高中数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5

必修5第一章解三角形检测一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a等于( ) A.6 B ．2 C.3 D. 22．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c=A ．1B ．2 C.3－1 D. 33．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( )A ．150°B ．120°C ．90°D ．135°4．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，且cos B cos C ＝cb，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．正三角形5．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实数根，则A 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在6．在△ABC 中，A ＝45°，b ＝4，c ＝2，那么cos B ＝( )A.31010 B ．－31010C.55 D ．－557．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( )A ．30°或150°B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．△ABC 三边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是( )A ．1 1B ．1 2C ．1 4D ．4 39．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A.532B. 3C.52D ．510．关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B －cos 2C2＝0有一个根为1，则此三角形为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形11．若△ABC 的三边为a 、b 、c ，它的面积为a 2＋b 2－c243C 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且∠A ＝2∠B ，若a ＝xb ，则x 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,2) 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8 5，则此三角形面积为________．14．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________． 15．在四边形ABCD 中，AB ＝6，BD ＝33，BC ＝4，∠ADB ＝∠CBD ，A ＝60°，则△BCD 面积为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55.(1)求角B 的大小； (2)若c ＝4，求△ABC 面积．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ＞∠B ＞∠C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．20．(本小题满分12分)已知∠A 、∠B 满足条件b －b cos A ＝a －a cos B ，若∠A 、∠B 是△ABC 的内角，且∠A 的对边是a ，∠B 的对边是b .试确定△ABC 的形状．。

第1章 解三角形(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，a ＝2，则b ＝________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2212＝2 2.【答案】 2 22．(2013·合肥高二检测)在▱ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.【解析】 AD ＝BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝462＋432－2×46×43×22＝4 3. 【答案】 4 33．(2013·九江高二检测)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.【解析】 ∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵C ＞π2，∴B ＝π6.∴A ＝B ＝π6，∴a ＝b ＝1.【答案】 14．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则此三角形是________． 【解析】 设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，其中t ＞0. 由于a ＜b ＜c ，所以C 是最大角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0，所以C 是钝角． 【答案】 钝角三角形5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________．【解析】 c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝219.∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719. 【答案】57196．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，∴a ＝42＋12－2×4×cos 60°＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2339.【答案】2339 7．(2013·厦门高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为________．【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，∴c ＝3，∴B 为最大角．∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－17.【答案】 －178．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＝3，则△ABC 的面积为________． 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴3sin 60°＝bsin 45°，∴b ＝2，C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 75°＝3＋34.【答案】3＋349．下面四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 必是等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形；③若cos A ·cos B ·cos C ＜0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B )·cos(B－C )·cos(C －A )＝1，则△ABC 是等边三角形．其中正确的是________．(填序号)【解析】 对于①，由sin 2A ＝sin 2B ，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此①不正确；对于②，假设A ＝120°，B ＝C ＝30°，符合sin A ＝cosB ，但此时三角形不是直角三角形，因此②不正确；对于③，由cos A ·cos B ·cosC ＜0可知cos A ，cos B ，cos C 中必有一个负值，两个正值，因此△ABC 必为钝角三角形，所以③正确；对于④，由cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1可知，只有满足cos(A －B )，cos(B －C )，cos(C －A )都等于1时，才有cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1成立，所以A ＝B ＝C ，故此三角形为等边三角形，所以④正确．综上可知③④正确．【答案】 ③④10．(2013·镇江高二检测)已知△ABC 的三边长满足等式a 2－b －c2bc＝1，则A 的值为________．【解析】 等式可化为a 2－(b 2＋c 2)＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°11．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为________．【解析】 画出示意图如图． △ABC 中，AB ＝10，BC ＝53， ∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°， 得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5. 【答案】 5海里12．(2013·苏州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.【解析】 由题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∴cos A ＝33. 【答案】3313．如图1所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，则BD ＝________.