函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案 (12)

课后跟踪训练(十二)基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定[解析] 若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f (－2)·f (2)<0，否则， f (－2)·f (2)>0，故选D.[答案] D2．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0,1)内连续不断，所以f (x )在区间(0,1)内有一个零点．故选B.[答案] B3．(2018·吉林省实验中学段考)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103[解析] 解法一：当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)<0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2(10－3a )<0， 解得52<a <103；当⎩⎪⎨⎪⎧12<a2<3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52； 当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意； 当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意． 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D.解法二：令f (x )＝0，则a ＝x 2＋1x .令g (x )＝x 2＋1x ， 而g ′(x )＝1－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(x )<0；当x ∈(1,3)时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D. [答案] D[解析] g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点等价于f (x )＝m 有三个不同的根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的公共点．在同一直角坐标系中画出函数y ＝f (x )，y ＝m 的图象(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14<m <0时，两个函数图象有三个不同的公共点．故选C.[答案] C5.(2018·安徽安庆二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故F (x )有2个零点．故选B.[答案] B 二、填空题6．函数f (x )＝ln(2x )－1的零点为________． [解析] 由ln(2x )－1＝0，得2x ＝e ，所以x ＝e2. 故f (x )＝ln(2x )－1的零点为e2. [答案] e27．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎨⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故填(0,3)．[答案] (0,3)8．(2019·山东济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为________．[解析] 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4.[答案] 4 三、解答题9．(2019·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ， (1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.10．(2019·贵州调研)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． [解] (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．能力提升练11．(2019·云南昆明一模)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若函数f (x )，g (x )的零点分别为a ，b ，则有( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 易知函数f (x )，g (x )在定义域上都是单调递增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2＋1>0，所以a ，b 存在且唯一，且a ∈(0,1)，b ∈(1,2)，从而f (1)<f (b )<f (2)，g (0)<g (a )<g (1)，于是f (b )>0，g (a )<0，即g (a )<0<f (b )．[答案] A12．(2019·昆明市高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x <1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5][解析] 解法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e ，由方程f (x )＝2有两个解知，当x <1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x <1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)<0，得a <5，故选C.解法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x <1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，由图象知，要使f (x )＝2有两个解．则a －3<2，得a <5，故选C.[答案] C13．(2019·河南名校联考)已知函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一的零点，则实数m 的值为________．[解析] 由题意，函数f (x )为偶函数，在x ＝0处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为0，则02－m cos0＋m 2＋3m －8＝0，解得m ＝－4或m ＝2.将m ＝－4代入解析式，得f (x )＝x 2＋4cos x －4，分离得两个函数y ＝－x 2＋4，y ＝4cos x ，如图知f (x )存在3个零点，不符合题意，仅m ＝2时f (x )存在唯一零点．[答案] 214．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．[解] (1)作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(1)．图(1)可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(2)．图(2)∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．拓展延伸练15．(2019·山西质量检测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2(x －1)|，1<x ≤3，12x 2－92x ＋10，x >3，若方程f (x )＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)的取值范围为________．[解析] 方程f (x )＝m 有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4可转化为函数f (x )的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4，作出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象得0<m <1，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)．由f (x 1)＝f (x 2)可得，|log 2(x 1－1)|＝|log 2(x 2－1)|，又1<x 1<2<x 2，所以log 2(x 1－1)＋log 2(x 2－1)＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＝1，整理得x 1x 2＝x 1＋x 2，所以1x 1＋1x 2＝1. 由f (x 3)＝f (x 4)及二次函数图象的对称性，得x 3＋x 4＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2(x 3＋x 4)＝9m ∈(0,9)．[答案](0,9)。

第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。

基本初等函数测试题只有一项是符合题目要求的1.有下列各式:其中正确的个数是B .2.函数y = a x|（a>1）的图象是（ ）3.下列函数在（0,+^ ）上是增函数的是（）1 —4•三个数Iog 25，2。

丄2-1的大小关系是( )A . Iog 25<20.1<2-1B . Iog 25<2-1<20.1 C . 20.1<2-1<log 2| D . 20.1<log 21<2-15.已知集合 A = {yy = 2x , x<0}, B = { y|y = log 2x}，贝U A n B =()A . {y|y>0}B . {y|y>1}C . {y|0<y<1}D . 6.设P 和Q 是两个集合，定义集合 P — Q = {x|x € P 且x?Q}，如果P = {x|log 2x v 1} , Q ={x|1<x<3}，那么 P — Q 等于()A . {x|0v x v 1}B . {x|0v x w 1}C . {x|1< x v 2}D . {x|2< x v 3}1 ______________7.已知 0<a<1, x = log a .'2+ log a . 3, y = 2log a 5, z = log a 一 21 — log a,'3，则()、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中,①n a n= a ;②若 a €R ，则(a 2- a + 1)0= 1;③ 3 x 4—y 34x 3A . y = 3 xB . y =- 2xC . y = log o.1X DA. x>y>zB. x>y>xC. y>x>zD. z>x>y9.已知四个函数①y= f1（x）:②y= f2（x）;③y = f3（x）:④y = f4（x）的图象如下图:1— -4-m3,十2e x -1log 3x 2- 1 , x > 2•则两的值为()A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13. 给出下列四个命题： (1)奇函数的图象一定经过原点；(2 )偶函数的图象一定经过原点；1⑶函数y = lne x 是奇函数；(4)函数y x 3的图象关于原点成中心对称 . 其中正确命题序号为 ________ .(将你认为正确的都填上) 14. 函数 y log 1 (x 4)的定义域是 _______________________ . 15. 已知函数 y = log a (x + b)的图象如下图所示，贝Ua = ________ , b= ________ ,则下列不等式中可能成立的是 A . f l (x i + X 2)= f l (x i )+ f l (X 2) B . f 2(X 1 + X 2)= f 2(X 1) + f 2(X 2)C . f 3(X l + X 2)= f 3(X l ) + f 3(X 2)D . f 4(X l + X 2)= f 4(X l ) +10.设函数 f 』x) x 2 , f 2(x)= X -1, f 3(x)= X 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))等于()A . 2010B . 20102 喘 D 為11 .函数 3X 2f(X)=?T*卜lg(3x + 1)的定义域是A. -m, B.13,D.X <2 ,12. (2010石家庄期末测试)设f(x) = ( )16. (2008上海高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x€ (0, )时,f(x) = lgx, 则满足f(x)>0的x的取值范围是___________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10 分)已知函数f(x) = Iog2(ax+ b),若f(2) = 1, f(3) = 2，求f(5).118. (本小题满分12分)已知函数f(x) 2x6(1)求f(x)的定义域；(2)证明f(x)在定义域内是减函数.2x—119. (本小题满分12分)已知函数f(x) = 2^.(1)判断函数的奇偶性；⑵证明：f(x)在(— 8,+^ )上是增函数.220. (本小题满分12分)已知函数f x (m2 m 1)x m m 3是幕函数，且x€ (0,+^ ) 时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.21. (本小题满分12 分)已知函数f(x) = lg(a x—b x), (a>1>b>0).(1)求f(x)的定义域；⑵若f(x)在(1, +8 )上递增且恒取正值，求a, b满足的关系式.1 122. (本小题满分12分)已知f(x)= 2—1+ 2 x.(1)求函数的定义域；⑵判断函数f(x)的奇偶性；⑶求证：f(x)>0.参考答案答案速查：1-5 BCDBC 6-10 BCACC 11-12 CC1•解析：仅有②正确.答案：Ba x, x> 0 ,2•解析：y= a x|= -x °且a>1，应选C.答案：Ca , x<0 ,3•答案：D 4•答案：B5•解析:A = {y|y= 2x, x<0} = {y|0<y<1} , B= {y|y= log2x} = {y|y€ R} , /. A A B = { y|0<y<1}.答案：C6•解析：P = {x|log2x<1} = {x|0<x<2} , Q = {x|1<x<3} P—Q= {x|O<x W 1}，故选B.答案：B17.解析：x= log a 2 + log a , 3= log a,6 = ^log a6, z= log a , 21 —log a寸3= log^/7 = *log a7.••• 0<a<1，二2log a5>?log a6>2log a7. 即y>x>z.答案：C8. 解析：作出函数y= 2x与y= x2的图象知，它们有3个交点，所以y= 2x—x2的图象与x轴有3个交点，排除B、C,又当x<—1时，y<0，图象在x轴下方，排除D.故选A.答案：A9. 解析：结合图象知，A、B、D不成立，C成立.答案：C10. 解析：依题意可得f3(2010) = 20102, f2(f3(2010))=f2(20102) = (20102f 1= 2010 2,——1 —1••• f1f2(f3(2010))) = f1(2010 2)= (2010 2)2= 2010 1=而.