中心对称图形总复习教案错题汇编作业

海豚教育个性化教案编号：教案正文：一、教学容：中心对称图形（一）总复习二、教学目标：1、使学生理解旋转、中心对称的含义、并会根据概念画图2、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定3、理解三角形、梯形中位线的概念及计算方法三、教学重点及难点：中心对称图形的性质及判定四、讲解主要知识点及典型例题【知识点1】旋转的概念及性质在平面，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

〖基础回顾〗1、下列现象属于旋转的是（）A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车2、在图形旋转中，下列说法错误的是（）A.图形上各点的旋转角度相同B. 旋转不改变图形的大小、形状;C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到D. 对应点到旋转中心距离相等【知识点2】中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

中心对称图形：在同一平面，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。

而这个中心点，就叫做中心对称点。

〖基础回顾〗1、下面扑克中是中心对称的是（）海豚教育个性化作业编号：。

数学试卷阜宁县陈集中学八年级数学复习题第1课时 中心对称与中心对称图形一、知识点：1、图形的旋转；图形旋转的性质。

2、中心对称；中心对称的性质。

3、中心对称图形：4、中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。

（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .5、对比轴对称图形与中心对称图形：二、举例：例1：如图，将点阵中的图形绕点O 按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.例2：画出将ΔABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后的对应三角形。

例3：如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。

若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′重合，求PP ′的长。

例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD ，若AB=3，AC=2，求∠BAD 的度数与AD 的长.例6：如图，直线l 1⊥l 2，垂足为O ，点A 1与点A 关于直线l 1对称，点A 2与点A 关于直线l 2对称。

点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？4、如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH ，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），简要说明理由.第2课时 平行四边形一、知识点：1、平行四边形的定义：·O CBCBBB数学试卷2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

中心对称图形教案教案说明：本教案旨在帮助学生理解中心对称图形的概念，并能运用其性质解决实际问题。

通过观察、操作、推理和交流等活动，学生将能够掌握中心对称图形的定义、性质及其在几何中的应用。

教学目标：1. 了解中心对称图形的定义和性质。

2. 学会如何判断一个图形是否为中心对称图形。

3. 能够运用中心对称图形的性质解决实际问题。

教学重点：1. 中心对称图形的定义和性质。

2. 判断一个图形是否为中心对称图形的方法。

教学难点：1. 理解中心对称图形的性质并运用解决实际问题。

教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 中心对称图形的示例图形。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍中心对称图形的概念。

2. 向学生展示一些中心对称图形的示例。

二、新课（15分钟）1. 向学生讲解中心对称图形的定义和性质。

2. 通过示例图形，让学生观察和操作，引导学生发现中心对称图形的性质。

3. 引导学生通过推理和交流，总结中心对称图形的性质。

三、练习（10分钟）1. 让学生独立完成一些判断中心对称图形是否为中心对称图形的练习题。

2. 让学生运用中心对称图形的性质解决实际问题。

四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的中心对称图形的定义和性质。

2. 让学生谈谈自己在练习中遇到的问题和解决方法。

五、作业（5分钟）1. 让学生完成一些关于中心对称图形的练习题。

2. 让学生运用中心对称图形的性质解决实际问题。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解中心对称图形的定义和性质，并能运用其性质解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生通过观察、操作、推理和交流等活动，加深对中心对称图形性质的理解。

要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。

中心对称图形教案教案说明：本教案旨在帮助学生理解中心对称图形的概念，并能运用其性质解决实际问题。

通过观察、操作、推理和交流等活动，学生将能够掌握中心对称图形的定义、性质及其在几何中的应用。

阜宁县陈集中学八年级数学复习题第1课时 中心对称与中心对称图形一、知识点：1、图形的旋转；图形旋转的性质。

2、中心对称；中心对称的性质。

3、中心对称图形：4、中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。

（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .5、对比轴对称图形与中心对称图形：轴对称图形 中心对称图形 有一条对称轴——直线有一个对称中心——点 沿对称轴对折 绕对称中心旋转180O 对折后与原图形重合旋转后与原图形重合二、举例：例1：如图，将点阵中的图形绕点O 按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.例2：画出将ΔABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后的对应三角形。

例3：如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。

若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′重合，求PP ′的长。

例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，以BC 为边向形外作等边三角形△BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD ，若AB=3，AC=2，求∠BAD 的度数与AD 的长.例6：如图，直线l 1⊥l 2，垂足为O ，点A 1与点A 关于直线l 1对称，点A 2与点A 关于直线l 2对称。

点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？4、如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH ，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），简要说明理由.第2课时 平行四边形一、知识点：1、平行四边形的定义： ·O AP ′PCBACBDAEO·HA BDCGEF2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

