上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期一模数学理试卷含答案

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2014.1一. 填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 计算：210lim 323x n n →∞++= . 2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .3. 计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 4.已知sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示） 5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a = .6. 如果()1111112312nf n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项. 7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点 .8. 某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .10. 在平面直角坐标系中，动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P (x ,y )的轨迹方程为 .11. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为 .12. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN yAC ==，则xy x y +的值为 . 13. 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足N M GCB A111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 二. 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15. 直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是--------------------------------------------------------------（ ）(A) arctan a b π- (B) arctan b a π- (C) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的（ ） (A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） 17. 函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是---------------------------------------------------------（ ）(A) 0ab = (B) 0a b += (C) 220a b += (D) a b =18. 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e ==-. 其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------（ ）(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④三. 解答题：（本大题共5题，满分74分）19. （本题满分12分）在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程220x -+=的两个根，且120A B +=，求△ABC 的面积及AB 的长.20. （本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-. （1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围；（2）求()()g x f x -的最大值.21. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+.（设该生物出生时t =0） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值.22. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F . （1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标；（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m m n n 的直线的最短距离min d b =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n =阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.（1）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；（2）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =： （i ）求证：12k S ≤； （ii ）若存在{}1,2,3,,m n ∈使12m S =，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.。

2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．3．（4分）计算：2（＝．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有项．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有个五位数符合“正弦规律”．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b 18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．【解答】解：函数y＝sin2x cos2x＝，∴函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是＝．故答案为：．3．（4分）计算：2（＝．【解答】解：2＝+＝．故答案为：．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）【解答】解：∵x∈（，π），∴﹣x∈（﹣π，﹣），∴π﹣x∈（0，），∵sin x＝sin（π﹣x）＝，∴π﹣x＝arcsin，∴x＝π﹣arcsin．故答案为：π﹣arcsin．5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，∴直线l1的方向向量为＝（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为＝（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•＝1×1+（﹣a﹣3）×＝0，解得a＝﹣2，∴实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有2k项．【解答】解：∵（n∈N*），∴，，∴f（k+1）﹣f（k）＝＝，∴共有2k项．故答案为：2k．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过（0，1）点，∴f（0）＝1．∴f（﹣3+3）＝1，即函数f（x+3）的图象经过点（﹣3，1）．∴函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）【解答】解：所有的选法共有＝45种，而选出的2人是同一血型的方法有++＝12种，故选出的2人是同一血型的概率为＝，故答案为：．9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．【解答】解：双曲线mx2+y2＝1的标准方程为y2﹣＝1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2＝4，∴m＝﹣，故答案为﹣．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣8x．【解答】解：∵点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，∴4+（4，0）•（x﹣2，y）＝0，化简可得y2＝﹣8x．故答案为：y2＝﹣8x．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为4．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，设x＝10+t，y＝10﹣t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故答案为：4．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．【解答】解：根据题意G为三角形的重心，∴，＝，＝，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得＝λ，即，∴，消去λ得x+y﹣3xy＝0，∴x+y＝3xy，即＝．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有2892个五位数符合“正弦规律”．【解答】解：条件就是b是最大的，d是最小的，a，c，e介于最小最大之间．取b＝9，d＝7时，a，c，e只能是8；d＝6时，a，c，e可取7，8，共23种；d ＝5时，a，c，e可取6，7，8，共33种；…，d＝0时，a，c，e可取1，2，…，8，共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b＝8时，是1+23+…+73种，b＝7时，是1+23+…+63种，b＝6时，是1+23+…+53种，b＝5时，是1+23+…+43种，b＝4时，是1+23+33种，b＝3时，是1+23种，b＝2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1＝2892．故答案为：2892．