2014上海杨浦区高考数学(理)三模试题及答案解析

上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014学年联合高考模拟考试理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.第10题图已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S l i m . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；ADC F PB(第20题图)（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x恒成立，求实数k 的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．229．37； 10. 41 11. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴所求二面角的余弦值为5. 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32nn n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。

杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研试卷（理科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。

1.函数的定义域是____.（4.0分）2.若集合,，则的元素个数为____.（4.0分）3.若，则x的值是____.（4.0分）4.的展开式中的常数项的值是____.（4.0分）5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为____.（4.0分）6.对数不等式的解集是，则实数a的值为____.（4.0分）7.极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为____.（4.0分）8.如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为____.（4.0分）9.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是____.（4.0分）10.已知,是不平行的向量，设,，则与共线的充要条件是实数k等于____.（4.0分）11.已知方程的两根为，若，则实数p的值为____.（4.0分）12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为____.（4.0分）13.已知，在坐标平面中有斜率为n的直线与圆相切，且交y轴的正半轴于点，交x 轴于点，则的值为____.（4.0分）14.对于自然数的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1,2,4,6,9}的交替和是9-6+4-2+1=6；则集合{1,2,3,4,5,6,7}的所有非空子集的交替和的总和为____.（4.0分）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

1.“”是“函数只有一个零点”的（）（5.0分）(单选)A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.在复平面中，满足等式的z所对应点的轨迹是（）（5.0分）(单选)A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 一条射线D. 两条射线3.设反比例函数与二次函数的图像有且仅有两个不同的公共点，且，则=（）（5.0分）(单选)A. 2或B. -2或C. 2或D. -2或4.如图，设店A是单位圆上的一个定点，动点P从点A出发，在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图像大致是（）（5.0分）(单选)A.B.C.D.三、解答题（本大题满分74）本大题共5题。

浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理） 2014.05注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式211x -≤的解集是_________.2. 设集合U R =,{21,}x A y y x R ==-∈则U A ð=_______.3.三角形的三边之比为3:5:7,则此三角形的最大内角是_______.4. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b R ∈），则b =____.5.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的两个焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴，1230PF F ∠=，则此双曲线的渐近线方程是________.6.某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到0.1%）.7. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=____.8.已知复数2lg(1)i lg(1)z x x =-+-（其中i 是虚数单位）,若z 在复平面上对应的点位于第三象限,则实数x 的取值范围是_______. 9.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．10.已知i 是虚数单位，集合{|,*}nA z z i n N ==∈，1212{|,}B z z z z A ωω==⋅∈、，（1z 可以等于2z )，从集合B 中任取一元素，则该元素为实数的概率为________. 11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______.12.在极坐标系中，已知点(1,)2A π，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为______.13. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒. 14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A B M 、、是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ，使，则直线OA 、OB 的斜率乘积为______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.下列命题中错误的是（ ） A ．正棱锥的所有侧棱长相等； B ．圆柱的母线垂直于底面； C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形；D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．16．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则满足()(1)f m f <的实数m 的取值范围是( )A.10m -<<B. 01m <<C. 11m -<<D. 11m -≤≤ 17．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 1P 、2P 、3P 、…，则24P P 等于 ( ) A ． π B ． 2π C ． 3π D ． 4π18. 若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c的取值范围是（ ）A ．11c --≤≤B 11c -≤≤C ．1c ≤-D ．1c ≥-三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O 为底面的圆心，点P 为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等; （2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数22cos()sin 2()2cos()6x x f x x ππ-=+，()x R ∈（1）求()f x 的最小正周期及判断函数()f x 的奇偶性； （2）在ABC ∆中，()0f A =，.若对任意实数t 恒有,求ABC ∆面积的最大值.21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分. 已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为． 设．（1）若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值；（2）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点00(,)P x y (00x ≠)作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k . (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2) 当1λ=时，若点P 的坐标为(1,1)-，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围；(3) 设直线AB 上一点M ，满足，证明线段PM 的中点在y 轴上.23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知{}n a 是由非负整数组成的数列，且{}n a 是存在的, 满足120,3a a ==，)2)(2(211++=--+n n n n a a a a ，n=3，4，5，…… .（1）求3a ；（2）证明：22n n a a -=+（n=3,4,5，…）; （3）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S .浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理） 2014.0513. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒. 解：称一次可以分出三堆珠子中哪一堆里有一粒重量比其它的轻.方法是将任意二堆放到天平上，若那一堆轻，就在这一堆里，若二堆一样，则在这三堆里. 所以这堆珠子最多有81粒.第一次称，将81粒平均分成三堆，每堆27粒，按上述方法可 判断出在哪一堆里，再将27粒平均分成三堆，每堆9粒，重复4次就可找到这粒最轻的珠子.14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A B M 、、是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角 ，使，则直线OA 、OB 的斜率乘积为______.解：由题意可设椭圆方程为x 22b 2+y 2b2=1，又设A x 1,y 1(),B x 2,y 2()因为M 点在该椭圆上，所以cos q ×x 1+sin q ×x 2()22b 2+cos q ×y 1+sin q ×y 2()2b 2=1，则cos 2q ×x 12+sin 2q ×x 22+2sin q cos q ×x 1x 22b 2+cos 2q ×y 12+sin 2q ×y 22+2sin q cos q ×y 1y 2b 2=1Þcos 2q x 122b 2+y 12b 2æèçöø÷+sin 2q x 122b 2+y 12b 2æèçöø÷+2sin q cos q ×x 1x 22b 2+2sin q cos q ×y 1y 2b 2=1又因为A 、B 点在也该椭圆上，所以x 122b 2+y 12b 2=1，x 222b 2+y 22b2=1所以2sin q cos q ×x 1x 22b 2+2sin q cos q ×y 1y 2b 2=0Þy 1y 2x 1x 2=-12， 即直线OA 、OB 的斜率乘积为-12同理当椭圆方程为y 22b 2+x 2b2=1时直线OA 、OB 的斜率乘积为-2.本题的表述应说清楚O 是坐标原点，且要交待椭圆的位置是以x 轴、y 轴为对称轴浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理）答案及评分细则 2014.05一、填空题----结果等价即可得分1. [0,1].2. (,1]-∞-.3. 