第五章 中心对称图形复习教学案知识回顾：1、基本概念： 弧、弦、圆心角、圆周角2、 基本性质确定圆的条件： 对称性：垂径定理： 圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：（1）同弧或等弧所的圆周角（2）90°的圆周角所对弦是 ，与圆有关的计算公式 ：（1）弧长 ；（2）扇形面积 ；（3）圆锥的侧面积： ； (4) 圆锥的全面积 ；3．点与圆的位置关系：⇔>r d __________;⇔=r d _____ ____;⇔<r d _________;4、直线与圆的位置关系 ⇔>r d ____ ___;⇔=r d __________;⇔<r d ____ ___;5、两圆位置关系：__________⇔__________; ____ ______⇔____ ______;__________⇔__________;__________⇔__________;__________⇔__________6、圆与切线（1）圆的切线的性质： ；（2）圆的切线的判定方法：（从定义） ；（从直线与圆的位置关系） ；（从判定定理） 。

（3）三角形的外接圆的圆心是 的交点 ，叫做三角形的 。

性质：三角形的内切圆的圆心是 的交点 ，叫做三角形的 。

性质： 例题讲解：例1 （有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算）(1) 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________（精确到度）(2) 如上图，在⊙O 中，弦AB ＝60，弓高CD ＝9，求⊙O 的半径。

例2 （圆心角、弧、弦和弦心距定理的应用）如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，•且AE=BF ，请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系，并给予证明．O A D B C例3 ：（圆周角与圆心角）1．如图，点A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=40°，则∠OBC 的度数是________2．如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 等于____________º。

中心对称图形复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够识别和理解中心对称图形的概念。

（2）能够运用中心对称图形的性质解决实际问题。

（3）能够进行中心对称图形的绘制和变换。

2. 过程与方法：（1）通过观察和操作，培养学生的空间想象能力和动手能力。

（2）运用小组合作和讨论，提高学生的交流和合作能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对中心对称图形的兴趣和好奇心。

（2）培养学生的观察力和耐心。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）中心对称图形的概念和性质。

（2）中心对称图形的绘制和变换方法。

2. 教学难点：（1）理解中心对称图形与轴对称图形的区别。

（2）能够灵活运用中心对称图形的性质解决实际问题。

三、教学准备1. 教具准备：（1）中心对称图形的示例图片。

（2）中心对称图形的绘制工具（如剪刀、彩纸等）。

2. 教学环境：（1）教室环境布置，以便进行观察和操作活动。

四、教学过程1. 导入：（1）利用中心对称图形的示例图片，引导学生回顾中心对称图形的概念。

2. 新课导入：（1）介绍中心对称图形的性质和特点。

（2）引导学生进行观察和操作，发现中心对称图形的变换规律。

3. 实践操作：（1）学生分组进行中心对称图形的绘制和变换练习。

（2）教师巡回指导，解答学生的疑问。

4. 小组合作：（1）学生进行小组合作，共同解决一个中心对称图形的问题。

（2）各小组分享解题过程和答案，教师进行评价和指导。

五、作业布置1. 完成中心对称图形的绘制和变换练习题。

2. 选择一个中心对称图形的问题，进行解答和分享。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，评价学生的学习态度和合作能力。

2. 作业评价：检查学生完成作业的质量，包括答案的准确性、解题过程的清晰性以及创新性。

3. 学生自评和互评：鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的自我认知和反思能力。

七、教学反思1. 学生对中心对称图形的理解和掌握程度如何？2. 教学方法和教学内容是否适合学生的学习需求？3. 如何改进教学策略，提高学生的学习兴趣和参与度？八、拓展活动1. 邀请相关领域的专家或企业代表，进行中心对称图形在实际应用中的讲座或展示。

欢迎阅读第五章中心对称图形（二）【知识回顾】一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是______________________________________点的集合；2、圆的外部：可以看作是__________________________________点的集合；3、圆的内部：可以看作是___________________________________点的集合123123图形： 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的____。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴_____________________________________2、圆周角定理的推论：推论1：______________所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是____________；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角∴_________________________推论2：半圆或直径所对的圆周角是__________；圆周角是直角所对的弧是__________，所对的弦是_________。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 ∵90C ∠=︒ ∴__________ ∴____________八、确定圆的条件经过1点可以画____________个圆，经过2点可以画____________个圆，经过_____________________可以画1个圆，三角形的内心是_________________________________________________________交点内心到________________________________________的距离相等三角形的外心是________________________________________________________交点外心到（1 （2）十一、（1 在⊙O ::OD BD （2::OE AE （3同理，1n ：________; R ：__________________; l ：___________S ：________ 2、圆柱：（2）圆锥侧面展开图S S S =+侧表底=___________ l ：_______________; r:______________ 【达标测试】B A1．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．其中真命题共有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，∠BOD的度数为( )A．750B．800C．1350 D．15003．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，∠AOC=500,过点A作AE∥CD交⊙O 于点E，则AE的度数为( )A．650 B．700 C．750 D．8004．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是( ) A. 3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<57为(8角形．分)( )A．S>Q>P C．S>P=Q D．S=P=Q9．如图①，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之，则圆14两部分，这条弦长为__________．16，则它的外接圆半径R=_________．18，侧面展开后所得扇形的圆心角为1500. 则圆锥的全面积为19，即PN=4 m20. ∠A=300．(1)(2)所围成面积(结果保留π和根号)．第一课件网系列资料。