答案：C11.解析：x<11 —x>0 1由？ 1 ? —-<x<1.答案：C 3x+1>0 x> —3 312.解析：f(2) = log3(22—1) = log33= 1, • f[f(2)] = f(1) = 2e0= 2. 答案：C13.解析:1(1)、(2)不正确，可举出反例，如y = -, y= x 2,它们的图象都不过原点. ⑶x中函数y= lne x= x,显然是奇函数.对于(4), y = x*是奇函数，而奇函数的图象关于原点对3称，所以⑷正确.答案：⑶(4)解析；由 log!（ I -4） ^0-4^1,144 <故函教的总汇域为（4,打.15•解析:由图象过点(-2,0), (0,2)知，log a (- 2+ b)= 0, log a b = 2,二一2+ b = 1 ,二 b =3, a 2= 3,由 a>0 知 a = 3. — a = 3, b = 3.答案：」3 316.解析：根据题意画出f （x ）的草图，由图象可知，f （x ）>0的x 的取值范围是一1<x<0或x>1.答案：(—1,0)U (1,+^ )log 2 2a + b = 12a + b = 2 a = 2,17.解：由 f(2)= 1, f(3) = 2，得？？二 f(x)= log 2(2xlog 2 3a + b = 2 3a + b = 4b =— 2.-2),••• f(5)= log 28 = 3. 18.網；(丨)丁/( w> 二-2x T = -2 /v TA )的定3L 域为［0 r + an )(2｝证明：令匕> MO,则) -/( ^ ) = -- ( - 2.t j )=2(耘-斤)T X 2>X 1》0 , • x 2 — X 1>0 , ,x 2+ . X 1>0 ,• f(X 1) — f(x 2)>0 ,• f(X 2)<f(X 1). 于是f(x)在定义域内是减函数.19. 解：（1）函数定义域为 R.所以函数为奇函数.⑵证明：不妨设一 8 <X 1<X 2< + ^,答案：（4,5]2—x — 1 f(— x)= 2 ― x + 1 1 — 2X1+ 2X2 — 1 2 + 1=— f(x),二2x2>2x1.2X2 ― 1 又因为f(x2)—f(x1)=忑—2X1 —1 = 2 2X2 —2X1 2x1 + 1 2x1 + 1 2x2 + 1•I f(X 2)>f(X 1).所以f(x)在(-8 , + 8 )上是增函数. 20. 解：•/ f(x)是幕函数， /• m 2— m — 1 = 1, m =— 1 或 m = 2, ••• f(x)= x —3或 f(x)= x 3,而易知f(x)= x —3在(0, + 8)上为减函数, f(x) = x 3在(o ,+ 8)上为增函数.• f(x)= x 3.a21. 解：(1)由 a x — b x >0,得 b x >1. a■/ a>1>b>0 ,• >1b • x>0.即f(x)的定义域为(0,+ 8).⑵•/ f(x)在(1 , + 8 )上递增且恒为正值, • f(x)>f(1)，只要 f(1) > 0 , 即 lg(a — b)》0, • a — b 》1. • a 》b + 1为所求22. 解：(1)由2x — 1工0得X M 0,.函数的定义域为{X |X M 0, x € R}. (2)在定义域内任取 x ,则—x 一定在定义域内.1 1f(— x)= 2 —x — [+ 2 (— x)十 11 2x +1 而 f(x) = 2—7 + 2 x = 2 2x — 1 x ,• f(— x)= f(x). • f(x)为偶函数.⑶证明：当x>0时,2x >1 , . 1丄1--一 1 十 2 x>0. 又f(x)为偶函数， •当 x<0 时，f(x)>0.故当 x € R 且 x M 0 时，f(x)>0.1 — 2x2 (—x)=— x1 + 22 1 — 2x 2x + 1 x = 2 2x — 1 x.。

函数的概念、性质与初等函数第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数0.5log(4)y x=-的定义域是（）A．[3,4)B．(,3]-∞C．[3,)+∞D．(,4]-∞2．下列函数中为偶函数的是（）A．3y x x=+B．24y x=-C．y x=D．1y x=+3．已知函数()26f x x kx=--在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．4．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①13y x=，②2y x=，③12y x=，④1y x-=B．①，②，③12y x=，④C．①，②3y x=，③，④12y x=D．①13y x=，②12y x=，③，④5．函数()1()lg xf x-=的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知2log6a=，5log15b=，7log21c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a b c<<B．c b a<<C．c a b<<D．b c a<<7．已知定义域R的奇函数()f x的图像关于直线1x=对称，且当01x≤≤时，3()f x x=，则212f⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．278-B．18-C．18D．2788．已知定义在R上的函数()f x在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x=-的图象关于1x=对称，若实数a满足()()2log2f a f<，则a的取值范围是（）A．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D．()4,+∞9．函数()2283,1log,1ax ax xf xx x⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩在x∈R内单调递减，则a的取值范围是（）A．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．5,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设函数2,3()(1),3x xf xf x x⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2log6f的值为（）A．3B．6C．8D．1211．已知函数()1f x mx=+的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是（）A．1(,)2-∞-B．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C．()1,-+∞D．1(,1)(,)2-∞-⋃-+∞12．已知定义在R上的函数()f x满足(1)(1)0f x f x++--=，(2)(2)0f x f x+--=．当(]0,2x∈时，()3xf x=，则(2018)(2019)f f-+=（）A．6-B．3-C．3D．12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数22,1()log(1),1xaxf xx x⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若[(0)]2f f=，则实数a的值是_______．14．已知函数2xy a=-定义域为R，则实数a的取值范围是________．15．函数2212x xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为________．16．设函数()21,02,0x xf xx x⎧-≥=⎨+<⎩，若函数()y f x a=-有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）()0113630.0π625248-+++-；（2）lg142lg lg7lg183-+-．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号18．（12分）设22332100064lg42lg5a =⨯+++．（1）化简上式，求的值；（2）设集合，全集为，B A N =R ð，求集合中的元素个数．19．（12分）已知函数．（1）当时，在给定的直角坐标系内画出的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数．20．（12分）已知二次函数．（1）若为偶函数，求值；（2）若在单调递增，求的取值范围；（3）若与轴交于两点（－3，0），（1，0），求当的值域．21．（12分）某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低1元笔，最高50元笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．（1）若王杰转账的金额为x 元，手续费为y 元，请将y 表示为x 的函数；（2）若王杰转账的金额为元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t 的取值范围．22．（12分）已知．（1）求的值域；（2）若对任意都成立，求m 的取值范围．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】要使函数有意义，则0.5log (4)040x x -≥⎧⎨->⎩，解得34x ≤<，故答案选A ．2．【答案】B 【解析】对于A ，()()()33f x x x x x f x -=--==-+-，是奇函数．对于B ，()()()2244f x x x f x -=--=-=，是偶函数．C 、D 是非奇非偶函数，所以选B ．3．【答案】D【解析】根据题意，函数()26f x x kx =--的对称轴为2kx =，若()f x 在[2，8]上是单调函数，必有22k ≤或82k≥，解得k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是，故选D ．4．【答案】B 【解析】②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C ，D ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A ，故选B ．5．【答案】B 【解析】由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞ ，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，故选B ．6．【答案】B【解析】由于22log 6log 42a =>=，772log 211log 3c >==+，a c ∴>，552log 151log 3b >==+，33log 7log 5>，可得b c >，综合可得a b c >>，故选B ．7．【答案】B 【解析】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②；在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--，再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--，()()()24f x f x f x ∴=-=-③；对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，答案选B ．8．【答案】C【解析】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，则()()()()222log 2log 2log 2f a f f a f a <⇒<⇒<，即22log 2a -<<，解得144a <<，即a 的取值范围为1,44⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ．9．【答案】B 【解析】由题意，函数()2283,1log ,1ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，则281220121813log 1a a a a -⎧-≥⎪⨯⎪<<⎨⎪⨯-⨯+≥⎪⎩，即2101580a a a ≥⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，解得1528a ≤≤，即实数a 的取值范围是15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B ．10．【答案】D 【解析】函数2,3()(1),3x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，因为2log 63<，()()22log 61log 6f f =+，221log 6l 3og 12+=>，故得到()()2log 22122log 61log 612f f +===，故答案为D ．11．【答案】B 【解析】由题知()f x 单调，故(1)(2)0f f ⋅<，(1)(21)0m m ++<，112m -<<-，故选B ．12．【答案】A【解析】令1t x =+，由(1)(1)0f x f x ++--=可得()()f t f t =--，所以函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =．由(2)(2)0f x f x +--=可得(2)(2)f x f x +=-，所以(4)f x +=()()f x f x -=-，所以(8)()f x f x +=，故函数()f x 的周期为8，所以(2018)(25282)(2)(2)9f f f f -=-⨯-=-=-=-，(2019)(25283)(3)(1)3f f f f =⨯+===，所以(2018)(2019)6f f -+=-，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==，∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，因为0a >，所以解得a =．14．【答案】0a ≤【解析】 函数的定义域为R ，则20x a -≥恒成立，即2x a ≤恒成立，20x > ，0a ∴≤，故答案为0a ≤．15．【答案】(]0,2【解析】由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，当1t ≥-时，02y <≤，即函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2．16．【答案】[0，2)【解析】函数有两个不同的零点，即有两个不同的交点，所以函数与函数y =a有两个交点，如图所示：所以a 的范围是[0，2)．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）13364+；（2）0．【解析】（1）原式536113360.2512424+=+++-=．（2）原式2147lg lg107183⨯===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．18．【答案】（1）218；（2）个．