2020新教材高中数学第九章解三角形章末整合课件新人教B版必修第四册

B=C,ABC是等腰三角形
（法二）： sinA=2sinBcosC
a2 b 2 c2
a 2b
2ab
a2 a2 b 2 c2
b=c,ABC是等腰三角形
随堂练习
例4. 已知，则下列命题中，是真命题的有哪些？
必修四教材20页B组1题
（1）若2 = 2, 则是等腰三角形；
(3)已知两角与任意一边，求其他两边和一角．
知识结构--方法点睛
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形
问题；
(3)选择正弦定理或余弦定理求解；
知识结构--方法点睛
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中对单位、精确度的要求.
这一思路可描述如下：
课题作业
1.每小组同学分工合作，利用网络或书籍查找已有的测角仪，并
常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问
题、计算面积问题等．
随堂练习
题型三 解三角形的应用题
例 5.如图测量人员沿直线 MNP 的方向测量，测得塔顶 A 的仰别是
∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且 MN＝PN＝500m，求塔
高 AB.
随堂练习
设 AB＝x，
∵AB 垂直于地面，
人教版普通高中数学B版必修第四册 第一章
《解三角形》
本章小结
知识结构
三角形面积
1
= sin
2
正弦定理



=
=
sin sin sin
解三角形
余弦定理
向量的数量积
2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cosB

阶段提升课第一课解三角形思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.(2020·某某高一检测)在△bsinA-acosB=2b-c,则A=( )A. B. C. D.【解析】sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin C,即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin(A+B),即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-,所以sin Bsin A=2sin B-cos Asin B,因为sin B≠0,所以sin A+cos A=2,即sin=1,所以A+=+2kπ,即A=+2kπ,又A∈(0,π),所以A=.2.(2020·某某高一检测)在△ABC中,AB=5,AC=,AD为边BC的中线,且AD=4,则BC边的长为( )【解析】选D.设BC=2x,在△ABC中cos B===,在△ABD中cos B===,所以=,解得x=2(负值舍去),则BC=4.3.(2020·某某高一检测)如图,点A在△BCD的外接圆上,且sin A=,A为锐角,AD=CD=5,BD=3.(1)求AB的长;(2)求四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为sin A=,A为锐角,所以cos A=,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A,AB2-8AB-20=0得AB=10或AB=-2(舍去),所以AB=10.(2)由(1)可知S△ABD=AB·ADsin A=×10×5×=15,因为ABCD四点共圆,所以∠A+∠C=π,所以sin C=,cos C=-,在△BCD中,由正弦定理得=,即=,得sin∠DBC=,cos∠DBC=,所以sin∠BDC=sin[π-(∠DBC+∠BCD)]=sin(∠DBC+∠BCD)=×+×=, 所以S△BCD=×BD×CD×sin∠BDC=×3×5×=3,所以四边形ABCD的面积S=15+3=18.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二判断三角形的形状1.(2020·仁寿高一检测)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状是( )【解析】2=,则=,即sin C+cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C,即sin Acos C=0,sin A≠0,故cos C=0,C=.△ABC中,若=,试判断△ABC的形状.【解析】由已知===,得=.可有以下两种解法.方法一:(利用正弦定理,将边化角)由正弦定理得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B.因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°.即B=C或B+C=90°.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二:(利用余弦定理,将角化边)因为=,所以由余弦定理得=,即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b42(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c22=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.三角形形状的判断方法判断三角形的形状,一般有以下两种方法:(1)将已知条件统一化成边的关系,用代数方法求解;(2)将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解.题组训练三正、余弦定理的实际应用1.(2020·仁寿高一检测)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )【解析】△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,AB=BCtan ∠ACB=15×=15.2.如图,为了测量A、C两点间的距离,选取同一平面上B、D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为_______km.( )【解析】选A.cos B=,cos D=,因为∠B与∠D互补,所以cos B+cos D=0,所以+=0,解得AC=7(负值舍去).3.(2020·某某高一检测)为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知原公园是直径为200 m的半圆形,出入口在圆心O处,A为居民小区,OA的距离为200 m,按照设计要求,以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点),使改造后的公园成四边形OACB的形状,如图所示.(1)若OB⊥OA时,C与出入口O的距离为多少米;(2)B设计在什么位置时,公园OACB的面积最大.【解析】(1)设∠OAB=θ,∠BAC=,则在Rt△OAB中AB2=50 000,AC2==25 000,sin θ=,cos θ=,在△OAC中,cos∠OAC=cos=cos θcos-sin θsin=,OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos=45 000,则OC=150m.(2)如图,设∠AOB=α(0<α<π),则AB2=OB2+OA2-2OB×OA×cos α=50 000-40 000cos α,又S△ABC=AC2=×AB2=12 500-10 000cos α,又S△AOB=OA×OBsin α=×200×100sin α=10 000sin α,所以S四边形OACB=S△ABC+S△AOB=12 500-10 000cos α+10 000sin α=10 000(sinα-cosα)+12 500=10 000sin+12 500,所以当sin=1,即α=时,四边形OACB面积最大为(10 000+12 500) m2.解三角形在实际生活中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.题组训练四与三角形有关的综合问题1.(2020·某某高一检测)在△ABC中,已知向量m=,且m2=,记角A,B,C的对边依次为a,b,c.若c=2,且△ABC是锐角三角形,则a2+b2的取值X围为_______.【解析】由题意得向量m=,且m2=,则m2=cos2+1=+1=,即cos=-,因为0<A+B<π,所以A+B=,即C=,因为c=2,由正弦定理得===,即a=sin A,b=sin B=sin,则a2+b2==-=-=+sin,因为△ABC是锐角三角形,即0<A<且0<B=-A<,所以<A<,即有<2A-<,所以有<sin≤1,所以<a2+b2≤8.答案:△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.【解析】(1)由·=2得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.解得或因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.三角形综合问题的求解策略正、余弦定理将三角形中的边和角的关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.。

