2019年上海市高考数学试卷(原卷版)

2019.6.7上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合 A ( ,3) ，B (2, ) ，则A B 。

12. 已知z C，且满足i3.z 5，求z 。

4. 已知向量 a (1,0,2) ，b (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为。

5. 已知二项式 5(2x 1) ，则展开式中含2x 项的系数为。

x 06. 已知x 、y满足y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为。

x y 27. 已知函数 f (x) 周期为1，且当0 x 1，f (x) log2 x，则3f ( ) 。

28. 若x, y R，且1x2y 3，则yx的最大值为。

9. 已知数列{ a } 前n 项和为n S ，且满足S a 2，则n n nS 。

510. 过曲线 2 4y x的焦点 F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线2 4y x 交于A、B ，A在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA ( 2)OB ，则。

11. 某三位数密码，每位数字可在0 9 这10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是。

12. 已知数列{ a } 满足n a a （n n 1*n N），若P (n, a ) (n 3) 均在双曲线n n2 2x y6 21上，则lim | P n P n 1 | 。

n13. 已知2f (x) | a |x 1（x 1，a 0）， f (x) 与x 轴交点为A，若对于 f (x) 图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q （P、Q 异于A），满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则a 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）14. 已知直线方程2x y c 0 的一个方向向量 d 可以是（）A. (2, 1)B. (2,1)C. ( 1,2)D. (1,2)15. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 82019.6.8已知R ，函数2f ( x) ( x 6) sin( x) ，存在常数 a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.2 3 4 52019.6.9已知tan tan tan( ) ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）2019.6.10如图，在长方体A BCD A B C D 中，M 为1 1 1 1BB 上一点，已知BM 2 ，CD 3，1AD 4，A A15 .（1）求直线A C 与平面ABCD 的夹角；1（2）求点 A 到平面A MC 的距离.112019.6.11已知f (x) ax ，a R .x 1（1）当a 1时，求不等式 f (x) 1 f (x1) 的解集；（2）若 f (x) 在x [1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.2019.6.12如图， A B C 为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，BD 39.2km，BDC 22 ，CBD 68 ，BDA 58 .（1）求BC 的长度；（2）若AB 40 km，求 D 到海岸线 A B C 的最短距离.（精确到0.001km）2019.6.13已知椭圆2 2x y 8 4 1 ，F1 、F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A、B 两点.2（1）若直线l 垂直于x 轴，求| AB |；（2）当F1 AB 90 时，A 在x 轴上方时，求A、B 的坐标；（3）若直线A F 交y 轴于M ，直线1 BF 交y 轴于N，是否存在直线l，使得1S S ，F AB F MN1 1若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.*2019.6.14数列{a } (n N) 有100 项，n a a ，对任意n [2,100] ，存在1a a d ，n ii [1,n 1]，若a与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P.k（1）若a1 1，d 2，求a所有可能的值；4（2）若{ a } 不是等差数列，求证：数列{a } 中存在某些项具有性质P；n n（3）若{ a } 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c 表示n a a a .1 2 100参考答案一、填空题1、(2,3)2、5 i3、25arccos4、405、 66、 17、98（提示：1 13 2y 2 2yx x，∴yx3 92( )2 2 8）8、31169、310、27100（分析：2 1 1C C C 2710 3 2P ，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×310 100选用一次的数字）11、2 33（解析：法一，由条件有22nan8 21 ，得 26na ，则n322n 12 2 22 2n 1 6 n 6 n 1 6 n 6 2| P P | 1 1 ，所以n n 13 3 321 2 3lim | P P | 1+ = ；）n n 1n3 3（解析：法二（极限法），当n 时，P P 与渐近线平行，n n 1 P P 在x 轴投影为1，渐近n n 1线斜角满足：tan331 2 3，∴ 1lim | P P | ）n nn 3cos612、a 2（分析：2f (x) | a |=0x 1，解得x 12a，则A21 ,0a，取1P 1 ,aa，则：1AP ,aa，因为A、P、Q 满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则AQ a ,1a，所以2 1Q 1 a,a a，Q 点在2f (x) | a |x 1图像上，则2 1aa21 a 1a，得2a 1 | a |2 ，a2a 12a 2 a， 2 1 2 2 0a a ，所以2 2a ，a 2 ）a 2 a二. 选择题13、D 14.、B15、C（分析： 2f (x a) ( x a 6) sin[ ( x a)] ，因为 f (x a)为偶函数，所以 a 6 ，且sin[ (x6)] 也为偶函数，所以 6 k ，当k 1时，）2 416、D（分析：特殊值验证，取tan 1，则tan 1 2 ，所以②正确，再取几组验证，①错）三、解答题17、（1）4 ；（2）103 .【解析】（1）连接AC，A A 面ABCD ，则1 ACA 即为直线1AC 与平面ABCD 的夹角。