中心对称图形复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够识别和理解中心对称图形的概念。

（2）能够运用中心对称图形的性质解决一些简单的问题。

（3）能够画出给定中心对称图形的一种或多种对称图形。

2. 过程与方法：（1）通过观察和操作，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

（2）培养学生运用中心对称图形的性质解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对中心对称图形的兴趣，培养学生的审美情趣。

（2）培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，提高学生的团队协作能力。

二、教学内容1. 中心对称图形的概念及其性质。

2. 中心对称图形与轴对称图形的区别与联系。

3. 运用中心对称图形的性质解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）中心对称图形的概念及其性质。

（2）运用中心对称图形的性质解决实际问题。

2. 教学难点：（1）中心对称图形与轴对称图形的区别与联系。

（2）如何运用中心对称图形的性质解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究中心对称图形的性质。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示中心对称图形的特点。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4. 创设实践环节，让学生动手操作，提高学生的实践能力。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习轴对称图形的概念及其性质。

（2）提问：轴对称图形与中心对称图形有什么区别与联系？2. 探究中心对称图形的概念及其性质：（1）引导学生观察和操作，让学生体会中心对称图形的定义。

（2）引导学生发现中心对称图形的性质，如：对称中心、对称轴等。

3. 运用中心对称图形的性质解决实际问题：（1）出示例题，让学生独立解决。

（2）组织学生进行小组讨论，分享解题思路和解题方法。

4. 巩固练习：（1）出示一些有关中心对称图形的练习题，让学生独立完成。

（2）教师对学生的练习情况进行讲解和指导。

5. 课堂小结：（1）总结本节课的中心对称图形的概念及其性质。

第3章《中心对称图形（一）》易错题集（05）：3.4平行四边形第3章《中心对称图形（一）》易错题集（05）：3.4平行四边形选择题31．如图，在▱ABCD 的面积是12，点E ，F 在AC 上，且AE=EF=FC ，则△BEF 的面积为（）． B ． ． D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=60度，AB=5cm，则下面结论正确的是（ ）35．（1997•山西）如图所示，▱ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AF ⊥BD 于F ，CE ⊥BD 于E ，则图中全等三角形的对数共有（ ）37．如图，已知平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 交于H ，BF ，AD 的延长线交于G ，给出下列结论：①DB=BE ；②∠A=∠BHE ；③AB=BH ，其中正确的结论个数有（ ）45．如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线BD上的一个动点（点P与点B、点D不重合），过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积始终相等的平行四边形有（）47．如图，▱ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（）48．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）51．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1•S4与S2•S3的大小关系为（）52．下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形54．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是▱”；②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；③AD∥BC，且AB∥CD；④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“▱ABDC”．55．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中全等的三角形有（）对．56．如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（）57．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点58．（2007•眉山）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）填空题59．如图，已知AB=CD，AD=CB，则∠ABC+∠BAD=_________度．60．若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分为2cm和3cm的两条线段，则该平行四边形的周长是_________．第3章《中心对称图形（一）》易错题集（05）：3.4平行四边形参考答案与试题解析选择题31．如图，在▱ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（）S×=，得到：×=，即三角形的另两边是x，y﹣x+y．B．．D．34．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60度，AB=5cm，则下面结论正确的是（）35．（1997•山西）如图所示，▱ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD于F，CE⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）x y那么得到不等式组，37．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH，其中正确的结论个数有（）BEDB=39．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）45．如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线BD上的一个动点（点P与点B、点D不重合），过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积始终相等的平行四边形有（）47．如图，▱ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（）48．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）51．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1•S4与S2•S3的大小关系为（）52．下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形54．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是▱”；②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；③AD∥BC，且AB∥CD；④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“▱ABDC”．55．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中全等的三角形有（）对．56．如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（）S=S=×57．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点58．（2007•眉山）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）填空题59．如图，已知AB=CD，AD=CB，则∠ABC+∠BAD=180度．60．若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分为2cm和3cm的两条线段，则该平行四边形的周长是14cm 或16cm．参与本试卷答题和审题的老师有：zhangCF；蓝月梦；Liuzhx；zhjh；心若在；lf2-9；mmll852；haoyujun；刘超；zhehe；zcx；lhf3-3；张超。

第03讲中心对称与中心对称图形【题型1中心对称图形】【题型2中心对称的性质】【题型3利用中心对称的性质-找对称中心】【题型4利用中心对称的性质-求边长长度】【题型5利用中心对称的性质-求点坐标】【题型6利用中心对称的性质-求面积】【题型7利用中心对称的性质-作图】考点：中心对称（两个图形）1.概念把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4.作图步骤：(1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。

(2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。

(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形5.中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