【解析】（1）原式22332100064lg42lg5=⨯+++．（2），{}|218R A x x =≤ð，，所以中元素个数为．19．【答案】（1）图像见解析，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）①当或14a >时，函数零点的个数1个，②当或14a =时，函数零点的个数2个，③当104a <<时，函数零点的个数3个．【解析】（1）当时，()()()()()1,11,1x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则函数的图象如图所示，由图易知函数在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（2）函数零点的个数等价于函数的图象与直线的交点个数，由（1）得①当或14a >时，函数零点的个数1个，②当或14a =时，函数零点的个数2个，③当104a <<时，函数零点的个数3个．20．【答案】（1）0；（2）[)2,-+∞；（3）．【解析】（1）∵，为偶函数，()()f x f x ∴-=，0p ∴=．（2）∵的对称轴为2p x =-，因为函数在,2p⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调增，所以由已知在上单调增，12p∴-≤，2p ∴≥-，所以的取值范围为．（3）()f x x 与轴交于（－3，0）（1，0）两点，根据根与系数关系，()312p =--+=，3q =-，()223f x x x ∴=+-，()223g x x x ∴=+-，()45g ∴-=，()532g =，所以当时，的值域为．21．【答案】（1）1,02000.005,2001000050,10000x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩；（2）．【解析】（1）由题意得1,02000.005,2001000050,10000x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．（2）从（1）中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元，则转账金额大于1000元，且小于10000元，则只需要考虑当时的情况即可，由，得，得，即实数t 的取值范围是．22．【答案】（1）[]4,5；（2）2233m -<<．【解析】（1）令2x t =，，1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，原函数化为()2211g 5(2)444t t t t =-+=-+，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即的值域为．（2）由()232f x m am >++对任意都成立，得2324m am ++<对任意都成立，2320m am ∴+-<对任意都成立，令()232h a ma m =+-，，则()()2213201320h m m h m m -=--<=+-<⎧⎪⎨⎪⎩，解得2233m -<<．。

复习验收卷(二) 函数概念与基本初等函数Ⅰ(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为( )A.{y |1≤y ＜7}B.{y |1≤y ≤7}C.{1，3，5，7}D.{1，3，5}答案 D解析 由题意可知，函数的定义域为{0，1，2}， 把x ＝0，1，2代入函数解析式可得y ＝1，3，5， 所以该函数的值域为{1，3，5}，故选D.2.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2－2x (x ≥0)，则函数f (x )的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 依题意，当x ＞0时，由f (x )＝x 2－2x ＝0得x ＝2，即函数f (x )的一个零点为x ＝2.又函数f (x )为奇函数，于是－2也是函数f (x )的一个零点， 又f (0)＝0，因此函数f (x )的零点个数为3，故选D.3.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数， 则由f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13得f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即有－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.4.(2020·北京海淀区一模)形如22n ＋1(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n ，数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那F 5的位数是( )(参考数据：lg 2≈0.301 0) A.9 B.10C.11D.12答案 B解析 F 5＝232＋1，设m ＝232，则两边取常用对数得lg m ＝lg 232＝32lg 2＝32×0.301 0＝9.632.m ＝109.632＝109×100.632，所以F 5＝109×100.632＋1，又1＜100.632＜10，故F 5是10位数.5.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4升，则m 的值为( )A.5B.6C.8D.10答案 A解析 根据题意知，因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，设当k min 后甲桶中的水只有a4升，所以f (k )＝a 4，即15ln 12·k ＝ln 14，所以15ln 12·k ＝2ln 12，解得k ＝10，所以k －5＝5，即m ＝5，故选A.6.(2021·安徽联盟联考)已知函数f (x )＝10（x 2＋1）x ·e |x |，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝10[（－x ）2＋1]－x ·e |－x |＝－10（x 2＋1）x ·e |x |＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，则函数f (x )的图象关于原点对称，排除B ，因为f (1)＝20e >0，且f (5)＝52e 5<1，所以排除C ，D ，选A.7.设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，若2f (2)＝3f (3)＝4f (4)，则f (5)－13f (1)的值等于( )A.8B.12C.20D.36答案 A解析 设2f (2)＝3f (3)＝4f (4)＝k ， 则xf (x )－k ＝(x －2)(x －3)(x －4)·(x －p ).令x ＝0，得p ＝－k 24，于是f (1)＝－6＋3k 4，f (5)＝6＋k 4， 即f (5)－13f (1)＝8，故选A.8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x ＋1）（x ≥0），x 3－3x （x <0），若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)答案 C解析 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，所以x ＝－1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减， 又f (x )＝ln(x ＋1)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f (x )的图象如图所示.当x <0时，f (x )极大值＝f (－1)＝2，且f (0)＝0， 故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同的零点.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B.f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C.f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D.f (x )＝（x ）2x ，g (x )＝x（x ）2答案 BD解析 对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝（x ）2x ＝1(x >0)，g (x )＝x（x ）2＝1(x >0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数，故选BD.10.关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是A.定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)B.单调增区间是(－∞，1]C.定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D.单调增区间是[－1，1]答案CD解析由－x2＋2x＋3≥0，可得x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，即函数的定义域是[－1，3]，由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0，4]，∴函数的值域为[0，2]，结合二次函数的性质可知，函数在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减. 故选CD.11.设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则下列关系式可能成立的是()A.x2<y3<z5 B.z5<y3<x2C.y3<z5<x2 D.x2＝y3＝z5答案ABD解析令log2x＝log3y＝log5z＝k>0，则x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1，故x2＝2k－1，y3＝3k－1，z5＝5k－1，若0<k<1时，f(x)＝x k－1在(0，＋∞)上单调递减，则z5<y3<x2，B项成立.若k＝1时，x2＝y3＝z5＝1，D项成立.若k>1时，则f(x)＝x k－1在(0，＋∞)上单调递增，∴x2<y3<z5，选项A成立.C不成立.12.(2021·福州质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称.以下关于f(x)的结论正确的有A.f (x )是周期函数B.f (x )满足f (x )＝f (4－x )C.f (x )在(0，2)上单调递减D.f (x )＝cos πx2是满足条件的一个函数 答案 ABD解析 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x ).又其图象关于点(1，0)对称，所以f (－x )＝－f (2＋x )，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数，故A 正确； 由题意知，f (－x )＝f (x )＝f (x ＋4).又f (x ＋4)＝f (－x ＋4)，所以f (x )＝f (4－x )，故B 正确；函数f (x )＝cos πx 2是定义在R 上的偶函数，且由πx 2＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝2k ＋1(k ∈Z)，所以(1，0)是它的一个对称中心，故D 正确；又f (x )在(0，2)上不能确定单调性，故C 错误.综上所述，故选ABD. 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.求值：log 315－12log 325＝________. 答案 1解析 log 315－12log 325＝log 315－log 32512 ＝log 315－log 35＝log 33＝1.14.若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤1，2x －1，x ＞1，则f (f (0))＝________.答案 5解析 ∵f (0)＝3，∴f (f (0))＝f (3)＝5.15.已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则y ＝f [log 12(2x －1)]的定义域为______.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，1)，∴0<log 12(2x －1)<1，即12<2x －1<1，解得34<x <1，∴函数y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 12（2x －1）的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 16.已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 由题意得关于x 的方程m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x 有非零实数解，整理得到m ＝3x（3x ）2＋1＝13x ＋13x＜12，又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2， 当m ＝2时，f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)， 当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )， 即B ＝[2－k ，4－k )，因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1].18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R. (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1，1]上存在零点，求a 的取值范围. 解 (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，则f (x )＝0的根的判别式Δ＜0，即16－4(a ＋3)＜0，解得a ＞1.故a 的取值范围为(1，＋∞).(2)因为函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴是直线x ＝2， 所以y ＝f (x )在[－1，1]上单调递减. 又y ＝f (x )在[－1，1]上存在零点， 所以⎩⎨⎧f （1）≤0，f （－1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤0，a ＋8≥0，解得－8≤a ≤0.故实数a 的取值范围为[－8，0].19.(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)若g (x ＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＜g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，求x 的取值范围.