2019年上海市高考数学试卷【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】一、填空题. 1. 计算：limn→∞n+203n+13=________．2. 设m ∈R ，m 2+m −2+(m 2−1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．3. 若| x 2y −11|=| x x y −y |，则x +y =________．4. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3a 2+2ab +3b 2−3c 2＝0，则角C 的大小是________.5. 设常数a ∈R ，若(x 2+a x )5的二项展开式中x 7项的系数为−10，则 a ＝________．6. 方程33x −1+13=3x−1的实数解为________．7. 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．8. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．9. 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =π4，若AB ＝4，BC =√2，则Γ的两个焦点之间的距离为________.10. 设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，⋯，x 19的公差，随机变量 ξ 等可能地取值x 1，x 2，x 3，⋯，x 19，则方差Dξ=________.11. 若cosxcosy +sinxsiny =12，sin2x +sin2y =23，则sin (x +y )=________.12. 设a 为实常数，y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)＝9x +a 2x+7．若f(x)≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为__________.13. 在xOy 平面上，将两个半圆弧(x −1)2+y 2=1(x ≥1)和(x −3)2+y 2=1(x ≥3)，两条直线y =1和y =−1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0, y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面积为4π√1−y 2+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．14. 对区间I 上有定义的函数g(x)，记g(I)＝{y|yg(x), x ∈I}．已知定义域为[0, 3]的函数y ＝f(x)有反函数y ＝f −1(x)，且f −1([0, 1)）＝[1, 2), f −1((2, 4])＝[0, 1)．若方程f(x)−x ＝0有解x 0，则x 0＝________．二、选择题.15、 设常数a ∈R ，集合A ={x|(x −1)(x −a)≥0}，B ={x|x ≥a −1}，若A ∪B =R ，则a 的取值范围为( )A.(−∞, 2)B.(−∞, 2]C.(2, +∞)D.[2, +∞) 16、 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 17、在数列{a n }中，a n ＝2n −1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素a ij ＝a i ⋅a j +a i +a j ,(i ＝1, 2,…,7；j ＝1, 2,…,12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） A.18 B.28 C.48 D.6318、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→．若m 、M 分别为(a i →+a j →+a k →)⋅(d r →+d s →+d t →)的最小值、最大值，其中{i, j, k}⊆{1, 2, 3, 4, 5}，{r, s, t}⊆{1, 2, 3, 4, 5}，则m、M满足（）A.m＝0，M>0B.m<0，M>0C.m<0，M＝0D.m<0，M<0三、解答题.19、如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离．20、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21、已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0；（1）若y=f(x)在[−π4,2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a,b] (a,b∈R且a<b）满足：y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b−a的最小值．22、如图，已知双曲线C1:x22−y2=1，曲线C2:|y|＝|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1−C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1−C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|>1，进而证明原点不是“C1−C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=12内的点都不是“C1−C2型点”.23、给定常数c>0，定义函数f(x)＝2|x+c+4|−|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1＝f(a n)，n∈N∗．（1）若a1＝−c−2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N∗，a n+1−a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019年上海市高考数学试卷一、填空题.1.【答案】1【考点】数列的极限【解析】此题暂无解析【解答】略2.【答案】−2【考点】复数的运算复数的基本概念虚数单位i及其性质【解析】本题主要考查复数的基本概念．【解答】解：∵复数z＝(m2+m−2)+(m2−1)i为纯虚数，∴m2+m−2＝0，m2−1≠0，解得m＝−2，故答案为：−2.3.【答案】x+y=0【考点】函数值【解析】此题暂无解析【解答】暂无4.【答案】π−arccos1【考点】余弦定理【解析】本题主要考查余弦定理及反三角函数．【解答】解：∵3a2+2ab+3b2−3c2＝0，∴a2+b2−c2=−23ab，∴cosC=a2+b2−c22ab=−23ab2ab=−13．∴C=π−arccos13．故答案为：π−arccos13.5.【答案】−2【考点】二项式定理及相关概念【解析】本题主要考查了二项式系数的性质．【解答】解：(x2+ax)5的展开式的通项为T r+1＝C5r x10−2r(ax)r＝C5r x10−3r a r 令10−3r＝7得r＝1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是−10，∴aC51＝−10，解得a＝−2,故答案为：−2.6.【答案】log34【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法． 【解答】解：方程33x −1+13=3x−1，即 9+3x −13(3x −1)=3x−1，即 8+3x =3x−1( 3x+1−3)，化简可得 32x −2⋅3x −8=0，即(3x −4)(3x +2)=0．解得 3x =4，或 3x =−2（舍去）， ∴ x =log 34， 故答案为： log 34． 7.【答案】√5+12【考点】两点间的距离公式 【解析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案． 【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ−1， 代入ρcosθ=1得ρ(ρ−1)=1， 解得ρ=√5+12或ρ=1−√52（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为√5+12.故答案为：√5+12．8.【答案】1318【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率． 【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为C 92=36种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为C 52=10种． 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为1036=518． 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是1−518=1318． 故答案为：1318． 9.【答案】4√63【考点】椭圆的标准方程 椭圆的离心率 【解析】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用． 【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，由题意知，2a ＝4，a ＝2． ∵ ∠CBA =π4，BC =√2， ∴ 点C 的坐标为C(−1, 1)， 因点C 在椭圆上， ∴(−1)24+12b 2=1，∴ b 2=43，∴c2＝a2−b2＝4−43=83，c=2√63，则Γ的两个焦点之间的距离为4√63．故答案为：4√63．10.【答案】Dξ=√30|d|【考点】等差数列等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】暂无11.【答案】sin(x+y)=2 3【考点】三角函数【解析】此题暂无解析【解答】暂无12.【答案】a≤−8 7【考点】基本不等式及其应用【解析】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．【解答】解：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，则−x<0，所以f(−x)＝−9x−a2x+7因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝9x+a2x−7；因为f(x)≥a+1对一切x≥0成立，所以当x＝0时，0≥a+1成立，所以a≤−1；当x>0时，9x+a2x−7≥a+1成立，只需要9x+a2x−7的最小值≥a+1，因为9x+a2x−7≥2√9x⋅a2x−7=6|a|−7，所以6|a|−7≥a+1，解得a≤−87或a≥85，所以a≤−87．故答案为：a≤−87．13.【答案】2π2+16π【考点】进行简单的合情推理【解析】本题考查了简单的合情推理．【解答】解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4π√1−y2+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4π√1−y2，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π．故答案为：2π2+16π．14.【答案】2【考点】函数的零点反函数【解析】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力．【解答】解：因为g(I)＝{y|yg(x), x∈I}，f−1([0, 1)）＝[1, 2), f−1(2, 4])＝[0, 1)，所以对于函数f(x)，当x∈[0, 1)时, f(x)∈(2, 4]，所以方程f(x)−x＝0即f(x)＝x无解；当x∈[1, 2)时，f(x)∈[0, 1)，所以方程f(x)−x＝0即f(x)＝x无解；所以当x∈[0, 2)时方程f(x)−x＝0即f(x)＝x无解，又因为方程f(x)−x＝0有解x0，且定义域为[0, 3]，故当x∈[2, 3]时，f(x)的取值应属于集合(−∞, 0)∪[1, 2]∪(4, +∞)，故若f(x0)＝x0，只有x0＝2，故答案为：2.二、选择题.15、【答案】B【考点】集合关系中的参数取值问题一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】当a>1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a<1时，同样求出集合A，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a>1时，A=(−∞, 1]∪[a, +∞)，B=[a−1, +∞)，若A∪B=R，则a−1≤1，∴1<a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a<1时，A=(−∞, a]∪[1, +∞)，B=[a−1, +∞)，若A∪B=R，则a−1≤a，显然成立，∴a<1；综上，a的取值范围是(−∞, 2]．故选B.16、【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B.17、【答案】A【考点】数列的函数特性【解析】本题考查函数的特性．【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素a ij＝a i⋅a j+a i+a j＝(2i−1)(2j−1)+2i−1+2j−1＝2i+j−1(i＝1, 2,…,7；j＝1, 2,…,12)，当且仅当：i+j＝m+n时，a ij＝a mn(i, m＝1, 2,…,7；j, n＝1, 2,…,12)，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．18、【答案】D【考点】进行简单的合情推理平面向量数量积的性质及其运算 【解析】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力． 【解答】解：由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→，∴ 利用向量的数量积公式，可知只有AF →⋅DE →=AB →⋅DC →>0，其余数量积均小于等于0，∵ m 、M 分别为(a i →+a j →+a k →)⋅(d r →+d s →+d t →)的最小值、最大值， ∴ m <0，M <0， 故选D ． 三、解答题.19、【答案】证明：因为ABCD −A 1B 1C 1D 1为长方体， 故AB//C 1D 1，AB =C 1D 1，故ABC 1D 1为平行四边形，故BC 1//AD 1，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为ℎ考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得V =13×(12×1×2)×1=13， 而△AD 1C 中，AC =D 1C =√5，AD 1=√2， 故S △AD 1C =32，所以，V =13×32×ℎ=13⇒ℎ=23， 即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23． 【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】此题暂无解析 【解答】证明：因为ABCD −A 1B 1C 1D 1为长方体， 故AB//C 1D 1，AB =C 1D 1，故ABC 1D 1为平行四边形，故BC 1//AD 1，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为ℎ考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得V =13×(12×1×2)×1=13， 而△AD 1C 中，AC =D 1C =√5，AD 1=√2， 故S △AD 1C =32，所以，V =13×32×ℎ=13⇒ℎ=23， 即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20、【答案】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x +1−3x )×2＝200(5x +1−3x ) 根据题意，200(5x +1−3x )≥3000，即5x 2−14x −3≥0 ∴ x ≥3或x ≤−15 ∵ 1≤x ≤10， ∴ 3≤x ≤10；（2）设利润为 y 元，则生产900千克该产品获得的利润为y ＝100(5x +1−3x )×900x＝90000(−3x 2+1x +5)＝9×104[−3(1x −16)2+6112] ∵ 1≤x ≤10，∴ x ＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值． 【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x +1−3x )×2＝200(5x +1−3x ) 根据题意，200(5x +1−3x )≥3000，即5x 2−14x −3≥0 ∴ x ≥3或x ≤−15 ∵ 1≤x ≤10， ∴ 3≤x ≤10；（2）设利润为 y 元，则生产900千克该产品获得的利润为y ＝100(5x +1−3x )×900x＝90000(−3x 2+1x +5)＝9×104[−3(1x −16)2+6112] ∵ 1≤x ≤10，∴ x ＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．21、【答案】解：（1）因为ω>0，根据题意有{−π4ω≥−π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34 （2）f(x)=2sin(2x)，g(x)=2sin[2(x +π6)]+1=2sin(2x +π3)+1 g(x)=0⇒sin(2x +π3)=−12⇒x =kπ−π3或x =kπ−712πk ∈Z ，即g(x)的零点间隔依次为π3和2π3，故若y =g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，则 b −a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3．【考点】 三角函数综合 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为ω>0，根据题意有{−π4ω≥−π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34 （2）f(x)=2sin(2x)，g(x)=2sin[2(x +π6)]+1=2sin(2x +π3)+1 g(x)=0⇒sin(2x +π3)=−12⇒x =kπ−π3或x =kπ−712πk ∈Z ， 即g(x)的零点间隔依次为π3和2π3，故若y =g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，则 b −a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3．22、【答案】（1）解：C 1的左焦点为(−√3,0)，写出的直线方程可以是以下形式： x =−√3或y =k(x +√3)，其中|k|≥√33． （2）证明：因为直线y ＝kx 与C 2有公共点，所以方程组{y =kx |y|=|x|+1有实数解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|=|x|+1|x|>1． 若原点是“C 1−C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点．考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx(|k|>1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx(|k|>1)，则由方程组{y =kx x 22−y 2=1，得x 2=21−2k 2<0，矛盾．所以直线y ＝kx(|k|>1)与C 1也无公共点． 因此原点不是“C 1−C 2型点”．（3）证明：记圆O:x 2+y 2=12，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直， 故可设l:y ＝kx +b ．若|k|≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝−x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝−kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k|>1． 因为l 与C 1由公共点，所以方程组{y =kx +bx 22−y 2=1 有实数解， 得(1−2k 2)x 2−4kbx −2b 2−2＝0．因为|k|>1，所以1−2k 2≠0，因此Δ＝(4kb)2−4(1−2k 2)(−2b 2−2)＝8(b 2+1−2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2−1．因为圆O 的圆心(0, 0)到直线l 的距离d =2， 所以b 21+k 2=d 2<12，从而1+k 22>b 2≥2k 2−1，得k 2<1，与|k|>1矛盾．因此，圆x 2+y 2=12内的点不是“C 1−C 2型点”． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 双曲线的离心率 点到直线的距离公式 【解析】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系． 【解答】（1）解：C 1的左焦点为(−√3,0)，写出的直线方程可以是以下形式： x =−√3或y =k(x +√3)，其中|k|≥√33． （2）证明：因为直线y ＝kx 与C 2有公共点，所以方程组{y =kx |y|=|x|+1 有实数解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|=|x|+1|x|>1． 若原点是“C 1−C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点． 考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx(|k|>1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx(|k|>1)，则由方程组{y =kx x 22−y 2=1，得x 2=21−2k 2<0，矛盾．所以直线y ＝kx(|k|>1)与C 1也无公共点． 因此原点不是“C 1−C 2型点”．（3）证明：记圆O:x 2+y 2=12，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直， 故可设l:y ＝kx +b ．若|k|≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝−x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝−kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k|>1． 因为l 与C 1由公共点，所以方程组{y =kx +bx 22−y 2=1 有实数解， 得(1−2k 2)x 2−4kbx −2b 2−2＝0．因为|k|>1，所以1−2k 2≠0，因此Δ＝(4kb)2−4(1−2k 2)(−2b 2−2)＝8(b 2+1−2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2−1．因为圆O 的圆心(0, 0)到直线l 的距离d =√1+k 2， 所以b 21+k2=d 2<12，从而1+k 22>b 2≥2k 2−1，得k 2<1，与|k|>1矛盾．因此，圆x 2+y 2=12内的点不是“C 1−C 2型点”．23、【答案】（1）解：a 2＝f(a 1)＝f(−c −2)＝2|−c −2+c +4|−|−c −2+c|＝4−2＝2， a 3＝f(a 2)＝f(2)＝2|2+c +4|−|2+c|＝2(6+c)−(c +2)＝10+c ． （2）证明：由已知可得f(x)={x +c +8,x ≥−c3x +3c +8,−c −4≤x <−c −x −c −8,x <−c −4当a n ≥−c 时，a n+1−a n ＝c +8>c ；当−c −4≤a n <−c 时，a n+1−a n ＝2a n +3c +8≥2(−c −4)+3c +8＝c ； 当a n <−c −4时，a n+1−a n ＝−2a n −c −8>−2(−c −4)−c −8＝c ． ∴ 对任意n ∈N ∗，a n+1−a n ≥c ；（3）解：假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列． 由（2）及c >0，得a n+1≥a n ，即{a n }为无穷递增数列．又{a n }为等差数列，所以存在正数M ，当n >M 时，a n ≥−c ，从而a n+1＝f(a n )＝a n +c +8，由于{a n }为等差数列， 因此公差d ＝c +8．①当a 1<−c −4时，则a 2＝f(a 1)＝−a 1−c −8，又a 2＝a 1+d ＝a 1+c +8，故−a 1−c −8＝a 1+c +8，即a 1＝−c −8，从而a 2＝0， 当n ≥2时，由于{a n }为递增数列，故a n ≥a 2＝0>−c ，∴ a n+1＝f(a n )＝a n +c +8，而a 2＝a 1+c +8，故当a 1＝−c −8时，{a n }为无穷等差数列，符合要求；②若−c −4≤a 1<−c ，则a 2＝f(a 1)＝3a 1+3c +8， 又a 2＝a 1+d ＝a 1+c +8，∴ 3a 1+3c +8＝a 1+c +8，得a 1＝−c ，应舍去；③若a 1≥−c ，则由a n ≥a 1得到a n+1＝f(a n )＝a n +c +8，从而{a n }为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{−c,−8}∪[−c, +∞)．【考点】数列与函数的综合等差数列的性质数列的函数特性【解析】本题综合考查了分类讨论的思方法、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．【解答】（1）解：a2＝f(a1)＝f(−c−2)＝2|−c−2+c+4|−|−c−2+c|＝4−2＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝2|2+c+4|−|2+c|＝2(6+c)−(c+2)＝10+c．（2）证明：由已知可得f(x)={x+c+8,x≥−c3x+3c+8,−c−4≤x<−c −x−c−8,x<−c−4当a n≥−c时，a n+1−a n＝c+8>c；当−c−4≤a n<−c时，a n+1−a n＝2a n+3c+8≥2(−c−4)+3c+8＝c；当a n<−c−4时，a n+1−a n＝−2a n−c−8>−2(−c−4)−c−8＝c．∴对任意n∈N∗，a n+1−a n≥c；（3）解：假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由（2）及c>0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n>M时，a n≥−c，从而a n+1＝f(a n)＝a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d＝c+8．①当a1<−c−4时，则a2＝f(a1)＝−a1−c−8，又a2＝a1+d＝a1+c+8，故−a1−c−8＝a1+c+8，即a1＝−c−8，从而a2＝0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2＝0>−c，∴a n+1＝f(a n)＝a n+c+8，而a2＝a1+c+8，故当a1＝−c−8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若−c−4≤a1<−c，则a2＝f(a1)＝3a1+3c+8，又a2＝a1+d＝a1+c+8，∴3a1+3c+8＝a1+c+8，得a1＝−c，应舍去；③若a1≥−c，则由a n≥a1得到a n+1＝f(a n)＝a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{−c,−8}∪[−c, +∞)．。