【题型1中心对称图形】【典例1】（2023秋•南沙区期末）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．【变式1-1】（2023秋•蒙城县校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、B、D中的图形不是中心对称图形，故A、B、D不符合题意；C中的图形是中心对称图形，故C符合题意．故选：C．【变式1-2】（2023秋•清河区校级期末）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；故选：D．【变式1-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．【题型2中心对称的性质】【典例2】（2022秋•浦北县期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A'是对称点B．BO＝B'OC．AB＝A'B'D．∠ACB＝∠C'A'B'【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，∴A，B，C正确，故选：D．【变式2-1】（2023春•内江期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结AB，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠C＝∠EC．AE＝CB D．S△ADE＝S△ADB【答案】B【解答】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，∴AD＝CD，BD＝ED，AE＝CB，∠E＝∠CBD，∵BD＝ED，＝S△ADE，∴S△ABD故选：B．【变式2-2】（2023春•泉港区期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连结AB、CD，以下结论错误的是（）A．OA＝OB B．△AOD≌△COBC．AD＝BC D．S△ACD＝S△BCD【答案】A【解答】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，∴△AOD≌△COB，故选项B正确；∴AD＝BC，故选项C正确；但不一定OA＝OB，故选项A不正确；∵△AOD≌△COB，＝S△BCO，∴S△AOD+S△COD＝S△BCD+S△COD，即S△ACD＝S△BCD，故选项D正确，∴S△AOD故选：A．【变式2-3】（2023秋•安新县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）△ADC和△EDB成中心对称；（2）已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是8．【答案】（1）△EDB；（2）8．【解答】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；△ADC和△EDB成中心对称，故答案为：△EDB；（2）由（1）得：△ADC和△EDB成中心对称，∴线段BD是△ABC的中线，＝S△ACD＝4，∴S△ABD∵D是△ABC边BC的中点，＝2S△EDB＝8，∴S△ABE故答案为：8．【题型3利用中心对称的性质-找对称中心】【典例3】（2023秋•张北县期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N【答案】C【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，故选：C．【变式3-1】（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】B【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．【变式3-2】（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．故选C．【题型4利用中心对称的性质-求边长长度】【典例4】（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（）A．3B．4C．5D．7【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝2，BD＝8，∴OC＝1，OB＝4，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，∴AO′＝AC+O′C＝3，∴AB′＝＝5．故选：C．【变式4-1】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（）A．4B．C．D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故选：A．【变式4-2】（2023秋•富县期末）如图，△ABC与△AB'C'关于点A对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长为4．【答案】4．【解答】解：如图，∵△ABC与△AB'C'关于点A对称，∴△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4，故答案为：4．【变式4-3】（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．【题型5利用中心对称的性质-求点坐标】【典例5】（2023秋•青岛月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，＝1，＝0，∴点P的坐标为（1，0）．设点C（x，y），∵A（3，3），∴＝1，＝0，∴x＝﹣1，y＝﹣3．∴C（﹣1，﹣3）．故选：B．【变式5-1】（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D （﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（3，2）D．（2，3）【答案】B【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），根据题意知：＝﹣1，＝0．解得a＝1，b＝2．即点A'的坐标是（1，2），故选：B．【变式5-2】（2022春•青州市期末）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，3），则点A'的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（﹣1，2）C．（2，﹣2）D．（2，﹣1）【答案】D【解答】解：设A′（m，n），∵AC＝CA′，A（﹣2，3），C（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝2，n＝﹣1，∴A′（2，﹣1），故选：D．【题型6利用中心对称的性质-求面积】【典例6】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为a，则阴影部分面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：S阴影＝S正方形＝，故答案为：．【变式6-1】（2022春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为15．【答案】15．【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，∴AB＝3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．故答案为：15．【变式6-2】（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为9．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．【变式6-3】（2023秋•东湖区期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA＝OB＝2米．求阴影部分的面积．【答案】8π平方米．【解答】解：因为观赏鱼池是中心对称，且OA＝OB＝2米，所以阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，所以阴影部分的面积为2×π×22＝8π（平方米），答：阴影部分的面积为8π平方米．【题型7利用中心对称的性质-作图】【典例7】（2023秋•浦北县期末）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．（1）找出它们的对称中心O；（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）15．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝5，BC＝EF＝4，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝6+5+4＝15；答：△DEF的周长为15．