120.4. 4-. 5. y =. 6. 13.0%. 7.3. 8.(. 9.32． 10. 21.11. 4+.13. 81. 14. 12-. 二、选择题15.C 16．C 17．A 18.D 三、解答题----其它解法相应得分19．【解答】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，h=2r.（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP ，圆锥的任意一条母线与轴OP 组成全等的直角三角形，如图，APO ∠为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角.………………………………2分在Rt AOP ∆中，1tan 2OA APO AP ∠==，则1arctan 2APO ∠=…………………4分 所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为1arctan 2.……6分（2）2h r =，l ==………………………………………………………8分22=226S rh r r πππ+=柱,…………………………………………………………9分21=2(12S r l r r πππ+⋅=+锥………………………………………………10分故，31)2S S ==柱锥。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷（带解析）1．在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是（ ）. A.[0,2] B. [2,1)(1,0]--- C. [0,1)(1,2] D.[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：依题意()0x x a *->可得(1)0x x a -+>.由于解集为{|11}x x -≤≤，所以011a <+≤或110a -≤+<，即10a -<≤或21a -≤<-.当1a =-时，解集为空集，所以成立.故选D.考点：1.新定义问题.2.不等式的解法.3.集合间的关系.2．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的（ ）. A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因为x x x f ωω22cos sin)(-=可化为()cos 2f x x ω=-.所以可得1=ω是函数()f x 最小正周期为π的充分条件.由于函数的最小正周期为π,则2,12T ππωω==∴=±.所以必要性不成立.故选B.考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.3．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =（ ）.A.1:1B.2:1C.3:2D.4:1 【答案】C 【解析】试题分析：假设球的半径为r .则圆柱的底面半径为r .高为2r .所以圆柱的表面积为216S r π=.球的表面积为224S r π=.所以12:3:2S S =.故选C.考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.4．函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.O xyA.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m =+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得1(0,]4m ∈.故选D. 考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5．已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .【解析】试题分析：由2i j +=.考点：向量的模的含义. 6．二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）【答案】2【解析】 试题分析：由ii i ++-1101可得(1)(1)2i i -+=.考点：1.行列式的运算.2.复数的运算.7．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________. 【答案】35 【解析】试题分析：717r rr T C x -+=.依题意可得73,4r r -=∴=.所以展开式中含3x 项的系数值为35.考点：1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.8．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π) 【答案】12π 【解析】试题分析：由圆锥的母线长为5,侧面积为π15.则根据12s lr =.即可求出圆锥的底面周长6π.从而解出底面半径3r =.再求出圆锥的高4h =.根据体积公式213V r h π= 12π=.考点：1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化. 9．已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B = .【答案】{1,0,1}- 【解析】试题分析：依题意可得集合{11}A y y =-≤≤，集合{,1,0,1,}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅.所以A B ={1,0,1}-.考点：1.集合描述法表示.2.三角函数的值域.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：假设1122(,),(,)A x y B x y .AB 的中点坐标为00(,)x y .所以可得22112222(1) 4(1) 4 x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②.由①-②可得001AB x k y =-.即1AB k =-.所以:30AB l x y +-=. 考点：1.点差法的应用.2.直线与圆的位置关系.3.直线方程的表示. 11．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.【答案】【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 可得2log ()1,2xy xy =∴=.又y x +≥=.当且仅当x y =时取等号. 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.12．已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 【答案】14【解析】试题分析：首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈，设公比为q ,由各项和等于 4.即341q=-.解得14q =.考点：无穷等比数列的求和公式.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案】4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）【解析】试题分析：设点(,)P x y .由2OP OM =，可得4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩.即2C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. 考点：1.参数方程的知识.2.向量相等.14．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .【答案】138【解析】 试题分析：由程序框图可知，x=1,y=1,z=2;当x=2,y=3,z=5;当x=3,y=5,z=8;当x=5,y=8,z=13;当x=8,y=13,z=21.由21>20.所以退出循环.即可得138y x =. 考点：1.程序框图.2.数的交换运算. 15．