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵≥1，实数a＞b，∴≥1，即，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b＝0的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1＝，x2＝，把不等式的根排在数轴上，穿根得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1﹣b）+（x2﹣a）＝（x1+x2 ）﹣a﹣b＝（a+b+2）﹣a﹣b＝2，故答案为：2．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的斜截式方程为，斜率k＝，∴tan，则对应的倾斜角为＝，故选：B．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【解答】解：把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin （），x∈R的图象，故选：B．17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b＝﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）＝2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|＝2b＝0，即a＝b＝0，故函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，故选：C．18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：对于①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M＝{（x，y）|y＝log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．【解答】解：∵A+B＝120°，∴C＝60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b＝，ab＝2，＝＝，∴S△ABCAB＝c＝＝＝＝．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）＝x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）＝1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）＝﹣+≤，∴当x＝时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．【解答】解：（1）由题意，f（t）≥8，即≥8，化简可得，，即2﹣t+4≤2﹣2，解得t≥6，故该生物6年后身长可达到或超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，则有f（t0）﹣f（t0﹣1）＝﹣＝（t0≥1），令u＝，则u∈（0，8]，令g（u）＝＝＝，当且仅当2u＝，即u＝，＝，t0＝4.5时取“＝”，又∵t0∈N*，∴t0的值可能为4或5，∵f（4）﹣f（3）＝f（5）﹣f（4）＝，∴所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，∴＝，所以椭圆C的方程为．其“伴随圆”的方程为x2+y2＝6；（2）设直线l的方程为y＝kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4＝0∴由△＝（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝0得t2＝4k2+2①，由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t2＝3（k2+1）②由①②可得t2＝6．∵t＜0，∴t＝﹣，∴P（0，﹣）；（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为，∴y＝（m+n）x ﹣mn，∵m+n＝﹣（0，π）），∴，得x cosθ+y sinθ﹣3＝0，∴由于圆心（0，0）到直线x cosθ+y sinθ﹣3＝0的距离为d＝＝3．当a2+b2≥9时，d min＝0，等式不能成立；当a2+b2＜9时，d min＝3﹣，由3﹣＝﹣b得9+6b+b2＝4a2+4b2．因为a2＝b2+2，所以7b2﹣6b﹣1＝0，∴（7b+1）（b﹣1）＝0，∴b＝1，a＝．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．【解答】（1）解：若q＝1，由①得，a1•2k＝0，得a1＝0，矛盾；若q≠1，则由①，，得q＝﹣1，由②得，或，∴q＝﹣1，数列{a n}的通项公式是，或；（2）解：设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，d＞0，∵a1+a2+…+a2k＝0，∴，∴a1+a2k＝a k+a k+1＝0，∵d＞0，由a1+a k+1＝0得，a k＜0，a k+1＞0，由①②得，，，两式相减得，k2d＝1，∴，又，得．∴数列{a n}的通项公式是a i＝a1+（i﹣1）•d＝＝；（3）证明：记a1，a2，…，a n中所有非负数项的和为A，所有负数项的和为B，则A+B＝0，A﹣B＝1，得A＝，B＝，（i），即（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使，由前面的证明过程知：a1≥0，a2≥0，…，a m≥0，a m+1≤0，a m+2≤0，…，a n≤0，且，如果{S k}是n阶“期待数列”，记数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）的前k项和为T k，则由（i）知，，∴，而，＝0，从而．∴S1＝S2＝…＝S m﹣1又，则S m+1，S m+2，…，S n≥0．∴|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝S1+S2+S3+…+S n．S1+S2+S3+…+S n＝0与|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝1不能同时成立．∴对于有穷数列a1，a2，…，a n（n＝2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使，则数列{a i}的和数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）不能为n阶“期待数列”．。

2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合13{|()}xM y y ==，2{|log (1)}N x y x ==-，则M R N =（ ） A ．（0，1） B ．(]0,1 C ．(1,)+∞ D ．（0，+∞）2．若120a b <<<，则（ ）A ．22ab a >B ．22ab b >C ．2log ()1ab >-D ．2log ()2ab <-3．等差数列{}n a 的通项公式是12n a n =-，其前项和为n S ，则数列{}nS n的前11项和为( )A ．－44 (B)－66 C ．－55 D ．554．已知函数2()21(0)f x ax ax a =-+<，若12x x <，120x x +=，则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．1()f x =2()f xB ．1()f x >2()f xC ．1()f x <2()f xD ．与a 的值有关5．抛物线22y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．98B ．78C ．98-D ．78-6．已知向量a 与b 的夹角为o 60，3a =，13a b +=，则b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．57．已知m 、n 是两条直线，,,αβγ是三个平面，给出下列四个命题： ①若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若,m α⊥,n β⊥m n ⊥，则αβ⊥.其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④8．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()21y f x =+的图像过点()1,2，则()131y f x -=-的图像必过点（ ）A ．()1,3B ．()3,1C ．()2,3D ．()2,19．已知(,1)AB k =，(2,4)AC =，若k 为满足||4AB ≤的一随机整数．．，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）A ． 14B ．12C ．37 D ．3410．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）11．若AB 是过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，1k ，2k 分别为直线AM ，BM 的斜率(其中222c a b =-)，则12k k ⋅=（ ）A ．22c a -B ．22c b -C ．22b a -D ．22a b -12．已知函数3ax y e x =+()a R ∈有大于零的极值点，则( )A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二、填空题(4×4′=16分)：13．在（51)x 展开式中，1x 的系数是： ；14．抛物线C ：2y x x =-+与直线l ：10x y --=所围成的平面图形的面积是： ；15．过P （－1，2）的直线⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4231（t 为参数）与双曲线22(2)1y x --=相交于A 、B 两点，若C 为AB 的中点，则=PC ；E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEABEB BECBED16．曲线2cos ρθ=关于直线4πθ=-对称的曲线方程为 ．三、解答题（满分74分）：17．