2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1. 已知集合()(),32,A B =-∞=+∞、，则=B A ________.2. 已知C z ∈且满足i z=-51，求=z ________. 3. 已知向量)2,0,1(=a ，)0,1,2(=b ，则a 与b 的夹角为________. 4. 已知二项式()521x +，则展开式中含2x 项的系数为________. 5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为________.6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =-，则=)23(f ________. 7. 若x y R +∈、，且123y x +=，则y x的最大值为________. 8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______. 9. 过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.10. 某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=-y x 上，则1lim n n n P P +→∞=_______. 12. 已知()()21,01f x a x a x =->>-，若0a a =，()f x 与x 轴交点为A ，()f x 为曲线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q （P 异于A ）使得AP AQ ⊥且AP AQ =，则0a =__________.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是（ ）A. )1,2(-B. )1,2(C. )2,1(-D. )2,1(14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知R ∈ω，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存在常数R a ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π 16. 已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限；②存在α在第二象限，角β在第四象限；A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =.（1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面1A MC 的距离.18.（本题满分14分）已知()11f x ax x =++)(R a ∈. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集； （2）若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.19.（本题满分14分）如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，39.2BD km =，22BDC ∠=，68CBD ∠=，58BDA ∠=.（1）求BC 长度；（2）若40AB km =，求D 到海岸线A B C --的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分16分） 已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点. （1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分） 数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈-，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满足性质P ； （3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为C ，使用,,a d c 表示12100a a a +++.。

