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第十一章 第二节
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定积分的定限原则：起点对下限，终点对上限， 下限不一定小于上限。 {P[(t) , (t)](t) Q[(t) , (t)] (t)}dt 其他情形
(1) L : y y( x) ( x : a b)
b
L Pdx Qdy a {P[x , y( x)] Q[x , y( x)]y( x)}dx
(可推广到空间曲线 上)
第十一章 第二节
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L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds : x (t) , y (t) , z (t) (t : a b)
Γ 上点( x , y , z)处的切向量的方向角为 , ,
则 Γ Pdx Qdy Rdz Γ (P cos Q cos Rcos )ds
n
3) “求和” W P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
k1 n
4) “取极限” W
lim 0 k1
P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
为所有小弧段长度的最大值
第十一章 第二节
3
2 定义 设 L 为 xOy 平面内从 A 到 B 的一条有向 光滑弧，在 L 上定义了一个向量值函数
1 引例 变力沿曲线所作的功。 y L
B
设一质点受如下变力作用
F ( x , y) (P( x , y) , Q( x , y))
A
x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B ，
求移动过程中变力所作的功W。
常力沿直线所作的功
F W F AB cos
A
B F AB
第十一章 第二节
L
k
对积分域 的可加性
P( x , y)dx Q( x , y)dy
i 1 Li
(2) 用 L－ 表示 L 的反向弧 , 则
P( x , y)dx Q( x , y)dy L L P( x , y)dx Q( x , y)dy
即：对坐标的曲线积分与曲线的方向有关，
这是区别对弧长的曲线积分的重要特征。
,
y
,
z )dz
lim
0
i 1
R( i
, i
,
i
)zi
与前面的类似，也可以将其写成向量形式。
dr (dx , dy , dz) F(x , y , z) (P , Q , R)
第十一章 第二节
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6 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P( x , y)dx Q( x , y)dy
L F dr
F (P , Q) , dr (dx , dy)
第十一章 第二节
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5 推广 空间有向曲线弧 Γ Γ Pdx Qdy Rdz
n
Γ
P(x
,
y
,
z )dx
lim
0
i 1
P ( i
, i
,
i
)xi
n
Γ
Q( x
,
y
,
z )dy
lim
0
i 1
Q ( i
, i
,
i
)yi
n
Γ
R( x
动到终点 B，若(t) , (t)在以 及 为端点的闭区
间上具有一阶连续导数，且 2(t) 2(t) 0 ，
则曲线积分 L P( x , y)dx Q( x , y)dy 存在，
且 L P( x , y)dx Q( x , y)dy
{P[(t) , (t)] (t) Q[(t) , (t)] (t)}dt
对坐标的曲线积分也可记为
L F dr L P( x , y)dx Q( x , y)dy
第十一章 第二节
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3 存在条件 当 P(x , y) , Q(x , y) 在光滑曲线弧 L 上连续时， 第二类曲线积分存在。
4 组合形式
L P( x , y)dx L Q( x , y)dy L P( x , y)dx Q( x , y)dy
3、沿上半圆周 x2 y2 2x 从点 (0 , 0) 到点 (1 , 1)。
第十一章 第二节
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内容小结
1．对坐标的曲线积分的概念与性质 (路径反向，积分反号)。
2．对坐标的曲线积分的计算 基本方法——化为对参数的定积分； 基本技巧——利用对称性(慎用)、轮换对称性 (注意积分路径方向的变化)、曲线方程化简积分。 对坐标的曲线积分化为对参数的定积分后， 总有下限为起点参数，上限为终点参数。
Q[ (t) , (t) , (t)] (t) R[(t) , (t) , (t)](t)}dt
第十一章 第二节
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(4) 当有向曲线 L 是垂直于 x 轴的直线段时， 该
性
L P( x , y)dx 0
质
当有向曲线
L
是垂直于
y
轴的直线段时，
非 常
L Q( x , y)dy 0
有
用
计算对坐标的曲线积分的一般步骤：
若对 L 任意分割和在局部弧段上任意取点，极限
n
lim
0 k1
P (k , k )xk Q(k , k ) yk
为所有小弧
段长度最大值
记作 L P( x , y)dx Q( x , y)dy
都存在，称此极限为
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分或第二类曲线积分。其中
称为被积函数 ，L 称为积分弧段或积分曲线。
(1) 半径为a ，圆心为原点，按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a , 0) 沿 x 轴到点B(a , 0) 的直线段。
注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同积分结果可能不同。
第十一章 第二节
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例3
计算
2 xydx
L
x2dy ，其中L
为
(1) 抛物线 y x2 上从 O(0 , 0) 到 B(1 , 1)的一段弧;
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例。
第十一章 第二节
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二、对坐标的曲线积分的计算
定理: 设 P( x , y) , Q( x , y) 在有向曲线弧 L 上有定义
且连续，L
的参数方程为
x y
(t) (t)
，当参数
t
单调
地由 变到 时，点M(x , y) 从 L 的起点 A 沿 L 运
A 为向量 A 在向量 上的投影
第十一章 第二节
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例5
在 L 上连
续，曲线段 L 的长度为 s ， 证明：
证
L (P cos Q cos )ds
L P cos Q cos ds
设 A (P , Q) , (cos , cos )
二者夹角为
L A ds L Acos ds Ms
L
:
x y
(t) (t)
(t
:
a
b)
若 a b 则 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
, 为 L 上点 ( x , y)处的切向量 T ((t) , (t))
的方向角
cos
(t )
, cos
(t)
2(t) 2(t)
2(t) 2(t)
若 a b , 为 T ((t) , (t)) 的方向角
第十一章 第二节
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L P( x , y)dx Q( x , y)dy
n
L
P(x
,
y)dx
lim
0
k 1
P ( k
, k )Δxk
称为对 x 的曲线积分;
n
Q( x L
,
y )dy
lim
0
Q ( k
k 1
, k )yk
称为对 y 的曲线积分。
若记 dr (dx , dy) ， 有向曲线元
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分。
第十一章 第二节
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例6 把对坐标的曲线积分 L P( x , y)dx Q( x , y)dy
化为对弧长的积分，其中 L 为： 1、在 xOy 面内沿直线从点 (0 , 0) 到点 (1 , 1) ； 2、沿抛物线 y x2 从点 (0 , 0) 到点 (1 , 1) ；
(2) L : x x( y) ( y : c d)
Pdx Qdy
d
{P[x( y)
,
y]x(
y) Q[x(
y)
,
y]}dy
L
c
(3) Γ : x (t) , y (t) , z (t) (t : )
Γ Pdx Qdy Rdz {P[ (t ) , (t ) , (t )] (t )
3．两类曲线积分之间可以相互转化。
第十一章 第二节
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可用向量表示
A ds
A dr
A ds
其中 A (P , Q , R) , (cos , cos , cos ) 若 a b
((t) , (t) , (t)) 2(t) 2(t) 2(t)
Γ上点 ( x , y , z) 处的单位切向量
dr ds (dx , dy , dz) 有向曲线元
当 解决办法:
“分割”
为 “近似”
变 力
“求和”
时 “取极限”
2
1) “分割” 把 L 分成 n 个小弧段，
F沿
所做的功为
2) “近似”
用有向线段
F (k , k )
y
L
M k 1
Mk
yk
B
xk
A
x
近似代替
![§10.2[1]对坐标的曲线积分](https://img.taocdn.com/s1/m/ca48a806eff9aef8941e067a.png)
