天津市七校(静海一中、杨村中学等)高一数学上学期期中试题(含解析)

天津2023年11月高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）一.选择题(每题12分,共计36分)1.设集合{}0,2,4,5,8,10A =，{}234B x x =-<，则A B = （）A.{}4,8 B.{}0,2,6 C.{}0,2 D.{}2,4,6【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，然后再求交集.【详解】由{}234B x x =-<，得72B x x ⎧⎫=<⎨⎩⎭又{}0,2,4,5,8,10A =所以{}0,2A B =I 故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知命题3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是（）A.32,80x x ∃≥-≥B.32,80x x ∀≤->C.32,80x x ∀>->D.32,80x x ∃<-≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可求出.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是“32,80x x ∃<-≥”.故选：D.3.设a R ∈，则“1a <”是“21a <”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【详解】由题意，解不等式21a <，得11a -<<，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又()()111-⊂-∞，，，即满足由条件p 不能推出结论q ，且结论q 推出条件p ，故选B.4.设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()²2f x x =-，则()2f -=（）A.-1 B.-2C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数特征()()22f f -=-，将2代入0x >时，()²2f x x =-的解析式，求出()2f ，然后即得到()2f -.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以()()22f f -=-，又因为当0x >时，()²2f x x =-，所以()22222f =-=，所以()22f -=-.故选：B.5.已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（）A.{1}B.C.{1,1}-D.【答案】C 【解析】【分析】根据B 是A 的子集列方程，由此求得m 的取值集合.【详解】由于B A ⊆，所以211m m =⇒=±，所以实数m 的取值集合为{1,1}-.故选：C6.下列函数是偶函数且在()0,∞+上单调递增的为（）A.()f x =B.()²1f x x =-+ C.()1f x x x=- D.()f x x=【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性和单调性逐选项判断即可.【详解】对于A ，定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，所以()f x 为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ，()²1f x x =-+定义域为R ，关于原点对称，()()()21f x x f x -=--+=，所以()f x 为偶函数，又因为()²1f x x =-+，开口向下，对称轴为0x =，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，()1f x x x =-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，()()11f x x x f x x x-=--=-+=--，所以()f x 奇函数，故C 错误；对于D ，()f x x =定义域为R ，关于原点对称，()()f x x f x -=-=，所以()f x 为偶函数，又()f x x =当()0,x ∈+∞时，()f x x =，在()0,∞+上单调递增，故D 正确，故选：D.7.若0a b <<，则下列不等式成立的是（）A.²a ab >B.²ab b < C.11a b->- D.11a b-<【答案】A 【解析】【分析】利用作差法判断A ；举反例判断BCD ；从而得解.【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0a b -<，则()²0a ab a a b -=->，即²a ab >，故A 正确；对于B ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但221ab b =>=，故B 错误；对于C ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但11112a b -=<=-，故C 错误；对于D ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但11112a b-=>-=，故D 错误.故选：A.8.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】由题意得14()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9，故选：D9.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A.,y x u ==B.2y s ==C.21,11x y m n x -==+- D.y y ==【答案】A 【解析】【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y =R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C 错误；对于D ，函数y =的定义域为{|1}x x ≥，函数y =的定义域为(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .10.已知集合M ＝{x |1x x -≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于()A.∅B.{x |x ≥1}C.{x |x >1}D.{x |x ≥1或x <0}【答案】C 【解析】【分析】首先确定集合M 和集合N ，然后求解其交集即可.【详解】求解分式不等式1xx -≥0可得{}|01M x x x 或=≥<，求解函数y ＝3x 2＋1的值域可得{}|1N x x =≥，结合交集的定义可知M ∩N ={x |x >1}.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若关于x 的不等式21kx kx -<的解集为R ，则实数k 的取值范围是（）A.()4,0-B.(4,0]-C.[]4,0-D.(,4][0,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】由题可知满足0k =或00k <⎧⎨∆<⎩即可.【详解】由题210kx kx --<的解集为R ，当0k =时，10-<恒成立，满足题意；当0k ≠时，则()2410k k k <⎧⎨∆=-⨯-<⎩，解得40k -<<，综上，40k -<≤.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.12.已知函数() y f x =是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且对[]12,1,1x x ∀∈-，当12x x <时，总有()()12f x f x <，则不等式()()1130f x f x -+-<的解集为（）A.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭ D.12,23⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.【详解】因为[]12,1,1x x ∀∈-，当12x x <时，总有()()12f x f x <,所以() f x 在[]1,1-为增函数，不等式()()1130f x f x -+-<，即()()113f x f x -<--又因为函数() y f x =是定义在区间[]1,1-上的奇函数，所以()() f x f x -=-，[]1,1x ∈-所以()()1331f x f x --=-，所以()()131f x f x -<-所以1111311131x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得1223x <≤所以不等式()()1130f x f x -+-<的解集为12,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.二.填空题(每题4分，共计32分)13.函数f (x )=12x -的定义域为___________.【答案】{1x x ≥且}2x ≠【解析】【分析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.故答案为：{1x x ≥且}2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．14.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间是_______．【答案】[1,2]-和[4,)+∞【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可写出单调区间.【详解】根据函数的图象，自左向右看，上升为增函数，下降为减函数，所以函数的单调递减区间为[1,2]-和[4,)+∞.【点睛】本题主要考查了利用函数的图象写出单调区间，属于容易题.15.已知函数()231xf x x -=-，则函数的值域为______.【答案】()(),33,-∞--+∞ 【解析】【分析】分离常数法求函数的值域.【详解】()231xf x x -=-定义域为()(),11,-∞+∞ ，()()3112313111x x f x x x x ----===-----因为10x -≠，所以101x ≠-，即1331x --≠--，所以()231xf x x -=-的值域为()(),33,-∞--+∞ .故答案为：()(),33,-∞--+∞ .16.函数()2112f x x x =++在[]2,3-上的最大值是_________________.【答案】172【解析】【分析】根据二次函数的性质求[]2,3-上的最大值即可.【详解】因为()()2211111222f x x x x =++=++,所以对称轴为=1x -,开口向上，所以当3x =时，()f x 有最大值，最大值为()3f =172，故答案为：172.17.已知:14,:p x q x a ≤<<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________________.【答案】[)4,+∞【解析】【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可.【详解】设集合{}|14A x x =<≤，集合{}|B x x a =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，即4a ≥.所以实数a 的取值范围为[)4,+∞故答案为：[)4,+∞.18.函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],3-∞-【解析】【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴()2142a x -=-≥，由此可求出实数a 的取值范围.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，所以()2142a --≥，解得3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.19.已知52x <，若不等式9225x m x +≤-恒成立，则实数m 的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】利用配凑法与基本不等式求得9225x x +-的最大值，从而得解；【详解】因为52x <，所以250x -<，则520x ->，所以9992255525252552x x x x x x ⎛⎫+=-++=--++ ⎪---⎝⎭51≤-=-，当且仅当95252x x-=-，即1x =时，等号成立，因为不等式9225x m x +≤-恒成立，所以max9225m x x ⎛⎫≥+ ⎪-⎝⎭，则1m ≥-，所以实数m 的最小值为1-.故答案为：1-.20.已知函数()2,02,0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪-+≥⎩，则当函数值()()1f f x =时，x =__________.【答案】2-或1或4.【解析】【分析】根据分段函数的特征，分0x <，02x ≤≤，2x >求()()1f f x =，得到x 的值.【详解】当0x <时，20x ->，()()222221f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x =-，当02x ≤≤时，20x -+≥，()()()()2221f f x f x x x =-+=--++==，所以1x =；当2x >时，20x -+<，()()()222122ff x f x x x =-+=-==-+-，所以4x =，综上，2x =-或1或4.故答案为：2-或1或4.三.解答题(共计32分)21.已知集合{}231{||,}03A x a x a B x x =-≤≤-=<<.（1）若1a =，求A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|}1x x -≤<（2）32a >【解析】【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解.（2）由题意得A B ⊆，分类讨论A =∅和A ≠∅两种情况，结合集合的运算即可得解.【小问1详解】当1a =时，231{|}{|10}A x a x a x x =-≤≤-=-≤≤，又{}|03B x x =<<，所以3|}1{A B x x ⋃=-≤<.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，又{}231{||,}03A x a x a B x x =-≤≤-=<<，当A =∅时，231a a ->-，解得2a >，此时满足A B ⊆；当A ≠∅时，2a ≤，则23013a a ->⎧⎨-<⎩，解得322a <≤；综上，实数a 的取值范围32a >．22.已知函数()21,1,1x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩.（1）求3 2f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若()0f x =，求 x ；（3）画出函数()f x 的图象.【答案】（1）34（2）0x =或1x =（3）图象见解析【解析】【分析】（1）利用()f x 的解析式，先求32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求3 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得解；（2）分类讨论1x ≥与1x <，分别列式计算即可得解；（3）分别计算1x ≥与1x <，再利用一次函数与二次函数的图象性质即可得解.【小问1详解】因为()21,1 ,1x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，所以331 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则231113 22224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当1x ≥时，由()0f x =得10x -=，解得1x =；当1x <时，由()0f x =得20x x +=，解得0x =或=1x -（舍去）；所以0x =或1x =.【小问3详解】当1x ≥，即1x ≤-或1x ≥时，()1f x x =-，当1x <，即11x -<<时，()2f x x x =+，所以()f x 的图象如图，23.已知关于 x 的不等式()()210x a x a +-+<.（1）若不等式的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭，（ⅰ）求 a 的值；（ⅱ）求关于x 的不等式227104ax x a ++->的解集.（2）解关于 x 的不等式()()210x a x a +-+<.【答案】（1）（ⅰ）12a =-；（ⅱ）132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）利用二次不等式与二次方程根的关系，分类讨论求解即可；（ⅱ）代入a ，解二次不等式即可得解；（2）分类讨论两根的大小关系，从而得解.【小问1详解】（ⅰ）因为()()210x a x a +-+<的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以12,2-是方程()()210x a x a +-+=的两根，而解()()210x a x a +-+=，得x a =-或21x a =-，当2a -=-，即2a =时，12132a -=≠，不满足题意；当12a -=，即12a =-时，212a -=-，满足题意；综上，12a =-；（ⅱ）因为12a =-，所以227104ax x a ++->可化为2217110242x x ⎛⎫-++--> ⎪⎝⎭，整理得()()3210x x --<，解得132x <<，所以227104ax x a ++->的解集为132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】因为()()210x a x a +-+=的解为x a =-或21x a =-，当21a a -=-，即13a =时，()()210x a x a +-+<无解；当21a a -<-，即13a >时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；当21a a ->-，即13a <时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；综上，当13a =时，()()210x a x a +-+<的解集为∅；当13a >时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；。

