充话费，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求m的值．6．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．7．某公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2600元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2500元，且同一型号汽车每辆租车费用相同.(1)求租用辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若这个公司计划此次租车费用不超过5200元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用，8．今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？9．2019年暑假期间，某学校计划租用8辆客车送280名师生参加社会实践活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为w元．甲种客车乙种客车载客量（人/辆）30 40租金（元/辆）270 320（1）求出w（元）与x（辆）之间函数关系式，并直接写出．．．．自变量x的取值范围；（2）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？10．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示. 根据图中信息，解答下列问题；（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式.（2）求出B点坐标.（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？11．甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x （x＞0）元，让利后的购物金额为y元．（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．12．我区注重城市绿化提高市民生活质量，新建林荫公园计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株12元，乙种树苗每株15元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去10500元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．13．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．14．随着人民生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区16年底拥有家庭轿车640辆，到18年底家庭轿车拥有量达到了1000辆.(1)若该小区家庭轿车的年平均增长量都相同，请求出这个增长率；(2)为了缓解停车矛盾，该小区计划投入15万元用于再建若干个停车位，若室内每个车位0.4万元，露天车位每个0.1万元，考虑到实际因素，计划露天车位数量大于室内车位数量的2倍，但小于室内数量的3.5倍，求出所有可能的方案.15．为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．16．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．17．某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买A、B两种商品共30件，要求购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？（3）若购买A种商品m件，实际购买时A种商品下降了a（a＞0）元，B种商品上涨了3a元，在（2）的条件下，此时购买这两种商品所需的最少费用为1076元，求m的值．18．为了迎接“六•一”儿童节．某儿童运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？该专卖店要获得最大利润应如何进货？方案设计型问题【考题研究】方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。