解 (1)因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，所以f (x )＝x －1x 2＋1－－x －1x 2＋1＝2x x 2＋1，g (x )＝1x 2＋1. (2)因为g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x 2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＜g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得1（x ＋5）2＋1＋（x －1）21＋（x －1）2＜1， 整理得1（x ＋5）2＋1＜11＋（x －1）2，解得x ＞－2.结合分母不为零得x 的取值范围是(－2，0)∪(0，1)∪(1，＋∞). 20.(本小题满分12分)已知定义在区间(－1，1)上的函数f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数. (1)求函数f (x )的解析式，并判断函数f (x )在区间(－1，1)上的单调性； (2)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )＜0. 解 (1)∵f (x )是在区间(－1，1)上的奇函数， ∴f (0)＝a ＝0，∴f (x )＝x1＋x 2(经验证f (x )为奇函数).设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0，1－x 1x 2＞0，(1＋x 21)(1＋x 22)＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(－1，1)上单调递增. (2)∵f (t －1)＋f (t )＜0，且f (x )为奇函数， ∴f (t )＜－f (t －1)＝f (1－t ).又函数f (x )在区间(－1，1)上单调递增，∴⎩⎨⎧t ＜1－t ，－1＜t ＜1，－1＜1－t ＜1，解得0＜t ＜12， ∴关于t的不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |0＜t ＜12. 21.(本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g （x ）x .(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围. 解 (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a ＞0，所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎨⎧g （2）＝1，g （3）＝4，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)可得g (x )＝x 2－2x ＋1， 所以f (x )＝x ＋1x －2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k . 令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1.因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.记h (t )＝t 2－2t ＋1，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以h (t )max ＝1，所以实数k 的取值范围是(－∞，1].22.(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋33.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围.解 (1)当x ＜0时，－x ＞0， 则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x－－x ＋33＝2x＋x －33.又f (x )为奇函数，所以－f (x )＝2x＋x －33，所以f (x )＝－2x＋3－x 3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋33，x ≥0，－2x＋3－x 3，x ＜0.(2)因为当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋33，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，y ＝－x ＋33也单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减. 又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (x )在(－∞，0]上单调递减， 所以f (x )在R 上单调递减.因为f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0在t ∈R 上恒成立， 所以f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k ). 又f (x )为奇函数， 所以f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)，所以t 2－2t ＞k －2t 2在t ∈R 上恒成立，即3t 2－2t －k ＞0在t ∈R 上恒成立， 所以4＋12k ＜0，即k ＜－13.所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

函数的概念与基本初等函数多选题练习题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin sin x xf x e e =+，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x xf x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x xπ=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin xx f x ee -=+，()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.2．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.3．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>，所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.4．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x ex =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e-<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e -=-，()2120f e -=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点，即函数()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.5．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同，而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．6．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；7．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意；（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解8．已知函数1()xx f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项.【详解】()xx f x e '=-， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．二、导数及其应用多选题9．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.10．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.。

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲 函数的概念和性质一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x 的图像大致为2．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为3．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．4．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．505．（2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 6．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．（2017北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数9．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= A ．−2 B ．−1C ．0D ．2 10．(2016全国I) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．11．(2016全国II) 已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，…，()m m x y ，，则()1m i i i x y =+=∑ A ．0 B ．m C ．2m D ．4m12．(2015福建)下列函数为奇函数的是A．y B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-13．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 14．(2015湖南)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数15．(2015湖北)已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()g x f x =-()f ax (1)a >，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-16．(2015安徽)函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <17．(2014新课标1)设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x |()g x |是奇函数C ．|()f x |()g x 是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数18．(2014山东)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(，B ．)2(∞+，C ．),2()210(+∞ ，D ．)2[]210(∞+，， 19．(2014山东)对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有 ()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A．()f x = B ．2()f x x = C ．()tan f x x = D ．()cos(1)f x x =+20．(2014浙江)已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-≤≤，则A ．3≤cB ．63≤<cC ．96≤<cD ．9>c21．(2015北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =22．(2014湖南)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x -=321x x ++，(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．323．(2014江西)已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=aA ．1B ．2C ．3D ．-124．(2014重庆)下列函数为偶函数的是A ．()1f x x =-B ．3()f x x x =+C ．()22x x f x -=-D ．()22x x f x -=+ 25．(2014福建)已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是A ．()x f 是偶函数B ．()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞-,126．(2014辽宁)已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为 A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334-- 27．(2013辽宁)已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．1-B ．0C ．1D ．2 28．(2013新课标Ⅰ)已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[－2,1]D ．[－2,0]29．(2013广东)定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．130．(2013广东)函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞31．(2013山东)已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+ ，则()1f -= A ．－2 B ．0 C ．1 D ．232．(2013福建)函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是A ．B ．C ．D ．33．(2013北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 34．(2013湖南)已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于A ．4B ．3C ．2D ．1 35．