章解三角形目录•解三角形的基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形的面积公式及其应用•解三角形的实际应用举例解三角形的基本概念与性质三角形的分类根据三角形的边长和角度特征，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。

三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

三角形的定义与分类三角形的边与角的关系01三角形边长关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

02三角形内角和三角形的内角和等于180°。

03三角形外角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

特殊三角形的性质等腰三角形的性质01两腰相等，两底角相等；三线合一（即顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合）。

等边三角形的性质02三边相等，三个内角都等于60°；三线合一（即任意一边上的中线、高及这边所对角的平分线重合）。

直角三角形的性质03有一个角为90°的三角形是直角三角形；在直角三角形中，两个锐角互余；勾股定理（即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。

正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明直角三角形中的正弦定理在直角三角形中，正弦定理可以通过相似三角形的性质推导出来，即任意两边之比等于它们对角的正弦值之比。

任意三角形中的正弦定理通过作高将任意三角形转化为两个直角三角形，再利用直角三角形的正弦定理进行推导和证明。

正弦定理在解三角形中的应用已知两边和夹角求第三边利用正弦定理可以求出已知两边和夹角时的第三边长度。

已知两角和夹边求第三角通过正弦定理可以求出已知两角和夹边时的第三角大小。

判断三角形的形状结合正弦定理和其他条件，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形等。

1 2 3利用正弦定理可以求解三角形中的最值问题，如最大角、最小角、最长边、最短边等。

在三角形中的最值问题正弦定理不仅适用于三角形，还可以应用于其他几何图形，如平行四边形、梯形等，用于求解相关边长和角度。

[解]
法一：在△ABC中，根据正弦定理：
a sin
A
＝
b sin
B
＝
c sin
C
＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2aR2＝2bR2＋2cR2， 即a2＝b2＋c2，
∴A＝90°，∴B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)， ∴sin2B＝21. ∵B是锐角，∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)根据正弦定理，sin A＝asibn B＝sin 1320°＝12. 因为 B＝120°，所以 A＝30°，则 C＝30°，c＝a＝1
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是 直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是 锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为 锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两 解，分别求解即可．
a (3) sin
A
＝ sinb
B
＝ sinc
C
＝ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C
＝2R；(证明见类型
4[探究问题])
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转
化)
(5)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.(可以实现角到边的转化)
2＋5
6.
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对 边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出 第三个角，再由正弦定理求另外两边．

sin sin45°
,所以
=
16
14
sin B= 4 2 ,因为a<b,A=45°,所以角B有两解;选项D中,A是最大角,但a<c,所
以无解.
7
【例2】 [2023浙江温州期中]如图,在四边形ABCD中,已知A=120°,
AB⊥BC,AD=3,AB=5,C=45°.
(1)求cos∠ABD;
(2)求CD的长.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定
航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明
理由.
解(方法一)(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则
S= 900 2 + 400-2·30·20·cos(90°-30°)
且acos C+ 3 asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,则△ABC的面积为 3 ,求b,c.
解(1)因为 acos C+ 3asin C-b-c=0,
所以 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0.
所以 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0,
(v2-900)t2+600t-400=0.
①若 0<v<30,则由 Δ=360 000+1 600(v2-900)=1 600(v2-675)≥0,得 v≥15 3.
-300±20 2 0
-300-20 2 -675
当 t=
2 -900
时,