从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 【答案】98【解析】试题分析：由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有3856C =种情况.所以3510(0)5656C P ξ===.215330(1)5656C C P ξ===.125315(2)5656C C P ξ===.03531(3)5656C C P ξ===.所以ξ的数学期望是30151639()23565656568E ξ=+⨯+⨯==. 考点：1.概率问题.2.数学期望.16．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 【答案】3【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，所以11a =.当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-.所以42912525n n b n n -=-=--.当10i i bb +<（正整数i ）时，即292702523i i i i --⋅<--.所以3522i <<或7922i <<.所以i=2,4又因为1235150bb =-⨯=-<，所以i=1.所以数列{}n b 的变号数为3.考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想. 17．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）【答案】32【解析】试题分析：依题意可得函数2222 [0,2)1(68) [2,4)3()1(1024) [4,6)9x x x x x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪-+-∈⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎪⋅⋅⋅⎩.所以11a =，213a =，319a =，…，113n n a -=.所以数列}{n a 是一个首项为1，公比为13的等比数列.所以31(1)23n n S =-.所以=∞→n n S lim 32.考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.18．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .ABCDEFS 1 αABCPNF S 2αMQ【答案】110【解析】试题分析：依题意可得4411=S ，所以21FD =，4402=S ,所以MQ =.所以21cos sin AF αα=，所以即21cos 21sin AC αα=+.AM CM α==，所以AC α=.即可得21c o s2110c o s s i n ααα+=+.即21(sin cos )cos αααα+=.令sin cos tαα+=.则22sin cos 1t αα=-.所以可得2210t -=.解得t =或t =（由于1sin 2011α=-<，所以舍去.），所以21sin 2110t α=-=. 考点：1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.ADCFPB（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）5【解析】试题分析：（1）需证明DA ⊥平面PAC ，转化为证明AD ⊥AC,AD ⊥PA.因为PA 垂直平面ABCD ，由题意可得AD ⊥AC,AD ⊥PA 显然成立，即可得结论.（2）如图建立空间直角坐标系，因为)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，所以求出平面PAF的法向量(1,2,0)m =u r，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，试题解析： 1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A C B D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.20．某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210x x θ+=+；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度.所以AD 的弧长为10θ，BC 的弧长为x θ.所以可得102(10)30x x θθ++-=.即可得结论.（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】试题分析：（1）由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，即1c =.又短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-，即可求出a ，b 的值.从而得到椭圆的方程.（2）由（1）可得假设直线AB 的方程联立椭圆方程消去y 即可得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k 的关系式.写出线段AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程.即可得到点D 的坐标.即可求得线段PD 的长，根据弦长公式可得线段MN 的长度，再通过最的求法即可得结论.试题解析：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-. 由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++.所以MN == 2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力. 22．设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++（3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2=x ；（2）参考解析；（3）2<k 【解析】试题分析：（1）由于函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，所以解方程0)1()(8)(=--h x g x h .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于3)()()(+=x g x g x p 即得到()x P x =.所以()(1)1p x p x +-=.所以两个一组的和为1，还剩中间一个21323)21()20141007(===p p .即可求得结论. （3）由bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，可求得1,3=-=b a .又由于0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数()f x 的单调性可得.函数()f x 在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.23．设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．【答案】（1）142n n b -=；（2）参考解析；（3）存在5【解析】试题分析：（1）由于数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，所以通项公式为12 (*)n n a n N -=∈.由于数列{}n a 为递增数列，所以都符合1+<n n a a .即可得到数列{}n b 的通项公式.（2）由于各项都是正整数的无穷数列{}n a ，所以利用反正法的思想，反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈即可得到证明.（3）由{}n a 各项都是正整数，所以由1n n a a +>可得到11n n a a +≥+.所以可得到1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++≥++-+.从而可得到{}n a 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．考点：1.数列的性质.2.反证法的知识.3.放缩法证明相等的数学思想.4.数列求和.5.数列与不等式的知识交汇.。