图1【解析】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， ∵AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， ∴sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，∵AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝5×91022＝922.【答案】92214．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整．【解析】 将A ＝60°看作已知条件， 由2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°，由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°) ＝2＋64， 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由asin A ＝bsin B，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，不合题意； 若已知条件为c ＝2＋62，则 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b ＝2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 【答案】 c ＝2＋62二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A . 【解】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)cos 45° ＝8，∴b ＝2 2.cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12， ∴A ＝60°.16．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)在△ABC 中，已知AC ＝3，sin A ＋cos A ＝2，(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝3，求BC 的值．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝2，∴2sin(A ＋π4)＝ 2∴sin(A ＋π4)＝1，A ＝π4，∴sin A ＝22.(2)∵S ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×22AB ＝3，∴AB ＝22， ∴BC ＝32＋222－3×22×2×22＝ 5. 17．(本小题满分14分)如图2所示，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .图2【解】 在Rt △AOP 中，AO ＝OP ·cot 30°＝3h . 又OP ⊥OB ，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h . 在△ABO 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ，即202＝3h 2＋h 2－2·3h ·h cos 60°， 即4h 2－3h 2＝202，∴h ＝204－3. ∴旗杆的高h 为204－3.18．(本小题满分16分)(2013·无锡高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，(1)求角C ；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0＜C ＜π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.19．(本小题满分16分)(2013·临沂高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13，(1)求sin2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值．【解】 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223，cos 2A ＝－79，∴sin 2B ＋C2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos A2＋cos 2A ＝1＋132－79＝－19.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴3＝b 2＋c 2－23bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －23bc ，即3≥43bc ，∴bc ≤94(b ＝c ＝32时取等号)，∴bc 的最大值为94.20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 【解】 (1)证明：∵AB →·AC →＝3BA →·BC →， ∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B . 又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3·sin Acos A，即tan B ＝3tan A . (2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1，tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.。

第1章解三角形单元测试基础检测1．在△ABC 中，A ∶B ∶C=3∶1∶2，则a ∶b ∶c = （ ）A ．1:2:3 B ．3:2:1C ．1:3:2D ．2:1:32．在△ABC 中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC 的最大角与最小角之和是 （ ） A ．90° B ．120 C ．135° D ．150° 3．在△ABC 中，若30A =，8a =，83b =，则ABC S ∆等于 （ ）A ．323B ．163C ．323或163D ．1234．若三条线段的长分别为7、8、9，则用这三条线段（ ） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A ．8a =，16b =，30A =，有两解B ．18a =，20b =，60A =，有一解C ．5a =，2b =，90A =，无解D ．30a =，25b =，150A =，有一解 6．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米． 7．在△ABC 中，在下列表达式中恒为定值的是 ． ① sin()sin A B C +- ② cos()cos B C A ++③ sincos 22A B C+- ④ tan tan 22A B C+⋅8．在平行四边形ABCD 中，已知AB=1，AD=2，1AB AD ⋅=，则||AC = ．9．在△ABC 中，已知AB=2，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值． 10．在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则△ABC 的形状是 ．11．在△ABC 中，a b c <<，60B =，面积为103cm 2，周长为20 cm ，求此三角形的各边长．12．在△ABC 中，已知3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++C B A C B A ，a b <，且cos cos cos a A b B c C +=，求△ABC 的各内角的大小．13．已知△ABC 中，2222(sin sin )()sin A C a b B -=-，△ABC 的外接圆半径为2．⑴ 求角C ；⑵求△ABC 的面积的最大值．14．如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30km 到达D ，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．选修检测15．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（ ）A. 3πB. 6πC. 3π或32πD. 6π或65π16．△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，5,4a b ==，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 17．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（ ） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，π43） D ．（34π，π）18．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形19．在△ABC 中，60,76,14B b a ===，则A = ； 20．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线27=AD ，那么BC= ； 21．在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++= ；22．在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的ba取值范围是 ．23．在△ABC 中，已知2b =，c =1，45B =︒，求a ，A ，C ．10．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，43cos =B ．（Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值； （Ⅱ）设c a BC BA +=⋅求,23的值。