【变式7-1】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）求△A1B1C1的面积？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；（2）根据中心对称的性质可得S＝3×3﹣＝9﹣﹣1﹣3＝．【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；一．选择题（共10小题）1．（2023秋•江海区期末）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；故选：D．2．（2023秋•长海县期末）平面直角坐标系内与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解答】解：与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．故选：A．3．（2023秋•武汉期中）已知点A（a，2023）与点A′（2024，b）是关于原点O的对称点，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4047D．4047【答案】A【解答】解：∵点A（a，2023）与点A'（2024，b）是关于原点O的对称点，∴a＝﹣2024，b＝﹣2023，∴a﹣b＝﹣2024﹣（﹣2023）＝﹣1．故选：A．4．（2023秋•莱州市期末）下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称．故选：A．5．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC 绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC ＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．6．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（）A．2B．4C．8D．2【答案】B【解答】解：如图所示，连接O1B、O1C，∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴＝，，∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴阴影部分的面积和＝8＝S正方形ABCD＝16，∴S正方形ABCD∴正方形ABCD的边长＝＝4，故选：B．7．（2023秋•德城区期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C'B．∠BOC＝∠B'A'C'C．AB＝A'B'D．OA＝OA'【答案】B【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′，故A，C，D正确，故选：B．8．（2023秋•泽州县期中）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，点B到y轴的距离为4，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″，则点B″的坐标为（）A．（﹣8，﹣8）B．（﹣8，﹣9）C．（﹣9，﹣9）D．（﹣9，﹣8）【答案】D【解答】解：如图，作BC⊥y轴于点C，∵点B到y轴的距离为4，∴BC＝4，∴AC＝＝3，∴OC＝5+3＝8，∴点B的坐标为（4，8），∴点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），∴点B″的坐标为（﹣9，﹣8）．故选：D．9．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N【答案】C【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，故选：C．10．（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（）A．3B．4C．5D．7【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝2，BD＝8，∴OC＝1，OB＝4，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，∴AO′＝AC+O′C＝3，∴AB′＝＝5．故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为9．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．12．（2023春•青冈县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的＝5．高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC【答案】5．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2，＝S△ABC，∴CE＝BC，S△DEC∴，＝5，∴S△DEC故答案为：5．13．（2023•靖江市校级模拟）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）度．（写出一个即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．14．（2023秋•开平市期末）如图，△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知∠B ＝90°，AB＝1，∠C＝30°，则CC'的长为4．【答案】4．【解答】解：在Rt△ABC中，sin C＝，则，得AC＝2．又因为△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，所以AC′＝AC，且C，A，C′三点共线，所以CC′＝2AC＝4．故答案为：4．15．（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．16．（2023秋•二道区校级月考）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a，b），点N的坐标为（c，d），则a+c的值为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O 成中心对称，因为点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），所以a＝﹣3，c＝1，a+c＝﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．三．解答题（共3小题）17．（2023秋•新民市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是4；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为（﹣4，﹣3）；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）（﹣4，﹣3）；（3）（10，0）或（﹣6，0）．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；故答案为：4；（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；故答案为：（﹣4，﹣3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．18．（2023秋•荔湾区校级期中）如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵△AGB与△CGD关于点G中心对称，∴BG＝DG，AG＝CG，∵AE＝CF，∴AG﹣AE＝CG﹣CF，∴EG＝FG，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DGE≌△BGF（SAS），∴BF＝DE．19．（2022春•余江区期中）（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，求BE的长；（2）如图2，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，求证：∠B＝∠F．【答案】（1）BE的长为3；（2）见解析．【解答】（1）解：∵等边三角形ABC中，BD是AC边上的高，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ADB＝∠CDB＝90°，DB＝DB，∴△ADB≌△CDB（HL），∴AD＝CD＝AC＝AB＝1，∵CE＝CD，∴CE＝CD＝1，∴BE＝BC+CE＝3，∴BE的长为3；（2）证明：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，∴B、C、E在同一直线上，且△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠CED，∵AF//BE，∴∠F＝∠CED，∴∠B＝∠F．。