(2013重庆)已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =A ．5-B ．1-C ．3D ．436．(2013湖北)x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数37．(2013四川)函数133-=x x y 的图像大致是A B C D38．(2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 39．(2012福建)设1,0,()0,0,1,0,xf x x x >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则(())f g π的值为A ．1B ．0C ．1-D ．π40．(2012山东)函数1()ln(1)f x x =++ A ．[2,0)(0,2]- B ．(1,0)(0,2]- C ．[2,2]- D ．(1,2]-41．(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A 1y x =+B 3y x =-C 1y x =D ||y x x = 42．(2011江西)若()f x =，则)(x f 的定义域为 A ．(21-,0) B ．(21-,0] C ．(21-,∞+) D ．(0,∞+) 43．(2011新课标)下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2x y -=44．(2011辽宁)函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．(1-，1)B ．(1-，+∞)C ．(∞-，1-)D ．(∞-，+∞)45．(2011福建)已知函数2,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩．若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于 A ．－3 B ．－1C ．1D ．346．(2011辽宁)若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则a = (A)21 (B)32 (C)43 (D)1 47．(2011安徽)设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A ．－3B ．－1C ．1D ．348．(2011陕西)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是49．(2010山东)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A ．()0,+∞ B ．)0,+∞⎡⎣ C ．()1,+∞ D ．)1,+∞⎡⎣ 50．(2010年陕西)已知函数()f x =221,1,1x x x ax x ⎧+<⎨+≥⎩，若((0))f f =4a ，则实数a = A ．12 B ．45C ．2D ．9 51．(2010广东)若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数52．(2010安徽)若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=A ．－1B ．1C ．－2D ．2二、填空题53．(2018江苏)函数()f x =的定义域为 ．54．(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤则((15))f f 的值为 ． 55．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____56．(2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．57．（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___．58．（2017江苏）已知函数31()2x xf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ．59．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828 ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是①()2x f x -= ②()3xf x -= ③3()=f x x ④2()2=+f x x 60．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．61．(2016天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.62．(2016江苏)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上，(),10,2,01,5x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩≤≤其中a ∈R ，若59()()22f f -=，则()5f a 的值是 ． 63．(2015新课标Ⅰ)若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =64．(2015浙江)已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则((3))f f -=_______，()f x 的最小值是______．65．(2015山东)已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．66．(2015福建)若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ．67．(2014新课标Ⅱ)偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=___．67．(2014湖南)若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____________．68．(2014四川)设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = ． 70．(2014浙江)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是___. 71．(2014湖北)设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(b a c b a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． (Ⅰ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；(Ⅱ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab +2； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 72．(2013安徽)函数1ln(1)y x =++的定义域为_____________． 73．(2013北京)函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为 ．74．(2012安徽)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________． 75．(2012浙江)设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =_______________．76．(2011陕西)设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ． 77．(2011江苏)已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________78．(2011福建)设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量11(,)x y a =∈V ，22(,)x y b =∈V ，以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)(),f f f λλλλ+-=+-a b a b则称映射f 具有性质P ． 现给出如下映射：①12:,(),,(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈ ②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号)79．(2010福建)已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)=2()f x f x 成立；当(1,2]x ∈时，()=2f x x -．给出如下结论：①对任意Z m ∈，有(2)=0mf ；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使得(2+1)=9n f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)kk a b +⊆”． 其中所有正确结论的序号是 ．80．(2010江苏)设函数()()xxf x x e ae -=+(x ∈R)是偶函数，则实数a =______．专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲 函数的概念和性质答案部分1．B 【解析】当0<x 时，因为0--<xxe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e，故排除C ，选B ． 2．D 【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或2x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．3．D 【解析】设||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，又||()2sin(2)()x f x x f x --=⋅-=-，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ； 令()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2k x π=(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ．4．C 【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x ∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ， 故选C ．解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ， 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ． 5．D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ． 6．B 【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--；③当012a <-<，此时2()24a a m fb =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．7．C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-= 又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．8．A 【解析】11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．9．D 【解析】当11x-剟时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=， 所以(6)2f =，故选D ．10．D 【解析】当0x ?时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D ．11．B 【解析】由()()2f x f x -=-得()()2f x f x -+=，可知()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+， ∴()111022m m miiiii i i mx y x ym ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ． 12．D【解析】∵函数y 的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数y =为非奇非偶函数，排除A ；因为|sin |y x =为偶函数，所以排除B ；因为cos y x =为偶函数，所以排除C ；因为()xxy f x e e -==-，()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，所以()x x y f x e e -==-为奇函数．13．D 【解析】选项A 、C 为偶函数，选项B 中的函数是奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数．14．A 【解析】由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,1)-，且12()lnln(1)11x f x x x+==---，易知211y x=--在(0,1)上为增函数，故()f x 在(0,1)上为增函数，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，故()f x 为奇函数．15．B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.16．C 【解析】∵2()()ax bf x x c +=+的图象与,x y 轴分别交于,N M ，且点M 的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴0b x a =->，20by c=>，故0,0a b <>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <．17．B 【解析】()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()f x ()g x 为奇函数，()f x |()g x |为奇函数，|()f x |()g x 为偶函数，|()f x ()g x |为偶函数，故选B ．18．C 【解析】2222(log )10log 1log 1x x x ->⇒><-或，解得1202x x ><<或． 19．D 【解析】由()(2)f x f a x =-可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；故选D ． 20．C 【解析】由已知得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，又0(1)63f c <-=-≤，所以69c <≤． 