解三角形一、 知识点梳理：1、正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为2、判定下列三角形的形状在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。

5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。

(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，又a <b ,∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°2．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ， 则A ＝________. 解析：a 2－c 2＝b 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案：120°3．(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．解析：如图所示，由∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，可得∠ACB ＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝ABsin ∠ACB ， 即得AC ＝AB sin ∠CBA sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵三角形ABC 的面积为3，即12bc sin A ＝ 3.∴12×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案：23935．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________千米． 解析：作出示意图，如图 由题意得∠ABC ＝30°，AB ＝x 千米， BC ＝3千米，AC ＝3千米， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x cos30°， 即x 2－33x ＋6＝0. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：3或2 36．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为________． 解析：∵三边不等， ∴最大角大于60°.设最大角为α，故α对的边长为a ＋2， ∵sin α＝32，∴α＝120°. 由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)， 即a 2＝5a . 解得a ＝5. ∴三边长为3,5,7.∴S ＝12×3×5×sin120°＝1534.答案：15347．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形． 解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝2A ， ∴sin2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝22. ∴A ＝45°，B ＝90°.故△ABC 为等腰直角三角形． 答案：等腰直角8．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC ·BC ＝________. 解析：由余弦定理推论知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC |＝2. 又∵b ＝1，∴|AC |＝1.∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45或cos C ＝－45.∴AC ·BC ＝85或AC ·BC ＝－85. 答案：85或－859．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， 即tan A ＝3，∴A ＝π3.又∵a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c ＝c sin C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π6.答案：π610．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝____.解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案：255210 11.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°， 又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000. 由正弦定理可知BS sin15°＝1 000sin30°，∴BS ＝2 000sin15°，∴BD ＝BS ·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝1 000sin30°＝500， 且DC ＝1 000sin30°＝500. ∴BC ＝DC ＋DB ＝1 000米 答案：1 00012．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个实根，那么BC 边的长为________．解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ， 则b ＋c ＝9，b ·c ＝323.因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边， 所以BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， 即BC ＝7. 答案：713．(2012·江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝________.解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2，设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43x ×sin30°＝12×2x 2sin60°，解得x ＝6，所以AB＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：π214．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°， AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ， 在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)， 整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米． 答案：10米二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求c 及最大角的余弦值． 解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3.∵b >a >c ，∴在△ABC 中，B 最大． ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋32－822×7×3＝－17.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B＝60°，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵角A ，B ，C 为三角形内角， 且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝ 3.∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sinA ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD ＝α， ∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝437·12＋32·17＝5314. 在△ACD 中，21sin60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin60°＝15(千米)．所以这人再走15千米就可到城A .19．(本小题满分16分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )。