23．2.2中心对称图形1．认识中心对称图形的相关观点．2．能判断某图形是否是中心对称图形．3．体验数学与生活的密切联系，发展美感．一、情境导入你见过雪花吗？以下图是此中一种雪花，你以为它是中心对称图形吗？二、合作研究研究点一：中心对称图形【种类一】中心对称图形的辨别以下标记图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()分析：依据轴对称和中心对称的观点和性质逐个进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项 B 既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项 C 是轴对称图形，不是中心对称图形；选项 D 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．应选 B.方法总结：辨别中心对称图形的方法是依据观点，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自己重合，那么这个图形就是中心对称图形．【种类二】补全中心对称图形如图，网格中有一个四边形和两个三角形．(1)请你画出三个图形对于点 O的中心对称图形；(2)将 (1) 中画出的图形与原图形当作一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形起码旋转多少度能与自己重合？解： (1) 以下图；(2) 这个整体图形的对称轴有 4 条；此图形最少旋转90°能与自身重合．【种类三】利用中心对称图形的性质求面积如图，矩形ABCD的对角线 AC和 BD订交于点 O，过点 O的直线分别交A D和 BC于点 E、 F，AB＝2， BC＝3，试求图中暗影部分的面积．分析：因为矩形是中心对称图形，因此依题意可知△ BOF与△ DOE对于点O成中心对称，由此图中暗影部分的三个三角形就能够转变到直角△ ADC中，于是此面积即可求得．解：因为矩形 ABCD是中心对称图形，因此△ BOF与△ DOE对于点 O成中心对称，因此图中暗影部分的三个三角形就能够转变到直角△ADC中．又因为AB＝2，BC＝3，因此Rt△ ADC的面积为1× 3× 2＝3，即图中暗影部分的面积为 3. 2方法总结：利用中心对称的性质将暗影部分转变到一个直角三角形中来解决更简单．【种类四】中心对称性质的实质应用有一块长方形土地 ABCD，此中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包栽种蔬菜，若使两家获得的面积同样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法( 假定土地都同样好 ) ．剖析：已知整个图形是由一个长方形和一个圆构成，而这两个图形又都是中心对称图形，因此只需想法分别找出这两个图形的对称中心，并经过两此中心作一条直线，这条直线马上面积一分为二，问题随之解决．作法： (1) 随意作出已知圆的两条直径，交点为O；(2)连结 AC、 BD，交点为 O′；(3)过点 O、 O′作一条直线 l .如图②中所示直线 l 即为所分的印迹．三、板书设计教课过程中，重申学生自主研究和合作沟通，联合图形，多察看，多概括，领会认识中心对称图形的方法，认识中心对称图形的特点.课时提高作业 (十九 )中心对称(30分钟50 分)一、选择题1.在四边形以下 对于点( 每题 4 分,共 12 分)AB CD 中 ,AB ∥ CD,AB=2CD,ACO 成中心对称的一组三角形是 (交BD )于点O, 点E,F分别为AO,BO的中点,则A. △ ABO 与△ CDOB. △ AOD 与△ BOCC.△ CDO 与△ EFOD. △ ACD 与△ BCD【解题指南】解答此题所需要的知识点是 :(1) 三角形中位线的性 质 . (2) 全等三角形的判断定理 .(3) 中心 对称的观点 .【分析】选 C.∵点 E,F 分别为 AO,BO 的中点 , ∴ EF ∥ AB,AB =2EF. 又∵ AB=2CD, ∴ EF=CD; 又∵ AB ∥CD, ∴ EF ∥ CD,∴△ CDO ≌△ EFO,△ CDO 和△ EFO 对应点的连线都经过点O,而且被点 O 均分 ,即△ CDO 与△ EFO 对于点 O 成中心对称 .【变式训练】如图 ,△ ABO 与△ CDO 对于点 O 成中心对称 . 求证 :△ AOD ≌△ COB.【证明】∵△ ABO 与△ CDO 对于点 O 成中心对称 , ∴点 O 是 BD 和 AC 的中点 ,即 OA=OC,OB=OD, 又∵∠ AOD= ∠BOC, ∴△ AOD ≌△ COB(SAS). 2.(·泰安中考 ) 在以下图的单位正方形网格中 ,△ ABC 经过平移后获得△ A1B1C1, 已知在 AC 上一点 P(2.4,2) 平移后的对应点 P1,点 P1 绕点 O 逆时针旋转1 80° ,获得对应点 P2,则 P2 点的坐标为 ()A.(1.4,-1)B.(1.5,2)C.(1.6,1)D.(2.4,1)【分析】选 C.察看图象可得点 A 的坐标为 (2,4), 点 A1 的坐标为 (-2,1), 因此将△ ABC 左移 4 个单位、下移 3 个单位获得△ A1B1C1, 故 P(2.4,2) 平移后的对应点P1(2.4-4,2-3),即 (-1.6,-1), 由对于原点中心对称规律知点P1 绕点 O 逆时针旋转 180° ,获得对应点 P2(1.6,1).3.如图 ,假如甲、乙对于点O 成中心对称 ,则乙图中不切合题意的一块是()【分析】选二、填空题C.依据中心对称的观点(每题 4 分,共 12 分 ),经过察看能够发现不切合要求的是选项 C.]4.(曲靖中考 )如图 ,将△ ABC n3°后所获得的三角形和△绕此中一个极点顺时针连续ABC 的对称关系是旋转.n1° ,n2° ,【分析】依据三角形的内角和定理可得n1+n2+n3=180, 将△ ABC旋转 180°获得的图形和△ABC 对于这个点成中心对称.答案 :中心对称绕此中一个极点顺时针连续5.一次函数y =2x+6的图象和一次函数y=kx+b的图象对于原点对称, 则k=,b=.【分析】以下图 ,直线 y=2x+6 与坐标轴的交点是A(0,6 ),点 B(-3,0), 点 A 和点 B 对于原点的对称点分别为 A ′ (0,-6), 点B′ (3,0),即 A ′ (0,-6), 点B′ (3,0)都在直线y=kx+b的图象上,求得k=2,b=-6.答案 :2 -66.如图 ,已知 ?ABCD 的对角线 BD=4cm, 将 ?ABCD 绕 BD 的中点 O 旋转 180° ,则点 D 所转过的路径长为.【分析】点 D 所经过的路线正好是以BD 的长为直径的半圆答案 :2π三、解答题 (共 26 分 )7.(8 分 )如图 ,△ ABC 与△ A ′ B′ C′对于某一点成中心对称,即π× 4÷ 2=2π . ,画出对称中心.【分析】如图:O 点即为所求 .8.(8 分 )如图 ,在方格纸中 ,以格点连线为边的三角形叫格点三角形 ,请按要求达成以下操作 :先将格点△ ABC 向右平移 4 个单位获得△ A1B1C1, 再将△ A1B1C1 绕点 C1 旋转 1 80°获得△ A2B2C2.【分析】分别将点A,B,C 向右平移 4 个单位获得点A1,B1,C1, 连结A1B1,B1C1,A1C1, 获得△A1B1C1, 再分别将点 A1,B1,C1 绕点 C1 旋转 180°获得点 A2,B2,C2, 连结 A2B2,B2C2,A2C2, 获得△ A2B2C2, 如图 .【培优训练】 9.(10 分 )如图 ,在△ ABC 中,∠ A=90 ° ,D 为 BC 的中点 ,DE⊥ DF,DE 交 A B 于点E,DF 交 AC 于点 F,尝试究线段 BE,EF,FC 之间的数目关系 .【分析】 FC2+BE2=EF2, 原因以下 :∵D 为 BC 的中点 ,∴ BD=CD,作△ BDE 对于点 D 成中心对称的△CDG,由中心对称的性质可得△BDE ≌△ CDG,∴CG=BE, ∠ DCG= ∠ B,又∵∠ B+∠ ACB=90 ° ,∴∠ DCG+ ∠ ACB=90 ° ,即∠ FCG=90 ° ,∴ FC2+GC2=FG2,又由题意知FD 为 EG 的中垂线 ,∴ FG=EF,∴FC2+BE2=EF2.。