上海市教育考试院 保留版权 数学（理）2019第1页（共10页）2 0 19年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =_____________.3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____________.4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f =-（0>x ），则=)4(f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=__________. 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 . 7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足 0)(>x f 的x 的取值范围是 .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .数学（理）2019第2页（共10页）10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 .11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的 横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出 代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数r n C )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] ( )(A) 1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( )(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) (D) .数学（理）2019第3页（共10页）三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]数学（理）2019第4页（共10页）17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD . 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）.[解]数学（理）2019第5页（共10页）18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分9分．已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点. （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值.[证明]（1）[解]（2）数学（理）2019第6页（共10页）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.[解]（1）（2）数学（理）2019第7页（共10页）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点.（1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.[解]（1）[证明]（2）[解]（3）数学（理）2019第8页（共10页）数学（理）2019第9页（共10页）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a da a c a a （1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（3）当m a 101<< （m 是正整数），mc 1=，正整数md 3≥时，求证：数列m a 12-, m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. [解]（1）（2）[证明]（3）数学（理）2019第10页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准 说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. 2.5. 7.6. 2.7. 43. 8. ),1()0,1(∞+- . 9. 5.10,5.10==b a . 10. a h h 2cot cot 2211≤⋅+⋅θθ. 11. ),6()6,(∞+-∞- .16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF .A B C D EF 平面⊥，E DF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . …… 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分 17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO . …… 2分由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分数学（理）2019第11页（共10页）在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . …… 2分 点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +， …… 4分它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分 （2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-= …… 8分数学（理）2019第12页（共10页）14)3(22-+-=x x54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x . …… 11分2||≥x ， …… 13分∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552. …… 15分19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ，解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8. …… 3分[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1. …… 5分数学（理）2019第13页（共10页）P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ，∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. …… 8分 （3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q . …… 10分将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=. …… 12分当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上； 当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上. …… 16分21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .…… 3分（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，… …… 6分数学（理）2019第14页（共10页）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . …… 10分 （3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，ma m a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m31的等比数列. ……13分 当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m . ……15分由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+ma m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. ……18分数学（理）2019第15页（共10页）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：数学（理）2019第16页（共10页）36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线数学（理）2019第17页（共10页）3y x a =+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

2019年上海高考数学试卷一、填空题(每小题 4分，满分56分)1 11 .函数f(x)的反函数为f (X ) ______________ .x 22 若全集 U R ，集合 A {x x 1} U{x|x 0}，则 C U A _________________23. 设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线mx 14.不等式 ______________ 3的解为x(结果用反三角函数值表示)之间的距离为 千米.7.若圆锥的侧面积为 2 ，底面面积为，则该圆锥的体积为 _____________8. 函数v sin x cos x 的最大值为2 69.马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表：请小牛同学计算 的数学期望.尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断 定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E = ____________ .a b 10.行列式 ____________________________________________________ (a,b,c,d{ 1,1,2})所有可能的值中，最大的是 __________________________________________ . c duuu mur11. 在正三角行 ABC 中，D 是BC 上的点 若AB=3，BD=1，则ABgAD ___________ .12. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 _____________ 默认每个月 的天数相同，结果精确到 ).1的一个焦点，则 m= __________5.在极坐标系中，直线(2COS sin )2与直线 cos 1的夹角大小为 _________________6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ,若 CAB 75： CBA 60o ，则 A C 两点13.设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x) x g(x)在区间［3,4］上的值域为［2,5］，贝U f （x ）在区间［10,10］上的值域为 _________14.已知点0（0,0）、Q （0,1）和点R o （3,1）,记Q o R O 的中点为 P i ,取Q o P i 和P i R o 中的一条，记其 端点为Q 1、R 1,使之满足|OQ 1I 2 |OR I 2 0，记Q 1R 1的中点为P 2,取Q 1P 2和P 2RI中的一条，记其端点为Q 2、R 2,使之满足 |OQ 2| 2 |OR 2 I 2P,P 2丄,P n ,L ，则 n im QRI0成立的点M 的个数为（三、解答题（本大题满分 74 分） 19. （本大题满分12分）已知复数 乙满足（乙 2）（1 i ） 1 i （i 为虚数单位），复数Z 2的虚部为2,且乙Z 2是(A ) ｛a n ｝是等比数列.(B )4 ,a3 丄,a 2n 1,L 或 a ?, a 4 ,L ,a 2n 丄 是等比数列. (C ) a 1, a 3,L,a 2n 1,L 和a 2,a 4丄 ,a 2n ,L均是等比数列.(D )4,a3 丄,a2n 1,L 和 a 2, a 4,L,a2n 丄 均是等比数列，且公比相同｛A n ｝为等比数列的充要条件是（)0.依次下去，得到二、选择题 （每小题 5分，满分20分） 15.若 a, bR ，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是（(A) a 22b 2ab . ( B ) a b1 (C)—a、abb a 小(D )a b 2.16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,）上单调递减的函数是（(A) y In 丄|x|(B ) y x 3.(C )2|x|.(D ) yCOSX .17.设A,A 2,A 3, A 4, A s 是平面上给定的5个不同点, uiuu 则使MA , uuu MA >uuu MA 3 iuuuMA mur MA 5(A ) 0.(B ) 1.(C ) 5.(D ) 10.18.设｛a n ｝是各项为正数的无穷数列,A 是边长为a i ,a i 1的矩形的面积（i1,2,L ），则实数，求z 2.20. (本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分 8分)xx已知函数f(x) a 2 b 3 ,其中常数a,b 满足a b 0(1 )若a b 0，判断函数f (x)的单调性;(2)若a b 0，求f (x 1) f (x)时的x 的取值范围.21. (本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分 8分)已知ABCD A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -=> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x =1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r r r T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =．故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24． 10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP +=，当且仅当a =时，取最小值，2⨯P Q11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，(， 121F P F P ⋅， 2221x y ∴-+≤，结合22142x y += 可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-． 13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B，y =[0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确 C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错tD ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D 错 故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交； 如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴，则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ==可得222cos 24PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅，AC ∴与MN的夹角为arccos4； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴=11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q→∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<，∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e ->+，解得50.68t >， 当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PF P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦∴∴=由()2213131628y y y y⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y y y y y y y y++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P+>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈．当120,3a dπ==，集合S⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12aπ=，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时dπ=，②1a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使2a，3a的终边关于y轴对称，如图OB，OC，此时23dπ=，综上，23dπ=或者dπ=．（3）①当3T=时，3n nb b+=，集合{}123,,S b b b=，符合题意．②当4T=时，4n nb b+=，()sin4sinn na d a+=，42n na d a kπ+=+，或者42n na d k aπ+=-，等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，故42n na d a kπ+=+，2kdπ=，又1,2k∴=当1k=时满足条件，此时{,1,1}S=--．∴③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,s i n 7s i n s i n n nn n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。