21．B 【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．22．C 【解析】用x -换x ，得32()()()()1f x g x x x ---=-+-+，化简得32()()1f x g x x x +=-++，令1x =，得(1)(1)1f g +=，故选C ．23．A 【解析】因为[(1)]1f g =，且||()5x f x =，所以(1)0g =，即2110a ⋅-=，解得1a =．24．D 【解析】函数()1f x x =-和2()f x x x =+既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B ；选项C 中()22x x f x -=-，则()22(22)()x x x x f x f x ---=-=--=-， 所以()f x =22xx--为奇函数，排除选项C ；选项D 中()22x x f x -=+，则()22()x x f x f x --=+=，所以()22x x f x -=+为偶函数，选D ．25．D 【解析】2()1,()1f f πππ=+-=-，所以函数()x f 不是偶函数，排除A ；因为函数()x f 在(2,)ππ--上单调递减，排除B ；函数()x f 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 不是周期函数，选D ．26．A 【解析】当102x ≤≤时，令1()cos 2f x x π=≤，解得1132x ≤≤，当12x >时， 令1()212f x x =-≤，解得1324x <≤，故1334x ≤≤．∵()f x 为偶函数，∴1()2f x ≤的解集为3113[,][,]4334--⋃，故1(1)2f x -≤的解集为1247[,][,]4334⋃．27．D 【解析】11lg 2lg lg(2)lg1022+=⨯==，()()3)13()]1f x f x x x +-=-++--+3)3)2x x =++ln 33)2x x ⎡⎤=+⎣⎦2ln (3)2x ⎡⎤=-+⎣⎦ln122=+=．28．D 【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩ 且0ln(1)x x ax>⎧⎨+≥⎩，由202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除A ，B ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D ． 29．C 【解析】是奇函数的为3y x =与2sin y x =，故选C ．30．C 【解析】1010x x +>⎧⎨-≠⎩，∴11x x >-⎧⎨≠⎩．31．A 【解析】()()112f f ---=-．32．A 【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B ，D ． 33．C 【解析】1y x=是奇函数，x y e -=是非奇非偶函数，而D 在(0,)+∞单调递增．选C ． 34．B 【解析】由已知两式相加得，()13g =． 35．C 【解析】因为21(lg(log 10))(lg())(lg(lg 2))5lg 2f f f ==-=，又因为 ()()8f x f x +-=，所以(lg(lg 2))(lg(lg 2))5(lg(lg 2))8f f f -+=+=，所以(lg(lg 2))f =3，故选C ．36．D 【解析】由题意f (1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f (－1.1)＝－1.－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D ．37．C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x －1远远大于x 3的值且都为正，故331x x -→0且大于0，故排除D ，选C ．38．B 【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．39．B 【解析】∵π是无理数 ∴g （π）=0 则(())f g π=f （0）=0 ，故选B ．40．B 【解析】210,11,100 2.40,x x x x x +>⎧⎪+≠∴-<<<≤⎨⎪-≥⎩或故选B ．41．D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D ．42．A 【解析】12log (21)0x +>，所以0211x <+<，故102x -<<． 43．B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，2xy -=在(0,)+∞上为减函数．44．B 【解析】令函数()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，所以()g x 在R 上为增函数，又(1)(1)240g f -=-+-=，所以不等式可转化为()(1)g x g >-，由()g x 的单调性可得1x >-．45．A 【解析】当0a >时，由()(1)0f a f +=得220a+=，无解；当0a <时，由()(1)0f a f +=得120a ++=，解得3a =-，故选A ．46．A 【解析】∵))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，∴(1)(1)0f f -+=，得12a =．47．A 【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()2f x x x =-，∴2(1)(1)2(1)(1)3f f =--=-⨯-+-=-，选A ．48．B 【解】 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．49．A 【解析】因为311x+>，所以()()22log 31log 10x f x =+>=，故选A ．50．C 【解析】∵()21200=+=f ，∴()()()a a f f f 2422202+=+==．于是，由()()a f f 40=得2424=⇒=+a a a ．故选C ． 51．B 【解析】()33(),()33()xx x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．52．A 【解析】∵()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴(3)(4)(2)(1)(2)(1)211f f f f f f -=---=-+=-+=-．53．[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数()f x 的定义域是[2,)+∞．54．【解析】因为函数()f x 满足(4)()f x f x +=(x ∈R )，所以函数()f x 的最小正周期是4．因为在区间(2,2]- 上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤，所以1((15))((1))()cos24f f f f f π=-===． 55．1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-．56．sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．57．1(,)4-+∞【解析】当12x >时，不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤，不等式12112xx +-+>恒成立； 当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即104x -<≤；综上，x 的取值范围为1(,)4-+∞．58．1[1,]2-【解析】因为31()2e ()e xx f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-， 即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 59．①④【解析】①()2()2xxxx ee f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3xxx x ee f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3()xxe f x e x =⋅，令3()xg x e x =⋅，则322()3(2)xxxg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2()(2)x x e f x e x =+，令()()22xg x ex=+，则22()(2)2[(1)1]0xxxg x e x e x e x '=++⋅=++>，∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．60．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=， 解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．61．13(,)22【解析】由()f x 是偶函数可知，()0-∞，单调递增；()0+∞，单调递减 又()(12a f f ->，(f f =可得，12a -112a -<∴1322a <<． 62．25-【解析】由题意得511()()222f f a -=-=-+，91211()()225210f f ==-=，由59()()22f f -=可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 63．1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，=x ，解得1a =．64．0、3【解析】∵(3)1f -=，(1)0f =，即((3))0f f -=．又()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以min ()min{(0),3f x f f ==．65．32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2b =-，12a =，则13222a b +=-=-．66．(1,2]【解析】因为6,2()3log ,2a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤，所以当2x ≤时，()4f x ≥；又函数()f x 的值域为[4,)+∞，所以13log 24a a >⎧⎨+⎩≥，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围为(1,2]．67．3【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==． 68．32-【解析】函数3()ln(1)xf x e ax =++为偶函数，故()()f x f x -=， 即33ln(1)ln(1)xxeax e ax -+-=++，化简得32361ln 2ln xax x x e ax e e e+==+，即32361x ax x xe e e e+=+，整理得32331(1)x ax x xe e e ++=+，所以230ax x +=， 即32a =-． 69．1【解析】2311()()4()21222f f =-=-⨯-+=．70．(-∞结合图形（图略），由()()2f f a ≤，可得()2f a -≥，可得a ． 71．【答案】（Ⅱ）x（或填（Ⅰ）k （Ⅱ）2k x ，其中12,k k 为正常数均可） 【解析】过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线的方程为()()()()f a f b y f a x a a b+-=--，令0y =得()()()()af b bf a c f a f b +=+．()()()()af b bf a f a f b +=+()()()()a b bf a af b =+，可取()0)f x x =>．（Ⅱ）令调和平均数2()()()()ab af b bf a a b f a f b +=++，得()()()()ab ba af b bf a a b f a f b ++=++，可 取()(0)f x x x =>．72．(]0,1【解析】2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1. 73．(),2-∞【解析】由分段函数1x ≥，1122log log 10x ≤=；1x <，10222x<<=．74．6-【解析】由22()22a x a x f x ax a x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩…可知()f x 的单调递增区间为[,)2a -+∞，故362aa -=⇔=-． 75．32【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=．76．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．77．34-【解析】30,2212,2a a a a a a >-+=---=-， 30,1222,4a a a a a a <-+-=++=- ．78．①③【解析】∵11(,)x y a =，22(,)x y b =，R λ∈，所以1212(1)((1),(1))x x y y λλλλλλ+-=+-+-a b对于①1111212(),((1))((1),(1))f m x y f a b f x x y y λλλλλλ=-+-=+-+-12121122(1)(1)()(1)()x x y y x y x y λλλλλλ=+----=-+--()(1)()f a f b λλ=+-,具有性质P 的映射,同理可验证③符合,②不符合,答案应填．79．①②④【解析】①0)2(2)2(2)22()2(111====⋅=---f f f f m m m m ，正确； ②取]2,2(1+∈m m x ，则]2,1(2∈m x ；mm x x f 22)2(-=，从而 x xf x f x f m m m -====+12)2(2)2(2)( ，其中， ,2,1,0=m ，从而),0[)(+∞∈x f ，正确；③122)12(1--=++n m n f ，假设存在n 使9)12(=+n f ，∵121[2,2)n n n ++∈，∴1(21)22121n n n n f ++=--=-，∴219,210n n +==， 这与n Z ∈矛盾，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④.80．－1【解析】设(),()x x g x x h x e ae -==+，∵()g x 为奇函数，由题意()h x 也为奇函数．所以(0)0h =，解得1a =-．专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞2．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+3．(2018天津)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235xyz==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 5．