中心对称图形【本讲教育信息】一. 教学内容：第三章中心对称图形复习［学习目标]1. 理解中心对称和中心对称图形的定义。

2。

掌握几个特殊四边形之间的关系，以及它们的性质和判定。

3. 三角形和梯形中位线的概念和性质。

【模拟试题】一、选择(每题4分)1。

下列说法中，错误的是（）A. 关于某一点成中心对称的两个图形全等B. 圆是中心对称图形C. 全等的两个图形一定关于某一点成中心对称D. 线段是中心对称图形2。

下列各组中一个图形可以通过旋转得到另一个图形的是（）3。

下列条件不能识别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边平行且相等B。

两组对边分别相等C. 对角线互相平分D。

一组对边平行，另一组对边相等4. 平行四边形的一边长是12cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A. 5cm和7cmB. 20cm和30cmC. 8cm和16cm D。

6cm和10cm5。

顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是_________( )A 。

等腰梯形 B. 矩形C 。

平行四边形D 。

菱形或对角线互相垂直的四边形6。

如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的……………（ )A. 51B 。

41C. 31D.1037. 有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形;②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形;⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一个角为直角的四边形是矩形。

其中，正确的个数是（ ）A 。

2个B 。

3个C. 4个D. 5个8。

如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ＝5，D 是BC 上的点，DE ∥AB 交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是 ( ） A 。