解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成 三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是 三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是 海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是 小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===； 左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________． 解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，B 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形． 答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°. 答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin Bb ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A.又B ＝2A ，∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ，∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6<A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3. 答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x24x ，将其代入上式，得S △ABC ＝x 1－（4－x 24x ）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ， 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝ 22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0， 故a 2＋c 2≥2ac ，即(1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为(1， 2 ]． 答案：(1， 2 ] 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6， 又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263. (3)法一：由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4)由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. (本小题满分16分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1)因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， 所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．(本小题满分16分) 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ； (2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ）， ∴7sin(120°－x )＝5sin x ，整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2)在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°， ∴BC ＝239×cos ∠ADBsin 135°＝239×392622＝3 2.20．(本小题满分16分)在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B.又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. ∴cos(75°－A )∈(cos 75°，1]．又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．。

第1章 解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R(sin 2A-sin 2C)＝(3a-b)sinB ．(1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos2c C ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、填空题（共14题，每题4分共70分）1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝________.2．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是________．4. 轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＝3sin C ，B ＝30°，b ＝2，则△ABC 的面积是________．6．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为________． 7. 在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________ m.图88．如图8，已知A ，B 两点的距离为100 n mile ，B 在A 的北偏东30°方向，甲船自A 以50 n mile/h 的速度向B 航行，同时乙船自B 以30 n mile/h 的速度沿方位角150°方向航行，航行________ h ，两船之间的距离最小．9．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为________．10．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 n mile/h.图1111．如图11所示，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A 、B 间的距离是________ m.12．某海岛周围38 n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30 n mile 后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．13．在△ABC 中，若AB ＝AC ，则cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围为________．14．在三角形ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，c ＝2，C ＝π3，记m ＝(sin C ＋sin(B －A )，2)，n ＝(sin2A,1)，若m 与n 共线，则△ABC 的面积为________．二、解答题（本题共6题，共90分）15．(14分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．16.（14分）如图16，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m.(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．图1617．(15)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c ＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．18．(5分)如图18，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；图1819．(16分)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A；(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)20．(16分) 已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且a cos C＋c cos A＝2b cos B.(1)求角B的大小；(2)求sin A＋sin C的取值范围．。

高中数学第1章解三角形过关检测苏教版必修5(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2,即b2-6b+8=0,解得:b=2或4.又因为b<c,所以b=2.4.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.120°(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a+c2-b2=ac.又因为cos B=,所以B=30°.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)7.在△ABC中,若AB=2,AC=2,△ABC的面积为,则cos B=.S△ABC=AB·AC·sin A,∴sin A=,∴cos A=±.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A,∴BC=2或BC=2.当BC=2时,B=A,∴cos B=cos 30°=.当BC=2时,由余弦定理cos B=.8.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=.b=2a,∴sin B=2sin A,∴sin(A+60°)=2sin A,∴sin A+cos A=2sin A,∴tan A=,∴A=30°.9.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则=,AC的取值范围为.().∵B=2A,BC=1,∴.∴=2.∵△ABC是锐角三角形,∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,∴30°<A<45°.