(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为,,a b c ，已知角3,A a π==B=x ，ABC ∆的周长为y ． (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域．18．(12分)一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，从中任取3个，用ξ表示取出的3个球中的最大编号.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望和方差．19．(12分)直三棱柱111ABC-A B C 中，1AC CC 2,AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC ．（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小； （3）求二面角1A C B A --余弦值的大小．20．(12分)已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为)0,2(-，而C 的右准线方程为23=x .（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点)2,0(，斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且满足5OA OB ⋅< （其中O 为原点），求实数k 的取值范围.21．(12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，0,,<∈m R n m（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.22．(14分)已知函数()20y x x =≥的图象上有一列点()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y ，…，以点n P 为圆心的圆n P 与以点n+1P 为圆心的圆n+1P 外切，且均与x 轴相切．若11x =，且1n n x x +<．（1）求数列{}n x 的通项；（2）圆n P 的面积为n S ，n n T S =+，求证：4n T <.高三数学（理科）参考答案一、选择题BDBCD ADACA CB二、填空题13.-80; 14.43; 15.157; 16.2sin ρθ=-三、解答题17.(1)()263)0,y x x ππ=++∈;(2)(y ∈.18.(1)(2) 214E ξ=; 6380D ξ=.19.(1)略; (2)3π ;.20.(1)2213x y -=;(2)(k ∈.21.(1)36n m =+;(2)单调递减区间()()2,1,1,m -∞++∞；单调递增区间()21,1m +； (3)()43,0m ∈-.22.(1)121n x n =-;(2)1n =时，1n T T =<1n >2n ==<=()111111114223141(1)11n n n n T -⎤<+-+-++-=+-⎤⎦⎦。

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2014.1一. 填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 计算：210lim 323x n n →∞++= . 2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .3. 计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示） 5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a = .6. 如果()1111112312nf n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项. 7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点 .8. 某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .10. 在平面直角坐标系中，动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P (x ,y )的轨迹方程为 .11. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为 .12. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN yAC ==，则xy x y+的值为 .N M G CB A13. 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 二. 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15. 直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是------（ ）(A) arctan a b π- (B) arctan b a π- (C) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点-----------------（ ） (A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） 17. 函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是-------（ ）(A) 0ab = (B) 0a b += (C) 220a b += (D) a b =18. 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e ==-. 其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------（ ）(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④三. 解答题：（本大题共5题，满分74分）19. （本题满分12分）在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=，求△ABC 的面积及AB 的长.20. （本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-.（1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围；（2）求()()g x f x -的最大值.21. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+.（设该生物出生时t =0） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值.22. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分） 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是()()122,0,2,0F F -.（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标；（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m m n n 的直线的最短距离22min d a b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n =阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.（1）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；（2）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =： （i ）求证：12k S ≤； （ii ）若存在{}1,2,3,,m n ∈使12m S =，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.。

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos2θ=__ ___． 2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ．3．设是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ．4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()fx -= ． 5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．6．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ． 8．若全集U R =，不等式11111x x +≥-的解集为A ，则U A C = ． 9．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =u r 的直线过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线的距离的最大值为 ．10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设AB a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，用,a b r r 表示BO uuu r ，则BO uuu r = ．11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为，则ϕ的值为 ．12．已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++L ，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =L ，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x L ，，，，则lim n n x →∞= ． 13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10iA x x x x x i =∈-=L L ，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤L ”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m （C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n L ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m L ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A ）1112121222m m a a a a a a +++++++L L （B ）1121112222m m a a a a a a +++++++L L（C ）1112212212m m a a a a a a +++L （D ）1121122212m m a a a a a a +++L18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题：（1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（ ）(A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan 3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1x y a γ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．。