一 . 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）1. 已知集合 A (,3) ， B(2, ) ，则 A I B2. 已知 z C ，且满足1 i ，求 zz 5rr r3.r已知向量 a (1,0,2) ， b(2,1,0) ，则 a 与 b 的夹角为4. 已知二项式 (2 x 1) 5 ，则展开式中含 x 2 项的系数为x 05. 已知 x 、 y 满足y，求 z2x3y 的最小值为x y 26. 已知函数 f (x) 周期为 1，且当 0x 1 ， f (x)log 2 x ，则 f ( 3)27. 若 x, y R ，且1 2y 3，则 y的最大值为x x8. 已知数列{ a n项和为SSan2，则Sn } 前 n，且满足n59. 过曲线 y 24x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与曲线y 24x 交于 A 、 B ， A 在 B 上uuuuruuur uuur方， M 为抛物线上一点， OMOA (2) OB ，则10. 某三位数密码，每位数字可在 0 9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是11. 已知数列 { a n } 满足 a n a n 1 （ nN * ），若 P n (n, a n ) (n 3) 均在双曲线 x 2y 2 1上，6 2则 lim | P n P n 1 |n12. 已知 f (x) |2a | （ x 1 ， a 0 ）， f (x) 与 x 轴交点为 A ，若对于 f (x) 图像x1上任意一点 P ，在其图像上总存在另一点 Q （ P 、 Q 异于 A ），满足 AP AQ ，且| AP || AQ |，则 a二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知直线方程 2xy c 0 的一个方向向量urd 可以是（）A.(2, 1)B.(2,1)C.( 1,2)D.(1,2)14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 815.已知R ，函数 f ( x) ( x 6) 2 sin(x) ，存在常数a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.523416. 已知tan tan tan() ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， M 为 BB1上一点，已知B M 2 ， CD 3 ， AD 4 ， AA1 5 .（ 1）求直线AC 与平面 ABCD 的夹角；1（ 2）求点A到平面A1MC的距离 .18. 已知f (x) ax1， a R .x1（ 1）当a1时，求不等式 f (x) 1 f ( x 1) 的解集；（ 2）若f ( x)在x[1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.19. 如图，A B C 为海岸线， AB为线段，?BD39.2km BDC22CBD 68为四分之一圆弧，，，，BDA 58 .（ 1）求BC的长度；（ 2）若AB40km，求D到海岸线A B C 的最短距离.（精确到）20. 已知椭圆x2y21， F1、 F2为左、右焦点，直线l 过 F2交椭圆于A、B两点.84（ 1）若直线l垂直于x轴，求| AB |；（ 2）当F1AB90 时，A在x轴上方时，求A、 B 的坐标；（ 3）若直线AF1交 y 轴于 M，直线BF1交 y 轴于 N，是否存在直线l ，使得 S V F AB SV F MN，11若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.数列{ a n} ( n N * ) 有100项， a1 a ，对任意 n [2,100] ，存在 a n a i d ，i[1,n1] ，若 a k与前 n 项中某一项相等，则称a k具有性质P.（ 1）若a11， d 2 ，求 a4所有可能的值；（ 2）若{a n} 不是等差数列，求证：数列{ a n}中存在某些项具有性质P；（ 3）若{a n} 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用 a、 d、 c 表示a1a2a100.参考答案一 .填空题1.(2,3)2. 5 i ， z 15 5 iir r3. arccos 2， cosrab r52 25| a | | b |554. 40 ， x 2 的系数为 C 53 22 405. 6 ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当 x 0 ， y 2 时， z min66.1 ， f (3)f (1)log 2 1 12227.9，法一： 3 1 2 y 2 12y ，∴ y( 3 )2 9 ；8x x x 2 2 8法二：由13y(3 2 y) y2y 23y （ 0 y3( y)max9x2 y ， x2 ），求二次最值 x88.31，由S n a n 2得： a n1 a n 1 （ n2 ），∴ { a n } 为等比数列，且 a 1 1，16 Sn 1a n2(n2 12)11 [1 ( 1)5 ]31q2，∴ S 51162129. 3 ，依题意求得： A(1,2) ， B(1, 2) ，设 M 坐标为 M (x, y) ，有： (x, y)(1,2) ( 2) (1, 2) (22,4) ，带入 y 24x 有： 16 4 (22) ，即310.27 ，法一： P C 101 C 32 C 9127选位置 选第三个数字） ；100103（分子含义：选相同数字100法二：C 101 P 10327+三位数字都不同）P 1（分子含义：三位数字都相同10310011.23，法一：由 n 2a n 21得： a n2( n 21) ，∴ P n (n,2( n 21)) ， P n 1 (n1, 2( (n 1)21)) ，382666利用两点间距离公式求解极限：lim | P n P n 1 |2 3 ；n3法二（极限法）：当 n时， P n P n 1 与渐近线平行， P n P n 1 在 x 轴投影为 1，渐近线斜角满足： tan3 ，3∴ P n P n 11 2 3cos36 12. a2二 . 选择题13. 选 D ，依题意： (2, 1) 为直线的一个法向量，∴方向向量为(1,2)14. 选 B ，依题意： V 1122 14 ， V 2 1 12 2233 3315. 选 C ，法一：依次代入选项的值，检验 f (x a) 的奇偶性；法二： f ( x a) ( x a 6) 2sin[( x a)] ，若 f (x a) 为偶函数，则 a6 ，且sin[ ( x 6)] 也为偶函数（偶函数偶函数 =偶函数），∴ 6k ，当 k 1时，2416. 选 D ，取特殊值检验法：例如：令tan1和 tan1，求 tan是否存在（考试中，33若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）三 . 解答题17. （ 1）；（ 2）10.4318. （ 1） x( 2, 1) ；（ 2） a [ 1 , 1] .2 619.R22BD sin 2216.310 km ；（ 2） .（ 1） BC2 BC42220. （ ） 2 2 ；（ ） A(0,2) ，B( 8 , 2) ；（ 3） x 3 y 2 0 .123 321. （ 1） 3、 5、7；（ 2）略；（ 3） 97a 4656d c .。

2019年上海市高考数学真题试卷（Word版，含解析）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则．2．（4分）计算．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）函数的反函数为．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．7．（5分）在的展开式中，常数项等于．8．（5分）在中，，，且，则．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为．12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则，．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，，，．故答案为：，．2．（4分）计算2．【解答】解：．故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为．【解答】解：由得，即故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，．故答案为：．6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：．故答案为：．7．（5分）在的展开式中，常数项等于15．【解答】解：展开式的通项为令得，故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有24种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为，．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，，，，结合可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即；当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．当时，同理可得无解．综上，的值为1或．故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错，的值域为，，故错．故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；如图2，可得、、可能两两相交；如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为，所以，则，即，则，设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，，则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为；（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，．．．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，；（2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．（2）是减函数，且，在上单调递增，令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得，抛物线的准线方程为，可得，，；（2）证明：当时，，设，，，则，联立和，可得，，，则存在常数，使得；（3）设，，，则，由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，集合，0，．（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，等差数列的公差，，故，，又，2当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2．当时，，1，满足题意．④当时，，，所以或者，，，故，2，3．当时，，满足题意．⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =则m = 2 。

解析：考查并集的概念，显然m=22.不等式204xx ->+的解集是 {}24|<<-x x 。

解析：考查分式不等式的解法204xx ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<23.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 0.5 。

解析：考查行列式运算法则cossin 66sincos66ππππ=213cos 6πsin 6πsin 6πcos6πcos ==-π 4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+ i 26- 。

解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。

若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 20 个个体。

解析：考查分层抽样应从C 中抽取20102100=⨯6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 96 。

解析：考查棱锥体积公式9683631=⨯⨯=V 7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 3 。

解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 y 2=8x 。

解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y 2=8x9.函数3()l o g (3)f x x=+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是(0,-2) 。