上海市上海大学附属中学2014届高考三模数学理试题考生注意：答案在题后一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、不等式的解集为2、已知直线的参数方程是，则在轴上的截距为 -63、已知是纯虚数，则 - .4、若方程组有唯一解，则实数的取值范围5、某学生参加2门课程的考试，取得合格水平的概率依次为、，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课程合格的概率为6、已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 27、某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，。

则该校学生上学所需时间的均值估计为__34________。

（精确到分钟）8、函数表示振动时，请写出在内的初相9、已知函数则其反函数为10、若函数经过的定点恰为抛物线的焦点，则实数的值为11、已知的周期为的函数，当，则的解集=12、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则13、已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为14、已知全集集合，则集合的个数二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、在中，是的（）A（A）充要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件16、下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是( ) DA． ; B． ; C．D．17、已知数列是等差数列,若，，且数列{a n}的前n项和S n 有最大值,那么当S n取得最小正值时,n等于（）CA．18 B．19 C．20 D．2118、若，设函数的零点为，函数的零点为，则的取值范围是…（）DA．B． C． D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

2014年高考上海卷数学（理）试卷及答案解析考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

(1) 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________. 【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=Θ5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

（上海版 第03期）2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题15 推理与证明、新定义 文（含解析）一．基础题组1. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（ ）. )(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 32. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】定义函数D x x f y ∈=),(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f y =在D 上的“均值”为C ．已知函数[]100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数)(x f y =在[]100,10上的均值为 （ ） (A)101 (B)43 (C) 10 (D) 233. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】给出以下四个命题：（1）对于任意的0>a ，0>b ，则有a b b a lg lg =成立；（2）直线b x y +⋅=αtan 的倾斜角等于α；（3）在空间．．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行； （4）在平面．．将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆． 其中真命题的序号是 ．。

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。

1.已知，则=____.（4.0分）2.设，则m的取值范围是____.（4.0分）3.已知等差数列中，，则通项公式为=____.（4.0分）4.已知直线l经过点，则直线l的方程是____.（4.0分）5.函数的反函数____。

（4.0分）6.二项式的展开式中的第4项是____。

（4.0分）7. 已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是____。

（4.0分）8.向量，若与平行，则实数=____。

（4.0分）9.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口 6排A座 6排B座 6排C座走廊 6排D座 6排E座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有____种。

（4.0分）10.在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为____.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）（4.0分）11.不等式的解集是____。

（4.0分）12.设的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若，则角 ____（4.0分）13.已知，集合，集合（可以等于)，则集合B的子集个数为____。

（4.0分）14.如图所示，已知函数图像上的两点 A， B 和函数上的点 C，线段 AC 平行于 y 轴，三角形 ABC 为正三角形时，点 B的坐标为 , 则实数的值为____。

（4.0分）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

1.程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）。

（5.0分）(单选)A.B.C.D.2.给出下列命题，其中正确的命题是（）。

（5.0分）(单选)A. 若，则方程只有一个根B. 若且，则C. 若，则不成立D. 若，且，那么一定是纯虚数3.圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）。

上海市浦东新区2014年高考三模冲刺数学试卷 一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+=．3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ．4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米． 9．（文）如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．（理）已知圆的方程是1)1(22=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n aa n n nN ，则当n a 取得 最小值时n 的值是 ．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++ 3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-；②数列}{n b ：1，2，3，4，5；③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15．非零向量b a ,，m a =||，n b =||，若向量b a c 21λλ+=，则||c 的最大值为……（ ） A ．n m 21λλ+ B ．n m ||||21λλ+ C ．||21n m λλ+ D ．以上均不对16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n -=+的渐近线方程为 …………………………………………………………（ ）A．y x = B．y = C．y x = D．y x =17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是…… ………………（ ）A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满MF MF =则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为……………… （ ）A B C D 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，ππ()()sin 44f A f B A B-+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求b a 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF的方程是200(5x y x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b .（1）求椭圆C 的方程； （2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}na，{}nb满足：()1*n n nb a a n N+=-∈．（1）若11,na b n==，求数列{}n a的通项公式；（2）若()112n n nb b b n+-=≥，且121,2b b==．①记()611n nc a n-=≥，求证：数列{}nc为等差数列；②若数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a应满足的条件．上海市浦东新区2014年高考三模冲刺数学试卷 参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8；9．（文）4π；（理）2sin ρθ=；10．6或7； 11．a36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分 在]4,0[π上递增．在 ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B-+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分所以 211=+b a …………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分 （2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m t t =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分 解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分 所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st ∆=⋅⋅=--=+-则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分 因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分 所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==00（0>k ），于是32kk ON =···························································5分=-≤+-=+-=∠32232233232132tan 2k k k kkMON（当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝;1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得:222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ ①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得:1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得: 22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAB S AB d ∆==············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=；552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆所以二者相等. ·························································16分 23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有 ()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n nn n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=， 所以，数列{}n c为等差数列．……………………………………………………8分②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=， 即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i i k i i k i k a i a i a a k f k i i k i k i k +++--+====+++++． （其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分 当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a if f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦． （Ⅰ）若76i a i>，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列； （Ⅱ）若76i a i<，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．三模 第 11 页 2014-5-20综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。