2019-2020学年天津市静海一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|0≤x ≤4}，B ={x ∈R|x 2≥9}，则A ∪(∁R B)等于( )A. [0,3)B. (−3,4]C. [3,4]D. (−∞,−3)∪[0，+∞)2. “(x +1)(x −3)<0”是“x >−1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式ax+1x+b >1的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，则不等式x 2+ax −2b <0的解集为( )A. (−3,−2)B. (−12,−13)C. (−∞,−3)∪(−2,+∞)D. (−∞,−12)∪(−13,+∞) 4. 命题“对任意实数x ∈R ，x 4−x 3+x 2+5≤0”的否定是( )A. 不存在x ∈R ，x 4−x 3+x 2+5≤0B. 存在x ∈R ，x 4−x 3+x 2+5≤0C. 存在x ∈R ，x 4−x 3+x 2+5>0D. 对任意x ∈R ，x 4−x 3+x 2+5>05. 函数f (x )=√x 2−6x +5的单调增区间为( )A. (3,+∞)B. (−∞,1)C. (5,+∞)D. (−∞,3)6. 已知y =f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则不等式f(x −1)>0的解集是( )A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,3)D. (−3,−1)∪(3,+∞)7. 若函数f(x)={alnx −x 2−2(x >0)x +1x+a(x <0)的最大值为f(−1)，则实数a 的取值范围( ) A. [0,2e 2] B. [0,2e 3] C. (0,2e 2] D. (0,2e 3]8. 若函数y =(m 2+2m −2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A. 1B. −3C. −1D. 39. 若f(x)=|2x −1|+x +3，且f(x)≤5，则x 的取值范围是( )A. (−1,1)B. [−1,1)C. [−1,1]D. (−1,1]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10. 已知f(x)={x −5,x ⩾6f(x +2),x <6则f(3)=________． 11. .设函数f(x)={x −2,x ≥1,2,x <1,则满足xf(x −1)≥10的x 的取值范围为____. 12. 若函数y =x 2−4x 的定义域为[−4,a]，值域为[−4,32]，则实数a 的取值范围为______．13. 已知函数f(x)=ax 5−bx 3+cx −3，f(−3)=7，则f(3)的值为________．14. 若方程x +m =√4−x 2有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共59.0分）15.已知函数f(x)=√x−36−x的定义域为集合A，集合B={x|2<x<9}，设全集为R．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C={x|a<x<a+1}，若C∪B=B，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，证明：函数f(x)在(−∞,0)上是增函数．17.函数f(x)=ax+bx2+1是R上的奇函数，且f(1)=12．(1)求a,b的值；(2)判断f(x)在(−1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论．18.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需要另投入1万元，设该公司一年内生产该品牌服装x千件，并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)=108 x −100x(x+1)，(x>0)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大．19.已知函数f(x)=2ax−2，g(x)=a(x−2a)(x+a−2)，a∈R且a≠0．(1)若{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，求实数a的值;(2)若{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={x ∈R|0≤x ≤4}=[0,4]，B ={x ∈R|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}，则∁R B =(−3,3)，则A ∪(∁R B)=(−3,4]，故选：B求得集合B ，再根据补集与并集的定义写出A ∪(∁R B)．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.答案：A解析：【分析】本题考查不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属基础题．解一元二次不等式，直接利用充分、必要条件的定义求解即可．【解答】解：解不等式(x +1)(x −3)<0得−1<x <3，显然−1<x <3能推出x >−1，但x >−1不能推出−1<x <3，∴“−1<x <3”是“x >−1”的充分不必要条件，即(x +1)(x −3)<0”是“x >−1”的充分不必要条件．故选A ．3.答案：A解析：【分析】本题考查不等式求解，熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解题的关键，属于基础题．利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意，不等式ax+1x+b >1转化为[x(a −1)−b +1](x +b)>0，其不等式的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，可知a >1，可知方程(ax −x −b +1)(x +b)=0的解为x 1=−1，x 2=3，可得{−a +1−b +1=03+b =0或{3a −3−b +1=0−1+b =0, 解得{a =5b =−3或{a =1b =1, ∵a >1，∴a =5，b =−3，那么不等式x 2+ax −2b <0转化为x 2+5x +6<0，解得−3<x <−2，所以不等式x 2+ax −2b <0的解集为{x|−3<x <−2}．故选A ．4.答案：C解析：【分析】考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．命题“对任意实数x∈R，x4−x3+x2+5≤0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“对任意实数x∈R，x4−x3+x2+5≤0”是全称命题，否定时将量词对任意的实数x∈R 变为存在x∈R，再将不等号≤变为>即可．即存在x∈R，x4−x3+x2+5>0，故选C．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的单调性与单调区间，属于基础题．利用复合函数的单调性“同增异减”，注意被开方数大于等于零．【解答】解：由x2−6x+5≥0得x≤1或x≥5，又∵x≤1时，函数单调减，x≥5时，函数单调增，故选：C．6.答案：B解析：解：根据题意，当x≥0时，f(x)=x2−2x，此时若f(x)=x2−2x>0，解可得x>2；又由函数f(x)为偶函数，则当x<0时，f(x)>0的解集为{x|x<−2}，综合可得：f(x)>0的解集为{x|x<−2或x>2}，若f(x−1)>0，必有x−1<−2或x−1>2，解可得：x<−1或x>3，即不等式f(x−1)>0的解集是(−∞,−1)∪(3,+∞)；故选：B．根据题意，由函数的解析式分析当x≥0时，f(x)>0的解集，结合函数的奇偶性可得f(x)>0的解集，进而可得若f(x−1)>0，必有x−1<−2或x−1>2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性以及一元二次不等式的解法，注意结合函数的奇偶性进行分析．7.答案：B解析：解：由f(−1)=−2+a，可得alnx−x2−2≤−2+a在x>0恒成立，即为a(1−lnx)≥−x2，当x=e时，0>−e2显然成立；当0<x<e时，有1−lnx>0，可得a≥x2lnx−1，设g(x)=x2lnx−1，0<x<e，g′(x)=2x(lnx−1)−x(lnx−1)2=x(2lnx−3)(lnx−1)2，由0<x<e时，2lnx<2<3，则g′(x)<0，g(x)在(0,e)递减，且g(x)<0，可得a ≥0；当x >e 时，有1−lnx <0，可得a ≤x 2lnx−1， 设g(x)=x 2lnx−1，x >e ， g′(x)=2x(lnx−1)−x (lnx−1)=x(2lnx−3)(lnx−1)， 由e <x <e 32时，g′(x)<0，g(x)在(e,e 32)递减，由x >e 32时，g′(x)>0，g(x)在(e 32,+∞)递增，即有g(x)在x =e 32处取得极小值，且为最小值2e 3，可得a ≤2e 3，综上可得0≤a ≤2e 3．故选：B ．求得f(−1)，由题意可得alnx −x 2−2≤−2+a 在x >0恒成立，讨论x 的范围，分x =e ，0<x <e ，x >e ，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a 的范围．本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8.答案：A解析：【分析】本题考查了幂函数的性质与应用问题，解题时应熟记幂函数的图象与性质，属于基础题． 根据题意，列出不等式组，求出m 的值即可．【解答】解：∵函数y =(m 2+2m −2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴{m 2+2m −2=1m >0, 解得m =1，∴m 的值为1．故选A ．9.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的问题，属于基础题，可以结合图形处理．【解答】解：f(x)=|2x −1|+x +3={3x +2,x ≥124−x,x <12． 由3x +2≤5，得12≤x ≤1由4−x ≤5;得−1≤x <12．∴f(x)≤5，x的取值范围是[−1,1]．故选C.10.答案：2解析：【分析】本题主要考查分段函数求函数的值，属于基础题．依题意，f(3)=f(5)=f(7)=7−5=2，即可求得结果．【解答】解：因为f(x)={x−5,x⩾6f(x+2),x<6，所以f(3)=f(5)=f(7)=7−5=2，故答案为2．11.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．讨论当x−1≥1即x≥2时；当x−1<1即x<2时，得到具体不等式，分别解不等式，求并集即可得到所求解集．【解答】解：当x−1≥1即x≥2时，xf(x−1)≥10，即为x(x−3)≥10，解得x≥5或x≤−2，即为x≥5；当x−1<1即x<2时，xf(x−1)≥10，即为2x≥10，解得x≥5．综上可得不等式的解集为[5,+∞)．故答案为[5,+∞)．12.答案：[2,8]解析：【分析】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数的定义域与值域，属于基础题．先配方，再计算当x=2时，y=−4；当x=−4时，y=(−4−2)2−4=32，利用定义域为[−4,a]，值域为[−4,32]，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：配方可得：y=(x−2)2−4，当x=2时，y=−4；当x=−4时，y=(−4−2)2−4=32；∵定义域为[−4,a]，值域为[−4,32]，∴2⩽a⩽8∴实数a的取值范围为[2,8]，故答案为[2,8]．13.答案：−13解析：【分析】本题考查函数的奇偶性的应用，求函数值，令g(x)=ax5−bx3+cx，求出g(3)=−10，是解题的关键．令g(x)=ax5−bx3+cx，则g(−3)=10，又g(x)为奇函数，故有g(3)=−10，故f(3)= g(3)−3．【解答】解：∵函数f(x)=ax5−bx3+cx−3，f(−3)=7，令g(x)=ax5−bx3+cx，则g(−3)=10，又g(x)为奇函数，∴g(3)=−10，故f(3)=g(3)−3=−13，故答案为−13．14.答案：[−2,2)∪{2√2}解析：【分析】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．问题转化为函数y=√4−x2与函数y=x+m的图象有且只有一个交点，作图求解即可．【解答】解：∵关于x的方程x+m=√4−x2有且只有一个实根，∴函数y=√4−x2与函数y=x+m的图象有且只有一个交点，作函数y=√4−x2与函数y=x+m的图象，结合图象可知，−2≤m<2或m=2√2，即[−2,2)∪{2√2}．故答案为[−2,2)∪{2√2}．15.答案：解：(1)解{x−3≥06−x>0得，3≤x<6；∴A={x|3≤x<6}；∴A∩B={x|3≤x<6}，∁R B={x|x≤2，或x≥9}，(∁R B)∪A={x|x≤2，或3≤x<6，或x≥9}；(2)∵C∪B=B；∴C⊆B；∴{a≥2a+1≤9；∴2≤a≤8；∴实数a的取值范围为[2,8]．解析：(1)可求出集合A，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(2)根据C∪B=B即可得出C⊆B，从而得出{a≥2a+1≤9，解出a的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，交集、并集和补集的运算，子集的定义．16.答案：证明：设−∞<x1<x2<0，那么0<−x2<−x1<+∞．由于偶函数在(0,+∞)上是减函数，故有：f(−x2)>f(−x1)又根据偶函数的性质可得：f(−x1)=f(x1)，f(−x2)=f(x2)综上可得：f(x1)<f(x2)；故f(x)在(−∞,0)上是减函数．解析：根据题意，设−∞<x1<x2<0，那么0<−x2<−x1<+∞.