从而<2cos A<,即<AC<.10.已知两座灯塔A,B与一岛C的距离都等于a km,灯塔A在岛C的北偏东20°,灯塔B在岛C 的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为km.,△ABC中,AC=BC=a km,∠ACB=120°,∴由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·=3a2,∴AB=a(km).三、解:答题(本大题共4小题,共50分)11.(本小题满分12分)(2016课标全国高考乙卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.(导学号51830087)解:(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,即2cos C sin(A+B)=sin C.故2sin C cos C=sin C.可得cos C=,所以C=.(2)由已知,ab sin C=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2ab cos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+.12.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin C=p sin B(p ∈R),且ac=b2.(1)当p=,b=1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围.解:(1)由已知及正弦定理,得解得:(2)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac-2ac cos B=p2b2-b2-b2cos B,即p2=cos B,∵0<cos B<1,∴p2∈.由题设知p>0,∴<p<,即p的取值范围是.13.(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向,距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追.求追缉所需的时间和α角的正弦值.解:设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,则有AB=14x n mile,BC=10x n mile,∠ACB=120°.∴(14x)2=122+(10x)2-240x cos 120°,整理得,4x2-5x-6=0,∴x=2,AB=28 n mile,BC=20 n mile,在△ABC中,由正弦定理得,sin α=.答:追缉所需时间为2小时,α角的正弦值为.14.(本小题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cos B=,b=2,求△ABC的面积.(导学号51830088)由正弦定理,设=k,则,∴,∴(cos A-2cos C)sin B=cos B(2sin C-sin A),化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=2sin A.∴=2.(2)由=2,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B及cos B=,b=2,知4=a2+4a2-4a2×,∴a2=1.∴a=1,c=2.又∵cos B=,0<B<π,∴sin B=.∴S△ABC=ac sin B=×1×2×.。

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin30°b sin60°，解之得b ＝ 3. 答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________． 解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos60°＝492，∴a ＝49.答案：493．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________. 解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin B b， 又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54. 答案：544．在锐角△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为________．解析：由S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，得sin A ＝32. ∵A 是锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝12. ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝4×1×cos A ＝2.答案：2 5．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x将其代入上式，得S △ABC ＝x 1－(4－x 24x )2＝128－(x 2－12)216， 由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ， 解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.答案：2 26．(2010年高考湖北卷改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.解析：由正弦定理得15sin60°＝10sin B， ∴sin B ＝10·sin60°15＝10×3215＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63. 答案：637. (2009年高考天津卷)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为________．解析：在△AOB 中，由正弦定理得AB sin ∠AOB＝1，sin ∠AOB ＝AB ，在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin ∠A 1OB 1＝A 1B 1AB＝2. 答案：28．在△AOB 中，OA →＝(2cos α，2sin α)，OB →＝(5cos β，5sin β)．若OA →·OB →＝－5，则△AOB的面积S △AOB 等于________．解析：由向量数量积的定义，得OA →·OB →＝10(cosαcos β＋sinαsin β)＝10cos(α－β)＝－5.∴cos(α－β)＝－12，∴∠AOB ＝120°. ∴S △AOB ＝12×|OA →|×|OB →|×sin120°＝12×2×5×32＝532. 答案：5329．设A 是△ABC 的最小角，且cos A ＝m ＋12，则实数m 的取值范围是________． 解析：由大边对大角，小边对小角，得0°＜A ≤60°，所以12≤cos A ＜1，即12≤m ＋12＜1，解得0≤m ＜12. 所以实数m 的取值范围是[0，12)． 答案：[0，12) 10．(2009年高考湖南卷)在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A. 又B ＝2A ，∴1sin A ＝AC sin2A ＝AC 2sin A cos A. ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ，∴0<A <π4. 又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2， 即π6<A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)11．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ， 又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12. 所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°.又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°.答案：0°＜A ≤30°12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)① ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)② ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③ ①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2) ＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61213．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .又∵b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2，∵(a －c )2≥0，故a 2＋c 2≥2ac ，即(1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12， ∴0＜B ≤π3， ∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)， ∵0＜B ≤π3， ∴π4＜π4＋B ≤π3π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1， ∴22＜sin(B ＋π4≤1， ∴P 的取值范围为(1， 2 ]．