2019年上海市高考数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）已知集合A=（-∞.3）.B=（2.+∞）.则A∩B=___ ． 2.（填空题.4分）已知z∈C .且满足 1z−5 =i.求z=___ ．3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）.则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．4.（填空题.4分）已知二项式（2x+1）5.则展开式中含x 2项的系数为___ ． 5.（填空题.4分）已知x.y 满足 {x ≥0y ≥0x +y ≤2.则z=2x-3y 的最小值为___ ．6.（填空题.4分）已知函数f （x ）周期为1.且当0＜x≤1时.f （x ）=log 2x.则f （ 32 ）=___ ． 7.（填空题.5分）若x.y∈R +.且 1x +2y=3.则 yx 的最大值为___ ．8.（填空题.5分）已知数列{a n }前n 项和为S n .且满足S n +a n =2.则S 5=___ ．9.（填空题.5分）过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方.M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ=___ ．10.（填空题.5分）某三位数密码.每位数字可在0-9这10个数字中任选一个.则该三位数密码中.恰有两位数字相同的概率是___ ．11.（填空题.5分）已知数列{a n }满足a n ＜a n+1（n∈N*）.P n （n.a n ）（n≥3）均在双曲线 x 26 - y 22 =1上.则 lim n→∞|P n P n+1|=___ ．12.（填空题.5分）已知f （x ）=| 2x−1 -a|（x ＞1.a ＞0）.f （x ）与x 轴交点为A.若对于f （x ）图象上任意一点P.在其图象上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ）.满足AP⊥AQ .且|AP|=|AQ|.则a=___ ．13.（单选题.5分）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量 d ⃗ 可以是（ ） A.（2.-1） B.（2.1） C.（-1.2） D.（1.2）14.（单选题.5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2.将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A.1B.2C.4D.815.（单选题.5分）已知ω∈R.函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.使f（x+a）为偶函数.则ω的值可能为（）A. π2B. π3C. π4D. π516.（单选题.5分）已知tanα•tanβ=tan（α+β）．有下列两个结论：① 存在α在第一象限.β在第三象限；② 存在α在第二象限.β在第四象限；则（）A. ① ② 均正确B. ① ② 均错误C. ① 对② 错D. ① 错② 对17.（问答题.14分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M为BB1上一点.已知BM=2.CD=3.AD=4.AA1=5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18.（问答题.14分）已知f（x）=ax+ 1x+1.a∈R．（1）当a=1时.求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1.2]时有零点.求a的取值范围．19.（问答题.14分）如图.A-B-C为海岸线.AB为线段. BĈ为四分之一圆弧.BD=39.2km.∠BDC=22°.∠CBD=68°.∠BDA=58°．（1）求BĈ的长度；（2）若AB=40km.求D到海岸线A-B-C的最短距离．（精确到0.001km）20.（问答题.16分）已知椭圆x28 + y24=1.F1.F2为左、右焦点.直线l过F2交椭圆于A.B两点．（1）若直线l垂直于x轴.求|AB|；（2）当∠F1AB=90°时.A在x轴上方时.求A、B的坐标；（3）若直线AF1交y轴于M.直线BF1交y轴于N.是否存在直线l.使得S △F1AB =S △F1MN.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.18分）数列{a n}（n∈N*）有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].若a k与前n项中某一项相等.则称a k具有性质P．（1）若a1=1.d=2.求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列.求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P.这三项和为c.使用a.d.c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）已知集合A=（-∞.3）.B=（2.+∞）.则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]（2.3） 【解析】：根据交集的概念可得．【解答】：解：根据交集的概念可得A∩B=（2.3）． 故答案为：（2.3）．【点评】：本题考查了交集及其运算.属基础题． 2.（填空题.4分）已知z∈C .且满足 1z−5 =i.求z=___ ． 【正确答案】：[1]5-i【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：由 1z−5 =i.得z-5= 1i .即z=5+ 1i =5-i ． 故答案为：5-i ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.是基础的计算题．3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）.则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] arccos 25【解析】：直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】：解：向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）. 则 |a ⃗|=√5 . |b ⃗⃗|=√5 . 所以：cos θ=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗| = 25 . 故： a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 arccos 25．故答案为： arccos 25 ．【点评】：本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．4.（填空题.4分）已知二项式（2x+1）5.则展开式中含x 2项的系数为___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：先求得二项式展开式的通项公式.再令x 的幂指数等于2.求得r 的值.即可求得含x 2项的系数值．【解答】：解：二项式（2x+1）5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r •25-r •x 5-r . 令5-r=2.求得 r=3.可得展开式中含x 2项的系数值为C 53•22=40. 故答案为：40．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项式展开式的通项公式.求展开式中某项的系数.属于基础题．5.（填空题.4分）已知x.y 满足 {x ≥0y ≥0x +y ≤2 .则z=2x-3y 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-6【解析】：画出不等式组表示的平面区域.由目标函数的几何意义.结合平移直线.可得所求最小值．【解答】：解：作出不等式组 {x ≥0y ≥0x +y ≤2 表示的平面区域.由z=2x-3y 即y=2x−z3.表示直线在y 轴上的截距的相反数的 13 倍.平移直线2x-3y=0.当经过点（0.2）时.z=2x-3y 取得最小值-6. 故答案为：-6．【点评】：本题考查线性规划的运用.考查平移法求最值的方法.数形结合思想.考查运算能力.属于基础题．6.（填空题.4分）已知函数f（x）周期为1.且当0＜x≤1时.f（x）=log2x.则f（32）=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由题意知函数f（x）周期为1.所以化简f（32）再代入即可．【解答】：解：因为函数f（x）周期为1.所以f（32）=f（12）.因为当0＜x≤1时.f（x）=log2x.所以f（12）=-1. 故答案为：-1．【点评】：本题考查函数的周期性.属于简单题．7.（填空题.5分）若x.y∈R+.且1x +2y=3.则yx的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 98【解析】：根据基本不等式可得．【解答】：解：3= 1x +2y≥2 √1x•2y .∴ yx≤2√2）2= 98；故答案为：98【点评】：本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．8.（填空题.5分）已知数列{a n}前n项和为S n.且满足S n+a n=2.则S5=___ ．【正确答案】：[1] 3116【解析】：由已知数列递推式可得数列{a n }是等比数列.且 a 1=1，q =12 .再由等比数列的前n 项和公式求解．【解答】：解：由S n +a n =2. ① 得2a 1=2.即a 1=1.且S n-1+a n-1=2（n≥2）. ②① - ② 得： a n =12a n−1 （n≥2）． ∴数列{a n }是等比数列.且 a 1=1，q =12 ． ∴ S 5=1×[1−(12)5]1−12=3116 ．故答案为： 3116．【点评】：本题考查数列递推式.考查等比关系的确定.训练了等比数列前n 项和的求法.是中档题．9.（填空题.5分）过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方.M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标.进一步利用向量的运算求出结果．【解答】：解：过y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方. 依题意：得到：A （1.2）B （1.-2）. 设点M （x.y ）.所以：M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 则：（x.y ）=λ（1.2）+（λ-2）（1.-2）=（2λ-2.4）. 代入y 2=4x. 得到：λ=3． 故答案为：3【点评】：本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用.向量的坐标运算的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．10.（填空题.5分）某三位数密码.每位数字可在0-9这10个数字中任选一个.则该三位数密码中.恰有两位数字相同的概率是___ ． 【正确答案】：[1]27100【解析】：分别运用直接法和排除法.结合古典概率的公式.以及计数的基本原理：分类和分步.计算可得所求值．【解答】：解：方法一、（直接法）某三位数密码锁.每位数字在0-9数字中选取. 总的基本事件个数为1000.其中恰有两位数字相同的个数为 C 101 C 32 C 91=270.则其中恰有两位数字相同的概率是2701000 = 27100； 方法二、（排除法）某三位数密码锁.每位数字在0-9数字中选取. 总的基本事件个数为1000.其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10=730. 可得其中恰有两位数字相同的概率是1- 7301000 = 27100． 故答案为： 27100 ．【点评】：本题考查古典型概率的求法.注意运用直接法和排除法.考查排列组合数的求法.以及运算能力.属于基础题．11.（填空题.5分）已知数列{a n }满足a n ＜a n+1（n∈N*）.P n （n.a n ）（n≥3）均在双曲线 x 26 - y 22=1上.则 lim n→∞|P n P n+1|=___ ．【正确答案】：[1]2√33【解析】：法一：根据两点之间的距离和极限即可求出.法二：根据向量法.当n→+∞时.P n P n+1与渐近线平行.P n P n+1在x 轴的投影为1.渐近线倾斜角为θ.则tanθ= √33.即可求出．【解答】：解：法一：由 n 26- a n 22=1.可得a n = √2(n 26−1) .∴P n （n. √2(n 26−1) ）. ∴P n+1（n+1. √2((n+1)26−1) ）.∴|P n P n+1|=. √(n +1−n )2+[√2(n+16)2−1−√2(n 26−1)]2=√2n2+2n−113−4√((n+1)26−1)(n 26−1)∴求解极限可得 lim n→∞|P n P n+1|=2√33. 方法二：当n→+∞时.P n P n+1与渐近线平行.P n P n+1在x 轴的投影为1.渐近线倾斜角为θ.则tanθ= √33. 故P n P n+1=1cosπ6=2√33故答案为： 2√33．【点评】：本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式.极限的思想.向量的投影.属于中档题．12.（填空题.5分）已知f （x ）=| 2x−1 -a|（x ＞1.a ＞0）.f （x ）与x 轴交点为A.若对于f （x ）图象上任意一点P.在其图象上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ）.满足AP⊥AQ .且|AP|=|AQ|.则a=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：本题根据题意对函数f （x ）分析之后可画出f （x ）大致图象.然后结合图象可不妨设点P 在左边曲线上.点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k.联立直线与曲线的方程可得P 点坐标.同理可得Q 点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|.再根据|AP|=|AQ|及k 的任意性可解得a 的值．【解答】：解：由题意.可知： 令f （x ）=| 2x−1 -a|=0.解得：x= 2a +1. ∴点A 的坐标为：（ 2a +1.0）． 则f （x ）= {2x−1−a ，1＜x ≤x A −2x−1+a ，x ＞x A．∴f （x ）大致图象如下：由题意.很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上.不妨设点P 在左边曲线上.点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k.则l AP ：y=k （x- 2a -1）．联立方程： {y =k (x −2a −1)y =2x−1−a. 整理.得：kx 2+[a-k （ 2a +2）]x+k （ 2a +1）-a-2=0．∴x P +x A =-a−k(2a +2)k = 2a +2- a k ． ∵x A = 2a +1.∴x P = 2a +2- a k -x A =1- a k．再将x P =1- a k 代入第一个方程.可得：y P =-a- 2k a ．∴点P 的坐标为：（1- a k .-a- 2k a ）．∴|AP|= √(x P −x A )2+(y P −y A )2= √(1−a k −2a −1)2+(−a −2k a )2 = √4a 2•k 2+4k +a 2•1k 2+4•1k +a 2+4a 2． ∵AP⊥AQ .