由函数在(0,+∞)上的单调性可得f(−x2)>f(−x1)，结合偶函数的性质可得f(x1)<f(x2)；由函数单调性的定义即可得证明．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合问题，涉及函数单调性的证明，关键是运用偶函数的性质进行转化．17.答案：解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=b=0又f(1)=a2=12，则a=1，故a=1，b=0(2)证明：在区间(−1,1)上任取x1，x2，令−1<x1<x2<1，∴f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)；∵−1<x1<x2<1∴x1−x2<0，1−x1x2>0，1+x12>0，1+x22>0∴f(x1)−f(x2)<0即f(x1)<f(x2)故函数f(x)在区间(−1,1)上是增函数．解析：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．(1)利用函数f(x)=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数，且f(1)=12，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；(2)直接利用单调性的定义即可证明；18.答案：解：(1)由题意，W=xR(x)−(10+x)=99−[100x+1+(x+1)]，(x>0)(2)∵100x+1+(x+1)≥2√100x+1⋅(x+1)=20，∴W≤99−20=79，当且仅当100x+1=x+1，即x=9千件时该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大．解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．(1)由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R(x)−成本．我们易得年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)利用基本不等式，可求年利润最大．19.答案：解：(1)由f(x)=2ax−2=0，得x=1a．由g(x)=a(x−2a)(x+a−2)=0，得x=2a或x=2−a．∵{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，∴1a =1或1a=2，即a=1或a=12，经检验a=1符合题意，∴a=1．(2){x|f(x)<0或g(x)<0}=R，当a>0时，若x→+∞，则总有f(x)>0，g(x)>0，不符合题意;当a<0时，若f(x)<0，则x∈(1a,+∞)，若g(x)<0，则x∈(−∞,2a)∪(2−a,+∞)，则1a<2a，∴−√22<a<0．综上，−√22<a<0．解析：本题考查函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)通过方程的根，结合已知条件求解即可；(2)由于{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，验证当a>0时，不符合题意，当a<0时，讨论若f(x)<0，若g(x)<0，推出结果即可．。

2022-2023学年天津市天津中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()UAB =（ ）A ．{}01，B ．{}0,1,2C ．{}1,1,2-D ．{}0,1,1,2-【答案】A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1U B =-，故(){}0,1UA B =，故选：A.2．在下列函数中，函数y x =表示同一函数的（ ）A ．2y = B ．yC ．00x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，D ．2x y x=【答案】C【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.【详解】由题意，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，其解析式为,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，对于A ，函数2y =，其定义域为[)0,∞+，故A 错误；对于B ，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，对应法则不同，故B 错误； 对于C ，与题目中的函数一致，故C 正确；对于D ，函数2x y x=，其定义域为{}0x x ≠，故D 错误，故选：C.3．“x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由当x 为整数时，21x +必为整数；当21x +为整数时，x 比一定为整数；即可选出答案.【详解】当x 为整数时，21x +必为整数； 当21x +为整数时，x 比一定为整数， 例如当212x +=时，12x =. 所以“x 为整数”是“21x +为整数”的充分不必要条件. 故选：A.4．命题p ：x ∀∈R ，211x +≥，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，211x +<B ．x ∀∈R ，211x +≥C ．0x ∃∈R ，211x +< D ．0x ∃∈R ，211x +≥ 【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.【详解】因为命题p ：x ∀∈R ，211x +≥，所以p ⌝为：0x ∃∈R ，2011x +<.故选：C. 5．函数()221xf x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-，故C 错误， 故选：A.6．设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.7．化简式子130341log 2log 2720238⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．0 B ．32C ．1-D ．12【答案】A【分析】由对数的运算性质求解 【详解】原式1lg 23lg3102lg32lg 2=-⨯+=， 故选：A8．已知偶函数f (x )在区间[)0+，∞ 单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的 x 取值范围是（ ） A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)23【答案】A【分析】由偶函数性质得函数在(,0]-∞上的单调性，然后由单调性解不等式． 【详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小， 因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得：1233x <<.故选：A ．9．已知函数32,0()3,0x x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()52(0)g x kx k k =+->，若对任意的1[1x ∈-，1]，总存在2[1x ∈-，1]使得12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(0,2]B ．2(0,]3C ．(0,3]D ．(1,2]【答案】A【解析】计算得到()()()max 103f x f f =-==，()()max 15g x g k ==-根据题意得到53k -≥，解得答案.【详解】32,0()3,0x x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，当[]1,1x ∈-时，()()()max 103f x f f =-==()52(0)g x kx k k =+->，当[]1,1x ∈-时，()()max 15g x g k ==- 根据题意知：532k k -≥∴≤ ，故(0,2]k ∈ 故选：A【点睛】本题考查了分段函数的值域，恒成立问题和存在问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.二、填空题10．已知幂函数()f x的图象经过点⎛ ⎝⎭，则()f x 的解析式为______． 【答案】()12f x x -=【解析】设()af x x =，由题意可得()2f =，求出a 的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设幂函数()f x 的解析式为()af x x =，因为幂函数()f x的图象经过点⎛ ⎝⎭，则()12222af -===，解得12a =-.因此，()12f x x -=.故答案为：()12f x x -=. 11．函数1()lg(3)f x x =-的定义域是_________.【答案】[)1,2(2,3)⋃【分析】要使函数有意义需满足103031x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由题意可得103031x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解不等式得12x ≤<或23x <<， 所以定义域为[)1,2(2,3)⋃， 故答案为：[)1,2(2,3)⋃12．不等式265x x ≥-的解集是________. 【答案】{6x x ≤-或}1x ≥【分析】利用二次不等式的解法解之即可. 【详解】因为265x x ≥-，所以2560x x +-≥， 故()()610x x +-≥， 解得6x ≤-或1x ≥，所以265x x ≥-的解集是{6x x ≤-或}1x ≥. 故答案为：{6x x ≤-或}1x ≥.13．已知函数()(),1123,1x a x f x a x a x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】由已知可知，()xf x a -=在(),1-∞-上为增函数，则01a <<，函数()()123f x a x a =-+在()1,-+∞上为增函数，则120a ->，可得12a <， 因为函数()f x 在R 上为增函数，则()312a a a ≤--，可得1a 4≥. 综上所述，实数a 的取值范围是11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．已知{}=13A x x ≤≤，对于任意的1x A ∈，都存在2x A ∈，使得222131x x mx ->+成立，其中0m <，则m 的范围是______. 【答案】1m <-【分析】对双变量问题，先处理不含参部分，根据存在性问题可得()2221max 31x x mx ->+，结合二次函数的对称性可求得最值，进而可得101mx >+，再根据恒成立问题结合参变分离运算求解.【详解】∵存在2x A ∈，使得222131x x mx ->+，则()2221max 31x x mx ->+2222239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的对称轴为232x =，则当2=3x 时，2223y x x =-取到最大值为2max 3330y =-⨯=∴101mx >+，则11m x <-∵任意的1x A ∈，11m x <-，则1min1m x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭11y x =-在[]1,3上单调递增，则当1=1x 时取到最小值min 111y =-=- 故m 的范围是1m <- 故答案为：1m <-.三、双空题15．已知正实数,m n 满足2m n +=，则12n m n+的最小值为___________．此时m 的值为__________ 【答案】54 43##113【分析】利用“一正”、“二定”、“三相等”即可得到结果. 【详解】∵正实数,m n ，2m n +=，1115244444n n m n n m m n m n m n ++=+=++≥=， 当且仅当423m n ==时，等号成立， 故答案为：54，43.四、解答题16．全集U =R ，已知集合{(3)(2)0}A x x x =-+>，{3235}B x x =-≤-<，{2<21}C x a x a =+<+. (1)求R R ,,()()A B A B A B ⋂⋃⋂； (2)若,B C C ⋂=求a 的范围.【答案】(1){}|34,{|2A B x x A B x x ⋂=<<⋃=<-或0}x ≥R R ,()()A B ⋂{}|20x x =-≤<.(2)32a ≤【分析】（1）先解得集合A,B ，然后结合数轴求解结果.（2）若,B C C ⋂=则C B ⊆，对集合C 分当C =∅及C ≠∅两种情况讨论分别求解结果，从而得出结论.【详解】（1）解：集合{(3)(2)0}A x x x =-+>{|2x x =<-或3}x >，{3235}B x x =-≤-<{}|04x x =≤<，则{}|34,{|2A B x x A B x x ⋂=<<⋃=<-或0}x ≥RR ,()()A B ⋂()RA B =⋃{}|20x x =-≤<.（2）解：若,B C C ⋂=则C B ⊆，当C =∅时，221a a +≥+得1a ≤时，符合题意；当C ≠∅时，则22120214a a a a +<+⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩得312a <≤，综上，a 的取值范围为：32a ≤. 17．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-.(1)求(1),(2)f f -的值； (2)求()f x 的解析式；(3)画出()y f x =的简图；写出()y f x =的单调区间（只需写出结果，不要解答过程）. 【答案】(1)(1)1f =-，(2)0f -=；(2)222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩(3)简图见详解，增区间是()(),1,1,-∞-+∞，减区间是[]1,1-．【分析】小问1：根据函数的解析式和函数的奇偶性可求(1)f ，(2)f -的值； 小问2：利用函数的奇偶性的性质可求()f x 的解析式；小问3：根据（2）的解析式可得()y f x =的简图，结合图象可求()y f x =的单调递增区间． 【详解】（1）当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以(1)1f =-， 又(2)(2)0f f -=-=.（2）因为()y f x =是定义在R 上的奇函数， 当0x ≥时，2()2f x x x =-；当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=---=+， 所以2()()2f x f x x x =--=--，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩. （3）因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，由此作出函数()f x 的图象如图：结合图象，知()f x 的增区间是()(),1,1,-∞-+∞，减区间是[]1,1-．18．设函数2(2)3y ax b x =+-+.(1)若不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)若1x =时，2,0,1y a b =>>-，求141a b ++的最小值；(3)若=-b a ，求不等式1y ≤的解集. 【答案】(1)1a =-，4b =(2)92(3)详见解析.【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求a 和b ； （2）利用“1122a b ++=”与基本不等式即可求得最小值； （3）对a 分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.【详解】（1）由题知：2(2)30ax b x +-+=的两个根分别是121 3x x =-=，， 代入方程得：23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩. （2）1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有：1122a b ++=， 那么141a b ++=141()()122a b a b ++++ =1142222(1)b a a b +++++5922≥+=， 此时1422(1)b aa b +=+，且12++=a b ， 即2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，141a b ++有最小值92.