2015 年徐汇区数学一模一. 选择题1. 将抛物线22y x =-向右平移一个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的表达式为（ ）A. 22(1)2y x =--+；B. 22(1)2y x =---；C. 22(1)2y x =-++；D. 22(1)2y x =-+-；2. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:BE BC = 2:3，那么下列各式错误的是（ ）A. 2BE EC =；B. 13EC AD =； C.23EF AE =； D. 23BF DF =；3. 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ）A. 7sin α；B. 7cos α；C. 7tan α；D. 7cot α；4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅；D.DC AB AC BC =； 5. 已知二次函数222y ax x =-+（0a >），那么它的图像一定不经过（ ）A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限；6. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，如果:1:4AE EC =， 那么:ADE BEC S S ∆∆=（ ）A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16；二. 填空题7. 如果53a b =，那么a b a b-+的值等于 ；8. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 ；9. 二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线 ；10. 计算：cot30sin60︒-︒= ；11. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为 25m ，那么这根旗杆的高度为 m ；12. 若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点，那么1y 与2y 的 大小关系是 （填12y y >，12y y =或12y y <）；13. 如图，若1l ∥2l ∥3l ，如果6DE =，2EF =， 1.5BC =，那么AC = ；14. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的高度为6米，斜面的坡比为1:2，则斜坡AB 的长为 米（保留根号）； 15. 如图，正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形，P 、Q 是其中两个小正方形的顶 点，设AB a =，AD b =，则向量PQ = （用向量a 、b 来表示）；16. 如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，G 点是△ABC 的重心，如果4AG =，那么BC 的长为 ；17. 如图，已知4tan 3O =，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =， 如果2MN =，那么PM = ；18. 如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点M 、N 分别在边AB 、BC上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且4AP =，那么 BN = ；三. 解答题19. 已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）经过A 、B 、C 、D 四个点，其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：（1（2）求△ABD 的面积；20. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB DC =，AC 与BD 交于点O ，:1:2AD BC =； （1）设BA a =uu r r ，BC b =uu u r r ，试用a r ，b r 表示BO uuu r ；（2）先化简，再求作：3(2)2()2a b a b +-+r r r r （直接作在原图中）21. 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°，已知测角仪AB 的高为1.5米，求拉线CE 的长；【已知5sin 2313︒≈，12cos 2313︒≈，5tan 2312︒≈，结果保留根号】22. 如图，MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM AN =，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ；（1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果1DE =，3BC =，求MN 的长；23. 已知菱形ABCD 中，8AB =，点G 是对角线BD 上一点，CG 交BA 的延长线于点F ；（1）求证：2AG GE GF =⋅；（2）如果12DG GB =，且AG BF ⊥，求cos F ；24. 已知如图，抛物线21:4C y ax ax c =++的图像开口向上，与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P ，2AB =，且OA OC =； （1）求抛物线1C 的对称轴和函数解析式；（2）把抛物线1C 的图像先向右平移3个单位，再向下平移m 个单位得到抛物线2C ，记顶点为M ，并与y 轴交于点(0,1)F -，求抛物线2C 的函数解析式；（3）在（2）的基础上，点G 是y 轴上一点，当△APF 与△FMG 相似时，求点G 的坐标；25. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC BC ⊥，9AD =，12AC =，16BC =，点E 是边BC 上的一个动点，EAF BAC ∠=∠，AF 交CD 于点F ，交BC 延长线于点G ，设BE x =；（1）试用x 的代数式表示FC ；（2）设FG y EF=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△AEG 是等腰三角形时，直接写出BE 的长；参考答案一. 选择题1. A ；2. C ；3. C ；4. D ；5. C ；6. B ；二. 填空题7.14； 8. (1,2)； 9. 2x =； 10. ； 11. 15； 12. 12y y >；13. 6； 14. 15. 1233a b -+r r ； 16. 12； 17. ； 18. 132； 三. 解答题19.（1）233y x x =-++； （2）6S =； 20.（1）2133BO a b =+uu u r r r ； （2）原式12a b =-r r ，图略；21. 3CE =； 22.（1）略； （2）3MN =；23.（1）略； （2）cos F =； 24.（1）对称轴：2x =-，243y x x =++； （2）2(1)2y x =--；（3）(0,1)或(0,0)；25.（1）35FC x =； （2）31004x y x =-(016)x <≤； （3）252、10、7；。

上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ．3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()fx -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．6．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数值表示）．7．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为1，则首项1a 的取值范围为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+>-的解集为A ，则U A C = ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*111()22n n S a n N ++=∈，则{}n a 的通项公式为 ．10．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．11．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a = ，AD b = ，用,a b表示BO ，则BO= ．12．