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（2017北京）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 7．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310 8．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c < 9．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 10．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．1211．（2015北京）如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤12．（2015天津）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<13．（2015四川）设,a b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 14．（2015山东）设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞15．（2014山东）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<<16．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<17．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是18．（2014天津）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间是A ．(0,)+¥B ．(,0)-?C ．(2,)+¥D ．(),2-? 19．（2013新课标）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >> 20．（2013陕西）设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A ．·log log log a c c b a b = B ．·log lo log g a a a b a b = C ．()log og g l lo a a a b c bc =D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+ 21．（2013浙江）已知y x ,为正实数，则A ．y x yx lg lg lg lg 222+=+ B ．lg()lg lg 222x y x y += C ．y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D ．lg()lg lg 222xy x y =22．（2013天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+， 则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]23．（2012安徽）23(log 9)(log 4)⋅=A ．14 B ．12C ． 2D ． 4 24．（2012新课标）当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是A．(0,2 B．(2C． D． 25．（2012天津）已知122a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 26．（2011北京）如果,0log log 2121<<y x 那么A ．1y x <<B ．1x y <<C ．1x y <<D ．1y x <<27．（2011安徽）若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是A ．1(,)b a B ．(10,1)a b - C ．10(,1)b a+ D ．2(,2)a b 28．（2011辽宁）设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞） 29．（2010山东）函数22x y x =-的图像大致是30．（2010天津）设5log 4a =，5(log 3)b =2，4log 5c =，则A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 31．（2010浙江）已知函数2()log (1),f x x =+若()1,f α=α=A ．0B ．1C ．2D ．332．（2010辽宁）设25abm ==，且112a b+=，则m = AB ．10C ．20D ．10033．（2010陕西）下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数34．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc 的取值范围是A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)35．（2010天津）若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞- 二、填空题36．(2018江苏)函数()f x =的定义域为 ． 37．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____．38．(2018上海)已知常数0a >，函数2()(2)xx f x ax =+的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若236p qpq +=，则a =__________．39．(2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a = ，b = ． 40．（2015江苏）不等式224x x-<的解集为_______．41．（2015浙江）若4log 3a =，则22aa-+=_______．42．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__．43．（2014天津）函数2()lg f x x =的单调递减区间是________． 44．（2014重庆）函数2()log )f x x =的最小值为_________．45．（2013四川）____________．46．（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．47．（2012山东）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿．48．（2011天津）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________． 49．（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________．专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数答案部分1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．B 【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．3．D 【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，12221log log 3log 13c e ==>>． 所以c a b >>，故选D ．4．D 【解析】设235x y zk ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =，5log z k =， 所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ． 5．C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-= 又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ． 6．A 【解析】11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．7．D 【解析】设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．8．C 【解析】选项A ，考虑幂函数c y x =，因为0c >，所以cy x =为增函数，又1a b >>，所以c c a b >，A 错．对于选项B ，c cab ba <()cb b aa ⇔<，又()xb y a=是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．9．A 【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13y x =在R 上单调递增，指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ． 10．C 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=，22log 121log 62(log 12)226f -===，所以2(2)(log 12)f f -+=9．11．C 【解析】如图，函数2log (1)y x =+的图象可知，2()log (1)f x x +≥的解集是{|11}x x -<≤．。

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验（本卷满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．（2012•诸城市）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是_________．2．（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_________．3．已知图象变换：①关于y轴对称；②关于x轴对称；③右移1个单位；④左移一个单位；⑤右移个单位；⑥左移个单位；⑦横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由y=e x的图象经过上述某些变换可得y=e1﹣2x 的图象，这些变换可以依次是_________（请填上变换的序号）．4．（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是_________．5．已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，2]，g（x）=ax+2，x∈[﹣1，2]，若对任意x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是_________．6．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是_________．7．设函数f（x）=x3+x，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则m取值范围是_________．8．若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是_________．9．（2010•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是_________．10．已知函数，，设F （x ）=f （x+3）•g （x ﹣3），且函数F （x ）的零点均在区间[a ，b]（a ＜b ，a ，b ∈Z ）内，则b ﹣a 的最小值为 _________ ．11．不等式a ＞2x ﹣1对于x ∈[1，2恒成立，则实数的取值范围是 _________ ．12．若函数y=f （x ）存在反函数y=f ﹣1（x ），且函数y=2x ﹣f （x ）的图象过点（2，1），则函数y=f ﹣1（x ）﹣2x 的图象一定过点 _________ ．13．定义在R 上的函数满足f （0）=0，f （x ）+f （1﹣x ）=1，，且当0≤x 1＜x 2≤1时，f （x 1）≤f （x 2），则= _________ ．14．（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足： （1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； （2）当x ∈（1，2]时f （x ）=2﹣x 给出结论如下：①任意m ∈Z ，有f （2m）=0； ②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n+1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k，2k ﹣1）．其中所有正确结论的序号是 _________二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（2012年高考（上海文理））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.16．（本小题满分14分）已知函数()21f x x =-，2,0()1,0x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的解析式.17．（本小题满分14分）设函数.)2(,2)2(,2)(2⎩⎨⎧>≤+=x x x x x f（1）求)9(f 的值； （2）若8)(0=x f ，求.0x18. （本题满分16分）已知函数32)(2-+-=mx x x f 为)3,5(n +--上的偶函数， （1）求实数n m ,的值； （2）证明：)(x f 在]0,5(-上是单调增函数19. （本题满分16分）（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.20.（本小题满分16分）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，其中01a <<，记函数)(x f 的定义域为D ． （1）求函数)(x f 的定义域D ；（2）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值；（3）若对于D 内的任意实数x ,不等式2222x mx m m -+-+＜1恒成立,求实数m 的取值范围．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验参考答案与试题解析一、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值）1．（2012•诸城市）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（13，49）．