（3）若=-b a ，则2(2)3y ax a x =-++，1y ≤，即2(2)20ax a x -++≤，①当0a =时，即220x -+≤，解得：1x ≥， 不等式解集为：{}1,R x x x ≥∈当0a ≠时，令2(2)20ax a x -++=，解得：1221x x a==，， ②当0a >时， 若2a =，不等式解集为：{}1； 若2a >，不等式解集为：2 1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 若02a <<，不等式解集为：21 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ③当a<0时，不等式解集为：[)2 1 a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，19．已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且14()25f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断当(1,1)x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）解不等式2(1)()0f t f t -+<．【答案】（1）22()1xf x x =+；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明详见解析；（3）1(1,0)0,2⎛-+- ⎝⎭. 【分析】（1）根据函数()f x 是奇函数得(0)0f =，再由14()25f =可得,a b 的值，从而得函数()f x 的解析式；（2）设1211x x -<<<，作差12()()f x f x -得()()120f x f x -<，即()()12f x f x <可得解； （3）由函数()f x 是奇函数和（2）的结论，建立不等式组，解之得解. 【详解】（1）由(0)0f = ，知：0b =．又2142(),2,()251xf a f x x ===+，（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明如下： 设1211x x -<<<，则1212121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 又1211x x -<<< ，∴ 221212120,10,10,10x x x x x x -<->+>+>，从而()()120f x f x -< ，即()()12f x f x < 所以()f x 在(1,1)-上是增函数.（3）由题意知：由2(1)()0f t f t -+< , 得2(1)()f t f t -<-，即为2(1)()f t f t -<- 由（2）知：()f x 在(1,1)-上是增函数， 所以2(1)()f t f t -<- 即为21t t -<- ，解得：t <<又∵211111t t ⎧-<-<⇒⎨-<<⎩001111t t t t ⎧<<<<⎪-<<⎨-<<⎪⎩或，且0t ≠ 所以|1t t ⎧⎪-<<⎨⎪⎩且}0t ≠，即1(1,0)0,2⎛-+- ⎝⎭. 不等式解集为1(1,0)0,2⎛-+- ⎝⎭， 故得解.【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法，求解不等式时注意考虑函数的定义域，属于中档题.20．已知函数()22f x x mx n =++的图象过点1,1，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．【答案】(1)()2221f x x x =--；(2)()2min 23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩； (3)1t >.【分析】(1)根据f (x )图像过点1,1，且满足()()23f f -=列出关于m 和n 的方程组即可求解；(2)讨论对称轴与区间的位置关系，即可求二次函数的最小值；(3)由题可知方程x ＝g (x )有两个正根，根据韦达定理即可求出t 的范围.【详解】（1）∵()f x 的图象过点1,1，∴21m n ++=-①又()()23f f -=，∴82183m n m n -+=++②由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+， 当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减， ∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦； 当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min 1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦． 综上，()2min 23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩． （3）设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >．。

2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b25．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√27．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−1128．定义在R上的奇函数f（x），满足f（12+x）＝f（12−x），在区间[−12，0]上递增，则（）A．f（0.3）＜f(√2)＜f(2)B．f（2）＜f（0.3）＜f（√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．1110．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x 的不等式x 2﹣ax ﹣6a ＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25]∪[1，+∞） B ．[﹣25，﹣24）∪（0，1] C ．[﹣25，0）∪（1，24） D ．[﹣25，1]二、填空题：（每小题4分，共24分） 11．已知函数f(x)=√2+x 1√16−x 的定义域为 ．12．已知命题p ：x ＞m ，q ：2+x ﹣x 2＜0，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 ．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ ．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 ． 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝2． （1）求b a +4b的最小值；（2）求4a 2+8ab +b 2的最大值． 19．（12分）已知函数f(x)=x 2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}解：因为U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}＝U＝{1，2，3，4}，所以（∁U P）∪Q＝{4}∪{2，4}＝{2，4}．故选：B．2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：a＝b＜0时，a+b2=√ab不成立，“a＝b”不是“a+b2=√ab”的充分条件；a+b2=√ab时，有a≥0且b≥0，a+b−2√ab=0，即(√a−√b)2=0，得a＝b，故“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要条件；所以“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要不充分条件．故选：B．3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0．故选：A．4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2解：对于A，当a＝﹣b时，如a＝2，b＝﹣2时a2＝b2成立，故A错误；对于B，当a＝1，b＝2，显然a2≠b2，但a＜b，故B错误；对于C，当a＝2，b＝﹣3时，显然a＞b，但a2＜b2，故C错误；对于D，a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，故D正确．故选：D．5．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz解：当x＝2，y＝0，z＝﹣1时，不等式xy＞yz，x|y|＞z|y|，xz≥yz均不成立，故选项A、B、D错误；因为x＞y＞z，且x+y+z＝1，所以x＞0，所以xy＞xz，故选项C正确．故选：C．6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√2解：由f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，取x=1x，则f（1x）+2f（x）=5x+4x，联立解得f（x）＝x+2x，x∈（0，+∞）．∴f（x）＝x+2x≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时等号成立．∴f（x）的最小值为2√2．故选：D．7．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−112解：根据题意，函数f(x)=2ax2+bx+c，由函数的图象，其定义域为{x|x≠2且x≠4}，在区间（2，4）上，f（x）＞0，且当x＝3时，f（x）取得最小值1，在区间（﹣∞，2）和（4，+∞）上，f（x）＜0，设g（x）＝ax2+bx+c，则g（x）＝0的两个零点为2和4，必有a＜0，且当x＝3时，g（x）取得最大值2，则有{−ba =2+4=6c a =2×4=89a +3b +c =2，解可得{a =−2b =12c =−16，则f （x ）=2−2x 2+12x−16=−1x 2−6x+8， 则f （5）=−13．故选：A ．8．定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），在区间[−12，0]上递增，则（ ）A ．f （0.3）＜f(√2)＜f(2)B ．f （2）＜f （0.3）＜f （√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）解：定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），可得f （x ）的图象关于直线x =12对称，由f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）＝f （x +1）， 可得f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 即f （x ）的周期为2，奇函数f （x ）在区间[−12，0]上递增，可得f （x ）在（0，12）递增，由f （x ）的图象关于直线x =12对称，可得f （x ）在（12，1）递减，即有f （12）＞f （0）＝0，f （−12）＜0，f （0.3）＞0，即有f （2）＝f （0）＝0，f （√2）＝f （1−√2）＜0， 可得f （√2）＜f （2）＜f （0.3）， 故选：D ．9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．11解：根据不等式xy ≤x 2+y 22可得√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2≤4a 2+b 2+a 2+4b 22=52(a 2+b 2)，当且仅当4a 2+b 2＝a 2+4b 2，即a 2＝b 2时等号成立， 所以，√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b 2≤52，所以m =52．所以，不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，5）．根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，1和5是方程x2﹣ax+b＝0的两个解，由根与系数的关系知{1+5=a1×5=b，解得{a=6b=5，所以a+b＝11．故选：D．10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，25]∪[1，+∞）B．[﹣25，﹣24）∪（0，1]C．[﹣25，0）∪（1，24）D．[﹣25，1]解：∵关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，∴Δ＝a2+24a＞0，解得a＞0或a＜﹣24．由x2﹣ax﹣6a＝0解得．x1=a−√△2，x2=a+√△2∵x1＜x2，∴不等式解集为（x1，x2），∵解集的区间长度不超过5个单位长x2﹣x1≤5，解得﹣25≤a≤1，∵a＞0或a＜﹣24，∴﹣25≤a＜﹣24或0＜a≤1．故选：B．二、填空题：（每小题4分，共24分）11．已知函数f(x)=√2+x√16−x2的定义域为[﹣2，4）．解：由题意得函数f(x)=√2+x1√16−x2要有意义，需满足{2+x≥016−x2＞0，解得﹣2≤x＜4，即函数f(x)=√2+x1√16−x2的定义域为[﹣2，4）．故答案为：[﹣2，4）．12．已知命题p：x＞m，q：2+x﹣x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是[2，+∞）．解：不等式2+x﹣x2＜0，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＜﹣1或x＞2．设A＝{x|x＞m}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}，由命题p是命题q的充分不必要条件，可知A⫋B，所以有m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 13 ．解：某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱， 设两项运动都喜欢的人数为x ，作出维恩图，可得：25﹣x +x +20﹣x +16＝48，解得x ＝13， 则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为13． 故答案为：13．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ √2 ．解：当a +2≤0，即a ≤﹣2时，则由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a ＝a +5，无解； 当a ﹣3≤0，且a +2＞0，即﹣2＜a ≤3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a =√a +2，所以a ＞0， 整理可得，a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝﹣1（舍去）或a ＝2； 当a ﹣3＞0，即a ＞3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，√a −3=√a +2，无解． 综上所述，a ＝2． 所以，f(a)=f(2)=√2． 故答案为：√2．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 [0，76] ．解：函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则{2a −3＜0a+42≥24−2(a +4)+5≥2(2a −3)，解得0≤a ≤76，即实数a 的取值范围为[0，76]．故答案为：[0，76]．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 −13．