答案：(1， 2 ]14.如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin (β－α)＝BC sin α， ∴BC ＝a sin αsin (β－α). 在△BDC 中，由正弦定理得CD sin β＝BC sin ∠BDC∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sinαsin βh sin (β－α). 又∵∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.∴cos θ＝a sinαsin βh sin (β－α). 答案：a sinαsin βh sin (β－α)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8. 解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°， 由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833. (2)由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24， 当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463， 当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263. (3)法一：由正弦定理，得sin B ＝b a·sin A ＝1， ∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433. 法二：设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0. ∴(c －433)2＝0.∴c ＝433， 由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12. ∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°. (4)由正弦定理，得sin B ＝b a·sin A ＝3＞1，三角形无解． 16．(本小题满分14分)(2010年高考安徽卷)△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，cos A ＝1213. (1)求AB →·AC →； (2)若c －b ＝1，求a 的值．解：由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－(1213)2＝513. 又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213)＝25.又a ＞0，∴a ＝5.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵cos(A ＋B )＝12， ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12又由题意知：a ＋b ＝23，ab ＝2，所以，由余弦定理得AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.18．(本小题满分16分)如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°.求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9sin30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，解得BD ＝922. 所以BD 的长为922. 19．(本小题满分16分)在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：c sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B. 又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )]＝2(2＋6)×2sin75°cos(75°－A )＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A ) ＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°.∴cos(75°－A )∈(cos75°，1]．又(2＋6)2cos75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6， ∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3. 综上，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．20．(本小题满分16分)在一次反恐演习中，某特警在一条笔直的公路上追击前方20公里的一恐怖分子，此时恐怖分子正在跳下公路，沿与前方公路成60°角的方向以每小时8公里的速度逃跑，已知特警在公路上的速度为每小时10公里．特警决定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙，问再过多少小时，特警向恐怖分子射击．解：图1设开始时特警在B 地，恐怖分子在A 地，t 小时后两人分别到达Q 、P 两地，特警到达A 地需2小时，分别画出示意图．①当0≤t ≤2时，如图1，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )8t (－12)图2＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t ＞2时，如图2，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos60°＝221t 2－60t ＋100， 综合①②可知，PQ ＝221t 2－60t ＋100(t ≥0)，∴当t ＝3021＝107时，PQ 最小． 所以再过107小时，特警向恐怖分子射击．。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作一、填空题1．在△ ABC 中， A ＝ 45°， B ＝ 60°， a ＝ 10，则 b ＝ ________.a ＝b 得， b ＝ asinB 10sin60 ° 6.5 6＝ ＝ 5[分析 ] 由sinA sinB sinA sin45 ° 2．在△ ABC 中，若 △12＋ b 2 －c 2)，那么角 C ＝ ________.S ABC ＝4( a π 依据三角形面积公式得，1 1[分析 ] S ＝ absinC ＝ (a 2＋ b 2－ c 2)，4 2 4∴ sinC ＝ a 2＋ b 2－ c 2cosC ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .又由余弦定理： 2ab ，π∴ sinC ＝cosC ，∴ C ＝ .43．在△ ABC 中， a ＝6， B ＝30°， C ＝ 120 °，则△ ABC 的面积是 ________ ．9 3[分析 ] 由条件易得 A ＝ B ＝ 30°，所以 b ＝ a ＝6，S ＝ 1absinC ＝ 1× 6× 6×2 23＝9 3.24. 轮船 A 和轮船 B 在正午 12 时同时走开海港 C ，两船航行方向的夹角为 120 °，两船的航 行速度分别为 25 n mile/h ， 15 n mile/h ，则下午 2 时两船之间的距离是 ________n mile.70 [分析 ] d 2＝ 502＋ 302 －2× 50× 30× cos120°＝ 4 900，所以 d ＝ 70，即两船相距 70 n mile.5． 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ，c ，若 sinA ＝ 3sinC ，B ＝ 30°， b ＝2，则△ ABC 的面积是 ________．sinA ＝ a ＝2223? a3? a ＝3c ， cosB ＝ a＋ c － b＝3 [ 分析 ] 由 sinA ＝ 3sinC ，得 sinC c2ac 2＝ 213， c ＝ 2，所以 S △ ABC ＝ acsinB ＝ 3.25，sinB ＝ 3，则 cosC 的值为 ________．6．在△ ABC 中，已知 cosA ＝ 13516 [分析 ] 由已知可得 sinA ＝ 12， sinA>sin B ，因为在△ ABC 中，由 sinA>sinB? A>B65 13知角 B 为锐角，故 cosB ＝ 4，57. 在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测 得塔顶的仰角为 2θ，再向塔底行进 10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为 ________ m. [分析 ] 如图，依题意有 PB ＝ BA ＝ 30，PC ＝BC ＝ 10 3，在△ BPC 中由余弦定理可得 cos2θ＝ 10 3 2＋302－ 10 3 2 3，所以 2θ＝ 30°，4θ＝60°，在△ PCD 中，可得 PD ＝PCsin60 °＝ 2 2× 10 3× 30＝10 3×3＝ 15(m) ．2图 88．如图 8，已知 A ， B 两点的距离为 100 n mile ， B 在 A 的北偏东 30°方向，甲船自 A 以 50 n mile/h 的速度向 B 航行，同时乙船自 B 以 30 n mile/h 的速度沿方向角 150 °方向航行， 航行 ________ h ，两船之间的距离最小． 