∴直线AQ 的斜率为- 1k .则l AQ ：y=- 1k （x- 2a -1）．同理类似求点P 的坐标的过程.可得：点Q 的坐标为：（1-ak.a+ 2ak ）．∴|AQ|= √(x Q −x A )2+(y Q −y A )2= √(1−ak−2a −1)2+(a+2ak)2= √a2•k2+4k+4a2•1k2+4•1k+a2+4a2∵|AP|=|AQ|.及k的任意性.可知：4a2=a2.解得：a= √2．故答案为：√2．【点评】：本题主要考查对函数分析能力.根据平移对称画出符合函数的图象.采用数形结合法分析问题.以及用平面解析几何的方法进行计算.以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．13.（单选题.5分）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量d⃗可以是（）A.（2.-1）B.（2.1）C.（-1.2）D.（1.2）【正确答案】：D【解析】：先根据直线方程得直线的一个法向量.再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】：解：依题意.（2.-1）为直线的一个法向量.∴方向向量为（1.2）.故选：D．【点评】：本题考查了直线的方向向量.空间直线的向量.属基础题．14.（单选题.5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2.将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：B【解析】：直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积.作比得答案．【解答】：解：如图.则V1=13π×22×1=43π . V2=13π×12×2=23π .∴两个圆锥的体积之比为43π23π=2．故选：B．【点评】：本题考查圆锥的定义.考查圆锥体积的求法.是基础题．15.（单选题.5分）已知ω∈R.函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.使f（x+a）为偶函数.则ω的值可能为（）A. π2B. π3C. π4D. π5【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】：解：由于函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.f（x+a）为偶函数.则：f（x+a）=（x+a-6）2•sin[ω（x+a）].由于函数为偶函数.故：a=6.所以：6ω=π2+kπ .当k=1时．ω= π4故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．16.（单选题.5分）已知tanα•tanβ=tan（α+β）．有下列两个结论：① 存在α在第一象限.β在第三象限；② 存在α在第二象限.β在第四象限；则（）A. ① ② 均正确B. ① ② 均错误C. ① 对② 错D. ① 错② 对【正确答案】：D【解析】：考虑运用二次方程的实根的分布.结合导数判断单调性可判断① ；运用特殊值法.令tanα=- 13.结合两角和的正切公式.计算可得所求结论.可判断② ．【解答】：解：由tanα•tanβ=tan（α+β）.即为tanα•tanβ= tanα+tanβ1−tanαtanβ.设m=tanα.n=tanβ.可得n2m2+n（1-m）+m=0.若m＞0.可得上式关于n的方程有两个同号的根.若为两个正根.可得n＞0.即有m＞1.考虑△=f（m）=（1-m）2-4m3.f′（m）=2m-2-12m2=-12（m- 112）2- 2312.当m＞1时.f（m）递减.可得f（m）＜f（1）=-4＜0.则方程无解. β在第三象限不可能.故① 错；可令tanα=- 13.由tanα•tanβ=tan（α+β）.即为tanα•tanβ= tanα+tanβ1−tanαtanβ.可得- 13tanβ= tanβ−131+13tanβ.解得tanβ=-6± √39 .存在β在第四象限.故② 对．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的正切公式.以及方程思想、运算能力.属于基础题．17.（问答题.14分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M为BB1上一点.已知BM=2.CD=3.AD=4.AA1=5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA.判断△A1CA为等腰三角形.即可求出..求出法向量即（2）如图建立坐标系.根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d= |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗⃗||n⃗⃗|可求出．【解答】：解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD.连接AC.则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA.∵AA1=5.AC= √32+42 =5.∴△A1CA为等腰三角形..∴∠A1CA= π4∴直线A1C和平面ABCD的夹角为π.4（2）（空间向量）.如图建立坐标系.则A （0.0.0）.C （3.4.0）.A 1（0.0.5）.M （3.0.2）.∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3.4.0）. A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3.4.-5）. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.4．-2）.设平面A 1MC 的法向量 n ⃗⃗ =（x.y.z ）.由 {n ⃗⃗•A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3x +4y −5z =0n ⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y −2z =0.可得 n ⃗⃗ =（2.1.2）. ∴点A 到平面A 1MC 的距离d=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||n ⃗⃗| = √22+12+22 = 103 ．【点评】：本题考查了线面角的求法和点到平面的距离.考查了运算求解能力和转化与化归能力.空间想象能力.属于中档题．18.（问答题.14分）已知f （x ）=ax+ 1x+1.a∈R ． （1）当a=1时.求不等式f （x ）+1＜f （x+1）的解集；（2）若f （x ）在x∈[1.2]时有零点.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用转换关系.解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】：解：（1）f （x ）=ax+ 1x+1 （a∈R ）．当a=1时.f （x ）=x+ 1x+1 ．所以：f （x ）+1＜f （x+1）转换为：x+ 1x+1 +1 ＜x +1+1x+2 .即：1x+1＜1x+2.解得：-2＜x＜-1．故：{x|-2＜x＜-1}．（2）函数f（x）=ax+ 1x+1在x∈[1.2]时.f（x）有零点. 即函数在该区间上有解.即：a=−1x(x+1).即求函数g（x）在x∈[1.2]上的值域.由于：x（x+1）在x∈[1.2]上单调递减.故：x（x+1）∈[2.6].所以：−1x(x+1)∈[−12，−16] .故：a∈[−12，−16]【点评】：本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用.分离参数法的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题．19.（问答题.14分）如图.A-B-C为海岸线.AB为线段. BĈ为四分之一圆弧.BD=39.2km.∠BDC=22°.∠CBD=68°.∠BDA=58°．（1）求BĈ的长度；（2）若AB=40km.求D到海岸线A-B-C的最短距离．（精确到0.001km）【正确答案】：【解析】：（1）由题意可求BC.及弧BC所在的圆的半径R.然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得. BDsinA =ABsin58°.可求sinA.进而可求A.进而可求∠ABD.根据三角函数即可求解．【解答】：解：（1）由题意可得.BC=BDsin22°.弧BC 所在的圆的半径R=BCsin π4 = √22BC . 弧BC 的长度为 12πR = 12π•BC •√22 = √24×3.141×39.2×sin22° =16.310km ； （2）根据正弦定理可得. BD sinA =AB sin58° .∴sinA= 39.240×sin58° =0.831.A=56.2°.∴∠ABD=180°-56.2°-58°=65.8°.∴DH=BD×sin∠ABD=35.750km ＜CD=36.346km∴D 到海岸线A-B-C 的最短距离为35.750km【点评】：本题主要考查了利用三角函数.正弦定理求解三角形.还考查了基本运算．20.（问答题.16分）已知椭圆 x 28 + y 24 =1.F 1.F 2为左、右焦点.直线l 过F 2交椭圆于A.B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴.求|AB|；（2）当∠F 1AB=90°时.A 在x 轴上方时.求A 、B 的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M.直线BF 1交y 轴于N.是否存在直线l.使得S △F 1AB =S △F 1MN .若存在.求出直线l 的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意方程求得右焦点坐标.进一步求得A.B 的坐标.则|AB|可求；（2）设A （x 1.y 1）.由∠F 1AB=90°（∠F 1AF 2=90°）.利用数量积为0求得x 1与y 1的方程.再由A 在椭圆上.得x 1与y 1的另一方程.联立即可求得A 的坐标．得到直线AB 的方程.与椭圆方程联立即可求得B 的坐标；（3）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （0.y 3）.N （0.y 4）.直线l ：x=my+2.联立直线方程与椭圆方程.结合S △F 1AB =S △F 1MN .得2|y 1-y 2|=|y 3-y 4|.再由直线AF 1 的方程： y =y 1x 1+2(x +2) .得M 纵坐标 y 3=2y 1x 1+2 .由直线BF 1 的方程： y =y 2x 2+2(x +2) .得N 的纵坐标 y 4=2y 2x 2+2.结合根与系数的关系.得| −4m 2m 2+2+4m •−4mm 2+2+16 |=4.解得m 值.从而得到直线方程．【解答】：解：（1）依题意.F 2（2.0）.当AB⊥x 轴时.则A （2. √2 ）.B （2.- √2 ）.得|AB|=2 √2 ；（2）设A （x 1.y 1）.∵∠F 1AB=90°（∠F 1AF 2=90°）.∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+2，y 1)•(x 1−2，y 1) = x 12−4+y 12=0 .又A 在椭圆上.满足x 128+y 124=1 .即 y 12=4(1−x 128) . ∴ x 12−4+4(1−x 128)=0 .解得x 1=0.即A （0.2）．直线AB ：y=-x+2.联立 {y =−x +2x 28+y 24=1 .解得B （ 83 .- 23 ）； （3）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （0.y 3）.N （0.y 4）.直线l ：x=my+2.则 S △F 1AB =12|F 1F 2|•|y 1−y 2|=2|y 1−y 2| .S △F 1MN =12|F 1O |•|y 3−y 4|=|y 3−y 4| ．联立 {x =my +2x 28+y 24=1 .得（m 2+2）y 2+4my-4=0． 则 y 1+y 2=−4m m 2+2 . y 1y 2=−4m 2+2 ．由直线AF 1 的方程： y =y 1x1+2(x +2) .得M 纵坐标 y 3=2y 1x 1+2 ； 由直线BF 1 的方程： y =y 2x 2+2(x +2) .得N 的纵坐标 y 4=2y 2x2+2 ． 若S △F 1AB =S △F 1MN .即2|y 1-y 2|=|y 3-y 4|.|y 3-y 4|=| 2y 1x 1+2−2y 2x 2+2 |=| 2y 1my 1+4−2y 2my 2+4 |=| 8(y 1−y 2)(my 1+4)(my 2+4) |=2|y 1-y 2|. ∴|（my 1+4）（my 2+4）|=4.|m 2y 1y 2+4m （y 1+y 2）+16|=4.代入根与系数的关系.得| −4m 2m 2+2+4m •−4m m 2+2+16 |=4.解得m= ±√3 ．∴存在直线x+ √3y −2=0 或 x −√3y −2=0 满足题意．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.考查直线与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.属难题．21.（问答题.18分）数列{a n}（n∈N*）有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].若a k与前n项中某一项相等.则称a k具有性质P．（1）若a1=1.d=2.求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列.求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P.这三项和为c.使用a.d.c表示a1+a2+…+a100．【正确答案】：【解析】：（1）根据a1=1.d=2逐一求出a2.a3.a4即可；（2）{a n}不为等差数列.数列{a n}存在a m使得a m=a m-1+d不成立.根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后.数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列.且该数列的首项为a.公差为d.求a1+a2+…+a100即可．【解答】：解：（1）∵数列{a n}有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].∴若a1=1.d=2.则当n=2时.a2=a1+d=3.当n=3时.i∈[1.2].则a3=a1+d=3或a3=a2+d=5.当n=4时.i∈[1.3].则a4=a1+d=3或a4=a2+d=5或a4=a3+d=（a1+d）+d=5或a4=a3+d=（a2+d）+d=7∴a4的所有可能的值为：3.5.7；（2）∵{a n}不为等差数列.∴数列{a n}存在a m使得a m=a m-1+d不成立.∵对任意n∈[2.10].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1]；∴存在p∈[1.n-2].使a m=a p+d.则对于a m-q=a i+d.i∈[1.n-q-1].存在p=i.使得a m-q=a m.因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知.去除具有性质P的数列{a n}中的前三项.则数列{a n}的剩余项均不相等.∵对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列.且该数列的首项为a.公差为d.∴a1+a2+…+a100= 97a+97×(97−1)d+c=97a+4656d+c．2【点评】：本题考查了等差数列的性质和前n项和公式.考查了逻辑推理能力和计算能力.关键是对新定义的理解.属难题．。