解：因为 f （﹣x ）＝f （x ），x ∈R ，所以函数f （x ）为偶函数， 又当x ⩾0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1是减函数，所以不等式 f （1﹣x ）⩽f （x +m ），等价于不等式 f （|1﹣x |）⩽f （|x +m |）， 即|1﹣x |⩾|x +m |，平方化简得 2（m +1）x ⩽1﹣m 2， 当m +1＝0时，x ∈R ，符合题意，所以m ＝﹣1； 当m +1＞0，即 m ＞﹣1时 ，x ⩽1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以 m +1⩽1−m 2，解得 m ⩽−13，所以−1＜m ⩽−13； 当m +1＜0，即m ＜﹣1 时，x ⩾1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以m ⩾1−m 2，解得m ⩾13，这与m ＜﹣1矛盾，舍去． 综上，−1⩽m ⩽−13，因此实数 m 的最大值是 −13．三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}＝{0，2}，由A ∩B ＝{2}可得2∈B ， 则22+2（m ﹣1）﹣m 2+1＝0， 化简可得m 2﹣2m ﹣3＝0， 解得m ＝﹣1或m ＝3，当m ＝﹣1时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2﹣2x ＝0，则B ＝{0，2}，此时A ∩B ＝{0，2}，不满足题意； 当m ＝3时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2+2x ﹣8＝0，则B ＝{4，2}，此时A ∩B ＝{2}，满足题意； 所以m ＝3．（2）由A ∩B ＝B 可得，B ⊆A ，当B ＝∅时，Δ＝（m ﹣1）2+4（m 2﹣1）＜0， 化简可得5m 2﹣2m ﹣3＜0，解得−35＜m ＜1；当B为单元素集合时，Δ＝（m﹣1）2+4（m2﹣1）＝0，解得m=−35或m＝1，当m=−35时，x2+(m−1)x−m2+1=0⇒x2−85x+1625=0，解得x=45，即B={45}，不满足B⊆A；当m＝1时，x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2＝0，解得x＝0，即B＝{0}，满足B⊆A；当B为双元素集合时，则其两个元素分别是0，2，由韦达定理得{Δ=(m−1)2+4(m2−1)＞0−(m−1)=0+2−m2+1=0×2，解得m＝﹣1，此时x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2﹣2x＝0，即B＝{0，2}，满足B⊆A，综上所述，m∈(−35，1]∪{1}．18．（12分）已知a＞0，b＞0，2a+b＝2．（1）求ba +4b的最小值；（2）求4a2+8ab+b2的最大值．解：（1）a＞0，b＞0，2a+b＝2，所以ba+4b=ba+2(2a+b)b=ba+4ab+2≥2√ba⋅4ab+2=6，当且仅当ba=4ab且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，故ba+4b的最小值为6．（2）由2a+b=2≥2√2ab，得ab≤12，当且仅当2a＝b且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，4a2+8ab+b2=(2a+b)2+4ab=4+4ab≤4+4×12=6，故4a2+8ab+b2的最大值为6．19．（12分）已知函数f(x)=x2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f(x)=x2+2x，则f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−(x22+2x2)=(x12−x22)+(2x1−2x2)=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)，由1＜x1＜x2，得x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，x1x2＞1，2x1x2＜2，x1+x2−2x1x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增．（3）不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m，即（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m，依题意有（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m对一切x∈[1，6]恒成立，（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1﹣1＝（x﹣2）2﹣1，由1≤x≤6，得﹣1≤x﹣2≤4，0≤（x﹣2）2≤16，﹣1≤（x﹣2）2﹣1≤15，则有﹣1≥m，实数m的取值范围（﹣∞，﹣1]．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．解：（1）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．则f(x)+f(2a−x)=x+1−aa−x+2a−x+1−aa−2a+x=x+1−aa−x+a−x+1x−a=x+1−a−a+x−1a−x=−2．（2）f(x)=1−(a−x)a−x=−1+1a−x，由a+12≤x≤a+1，有−a−1≤−x≤−a−1 2，得−1≤a−x≤−1 2，则有−2≤1a−x≤−1，可得−3≤−1+1a−x≤−2，所以f（x）值域为[﹣3，﹣2]．（3）由题意，函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，所以g（x）＝x2+|x+1﹣a|（x≠a），①当x≥a﹣1且x≠a时，g(x)=x2+x+1−a=(x+12)2+34−a，如果a−1≥−12，即a≥12时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2；如果a−1＜−12，即a＜12且a≠−12时，g(x)min=g(−12)=34−a；如果a=−12时，g（x）无最小值．②当x＜a﹣1时，g(x)=x2−x−1+a=(x−12)2+a−54；如果a−1＞12，即a＞32时，g(x)min=g(12)=a−54；如果a−1≤12，即a≤32时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2，当a＞32时，(a−1)2−(a−54)=(a−32)2＞0，当a＜12时，(a−1)2−(34−a)=(a−12)2＞0，综上所述，当a＜12且a≠−12时，g（x）的最小值是34−a；当12≤a≤32时，g（x）的最小值是（a﹣1）2；当a＞32时，g（x）的最小值是a−54；当a=−12时，g（x）无最小值．。

2020-2021学年天津市静海一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={2,3，4}，B={2,4，6}，则A∩B=()A. {2}B. {2,4}C. {2,4，6}D. {2,3，4，6}2.设实数，则的大小关系为A. B. C. D.3.函数y=√xx−1−lgx的定义域为()A. {x|x>1}B. {x|x≥1}C. {x|x>1}∪{0}D. {x|x≥1}∪{0}4.给出下列3个命题：①函数y=tanx的图象关于点(kπ+π2,0)，k∈Z对称；②函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；③函数y=cos2x+sinx的最小值为−1．其中正确的命题个数有()个．A. 1B. 2C. 3D. 05.下列说法正确的是()A. 两条直线没有公共点，则这两条直线平行B. 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行C. 两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D. 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b=5，∠B=π4，tanA=2，则a的值是()A. 10√2B. √10C. 2√10D. √27.已知函数f(x)=x2lnx+1x+kx−2e有且只有一个零点，则k的值为()A. e+1e2B. e+1eC. e2+1e2D. e2+1e8.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,−2)，若a⃗⊥b⃗ ，则m的值为()A. −4B. −1C. 2D. 49. 设函数f(x)=x +log 2x −m ，若函数f(x)在(14,8)上存在零点，则m 的取值范围是( ) A. (−74,5) B. (−74,11) C. (94,5) D. (94,11) 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ，在下列曲线中，“远离”直线l ：y =2x 的曲线有______.(写出所有符合条件的曲线C 的编号) ①曲线C ：2x −y +√5=0②曲线C ：y =−x 2+2x −94③曲线C ：x 2+(y −5)2=1④曲线C ：y =e x +1⑤曲线C ：y =lnx −2．11. 数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ2+1，前n 项和为S n ，则S 2012=________．12. 已知函数f(x)={(3a −1)x +4a x <1log 12x x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是______． 13. 三棱锥的四个面中，设Rt △的个数为n ，若当n 取最大值时，该三棱锥的最大棱长为(n +1)2−2n ，则该三棱锥外接球的表面积为______ ．14. 设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 22x +b 21−x ≥m 恒成立，则m 的最大值是______ 15. 函数y =sinx +√3cosx(x ∈[0,π2])的最小值是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. (本小题满分12分)设，函数． (Ⅰ)用五点法作出函数在的图象，并求函数单调递增区间；(Ⅱ)在中，角的对边分别为，若，且，求的面积．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，a −b =bcosC ．(1)求sinCtanB 的值；(2)若a=2，b=3，求c．18. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点．(1)求证：直线AF//平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距离．2=6S n+9n+1，n∈N∗.各项均19. 各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a2=4，a n+1为正数的等比数列{b n}满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若∁n=a n⋅b n，数列{∁n}的前n项和为T n，求T n．20. 已知函数f(x)=lgkx，g(x)=lg(x+1)，ℎ(x)=x．x2+1(1)当k=1时，求函数y=f(x)+g(x)的单调区间；(2)若方程f(x)=2g(x)仅有一个实根，求实数k的取值集合；(3)设p(x)=ℎ(x)+mx在区间(−1,1)上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．1+x【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A ={2,3，4}，B ={2,4，6}，∴A ∩B ={2,4}，故选：B ．由A 与B ，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：试题分析：因为， 所以，故选：A ． 考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性3.答案：A解析：解：要使函数有意义则{x >0x −1>0x >1故选：A负数不能开偶次方根，真数要大于0．本题主要考查根式函数和对数函数的定义域求法．4.答案：B解析：解：①函数y =tanx 的图象关于点(kπ+π2,0)，(k ∈Z)对称，故①正确；②函数f (x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x)=sin|x|不是周期函数，故②错误；③因为函数y =cos 2x +sinx =−sin 2x +sinx +1=−(sinx −12)2+54，当sinx =−1时，取得最小值−1，故③正确；故选：B ．①函数y =tanx 的图象关于点(kπ2,0)(k ∈Z)对称，从而可知①的正误；②利用函数f (x)=sin|x|不是周期函数可判断②的正误；③易求得y =−(sinx −12)2+54，从而可得y min =−1，可判断其正误；本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的图象与性质，考查分析、运算的能力，属于中档题． 5.答案：C解析：解：若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或为异面直线，故A 错误；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或为异面直线，故B 错误．由平行公理，两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行，故C 正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面，相交，或线在面内，故D 错误，故选：C两条直线没有公共点，则这两条直线平行或为异面直线，即可判断A ；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或为异面直线，即可判断B ． 由平行公理，可以判断C ；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面，相交，或线在面内，即可判断D本题考查空间线线、线面的平行与垂直的位置关系，属于基础题．6.答案：C解析：解：△ABC 中，tanA =2，∴sinA >0，∴sinA cosA =2①，又sin 2A +cos 2A =1②，由①②解得sinA =2√55； 由正弦定理得a sinA =b sinB ，解得a =bsinAsinB =5×2√55√22=2√10．故选：C ．根据同角的三角函数关系求出sin A 的值，再由正弦定理求出边长a 的值．本题考查了同角的三角函数关系应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是基础题目． 7.答案：D。

2019～2020学年度第一学期期中七校联考高三数学一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则AB =（ ） A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4} 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B . 【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2.若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是（ ）A. sinx siny >B. ()lnx ln y <-C. x y e e <D. 11x y> 【答案】D【解析】【分析】举反例否定A,B,C ，根据不等式性质证明D 成立.【详解】∵[]sin πsin πln1ln 1=-=--，,11 e e ->, ∴A,B,C 不正确， ∵x ＞0，∴1x ＞0，∵y ＜0，∴1y ＜0，∴1x ＞1y ． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析判断能力，属基本题.3.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c a b >>【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】0.20 1.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4.要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。