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()2401202x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4iA x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“123413x x x x ≤+++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．若1是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） （A ） 2,3b c =-= （B ） 2,1b c ==- （C ） 2,1b c =-=- （D ） 2,3b c ==16．已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l （ ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）垂直 （D17．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图所示，（其中b a ,则函数b a x g x+=)(的大致图象是（ ）18*)N ，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A ）1112121222m m a a a a a a +++++++ （B ）1121112222m m a a a a a a +++++++ （C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()xxf x k k R -=+⋅∈． （1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆22:14x y γ+=的右焦点为F ，左顶点为R ，点(2,1),(2,1)A B -，O 为坐标原点． （1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值；（2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()(),0,2,5S t t ∈，求QS QR ⋅的取值范围；（3）过F 作斜率为k 的直线l 交椭圆γ于,C D 两点，交y 轴于点E ，若1EC CF λ=，2ED DF λ=，试探究21λλ+是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1．(1)若,x y R +∈，2=+y x 且y x ≠，写出数列：2,,122y x xy +的序数列并说明理由；(2)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n p 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列； (3) 若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是n n n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围．文科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. 7. ()()0,11,2U 8. []1,0- 9. 1*3,n n a n N -=∈10. 11. 2233a b -+r r 12. 6π13. 2 14. 64二、选择题：（每题5分）15. A 16. C 17. D 18. C三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，32A =……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))442f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2++-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’)43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x xf x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’ 得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ= 椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’ （2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，则 12PP r π=，……………………..10’ 得 1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’ 在1POP ∆中，1PP ==……………………..14’ 22、解：（1）()22,OP mOA nOB m n m n =+=-+ ，得()22,P m n m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()(),2,QS QR t x y x y ⋅=-----()()()()222214x x t x y x t x =-++=-++-……………………..5’()232124x t x t =+-+- ()()22132422433t t x x +-⎛⎫=---≤≤ ⎪⎝⎭……………………..6’由()2,5t ∈，得24023t -<<……………………..7’ 当2x =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当243t x -=时，QS QR ⋅ 最小值为()213t +-；……………………..9’∴综上所述：QS QR ⋅的取值范围为()21,03t ⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………..10’ （3）由题，得F ，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 直线l的方程为(y k x =-，则(0,)E ，由2244(x y y k x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得2222(41)4(31)0k x x k +-+-=，……………………..12’故12x x +=21224(31)41k x x k -=+……………………..13’ 由1EC CF λ=得111)x x λ=-，即1λ=2λ=……………………..14’所以12λλ+==22222222248(31)4141244(31)34141k k k k k k k k --++=--+++ 8=-即128λλ+=-为定值……………………..16’ 23、解：(1)因为2=+y x 且y x ≠，所以11)1()2(2<+--=-=x x x xy ，……………………..2’11)1(2)2(222222>+-=-+=+x x x y x ……………………..4’ 故数列2,,122y x xy +的序数列2,1,3；……………………..5’(2)充分性：因为数列}{n a 是单调数列时，12n a a a >>>L 或12n a a a <<<L ， 所以其序数列为1,2,,1,n n -L 或,1,,2,1n n -L 均为等差数列；……………………..8’必要性：当数列}{n a 的序数列为等差数列时，其序数列必为1,2,,1,n n -L 或,1,,2,1n n -L ，所以有12n a a a >>>L 或12n a a a <<<L ， 所以数列}{n a 为单调数列；……………………..11’ (3)因为523)53(1nb b n n n -⋅=-+，……………………..13’ 当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1，又因531=b ，33)53(3⋅=b ，44)53(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..16’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ，解得：54<<t ……………………..18’。

高三学科测试 数学试题（理科）考斯时间 120分钟 满分150分一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知集合1{|0},{|12}1x A x B x x x -=<=-<+，则B C A = 2、椅子tan 2α=-，则sin 3cos sin cos αααα-=+ 3、在复平面中，复数2(1)(3i i i++是虚数单位）对应的点在第 象限 4、函数()2sin 3f x x =+的最小正周期是5、已知函数()22(2)2x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f =6、已知()351log log 2014f x a a b x =++，若12015()20142014f =，则(2014)f =7、满足2arccos()arccos(2)x x >的实数x 的取值范围是 8、设n a是(1(2,3,4,)n n = 的展开式中x 的一次项的系数，若11(1)n n n n a b a +++=，则nb 的最小值是 9、若存在整数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）11、已知函数()2(0)f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 能取到最小值，则实数k 的取值范围是 12、已知数列{}n a 中，1112,1n n a a a +==-+，若k 是5的倍数，且2k a =，则k = 13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间[]1,200内的所有“神秘数”之和为14、已知0m >，12m ≠，直线1:l y m =与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，直线24:1l y m =+与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影程长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值是二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian 高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。