6549[ 分析 ] 设经过 x h ，两船之间的距离最小，由余弦定理得S 2＝ (100－ 50x)2＋ (30x)2－ 2·30x(100 －50x) ·cos60° ＝ 4 900x 2 －13 000x ＋ 10 0002 130 ＝ 4 900 x －49 x ＋10 000267 500＝ 4 900 x － 49 ＋ 49 ，65所以当 x ＝ 65时， S 2 最小，进而两船之间的距离最小．499．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α、β的关系为 ________．α＝ β [ 分析 ] 如下图，从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视野均为 AB ，而 α，β同为 AB 与水平线所成的角，所以 α＝ β.10．一船自西向东匀速航行，上午10 时抵达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 n mile 的 M 处，下午 2 时抵达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 n mile/h.17 6 [分析 ] 如下图，在△ PMN 中，PM＝ MN ，2sin45 °sin120 °∴ MN ＝ 68× 3＝ 34 6，2 ∴ v ＝MN＝17 6(n mile/h) ． 42图 1111．如下图，要丈量河对岸A、B 两点间的距离，今沿河岸选用相距两点，测得∠ ACB ＝ 60°，∠ BCD＝ 45°，∠ ADB＝ 60°，∠ ADC ＝ 30°，则40 m 的 C、DA、 B 间的距离是________ m.206[分析 ]由已知可知△BDC为等腰直角三角形，∴ DB ＝ 40 m.由∠ ACB＝ 60°和∠ ADB ＝ 60°知A、B、C、D四点共圆，所以∠ BAD ＝∠ BCD ＝ 45°.在△ BDA 中，由正弦定理可得BD·sin60 °AB＝＝20 6.sin45 °12．某海岛四周航行 30 n mile “有”或“无”38 n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险 (填)．无 [ 分析 ] 由题意，在△ ABC 中， AB＝ 30，∠ BAC＝ 30°，∠ ABC＝ 135°，∴∠ ACB＝ 15°，由正弦定理AB·sin ∠ BAC ＝30 ·sin30 ＝° 15＝ 15( 6＋ 2)．BC ＝sin15 6－ 2 sin ∠ ACB ° 4在 Rt △ BDC 中，∠ CBD ＝45°， CD ＝ BCsin ∠ CBD ＝15( 3＋ 1)>38，故无触礁危险．13．在△ ABC 中，若 AB ＝AC ，则 cosA ＋cosB ＋ cosC 的取值范围为 ________．3 [ 分析 ] 因为 AB ＝AC ，所以 b ＝ c ，由余弦定理得1， 2b 2＋c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 1 a a ＋ 1＝－ 1 a3，因为cosA ＋cosB ＋ cosC ＝ ＋ 2· ＝－ 2 b2＋2 b －1 2＋2bc 2ac b 2b ＋ c>a ，即 2b>a ，所以 0< a <2，于是 1<－ 1 a － 1 2＋ 3≤ 3.b 2 b 2 214．在三角形 ABC 中， A ， B ， C 是其三个内角，内角 A ， B ， C 对边的边长分别是 a ， b ，πc ，c ＝ 2， C ＝ 3，记 m ＝ (sinC ＋ sin(B － A)， 2)， n ＝ (sin2A,1)，若 m 与 n 共线，则△ ABC 的面积为 ________．2 3. [ 分析 ] ∵m 与 n 共线，∴ sinC ＋ sin(B － A)－ 2sin2A ＝ 0，3 sin(A ＋ B)－ sin(A － B)＝ 4sinAcosA ，即 sinBcosA ＝ 2sinAcosA.当 cosA ＝ 0 π π 4 3 ， b ＝ 2 3 1 absinC ＝时， A ＝ ， B ＝ ， a ＝ 3 3 ， S ＝ 2 6 2 当 cosA ≠ 0 时，得 sinB ＝ 2sinA ，由正弦定理得 b ＝ 2a.由 c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcosC 得 4＝ a 2＋ b 2－ ab ，a 2＋b 2－ ab ＝ 4，联立方程b ＝2a. 解得 a ＝2 3， b ＝4 312 33 3 .S ＝2absinC ＝ 3 .2 3所以△ ABC 的面积为 S ＝.3二、解答题2 33 .π 1 15． (14 分 )在△ ABC 中， C－ A＝2， sinB＝3.(1)求 sinA 的值；(2)设 AC＝6，求△ ABC 的面积．π[解答 ] (1) 由 C－ A＝和 A＋ B＋ C＝π，2ππ得 2A＝－ B,0< A<.24故 cos2A＝ sinB，即 1－ 2sin2A＝1 3，3sinA＝3 .6(2)由 (1) 得 cosA＝3 .又由正弦定理，得BC＝AC，sinAsinA sinBBC＝sinB·AC＝ 32，11所以 S ABC＝AC·BC·sinC＝ AC ·BC·cosA＝ 3 2.△2216.（ 14 分）如图 16，某河段的两岸可视为平行，为了丈量该河段的宽度，在河的一边选用两点 A、 B，察看对岸的点 C，测得∠ CAB＝ 75°，∠ CBA＝ 45°，且 AB＝ 100 m.(1)求 sin75 ；°(2)求该河段的宽度．图 16[解答 ] (1)sin75＝ sin(30°＋°45°)＝ sin30 cos45° °＋ cos30 °sin45 °＝1×2＋3×6＋ 2 2＝4.2222(2)∵∠ CAB＝ 75°，∠ CBA＝ 45°，∴∠ ACB＝ 180°－∠ CAB－∠ CBA＝60°，由正弦定理得：AB＝BCsin ∠ ACB sin ∠ CAB.∴ BC ＝ ABsin75 °.sin60 °如图过点 B 作 BD 垂直于对岸，垂足为 D ，则 BD 的长就是该河段的宽度．在 Rt △ BDC 中，∵∠ BCD ＝∠ CBA ＝ 45°， sin ∠BCD ＝BD，BC∴ BD ＝ BCsin45 °＝ ABsin75 ° sin60 ·sin45°＝25 6＋ 2 3 ＝ 50 3＋ 3 (m)．336＋ 2100×4× 2， ＝°3 2 217． (15)在△ ABC 中， a 、 b 、 c 分别为内角 A 、B 、C 的对边，且 2asinA ＝(2b ＋ c)sinB ＋ (2c ＋ b)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinB ＋ sinC ＝ 1，试判断△ ABC 的形状． [解答 ] (1) 由已知，依据正弦定理得2a 2＝ (2b ＋ c)b ＋ (2c ＋ b) c. 即 a 2＝ b 2＋ c 2＋ bc.由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故 cosA ＝－ 1， A ＝120°. 2(2)由 (1) 得 sin 2A ＝ sin 2B ＋ sin 2C ＋sinBsinC ＝ 3.4又 sinB ＋ sinC ＝ 1，得 sinBsinC ＝14，解得 sinB ＝ sinC ＝ 12.因为 A ＝ 120°，所以 0°＜ B ＜ 60°， 0°＜ C ＜60°， 故 B ＝ C ＝30°.所以△ ABC 是等腰钝角三角形．18． (5 分 )如图 18，在一条海防戒备线上的点 A 、 B 、 C 处各有一个水声监测点， B 、 C 两点到点 A 的距离分别为 20 km 和 50 km. 某时辰， B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号， 8 s 后离为 A 、C 同时接收到该声波信号， 已知声波在水中的流传速度是 x km ，用 x 表示 B ，C 到 P 的距离，并求 x 的值；1.5 km/s.设A 到P 的距图 18[解答 ] 依题意，有 PA ＝ PC ＝ x ， PB ＝ x －×8＝ x － 12. 在△ PAB 中， AB ＝ 20，cos ∠ PAB ＝ PA 2＋ AB 2－ PB 2 x 2＋ 202－ x － 12 2 3x ＋ 32.2PA ·AB ＝ 2x ·20 ＝ 5x在△ PAC 中， AC ＝ 50，2 2 2 2 2 2 25，cos ∠ PAC ＝ PA ＋AC －PC ＝ x ＋ 50 － x ＝2PA ·AC 2x ·50 x∴3x ＋32＝ 25，解之得 x ＝ 31.5xx 故 PC ＝ x ，PB ＝x －＝ 31.19． (16 分)在△ ABC 中，已知角 A ，B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 (a ＋ b ＋ c)( b ＋ c － a)＝ 3bc.(1)求 A ；(2)若 B － C ＝ 90°， c ＝4，求 b.(结果用根式表示 )[解答 ] (1) 由条件，得 ( b ＋ c)2－ a 2＝ 3bc ，即 b 2＋c 2－ a 2＝ bc ，∴ cosA ＝ b 2＋ c 2－ a 2 12bc ＝ .2 ∵ 0°<A<180°，∴ A ＝60°.B ＋C ＝ 120 °， 得 B ＝ 105°， C ＝ 15°.(2)由B －C ＝ 90°由正弦定理得 b ＝ 4 ，即 b ＝ 4sin105 °sin105 sin15 ，°sin15 ° °∴ b ＝ 4tan75 °，∵ tan75 °＝ tan(45 °＋ 30°)＝ 1＋ tan30 °3，＝ 2＋1－ tan30 °∴ b ＝ 8＋ 4 3.20．(16 分 ) 已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边，且 acosC ＋ccosA ＝ 2bcosB.(1)求角 B 的大小；(2)求 sinA ＋ sinC 的取值范围．[解答 ] (1) 方法一：由 acosC ＋ccosA ＝ 2bcosB 及余弦定理，得a × a 2 ＋b 2 －c 2 ＋c × b 2＋ c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 2ab ＝ 2b × 2ac .2bc 化简，得 a 2＋ c 2－ b 2＝ ac ，a 2＋ c 2－b 2 1所以 cosB ＝ 2ac ＝ 2，π因为 B ∈ (0， π)，所以 B ＝3.方法二：由 acosC ＋ ccosA ＝2bcosB 及正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝ 2sinBcosB ， 即 sin(A ＋ C)＝2sinBcosB ，因为 A ＋ B ＋C ＝ π，所以 sin(A ＋ C)＝sinB ≠ 0，1 所以 cosB ＝ 2.π因为 B ∈ (0， π)，所以 B ＝3.2π (2)sin A ＋ sinC ＝ sinA ＋ sin 3 －A33＝ 2sinA ＋ 2 cosA＝ 3sin A ＋ π，6 因为 0<A< 2π π π 5π3 ，所以 <A ＋ < ，6 6 6 1 π所以 2<sin A ＋ 6 ≤ 1，所以 sinA ＋sinC 的范围是3， 3.2苏教版高中数学必修五第一章《解三角形》综合测试题(教师版)11 / 11。