一、单选题1．设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ） 1i z =--i z z 2zz-A ． B ． C ． D ．12i --2i -+12i -+12i +【答案】C 【详解】因为， 23241212z i ii z i ---+===-+--故选C ．2．已知向量若与平行，则实数的值是（ ） (1,1),(2,),a b x == a b + 42b a -x A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【详解】因为，所以由于与平行，(1,1),(2,)a b x == (3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- a b + 42b a -得，解得.6(1)3(42)0x x +--=2x =3．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状ABC ∆,A B C ，,a b c ，cos cos sin b C c B a A +=ABC ∆为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得()2sin sin B C A +=，从而可得结果.sin 1,2A A π==【详解】因为，cos cos sin b C c B a A +=所以由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin B C C B A +=， ()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=所以，所以是直角三角形.sin 1,2A A π==【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ,m n ,αβ①；②； ,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥,n m n m αα⊂⇒∥∥③；④．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥,m n m n αα⊂⇒∥∥其中正确命题的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错,m n ,αβ误；对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； m α⊄m α⊂对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； m n ,m n 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； m n ,m n 故选：A.5．已知三条直线a ，b ，c 和两个平面，下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则//,//a a b α//b α//,a b b α⊂//a αC ．若，则 D ．若，则//,//,//a a b b αβ//βα,,,//a b c b c αβαβ=⊂⊂ //a b 【答案】D【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A 、B 、C ；根据平面基本性质知b β⊄且，由线面平行的判定、性质有，即可判断D. α⊄c //c a 【详解】A ：，则或，错误； //,//a a b α//b αb α⊂B ：，则或，错误；//,a b b α⊂//a αa α⊂C ：，则可能相交或平行，错误；//,//,//a a b b αβ,βαD ：由为两个平面且、，故且， ,αβ,b c αβ⊂⊂//b c b β⊄α⊄c 由，则，又，，，则， b α⊂//c αa αβ⋂=c β⊂α⊄c //c a 所以，正确. //a b 故选：D6．△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则的值为AB BC ⋅A ．19B ．14C ．-18D ．-19【答案】D【解析】运用余弦定理，求得，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值． cos B 【详解】解：由于，，， 7AB =5BC =6CA =则，25493619cos 25735B +-==⨯⨯则 ||||cos()AB BC AB BC B π=-A AA． 1975()1935=⨯⨯-=-故选：．D 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题．7．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（ ） A ．B ．C ．D ．14131234【答案】B【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥侧面的面积公式：即可r 2l 1222S r l π=⨯⨯求解.【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为， r 2l 则该圆锥的侧面积， 12222S r l rl ππ=⨯⨯=截得的小圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积，2rl 11122S r l rl ππ=⨯⨯=而圆台的侧面积．2113222S l S S rl rl r πππ=-=-=故两者侧面积的比值． 12112332rl S S rl ππ==故选：B8．已知三棱柱ABC ﹣A1B 1C 1AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ） A ．8π B ．9πC ．10πD ．11π【答案】A【分析】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得： BC===∴，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点，222AC BC AB +=设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 1， 2AB==又， 11122ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=所以V 柱＝S △ABC •AA 1AA 1＝2， =因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（）2＝12+12＝2， 12AA 所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．9．如图所示，中，，点E 是线段AD 的中点，则 ABC A BD 2DC =AC (= )A ．B ．31AC AD BE 42=+ 3AC AD BE 4=+C ．D ．51AC AD BE 42=+ 5AC AD BE 4=+ 【答案】C【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．【详解】如图所示，，，，，． AC AD DC =+ 1DC BD 2= BD BE ED =+ 1ED AD 2=51AC AD BE 42∴=+ 故选C ．【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．如图，在平行四边形ABCD 中，，，，若M 、N 分别是边3BAD π∠=2AB =1AD =上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是CD AD 、MD NCAD DCλ==·AN BM →→（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[1，3]【答案】A【详解】建立如图所示的以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴的直角坐标系， 则B （2，0），A （0，0），D （12，32）．∵满足则)22531·21222531(21222311324AN BM λλλλλλλλλ⎛⎛⎫=-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭=----=+-=+-）（）））（），)22531·21222531(21222311324AN BM λλλλλλλλλ⎛⎛⎫=-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭=----=+-=+-）（）））（因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，12λ=- ．23[31]λλ+-∈--，本题选择A 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题11．若复数，则__________． 58z i =+4z i -=【答案】.13【详解】分析：由共轭复数的定义，可求得；根据复数运算和模的定义即可求值． 58z i =-详解：根据共轭复数定义 ，代入得 58z i =-58451213i i i --=-==点睛：本题考查了共轭复数的概念，复数模的求法，主要是计算，属于简单题．12．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为______________海里． 【答案】6【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔位置为， A B 20分钟后轮船的位置为，如图所示：C由题意得：，11863AC =⨯=， 1804020120CAB ∠=--=，BC =在中，由余弦定理得：ABC A 222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，12==-所以解得或（舍去）， 6AB =12AB =-灯塔与轮船原来的距离为6海里， 故答案为：6.13．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________. 【答案】169【分析】画图分析可得,该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形,进而求得圆柱的底面半径,进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.【详解】如图有外接球的体积,圆柱的底面直径故底面半径.故圆31432233Vππ=⨯=d ==r =柱体积.226V ππ=⨯=故球的体积与圆柱的体积的比值为. 3216369ππ=故答案为：169【点睛】本题主要考查了圆柱与外接球的关系,需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解.属于基础题.14．若等腰直角三角形的直角边长为，则以斜边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是2______【分析】依题意可知以斜边所在的直线为轴旋转一周得到两个圆锥拼接而成的图形，其中两圆锥的底面半径，根据锥体的体积公式计算可得.rh 【详解】如图等腰直角三角形，为斜边的中点，则， ABC D BDAC ⊥因为，所以2AB BC ==AD BD CD ===以斜边所在的直线为轴旋转一周得到两个圆锥拼接而成的图形，其中两圆锥的底面半径r =，h 所以几何体的体积.2212π312π3V r h ⨯⨯==⨯=15．己知、、、，A B C D 5AC BD ==AD BC ==，则三棱锥的体积是______．AB CD =D ABC -【答案】20【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，计算出长方体的长宽高，即可求得三D ABC -棱锥的体积．D ABC -【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，D ABC-设长方体的长、宽、高分别为，，，a b c 则，解得，，， 2222222502541a b c a c b c ⎧++=⎪+=⎨⎪+=⎩3a =5b =4c =三棱锥的体积是∴D ABC -1143544352032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：．20三、解答题16．已知向量，，，且，． (1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥(1)求向量、；b c(2)若，，求向量，的夹角的大小.2m a b =- n a c =+m n 【答案】(1)， (3,6)b = (2,1)c =-(2) 34π【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；x y （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． m n θmn 【详解】（1）解：因为，，，且，，(1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥所以，， 230x -⨯=220a c y ⋅=+=所以，，6x =1y =-所以，；(3,6)b = (2,1)c =-（2）解：设向量，的夹角的大小为．mn θ由题意可得，，，()()()22,43,61,2m a b =-=-=--(3,1)n a c =+=所以cos ||||m n m n θ⋅= 因为，所以． 0θπ≤≤34πθ=17．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知.ABC A sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和的值. ()sin 2A B -【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3πb =【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =B =． π3（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理，可得， a b sinA sinB=bsinA asinB =又由，得，π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即，可得．π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭tanB =又因为，可得B =． ()0πB ∈，π3（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =， π3有，故b22227b a c accosB =+-=由，可得a <c ，故．π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sinA =cosA =因此 22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-=点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18．如图，在菱形中，. ABCD 1,22BE BC CF FD ==(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求.||6AB = 60BAD ∠=︒AC EF ⋅ 【答案】(1)1-(2)9-【分析】（1）由题意可知，即可求解； 1223EF AD AB =- （2），从而即可求解. AC AB AD =+ 12()()23AC EF AB AD AD AB ⋅=+⋅- 【详解】（1）因为在菱形中，. ABCD 1,22BE BC CF FD == 故， 1223EF EC CF AD AB =+=- 故，所以. 21,32x y =-=321x y +=-（2）显然，AC AB AD =+ 所以 12()()23AC EF AB AD AD AB ⋅=+⋅- ①， 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 因为菱形，且，，ABCD ||6AB = 60BAD ∠=︒故，. ||6AD = ,60AB AD =︒ 所以.66cos 6018AB AD ⋅=⨯⨯︒= 故①式. 2221166189326=-⨯+⨯-⨯=-故.9AC EF ⋅=- 19．鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，A BCD -其中，，，，且高AB BC ⊥AB BD ⊥BC CD ⊥AC CD ⊥AB =BC ==(1)求三棱锥的体积和表面积；A BCD -(2)求三棱锥外接球体积和内切球的半径．