上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。

________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则 可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在 在第一象限， 角在第三象限；②存在 在第二象限， 角 在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1） 求直线AQ 与平面ABCD 的夹角； （2） 求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1） 求Be 长度； （2） 若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集； （2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。

2019.6.7上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合 A ( ,3) ，B (2, ) ，则A B 。

12. 已知z C，且满足iz 5，求z 。

3. 已知向量 a (1,0,2) ，b (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为。

4. 已知二项式 5(2x 1) ，则展开式中含2x 项的系数为。

x 05. 已知x 、y满足y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为。

x y 26. 已知函数 f (x) 周期为1，且当0 x 1，f (x) log2 x，则3f ( ) 。

27. 若x, y R，且1x2y 3，则yx的最大值为。

8. 已知数列{ a } 前n 项和为n S ，且满足S a 2，则n n nS 。

59. 过曲线 2 4y x的焦点 F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线2 4y x 交于A、B ，A在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA ( 2)OB ，则。

10. 某三位数密码，每位数字可在0 9 这10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是。

11. 已知数列{ a } 满足n a a （n n 1*n N），若P (n, a ) (n 3) 均在双曲线n n2 2x y6 21上，则lim | P n P n 1 | 。

n12. 已知2f (x) | a |x 1（x 1，a 0）， f (x) 与x 轴交点为A，若对于 f (x) 图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q （P、Q 异于A），满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则a 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程2x y c 0 的一个方向向量 d 可以是（）A. (2, 1)B. (2,1)C. ( 1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知R ，函数 2f ( x) ( x 6) sin( x) ，存在常数 a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.2 3 4 516. 已知tan tan tan( ) ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在长方体A BCD A B C D 中，M 为1 1 1 1 BB 上一点，已知BM2 ，CD 3，1AD 4，A A15 .（1）求直线A C 与平面ABCD 的夹角；1（2）求点 A 到平面A MC 的距离.1118. 已知f (x) ax ，a R .x 1（1）当a 1时，求不等式 f (x) 1 f (x1) 的解集；（2）若 f (x) 在x [1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.19. 如图， A B C 为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，BD 39.2km，BDC 22 ，CBD 68 ，BDA 58 .（1）求BC 的长度；（2）若AB 40 km，求 D 到海岸线 A B C 的最短距离.（精确到0.001km）20. 已知椭圆2 2x y8 41 ，F1 、F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A、B 两点.2（1）若直线l 垂直于x 轴，求| AB |；（2）当F1 AB 90 时，A 在x 轴上方时，求A、B 的坐标；（3）若直线A F 交y 轴于M ，直线1 BF 交y 轴于N，是否存在直线l，使得1S S ，F AB F MN1 1若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.*21. 数列{a } (n N) 有100 项，n a a ，对任意n [2,100] ，存在1a a d ，n ii [1,n 1]，若a与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P.k（1）若a1 1，d 2，求a所有可能的值；4（2）若{ a } 不是等差数列，求证：数列{a } 中存在某些项具有性质P；n n（3）若{ a } 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c 表示n a a a .1 2 100参考答案一、填空题1、(2,3)2、5 i3、25arccos4、405、 66、 17、98（提示：1 13 2y 2 2yx x，∴yx3 92( )2 2 8）8、31169、 310、27100（分析：2 1 1C C C 2710 3 2P ，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×310 100选用一次的数字）11、2 33（解析：法一，由条件有22nan8 21 ，得 26na ，则n322n 12 2 22 2n 1 6 n 6 n 1 6 n 62| P P | 1 1 ，所以n n 13 3 321 2 3lim | P P | 1+ = ；）n n 1n3 3（解析：法二（极限法），当n 时，P P 与渐近线平行，n n 1P P 在x 轴投影为1，渐近n n 1线斜角满足：tan3312 3，∴ 1lim | P P| ）n nn3cos612、a 2（分析：2f (x) |a |=0x1，解得x12a，则 A21 ,0a，取1P1 ,aa，则：1AP ,aa，因为A、P、Q 满足APAQ ，且| AP | | AQ |，则AQa,1a，所以2 1Q 1 a,a a，Q 点在2f (x) | a |x 1图像上，则21aa21 a 1a，得2a1|a |2a 2 a ， a2a 12a 2 a， 2 1 2 2 0aa ，所以2 2a ，a2 ）二. 选择题13、D 14.、B15、C（分析： 2f (x a) ( x a 6) sin[ ( x a)] ，因为 f (x a)为偶函数，所以 a 6 ，且sin[ (x6)] 也为偶函数，所以 6 k ，当k 1时，）2 416、D（分析：特殊值验证，取tan 1，则tan 1 2 ，所以②正确，再取几组验证，①错）三、解答题17、（1）4 ；（2）103 .【解析】（1）连接AC，A A 面ABCD ，则1 ACA 即为直线1AC 与平面ABCD 的夹角。

18． __左、右焦点分别为 、 ，第一象限内的点 在双曲线 的渐近线上，且 ，若以 为焦点的抛物线 ： 经过点 ，则双曲线 的离心率为_______．
20． ________________.
三、解答题
21．已知曲线C的参数方程为 （a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.
A．(2,0)B．(0,-2)C．(-2,0)D．(0,2)
8．函数 的图象关于( )
A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线 对称
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为 ，则下列结论错误的是（）
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ，问题求的是 ，
首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出 的可能性有多少种，然后求出 .
【详解】
设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ，分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有 种情况，
2019年上海市高考数学试题附答案
一、选择题
1．函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
2． 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.

上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。

________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则 可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在 在第一象限， 角在第三象限；②存在 在第二象限， 角 在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1） 求直线AQ 与平面ABCD 的夹角； （2） 求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1） 求Be 长度； （2） 若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集； （2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。