(1)铅垂平面是指与水平面 垂直 的平面.
(2)仰角与俯角是指在同一铅垂平面内,视线与水平线的夹角,当视线在水
平线之 上 时,称为仰角,当视线在水平线之 下 时,称为俯角(如图①所示).
图①
(3)方位角:从某点的指 北 方向线起依 顺时针 方向到目标方向线间的水平
角,如:图②表示的方位角是60°,或称北偏东60°.
∴D位于A的正北方向,又∠ADC=45°,
∴台风移动的方向为向量 的方向,即北偏西 45°方向.
【易错辨析】
因忽视题设条件或定理应用不当致误
【典例】 已知A船在灯塔C北偏东80°方向,距离灯塔C 2 km处,B船在灯塔
C北偏西40°方向,A,B两船的距离为3 km,求B船到灯塔C的距离.
错解:如图所示,由题意知AB=3 km,AC=2 km,∠ACB=120°.
解:在△ABC中,AC=400 m,BC=600 m,∠ACB=60°.
由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°,
则 AB=
4002
+
6002 -2
1
× 400 × 600 × ≈529.2(m),
2
所以DE=AB-AD-BE≈409.2(m).
即隧道DE长约为409.2 m.
延伸探究
在本例中,若已知角B,角C,BC,AD,BE的值,能否求DE的长?
提示:能.∵A=π-B-C,


由
=
,求出 AB,
sin sin
所以DE=AB-AD-BE.
反思感悟
在解决实际问题时,先将实际问题转化为平面几何问题,再将已知条件转化
为三角形中的边角问题,最后利用正弦定理或余弦定理解三角形.

2
cos C=
, cos B=
2 + 2 - 2
2
,
减去这
名师点睛
1.余弦定理多应用于已知两边及一角的条件下解三角形,其变式多应用于
已知三边的条件下求三角形的内角.
2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,都可以知三求
边长所满足的条件.
6.在已知三角形内角的余弦值求角时,由于余弦函数y=cos x在区间(0,π)内
单调递减,所以角的余弦值与角一一对应,故不存在多解的情况.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)余弦定理只适用于锐角三角形.( × )
(2)余弦定理不适用于钝角三角形.( × )
(3)已知三角形的两边和这两边的夹角,则这个三角形是确定的.( √ )
A= 2
=
=
6 2 +(√3+1)2 2 -4 2
2× √6×(√3+1)
4 2 +(√3+1)2 2 -6 2
2×2×(√3+1)
=
1
,
2
所以A=45°,B=60°.
所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
=
√2
,
2
(方法二)由方法一可得A=45°.
2
2
2
1
=19,所以
2
c=√19.
(2)在△ABC 中,已知 a=√3,b=√2,B=45°,解三角形.
解 由余弦定理,得 b =a +c -2accos B,则 2=3+c -2√3 ×
2

设最长边所对的角为 θ,
2
2
2
+(2-1) -(2+1)
则 cos θ=
2(2-1)
(-8)
=
<0,
2(2-1)
1
解得 <a<8.故 a 的取值范围是(2,8).
2
防范措施
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是三条线段能
构成三角形的充要条件.
若是在锐角或钝角三角形中,则三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角
围.
2 + 1 > 0,
1

>
0,
错解:由题意,得
∴a>2,∴2a+1 最大.
2-1 > 0,
设长为 2a+1 的边所对的角为 θ,
2
2
2 +(2-1) -(2+1)
(-8)
1
则 cos θ=
=
<0.∴ 2<a<8.
2(2-1)
2(2-1)
1
即 a 的取值范围是 2 ,8 .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
π
又 cos C=
= ,∴C= .
2
2
6
π
C. 4
π
D. 12
)
3.在△ABC中,若a=2bcos C,则△ABC的形状为
答案:等腰三角形
2
2
2 + -2 2 + -2
解析:∵a=2bcos C=2b·
=
,
2

∴a2=a2+b2-c2,即b2=c2,b=c,

=
=c=
;若△ABC 为斜三角形,式
sin sin
sin



子
=
=
成立吗?
sin sin sin
提示:成立.
2.(1)正弦定理
(2)面积公式
1
1
S= sin = sin =
2
2
1
sin
2
.
(3)解三角形
三角形的3个角与3条边都称为三角形的 元素 ,已知三角形的若干元素求
1
,a=3,求三角形中其他边与角的大小.
2
解:∵A=60°,
∴0°<B<120°,
1
又 sin B= ,
2
∴B=30°,C=90°.