A BCD -【答案】(1)，表面积为3A BCD V -=(2)【分析】（1）利用公式可求体积及表面积.（2）利用补体法可求外接球的半径，从而可求外接球的体积，利用等积法可求内切球的半径.【详解】（1）由题设可得CD =AB =三棱锥的体积， A BCD -1113332A BCD DBC V S AB -=⋅⋅=⨯=A又AC ==三棱锥的表面积A BCD -BCD ABC ACD ABD S S S S S =+++A A A A. =+=（2）由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，A BCD -因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球．即为三棱锥外接球的直径.因为外接球体积为. AD =A BCD -343π=记内切球的球心为，连结，，，，得到四个等高的三棱锥，O OA OB OC OD 且该高为内切球的半径，则，r A BCD O ABD O ACD O ABC O BCD V V V V V -----=+++得， (11333A BCD V S r r -=⋅⋅=⨯⋅=所以 r =故三棱锥A BCD -20．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． ABC A A B C a b c ()223sinsin 222C B bc b c b c a +=++（1）求角的大小；A （2）若，求的取值范围． c a >a b m c +=【答案】（1）；（2）．π3A =12m <<【分析】（1）利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；（2）根据正弦定理及三角恒等变换可化为，结合即可求出a b m c +=12m =π2π33C <<m 的取值范围.【详解】（1）由 ()()221cos 1cos cos cos sin sin 222222b C c B C B b c b C c B b c --+++=+=- 2222222222222a b c a c b b c b c a b c a a a +-+-++++-=-=-=所以，可得， ()322b c a bc b c a +-=++()223b c a bc +-=即．222b c a bc +-=由余弦定理得， 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又，所以． ()0,πA ∈π3A =（2）由sin sin sin AB mC +===12=． 111222===因为，所以， c a >π3c >又，所以， 2π3B C +=π2π33C <<所以， ππ623C <<tan 2C < 1tan 2C <<所以．12m <<【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.。

2023-2024学年天津市七校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1A =，2，3}，{|21B y y x ==−，}x A ∈，则(A B = )A ．{1，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}2．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知45a =，8log 9b =，则232(a b −= ) A ．59B ．5C ．259D ．254．已知0.91.2x =，0.81.1y =， 1.2log 0.9z =，则( ) A ．x z y >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x y z >>5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数()y f x =的部分图象如图所示．则()y f x =的解析式可能是( )A ．cos()()2()x x x f x e e π−=+B ．cos()()2()x x x f x e e π−=−C ．()cos()()2x x e e x f x π−−=D ．()sin()()2x x e e x f x π−+=6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①)，类似五面体FE ABCD −的形状（如图②)，若四边形ABCD 是矩形，//AB EF ，且228AB EF BC ===，3EA ED FB FC ====，则三棱锥F ADE −的体积为( )A ．83B ．3C ．43D ．1637．函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，则( )A ．()f x 的单调递增区间是5[,],88k k k Z ππππ++∈ B ．()f x 图象的一条对称轴方程是58x π=−C ．()f x 图象的对称中心是(,0)8k ππ−，k Z ∈D ．函数()f x 的图象向左平移78π个单位后得到的是一个奇函数的图象 8．已知在ABC ∆所在平面内，2BD AB =，E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，直线EF 与BC 相交于点G ，若DG BC ⊥，则( )A ．tan BAC ∠的最小值为34B ．tan BAC ∠的最小值为43 C ．tan BAC ∠的最大值为34D ．tan BAC ∠的最大值为439．已知函数2221,0(),0x x f x log x x +⎧−⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()20f x mf x ++=恰有6个不同的实数根，则m 的取值范围是( ) A ．11(,)[3,22)3−∞−−−B ．11(,3−−C ．1111(,)(,22)33−∞−−− D ．[3,−−二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分） 10．复数z 在复平面内对应的点为(2,1)−，则311i z +−的共轭复数的模为 ． 11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a=c =，cos 3A =，则ABC ∆的面积为 ． 12．设向量a 、b 满足,3a b π〈〉=，且||2||a b =，若c 为b 在a 方向上的投影向量，并满足c a λ=，则λ= ．13．在等比数列{}n a 中，3a ，7a 是函数321()4913f x x x x =++−的两个不同极值点，则5a = ．14．设0x >，0y >，当x = 时，2)x y −−取最大值，最大值为 ．15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，2OC =，5OA =，点E 在CD 上，则EA EB ⋅的最小值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知函数()2cossin()0223f x x x ωωπω=−>，()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π． （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若3()25f θ=−，且5[,]66ππθ∈−，求5sin()6πθ−的值．17．（15分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin cos 2sin cos a B C c B A =+． （1）求角B 的大小； （2）设3a =，4c =， ①求b ，②求cos(2)A B +的值．18．（15分）在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =． （1）求证：//DM 平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PDE 所成角的正弦值； （3）求点E 到PD 的距离．19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足：13b =，*121()n n b b n N +=−∈．（1）证明：{1}n b −是等比数列；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且221(1)(1)log (1)nn n n n a c a b +=−+−，求n T ；（3）设数列{}n d 满足：12222,,n n n n n na n a a d a nb ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：2194nk k d =<∑．20．（16分）已知函数()(1)1f x lnx a x =+++，a R ∈，()x g x xe =． （1）若曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线的斜率为3，求a 的值； （2）当2x −时，函数()2y g x m =−+有两个不同零点，求m 的取值范围； （3）若(0,)x ∀∈+∞，不等式()()x g x f x e '−恒成立，求实数a 的取值范围．2023-2024学年天津市七校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1A =，2，3}，{|21B y y x ==−，}x A ∈，则(A B = )A ．{1，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}解：根据题意，集合{1A =，2，3}，而{|21B y y x ==−，}x A ∈， 则{1B =，3，5}，则{1A B =，3}，故选：A ．2．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若sin 2sin 2A B =，则222A B k π=+，k Z ∈或222A B k ππ+=+，k Z ∈， 由于在三角形中，所以22A B =或22A B π+=，故A B =或2A B π+=，当A B =时，则a b =，但2A B π+=时，a ，b 关系不确定；反过来，若a b =，则必有A B =，sin 2sin 2A B =．故“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的必要不充分条件． 故选：B ．3．已知45a =，8log 9b =，则232(a b −= ) A ．59B ．5C ．259D ．25解：3228222425,9333a a log log logb =====，∴292322232339,229log b b log log log =====， ∴223325229a a bb −==． 故选：A ．4．已知0.91.2x =，0.81.1y =， 1.2log 0.9z =，则( ) A ．x z y >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x y z >>解：由于函数 1.2x y =在R 上单调递增，函数0.8y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以0.90.80.81.2 1.2 1.10x y =>>=>，而 1.2log y x =在(0,)+∞上单调递增， 1.2 1.2log 0.9log 10y =<=，所以x y z >>． 故选：D ．5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数()y f x =的部分图象如图所示．则()y f x =的解析式可能是( )A ．cos()()2()x x x f x e e π−=+B ．cos()()2()x x x f x e e π−=−C ．()cos()()2x x e e x f x π−−=D ．()sin()()2x x e e x f x π−+=解：对于A ，函数的定义域为R ，且cos()cos ()()2()2()x x x x x xf x f x e e e e ππ−−−−===++， 则()f x 为偶函数，不合题意；对于B ，函数的定义域为(−∞，0)(0⋃，)+∞，不合题意；对于D ，1()sin (1)02e e f π−+==，不合题意． 故选：C ．6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①)，类似五面体FE ABCD −的形状（如图②)，若四边形ABCD 是矩形，//AB EF ，且228AB EF BC ===，3EA ED FB FC ====，则三棱锥F ADE −的体积为( )A ．83B ．3C ．43D ．163解：如图，在线段CD 上取点H ，N ，使得2DH CN ==，4HN =， 在线段AB 上取点G ，M ，使得2AG MB ==，4GM =，连接EG ，EH ，GH ，FM ，FN ，MN ，设P ，Q 分别为GH ，MN 的中点，连接EP ，FQ ，由题意可得，EG EH FM FN ===4GH MN ==，EP FQ =，EP ⊥平面ABCD ， 则1EP FQ ==，连接PQ ，则////PQ AB DC ，以Q 为原点，以QM ，QP ，QF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0F ，0，1)，(2A ，6，0)，(2D −，6，0)，(0E ，4，1)， 所以(4,0,0)AD =−，(2,2,1)AE =−−，(0,4,0)EF =−， 设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则402210n AD x n AE x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−−+=⎪⎩，取1(0,,1)2n =，则点F 到平面ADE的距离为||2||55EFn h n ⋅===又142ADES ∆=⨯= 所以三棱锥F ADE −的体积为1183353ADE S h ∆⨯⨯=⨯=． 故选：A ．7．函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，则( )A ．()f x 的单调递增区间是5[,],88k k k Z ππππ++∈ B ．()f x 图象的一条对称轴方程是58x π=−C ．()f x 图象的对称中心是(,0)8k ππ−，k Z ∈D ．函数()f x 的图象向左平移78π个单位后得到的是一个奇函数的图象解：由图像可得3A =，32[()]88T πππ=−−=，∴22T πω==， ()3sin(2)f x x ϕ∴=+，将点(,3)8π−代入可得sin()14πϕ−+=，又0ϕπ<<，∴34πϕ=，所以函数3()3sin(2)4f x x π=+， 令3222242k x k πππππ−+++，解得588k x k ππππ−+−+，k Z ∈， 故函数()f x 的增区间为5[,]88k k ππππ−+−+，k Z ∈，故A 错误； 由553()3sin(2())3sin()38842f ππππ−=⨯−+=−=−， 所以58x π=−是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确； 令324x k ππ+=，解得382k x ππ=−+， 所以函数()f x 的对称中心为3(,0)82k ππ−+，k Z ∈，故C 错误； 将函数()f x 的图像向左平移78π个单位， 得到7353sin[2()]3sin(2)3cos 2842y x x x πππ=++=+=， 该函数为偶函数，故D 错误． 故选：B ．8．已知在ABC ∆所在平面内，2BD AB =，E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，直线EF 与BC 相交于点G ，若DG BC ⊥，则( )A ．tan BAC ∠的最小值为34 B ．tan BAC ∠的最小值为43 C ．tan BAC ∠的最大值为34D ．tan BAC ∠的最大值为43解：根据2BD AB =，且F 为线段AD 的中点， 可得1322AF AD AB ==，则CB CA AB =+，1322EF EA AF CA AB =+=+．