第1章 解三角形(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角的大小为________．2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．3.在△ABC 中，已知||AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →＝________.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.5．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为________．6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是________． 7．下列判断中正确的是________．(填序号) ①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解； ②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解； ③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解； ④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．8．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积为________．9．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C ＝________.10．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 的形状是________三角形．11．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数为________．12．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B ＝________.13．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．14．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α，β，CD ＝a ，测角仪器的高是h ，用a ，h ，α，β表示建筑物高度AB .16．(14分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.17．(14分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P 是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．18．(16分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．19．(16分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．20．(16分)如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第1章 解三角形(B)答案1.π6解析 ∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122×2×3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.2.π3解析 ∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.3．±2解析 S △ABC =12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝ 3.∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°. AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝4×1×cos A ＝±2. 4. 2解析 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ·sin B b ＝2sin 120°6＝12， ∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°.∴a ＝c ＝ 2.5.35解析 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.6．23<x <2 5解析 由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0，解得：23<x <2 5.7．②解析 ①：a ＝b sin A ，有一解； ②：A >90°，a >b ，有一解； ③：a <b sin A ，无解； ④：c >b >c sin B ，有两解．8.32或34解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2×3×BC ×32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.9.33解析 由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cosB ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.10．等腰直角解析 由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2， 又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1， 故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°. 11．45°或135°解析 由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 222ab 2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22. ∴角C 为45°或135°. 12．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.13．8 6解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64×32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．14.33解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33. 15．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DCsin α－β，∴AC ＝a sin βsin α－β，∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αsin α－β＋h .16．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b ＝7.17．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534. (2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.18．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2sin α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ×AN cos α1－β1.19．解 (1)由余弦定理及已知条件得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.20．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°. 在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ. 又OCsin 60°－θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝2sin θ·cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33 ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33， ∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。