由正弦定理可知sin = sin = sin,
sin
sin30°
故 b=sin ·a=sin60° ×3= 3,
sin
sin90°
c=
·a=
×3=2 3.
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.不等边三角形
答案:B
解析:∵c=2acos B,∴sin C=2sin Acos B.
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0.
第九章
9.1.1 第1课时 正弦定理
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑

【例4】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,
cos
3
A= ,B=2A.
3
(1)求 b 的值;
(2)求 sin
π
- 6
的值.
解(1)因为 cos
3
A= ,且
3
2A=2sin Acos
2 2
A= 3 .
由正弦定理,得
sin
b= sin
A∈(0,π),所以 sin
课标要求
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.掌握三角形的面积公式.
3.能够运用正弦定理处理一定条件下的解三角形问题.
4.掌握正弦定理的变形式,并能进行边角互化.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
三角形的面积
三角形的面积公式
解析 对于选项

A,由sin
=

,得
sin
sin
sin
B=
=
14×
7
1
2
=1,从而 B=90°,
C=180°-90°-30°=60°,只有一解.对于选项 B,由 A=150°,a>b,可知△ABC
是钝角三角形,因此只有一解.同理,选项 C 只有一解.对于选项 D,因为 sin
sin
所以等式成立.
规律方法
边与角的互化方法
正弦定理的变形公式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的
半径)能够使三角形边与角的关系相互转化.
变式训练3在△ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状.

过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6.课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调正弦定理的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括正弦定理的基本概念、推导、案例分析等。
-通过实验操作和实际测量，学会了如何将数学理论应用于实际操作中，提高了实践能力。
3.情感态度与价值观：
-增强了对数学学科的兴趣，认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
-养成了积极探究和主动学习的习惯，愿意面对挑战，寻求解决问题的方法。
-通过对正弦定理历史背景的了解，感受到了数学知识的连贯性和历史传承，增强了文化自信。
强调正弦定理在现实生活和解三角形中的应用价值，鼓励学生进一步探索和应用。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于正弦定理应用的小短文或报告，以巩固学习效果。
学生学习效果
1.知识与技能：
-掌握了正弦定理的基本概念，能够准确表述正弦定理的数学表达式及其几何意义。
-学会了正弦定理的推导过程，能够理解并运用正弦定理解决三角形边长和角度的问题。
-学生在课堂上的参与度，如积极回答问题、主动提问等，将作为评价的一部分。
-观察学生在观看多媒体资源和实验操作时的专注程度，以及他们对正弦定理推导过程的理解程度。
2.小组讨论成果展示：
-评价各小组在讨论正弦定理应用案例时的深入程度，以及提出的解决方案的创新性和实用性。
-各组代表的展示效果，包括表达清晰度、逻辑性和对问题的分析深度。
-在教室墙壁或黑板上张贴相关的图表和提示信息，以供学生参考。
5.课前准备：

自主预习 新知导学
正弦定理的应用
1.正弦定理:



=
=
= 2 .(R 为△ABC 外接圆的半径)
sin sin sin
2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型?
提示:(1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边和其中一边的对角解三角
形.
3.在△ABC中,已知B=30°,c=4,b=2,解此三角形.
(4)a=9,b=10,A=60°,无解.
解:(1)a=bsin A,有一解,故原说法错误.
(2)A>90°,a>b,有一解,说法正确.
(3)a<bsin A,无解,故原说法错误.
(4)b>a>bsin A,有两解,故原说法错误.
探究二
利用正弦定理证明恒等式
【例 2】 在△ABC
2 - 2
中,求证:
第九章
9.1.1 第2课时 正弦定理的应用
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题.
4.提升逻辑推理和数学运算素养.
cos2
− 2
=
1
2
−
1
.
2
探究三
正弦定理与三角函数的综合问题
【例 3】 在△ABC 中,已知 asin 2B= 3bsin A.
(1)求 B;
(2)若 cos
1
A= ,求

跟踪训练 1 在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，∠C＝120°， 则边 c＝__2__1_9___.
解析：根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－ 2×4×6cos 120°＝76，c＝2 19.
题型二 已知三边或三边关系解三角形 例 2 (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2，c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数；
故 c＝
6＋ 2
2，∠A＝60°，∠C＝75°或 c＝
6－ 2
2，∠A＝
120°，∠C＝15°.
方法归纳
已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是 利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关 于另一边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定 理求角．
题型一 已知两边及一角解三角形 例 1 已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°.
【解】 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2
2 3·2 c.
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，得
4．在△ABC 中，若 a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝___1_2_0_°__.
解析：∵a2＝b2＋bc＋c2， ∴b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12， 又∵0°＜∠A＜180°， ∴∠A＝120°.
题型一 已知两边及一角解三角形 例 1 已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°.

