2020新教材高中数学第九章解三角形章末整合课件新人教B版必修第四册

阶段提升课第一课解三角形思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.(2020·某某高一检测)在△bsinA-acosB=2b-c,则A=( )A. B. C. D.【解析】sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin C,即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin(A+B),即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-,所以sin Bsin A=2sin B-cos Asin B,因为sin B≠0,所以sin A+cos A=2,即sin=1,所以A+=+2kπ,即A=+2kπ,又A∈(0,π),所以A=.2.(2020·某某高一检测)在△ABC中,AB=5,AC=,AD为边BC的中线,且AD=4,则BC边的长为( )【解析】选D.设BC=2x,在△ABC中cos B===,在△ABD中cos B===,所以=,解得x=2(负值舍去),则BC=4.3.(2020·某某高一检测)如图,点A在△BCD的外接圆上,且sin A=,A为锐角,AD=CD=5,BD=3.(1)求AB的长;(2)求四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为sin A=,A为锐角,所以cos A=,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A,AB2-8AB-20=0得AB=10或AB=-2(舍去),所以AB=10.(2)由(1)可知S△ABD=AB·ADsin A=×10×5×=15,因为ABCD四点共圆,所以∠A+∠C=π,所以sin C=,cos C=-,在△BCD中,由正弦定理得=,即=,得sin∠DBC=,cos∠DBC=,所以sin∠BDC=sin[π-(∠DBC+∠BCD)]=sin(∠DBC+∠BCD)=×+×=, 所以S△BCD=×BD×CD×sin∠BDC=×3×5×=3,所以四边形ABCD的面积S=15+3=18.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二判断三角形的形状1.(2020·仁寿高一检测)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状是( )【解析】2=,则=,即sin C+cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C,即sin Acos C=0,sin A≠0,故cos C=0,C=.△ABC中,若=,试判断△ABC的形状.【解析】由已知===,得=.可有以下两种解法.方法一:(利用正弦定理,将边化角)由正弦定理得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B.因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°.即B=C或B+C=90°.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二:(利用余弦定理,将角化边)因为=,所以由余弦定理得=,即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b42(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c22=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.三角形形状的判断方法判断三角形的形状,一般有以下两种方法:(1)将已知条件统一化成边的关系,用代数方法求解;(2)将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解.题组训练三正、余弦定理的实际应用1.(2020·仁寿高一检测)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )【解析】△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,AB=BCtan ∠ACB=15×=15.2.如图,为了测量A、C两点间的距离,选取同一平面上B、D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为_______km.( )【解析】选A.cos B=,cos D=,因为∠B与∠D互补,所以cos B+cos D=0,所以+=0,解得AC=7(负值舍去).3.(2020·某某高一检测)为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知原公园是直径为200 m的半圆形,出入口在圆心O处,A为居民小区,OA的距离为200 m,按照设计要求,以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点),使改造后的公园成四边形OACB的形状,如图所示.(1)若OB⊥OA时,C与出入口O的距离为多少米;(2)B设计在什么位置时,公园OACB的面积最大.【解析】(1)设∠OAB=θ,∠BAC=,则在Rt△OAB中AB2=50 000,AC2==25 000,sin θ=,cos θ=,在△OAC中,cos∠OAC=cos=cos θcos-sin θsin=,OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos=45 000,则OC=150m.(2)如图,设∠AOB=α(0<α<π),则AB2=OB2+OA2-2OB×OA×cos α=50 000-40 000cos α,又S△ABC=AC2=×AB2=12 500-10 000cos α,又S△AOB=OA×OBsin α=×200×100sin α=10 000sin α,所以S四边形OACB=S△ABC+S△AOB=12 500-10 000cos α+10 000sin α=10 000(sinα-cosα)+12 500=10 000sin+12 500,所以当sin=1,即α=时,四边形OACB面积最大为(10 000+12 500) m2.解三角形在实际生活中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.题组训练四与三角形有关的综合问题1.(2020·某某高一检测)在△ABC中,已知向量m=,且m2=,记角A,B,C的对边依次为a,b,c.若c=2,且△ABC是锐角三角形,则a2+b2的取值X围为_______.【解析】由题意得向量m=,且m2=,则m2=cos2+1=+1=,即cos=-,因为0<A+B<π,所以A+B=,即C=,因为c=2,由正弦定理得===,即a=sin A,b=sin B=sin,则a2+b2==-=-=+sin,因为△ABC是锐角三角形,即0<A<且0<B=-A<,所以<A<,即有<2A-<,所以有<sin≤1,所以<a2+b2≤8.答案:△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.【解析】(1)由·=2得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.解得或因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.三角形综合问题的求解策略正、余弦定理将三角形中的边和角的关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.。

章解三角形目录•解三角形的基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形的面积公式及其应用•解三角形的实际应用举例解三角形的基本概念与性质三角形的分类根据三角形的边长和角度特征，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。

三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

三角形的定义与分类三角形的边与角的关系01三角形边长关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

02三角形内角和三角形的内角和等于180°。

03三角形外角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

特殊三角形的性质等腰三角形的性质01两腰相等，两底角相等；三线合一（即顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合）。

等边三角形的性质02三边相等，三个内角都等于60°；三线合一（即任意一边上的中线、高及这边所对角的平分线重合）。

直角三角形的性质03有一个角为90°的三角形是直角三角形；在直角三角形中，两个锐角互余；勾股定理（即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。

正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明直角三角形中的正弦定理在直角三角形中，正弦定理可以通过相似三角形的性质推导出来，即任意两边之比等于它们对角的正弦值之比。

任意三角形中的正弦定理通过作高将任意三角形转化为两个直角三角形，再利用直角三角形的正弦定理进行推导和证明。

正弦定理在解三角形中的应用已知两边和夹角求第三边利用正弦定理可以求出已知两边和夹角时的第三边长度。

已知两角和夹边求第三角通过正弦定理可以求出已知两角和夹边时的第三角大小。

判断三角形的形状结合正弦定理和其他条件，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形等。

1 2 3利用正弦定理可以求解三角形中的最值问题，如最大角、最小角、最长边、最短边等。

在三角形中的最值问题正弦定理不仅适用于三角形，还可以应用于其他几何图形，如平行四边形、梯形等，用于求解相关边长和角度。