设EG tEF =，则113113()()222222CG CE EG CA t CA AB t CA t AB =+=++=++，因为CB 和CG 共线，CB CA AB =+，所以113222t t +=，解得12t =，故G 为线段EF 的中点， 由34CG CB =，可得119122()4444DG DB BG AB BC AB BA AC AB AC =+=−+=−++=−+，结合BC AC AB =−，可知：若DG BC ⊥，则291915()()044442BC DG AC AB AB AC AB AC AB AC ⋅=−⋅−+=+−⋅=，即5913||||2442AB AC AB AC AB AC ⋅=+⋅，故3cos 5BAC∠，当且仅当229144AB AC =时，等号成立． 根据(0,)2BAC π∠∈，可得当tan BAC ∠的最大时，cos BAC ∠最小时，此时4sin 5BAC ∠==，sin 4tan cos 3BAC BAC BAC ∠∠==∠． 故选：D ．9．已知函数2221,0(),0x x f x log x x +⎧−⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()20f x mf x ++=恰有6个不同的实数根，则m 的取值范围是( ) A ．11(,)[3,22)3−∞−−− B ．11(,3−−C ．1111(,)(,22)33−∞−−− D ．[3,−−解：根据2221,0(),0x x f x log x x +⎧−⎪=⎨>⎪⎩，作出()f x 的大致图象如下：由图可知：当()0f x =时，此时有两个根，分别为2−，1， 当01t <<时，此时()f x t =有4个交点， 当13t 时，此时()f x t =有3个交点， 当3t >时，此时()f x t =有2个交点，故要使得2[()]()20f x mf x ++=有6个不同的零点， 则令()f x t =，220t mt ++=有6个不同的实数根，()0fx =显然不是2[()]()20f x mf x ++=的根，设2()2g t t mt =++的两个零点分别为1t ，2t ，且12t t ≠，故当101t <<，23t >时，此时1()f x t =有4个交点，2()f x t =有2个交点，满足题意， 故需要满足(0)20(1)30(3)1130g g m g m =>⎧⎪=+<⎨⎪=+<⎩，解得113m <−，当1213t t <时，此时1()f x t =有3个交点，2()f x t =有3个交点，满足题意，故需要满足213280(1)30(3)1130m m g m g m −⎧<<⎪⎪⎪=−>⎨⎪=+⎪=+⎪⎩，解得322m −<−综上可得322m −<−113m <−． 故选：A ．二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分） 10．复数z 在复平面内对应的点为(2,1)−，则311i z +−的共轭复数的模为解：由题意可得2z i =−， 所以3131(31)(1)42121122i i i i i i z i ++++−====−+−−， 故共轭复数为12i −−，则|12|i −−==．11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a=c=，cos A =，则ABC ∆的面积为．解：由余弦定理得22222cos ,1832a b c bc A b b =+−=+− 解得5b =（负根舍去），又0,sin A A π<<===，所以11sin 52232ABC S bc A ∆==⨯=．． 12．设向量a 、b 满足,3a b π〈〉=，且||2||a b =，若c 为b 在a 方向上的投影向量，并满足c a λ=，则λ=14． 解：c 为b 在a 方向上的投影向量， 则||||b a ac a a a λ⋅=⨯=，即2||a b a λ⋅=， 向量a 、b 满足,3a b π〈〉=，且||2||a b =， 则221||||cos||||34a b a a πλ==，解得14λ=． 故答案为：14． 13．在等比数列{}n a 中，3a ，7a 是函数321()4913f x x x x =++−的两个不同极值点，则5a = 3− ． 解：函数321()4913f x x x x =++−定义域为R ，且2()89f x x x '=++， 令()0f x '=，则2890x x ++=，因为△28490=−⨯>，所以方程2890x x ++=有两个不相等实数根1x ，2x ，不妨令12x x <，则当1x x <或2x x >时()0f x '>，当12x x x <<时()0f x '<，所以()f x 在1(,)x −∞，2(x ，)+∞上单调递增，在1(x ，2)x 上单调递减，所以()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，又128x x +=−，129x x =，所以120x x <<，又3a ，7a 是函数321()4913f x x x x =++−的两个不同极值点， 所以379a a =且30a <，70a <，则50a <，又2375a a a =，所以53a ==−．故答案为：3−．14．设0x >，0y >，当x = 14 时，2)x y −−取最大值，最大值为 ．解：0x >，0y >2)(2))22x y x y xy −−=−+−+2x y =时等号成立，设0t t =>，则函数2()f t t =−+开口向上，对称轴为t =，则当()max f t f ===且2x y =时，即11,48x y ==2)x y −−取最大值为16．故答案为：14． 15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，2OC =，5OA =，点E 在CD 上，则EA EB ⋅的最小值是 372− ．解：如下图，2()()()EA EB EO OA EO OB EO EO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅，若F 为弧AB 的中点，且120AOB ∠=︒，则OA OB OF +=， 则211717255()222EA EB EO OF EO OF OE OF ⋅=+⋅+⨯⨯−=⋅−=−⋅−， 要使其最小，只需,OE OF 共线，此时，由图知此时17173725cos010222EA EB ⋅=−⨯⨯︒−=−−=−． 故答案为：372−． 三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知函数()2cos sin()0223f x x x ωωπω=−>，()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π． （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若3()25f θ=−，且5[,]66ππθ∈−，求5sin()6πθ−的值．（1）解：由1()2cos sin()2cos (sin )2232222222xx x x f x x ωωπωωω=−+=−+1sin sin()23x x x πωωω==−， 因为()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，可得22T π=，即T π=，所以22T πω==，可得()sin(2)3f x x π=−， 令3222,232k x k k Z πππππ+−+∈，解得511,1212k x k k Z ππππ++∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）解：由()sin(2)3f x x π=−，可得3()sin()235f θπθ=−=−， 因为5[,]66ππθ∈−，可得[,]322πππθ−∈−，所以4cos()35πθ−=， 所以54sin()sin[()]cos()63235ππππθθθ−=−−=−−=−． 17．（15分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin cos 2sin cos a B C c B A =+．（1）求角B 的大小；（2）设3a =，4c =，①求b ，②求cos(2)A B +的值．解：（12sin cos 2sin cos a B C c B A =+．2sin sin cos 2sin sin cos B A B C C B A =+， 2sin (sin cos sin cos )2sin sin()B B AC C A B A C =+=+， 因为sin 0B>，所以sin()A C += 则sin()B π−=sin B =，且ABC ∆为锐角三角形， 所以3B π=；（2）①在ABC ∆中，由余弦定理及3a =，4c =，3B π=，由余弦定理可得2222cos 13b a c ac B =+−=，故b②由正弦定理，sin sin a bA B=，可得3sin sin a B A b===， ac <，即A C<，A ∴为锐角，故cos A ===则sin 22sin cos 2A A A ===， 21cos 22126A cos A =−=−， ∴23cos(2)cos 2cos sin 2sin 26A B A B A B +=−=−． 18．（15分）在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =．（1）求证：//DM 平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PDE 所成角的正弦值；（3）求点E 到PD 的距离．证明：（1）如图，取BC 中点F ，连接MF ，DF ，因为F 为BC 中点，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，所以BF AD =，//BF AD ， 所以四边形ABFD 为平行四边形，所以//AB DF ，又DF ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//DF 平面PAB ， 因为F 为BC 中点，M 为PC 中点，则//MF PB ，又MF ⊂/平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB ， 因为MF DF F =，MF ，DF ⊂平面MDF ，所以平面//MDF 平面PAB ， 又DM ⊂平面MDF ，故//DM 平面PAB ；解：（2）根据题意，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，(2E ，1，0)， 则(2,0,2),(0,2,2),(2,1,2)PB PD PE =−=−=−，设平面PDE 的法问量为(n x =，y ，)z ，则220220PD n y z PE n x y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩，解得2y z y x =⎧⎨=⎩， 取2y =，则1x =，2z =，所以平面PDE 的一个法向量为(1n =，2，2)， 设直线PB 与平面PDE 所成角为θ，则|||24sin |cos ,|6||||22PB n PB n PB n θ⋅−=<>===⋅⨯， 所以直线PB 与平面PDE 所成角的正弦值为6；（3）由（2）可知，(0,2,2),(2,1,2)PD PE =−=−，所以点E 到PD 22()2||PE PD PE PD ⋅−==． 19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：13b =，*121()n n b b n N +=−∈． （1）证明：{1}n b −是等比数列；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且221(1)(1)log (1)n n n n n a c a b +=−+−，求n T ； （3）设数列{}n d 满足：12222,,n n n n n na n a a d a nb ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：2194n k k d =<∑． 解：（1）证明：由121n n b b +=−，得112(1)n n b b +−=−，又112b −=，所以{1}n b −是以2为首项，2为公比的等比数列，即1122n n b −−=⨯，故21n n b =+；（2）由数列{}n a 的前n 项和为22n n n S +=，可得： 当1n =时，有111a S ==，当2n 时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n −+−+−=−=−=，显然11a =也满足，故n a n =，又21n n b =+， 所以2111(1)(1)()(1)1nn n n c n n n n +=−=−+++， 故11111111(1)(1)1(1)223311n n nn T n n n =−−++−++−+−=−+−++； （3）证明：当n 为奇数时，22221111[](2)4(2)n n d n n n n +==−++， 则13521222222111111111...[1][1]4335(21)(21)4(21)4n d d d d n n n −++++=−+−++−=−<−++， 当n 为偶数时，22212n n n n n d =<+， 则246224201148412222444n n n n n d d d d −++++<+++=+++， 设01112444n n n Q −=+++， 则121112144444n n nn n Q −−=++++， 两式相减得12111311141...144444414n n n n n n n Q −−=++++−=−−， 得11634116()9949n n n Q −+=−<， 所以2462169n d d d d ++++<， 所以211161924944n k k d =<+<+=∑，故原式得证． 20．（16分）已知函数()(1)1f x lnx a x =+++，a R ∈，()x g x xe =．（1）若曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）当2x −时，函数()2y g x m =−+有两个不同零点，求m 的取值范围；（3）若(0,)x ∀∈+∞，不等式()()x g x f x e '−恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）由()(1)1f x lnx a x =+++，得1()1f x a x'=++， 所以f '（1）113a =++=，即1a =．（2）由题意()x g x xe =，()20g x m −+=，即()2g x m =−，所以()(1)x g x x e '=+，当1x >−时，()0g x '>，所以()g x 在(1,)−+∞单调递增； 当21x −<−时，()0g x '<，所以()g x 在(,1)−∞−单调递减；1[()](1)min g x g e=−=−，22(2)g e −=−，(0)0g =， 所以2122(,]m e e −∈−−，即212(2,2]m e e∈−+−+， 所以m 的取值范围为212(2,2]e e−+−+． （3）因为()()x g x f x e '−对(0,)x ∀∈+∞恒成立，所以(1)1(1)x x x e lnx a x e +−−−+对(0,)x ∀∈+∞恒成立， 即11x lnx a e x+−−对(0,)x ∀∈+∞恒成立． 设1()1x lnx h x e x +=−−，其中0x >，所以()min a h x ， 222()x x lnx x e lnx h x e x x +'=+=， 设2()x u x x e lnx =+，其中0x >，则21()(2)0x u x x x e x'=++>， 所以函数()u x 在(0,)+∞上单调递增．因为1()202u ln <，u （1）0e =>， 所以存在01(,1)2x ∈，使得02000()0x u x x e lnx =+=， 当00x x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当0x x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以00001()1x min x e lnx h x x −−=−． 因为02000()0x h x x e lnx =+=，所以0010*********ln x x x e lnx ln e ln x x x x =−==， 由（2）得()x g x xe =，当0x >时，在(0,)+∞上为增函数，因为01(,1)2x ∈，则0112x <<，则010ln x >，由001001ln x x x e e ln x =，可得001()()g x g ln x =，所以0001x ln lnx x ==−， 所以0000()0x x lnx ln x e +==，可得001x x e =， 所以00000011()1()110x min x e lnx x h x x x −−−−−=−=−=，所以0a ． 所以实数a 的取值范围为(−∞，0]．。