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案
(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船
相遇,并说明理由.
第七页，编辑于星期六：二点 五十一分。
题型突破
深化提升
解法一 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,
则 S= 900 2 + 400-2·30·20·cos(90°-30°)
章末整合
-1-
第一页，编辑于星期六：二点 五十一分。
知识网络
系统构建
第二页，编辑于星期六：二点 五十一分。
题型突破
深化提升
专题一 应用正、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是(
A.b=20,A=45°,C=80°
B.a=30,c=28,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
解:(1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理得
3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
由于 sin C≠0,所以 sin
又 0<A<π,故
π
A=3.
π
- 6
=
1
.
2
1
(2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4.
而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8.
在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30°=10 3,AC=20sin 30°=10,
又 AC=30t,OC=vt,
此时,轮船航行时间
10
t=
30
=
1
10 3
,v= 1 =30
3
3,

第9章[巩固层·知识整合][提升层·题型探究] 利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BD ＝5，AB ⊥BC ，∠BCD ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．[思路探究] (1)由面积公式求出sin∠ABD ，进而得cos∠ABD 的值，利用余弦定理可解；(2)由AB ⊥BC 可以求出sin∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解．[解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin∠ABD ＝12×2×5×sin∠ABD ＝2，可得sin∠ABD ＝255，又∠ABD ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2， 所以sin∠CBD ＝cos∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin∠BCD ＝2sin∠ABD ·cos∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理知，BD sin∠BCD ＝CDsin∠CBD ，得CD ＝BD ·sin∠CBD sin∠BCD ＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12×54×54×45＝58. 利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求．(2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误． (4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos∠ADC ＝17. (1)求si n∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．[解] (1)在△ADC 中，因为cos∠ADC ＝17， 所以sin∠ADC ＝437， 所以sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin∠ADC cos B －cos∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB s in∠BAD sin∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49， 所以AC ＝7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得 a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[跟进训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1.∵0°<C <120°，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，则A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 化简得(a －c )2＝0.∴a ＝c .又B ＝60°，∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由已知，根据正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .又A ＝π－(B ＋C )，∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C＝sin B cos C ＋sin C sin B ，∴cos B sin C ＝sin C sin B ，∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角，∴B ＝π4. (2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ， 由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ， 同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A ＝2(sin A cos A ＋sin 2A )＝sin 2A ＋1－cos 2A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1， ∴当2A －π4＝π2， 即A ＝3π8时，S △ABC 有最大值2＋1. 求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35， 故B 为锐角，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin (π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4 ＝sin B cos π4＋cos B sin π4＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 正弦、余弦定理在实际中的应用【例445°方向，相距12海里的B 处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去. 故AC ＝28海里，BC ＝20海里．根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314. 应用解三角形知识解决实际问题四步曲 (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[跟进训练]4．甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ，Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t <2时，如图①，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120°＝20－10t 2＋8t 2－2×20－10t ×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100；②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16；③当t >2时，如图②，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 60°＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100(t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小． 所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近． [培优层·素养升华]【例题】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[思路探究] (1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A 的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C .[解] (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ， 由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 整理得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b c＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3A [∵a sin A －b sinB ＝4c sinC ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝6.]。

课
情 境 导
∴2＝3＋c2－2 3× 22c.
堂 小 结
学
探 新 知
即c2－
6c＋1＝0，解得c＝
6＋ 2
2或c＝
6－ 2
2 .
提 素 养
合 作
当c＝
6＋ 2
2
时，由余弦定理，得cos
探 究 释 疑 难
2＋
2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
12/12/2021
第十八页，共五十页。
A＝
b2＋c2－a2 2bc
学
提
探 新
2．余弦定理的推论
素
知
养
cos A＝ b2＋c2－a2 ；
课
合
2bc
时
作 探
cos B＝ a2＋c2－b2 ；
分 层
究
2ac
作
释
疑 难
cos C＝ a2＋b2－c2 . 2ab
业
返
首
12/12/2021
页
第六页，共五十页。
课
情
境
[拓展]
堂 小
导
结
学 探 新 知
(1)若b2＋c2＞a2，根据余弦定理的推论可知cos
小
导 学 探 新
(2)若b2＋c2＜a2，根据余弦定理的推论可知cos
A＝b2＋2cb2c－a2＜
结 提 素
知 0，则△ABC是钝角三角形且角A是钝角．同理可得，若a2＋c2＜b2， 养
合 则△ABC是钝角三角形且角B是钝角；若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝
课 时
作
分
探 究
角三角形且角C是钝角．
层 作