﹣1）的图象关于点（1，0）对称，）的图象关于点（0，0）对称，）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，y2，4）2＜4恒成立，，则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意d=表示区域内的点和原点的距离．，2．（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．3．已知图象变换：①关于y轴对称；②关于x轴对称；③右移1个单位；④左移一个单位；⑤右移个单位；⑥左移个单位；⑦横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由y=e x的图象经过上述某些变换可得y=e1﹣2x 的图象，这些变换可以依次是①⑧⑤或①③⑧或⑧①⑤或⑧⑥①或④⑧①或④①⑧（请填上变换的序号）．的图象与函数y=e的图象，均在x轴上方，关于x轴对称变换，但观察到两个解析式，底数相同，指数部分含x项符号相反，故一定要进行）若第一步进行对称变换，第二步进行伸缩变换，第三步进行平移变换，平移变换为：右移个单位，即①⑧⑤；）若第一步进行对称变换，第二步进行平移变换，第三步进行伸缩变换，1个单位，即①③⑧；）若第一步进行伸缩变换，第二步进行对称变换，第三步进行平移变换，则平移变换为：右移个单位，即⑧①⑤；则平移变换为：左移个单位，即4．（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＜﹣1．时，有1+5．已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，2]，g（x）=ax+2，x∈[﹣1，2]，若对任意x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．，解得6．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是﹣1.5＜b＜﹣．）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于列式如下：，即＜﹣＜﹣7．设函数f（x）=x3+x，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则m取值范围是（﹣∞，1）．时，，解得：8．若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是[4，+∞）．+8）（8﹣x），y1=f（x），y2=λ（x+1）．利用导数工具得出）单调增，原不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立转化为：y1＜f（x）都成立，从而得出实数λ的取值范围．x2+8）（8﹣x），y1=f（x），y2=λ（x+1（x）=24x2﹣4x3+64﹣16x＞0．）时，f（x）单调增，=12 9．（2010•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是．依据题意得上恒定成立，即在立，求出函数函数的最小值即可求出解：依据题意得在时，函数取得最小值，所以解得，﹣[，10．已知函数，，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为9．﹣﹣，=+…11．不等式a＞2x﹣1对于x∈[1，2恒成立，则实数的取值范围是a≥3．12．若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=2x﹣f（x）的图象过点（2，1），则函数y=f﹣1（x）﹣2x的图象一定过点（3，﹣4）．13．定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则=．求出一些特值，），（，再利用条件将逐步转化到内，代入求解即可．）的图象关于中令），=可得因为所以所以故答案为：14．（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是①②④，则）﹣（（，﹣17. 解：（1）因为29>，所以1892)9(=⨯=f（2） ⅰ）若8220=+x ，则620=x ，即660-=或x ，而20≤x ，所以0x 的值不存在；ⅱ）若2,24,82000=>==x x x 所以则 综上得20=x 18. 解：（1）8,0==n m（2）由（1）知，32)(2--=x x f设215x x <<-，22212122)()(x x x f x f +-=- =))((22112x x x x +- 因为215x x <<-，所以0,02112<+>-x x x x所以0)()(21<-x f x f ，即)(x f 在]0,5(-上是单调增函数. 19. 解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中,令0y =,得221(1)=020kx k x -+.由实际意义和题设条件知00x>k >，. ∴2202020===10112k x k k k≤++,当且仅当=1k 时取等号. ∴炮的最大射程是10千米.(2)∵0a >,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >,使221(1)=3.220ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根. 由()()222=204640a a a ∆--+≥得6a ≤.此时,0k (不考虑另一根).∴当a 不超过6千米时,炮弹可以击中目标.20. 解：（1）要使函数有意义：则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得13<<-x∴ 函数的定义域D 为)1,3(- ………………………………………2分（2）22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦13<<-x 201)44x ++≤∴<-(10<<a ，2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴，即min ()log 4a f x =， ……5分由log 44a =-，得44a-=，1424a -==∴． ………………………7分 （注：14242a -==∴不化简为14242a -==∴扣1分）（3）由题知－x 2+2mx －m 2+2m ＜1在x ∈)1,3(-上恒成立，2x ⇔－2mx +m 2－2m +1＞0在x ∈)1,3(-上恒成立， ……………………9分令g (x )=x 2－2mx+m 2－2m+1，x ∈)1,3(-，配方得g (x )=(x －m )2－2m +1，其对称轴为x =m ， ①当m ≤－3时， g (x )在)1,3(-为增函数，∴g (－3)= (－3－m )2－2m +1= m 2+4m +10≥0， 而m 2+4m +10≥0对任意实数m 恒成立，∴m ≤－3． ………………11分 ②当－3＜m ＜1时，函数g (x )在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数， ∴g (m )=－2m +1＞0，解得m ＜.21 ∴－3＜m ＜21…………13分 ③当m ≥1时，函数g (x )在)1,3(-为减函数，∴g (1)= (1－m )2－2m +1= m 2－4m+2≥0， 解得m ≥2m ≤2 ∴－3＜m ＜21………………15分 综上可得，实数m 的取值范围是 (－∞，21)∪[2+∞) ……………16分。

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4.(2020·景德镇质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤0，
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，x >0，则 f (f (log 23))＝( )
A.－9
B.－1
C.－13
D.－127 解析 f (log 23)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝－2log 23－1＝－13
<0， ∴f [f (log 23)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝－1. 答案 B
5.(2020·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为
( )
A.(－1，0)
B.(－2，0)
C.(0，1)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0 解析 由题意，知－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1，1).令－1<2x －1<1，得0<x <1.∴f (2x －1)的定义域为(0，1).
答案 C
6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为
( )
A.y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 10 B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D.y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋510 解析 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要
增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋310. 答案 B。

课时达标检测（十二） 函数与方程[练基础小题——强化运算能力]1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.2．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 令f (x )＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x 12与y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象(图略)，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B. 3．若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x－1 B ．y ＝f (x )e －x＋1 C ．y ＝e xf (x )－1D ．y ＝e xf (x )＋1解析：选C 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x 0f (x 0)＝－1，e －x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e xf (x )－1的零点．4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.5．(2016·天津六校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续的曲线，且对应值如表：则函数y 解析：依题意知f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设a 是方程2ln x －3＝－x 的解，则a 在下列哪个区间内( ) A ．(0,1) B ．(3,4) C ．(2,3)D ．(1,2)解析：选D 令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．2．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定解析：选C 在同一坐标系中作出函数y ＝2x，y ＝log 12x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x 0<a 时，有2x 0<log 12x 0，即f (x 0)<0.3．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选B 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示：显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.5．(2016·山西四校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f x ＋，x <0，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f x ＋，x <0的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得当函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，有a <1，故选C.6．(2017·湖南衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．14B ．12C ．10D ．8解析：选A 由题图可知，若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1；由题图2知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－32或f (x )＝32或f (x )＝0.由题图1知，f (x )＝32与f (x )＝－32各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.由此可得m ＋n ＝14.故选A.二、填空题7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1.∴g (x )的零点为1＋2，1.答案：1＋2，18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．答案：29．(2016·湖北优质高中联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：题设可转化为两个函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：1010．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：(0,1) 三、解答题11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，∵f (0)＝1>0， ∴f (2)≤0.又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.而当m ＝－32时，f (x )＝0在[0,2]上有两解12和2，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4≥0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知实数m 的取值范围是(－∞，－1]．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋2x . 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1)．。