第四章四边形性质探索4.8中心对称图形教学目标与要求：1、了解中心对称图形及其性质，掌握平行四边形的中心对称性。

2、进一步发展说理及简单推理能力二、学习指导1．中心对称的意义把一个图形围绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称．这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称．这两个图形的对应点叫作关于中心的对称点．2．中心对称的判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．3．中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合．那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4．中心对称与中心对称图形的区别和联系区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形．【重点难点解析】应注意重点掌握中心对称的如下性质：(1)定理1：关于中心对称的两个图形是全等形(即绕一点旋转能够重合)．(2)定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．A．重点、难点提示1．经历观察、发现、探索中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美体验；（数学的审美能力是一种重要的数学能力，要逐步体验，培养）2．了解中心对称图形及其基本性质；（这是重点，也是难点，要掌握好）3．掌握平行四边形是中心对称图形．B．考点指要中心对称图形和中心对称在现实生活中有着重要的应用，是平面几何的重要内容之一．很多问题从中心对称的角度去研究会有意想不到的收获．在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心．中心对称图形的基本性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．如果一个图形绕某个点旋转180°，与另一个图形重合，那么我们就称这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为它们的对称中心．中心对称图形和中心对称是两个不同的概念，它们之间既有联系，又有区别，还可以相互转化，容易将它们混淆．对它们的理解，可以像轴对称图形和轴对称的关系一样来理解：中心对称图形是一个图形本身具有对称特性，中心对称是两个图形之间的对称关系．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．（这些性质，你会证明吗？）中心对称和轴对称对照：三．典型例题例1：下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A．菱形B．矩形C．等边三角形D．圆解：本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握它们的区别．菱形既是轴对称图形（它的两条对角所在直线是对称轴），又是中心对称图形（对角线交点是对称中心）；矩形既是轴对称图形（两对对边中点所在直线是对称轴），又是中心对称图形（对角线交点是对称中心），等边三角形是轴对称图形（有三条对称轴），但不是中心对称图形；圆既是轴对称图形（过圆心的任何一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）．因此选C．（掌握好常见图形的对称性）例2：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个解：关键是理解中心对称图形和轴对称图形的意义．（注意（4）不是中心对称图形，旋转180°后不能与原图形重合）选C．例3：如图4-45，已知△ABC和点P．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点P对称．思路分析关键是分别作出点A、B、C的对称点A′、B′、C′．作法：1．连AP，并延长AP到点A′，使PA′=AP，A′为点A的对称点；2．用同样的方法作出点B的对称点B′，点C的对称点C′；3．顺次连结A′B′、B′C′、C′A′．A′B′C′就是所求的三角形，如图4-45所示．例4：如图4-46，四边形ABCD关于点O成中心对称图形．求证：四边形ABCD是平行四边形．思路分析因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点和C点，B点和D点是对称点，则线段AC 过点O，BD也过点O，且AC、BD都被点O平分，所以四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD关于点O成中心对称图形，∴AC、BD都过点O，且OA=OC，OB=OD，（中心对称的基本性质）∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）例5：如图4-47，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC和BD关于点O成中心对称，且点B、D关于AC成轴对称．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AC和BD关于点O成中心对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵点B、D关于AC成轴对称，∴AC⊥BD，（轴对称的基本性质）∴四边形ABCD是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评：中心对称和轴对称是两种不同的对称方式，应掌握好它们的区别和联系．【典型热点考题】例1 判断下列各图是否是中心对称图形?为什么?(1)平行四边形； (2)等边三角形； (3)线段．点悟：判定一个图形是否是中心对称图形，一般找几个关键的点(顶点)看能否在这个图形上找到它们关于某点的对称点．解：(1)平行四边形是中心对称图形，因为平行四边形对角线互相平分，所以相对的两个顶点都关于对角线交点对称．(2)等边三角形不是中心对称图形，因为它没有对称中心．(3)线段是中心对称图形，它关于它的中点对称．点拨：中心对称与中心对称图形不是一个概念，中心对称是指两个图形间特殊的位置关系．把其中一个图形绕对称点旋转180°后，如果它与另外一个图形能够完全重合，这两个图形关于这点成中心对称．而中心对称图形是对一个图形而言的，表明的是一个图形所具有的性质，把一个图形围绕着它的某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合，这个图形叫作中心对称图形．例2 如图4-43，四边形ABCD关于O点成中心对称图形，求证：四边形ABCD是平行四边形．点悟：因四边形ABCD是中心对称图形，所以A点和C点，B点和D点是对称点，则线段AC过O点，线段BD也过O点，且两线段都被O点平分，故四边形ABCD是平行四边形．解：连接AC、BD，∵四边形ABCD关于O点成中心对称图形．∴ O点在AC和BD上，且OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形．点拨：线段有两条对称轴，即线段的垂直平分线和线段所在的直线．巩固练习一、选择题1．下列图形中，是轴对称而不是中心对称的图形是 ( )(A)三角形 (B)等边三角形(C)线段 (D)平行四边形2．下列命题正确的是 ( )(A)如果△ABC和△A’B’C’关于中心对称，则△ABC≌△A’B’C’(B)如果△ABC≌△A’B’C’，则△ABC与△A’B’C’关于中心对称(C)如果四边形ABCD与四边形A’B’C’，关于轴对称，那么四边形ABCD与四边形A’B’C’D’关于中心对称(D)轴对称图形也是中心对称图形3．若线段AB与线段CD关于点O中心对称，则AB和CD的关系是 ( )(A)AB=CD (B)AB∥CD(C)ABCD (D)不确定4．在平行四边形、矩形、菱形、直角梯形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是 ( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)35．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．菱形（注意平行四边形不是轴对称图形，同学们易犯错误）6．在平面上一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是( )A．180°B．90°C．270°D．360°7．下列几组图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是( ) A．正方形、菱形、矩形、平行四边形B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、菱形、矩形D．平行四边形、正方形、等腰三角形8．下列命题正确的个数是( )①两个全等三角形必关于某一点中心对称②关于中心对称的两个三角形是全等三角形（注意比较命题①、②的真假）③两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称（没有说明被这一点平分）④关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题1．一个正方形绕它的中心至少旋转__________度才能和原来的图形重合．2．关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过________，并被_______平分．3．已知A、B、O三点不共线，A、A’关于O对称，B、B’关于O对称，那么线段AB与A’B’的关系________．4．线段是轴对称图形，它的对称轴是______________，线段也是中心对称图形，它的对称中心是_______________．5．关于某一点成中心对称的两个图形，它们的对称点的连线都经过____________，并且被____________平分．6．正方形是中心对称图形，对称中心是____________，正方形也是轴对称图形，对称轴是____________________．7．已知A、B、O三点不在同一直线上，A、A′关于点O对称，B、B′关于点O对称，那么线段AB与A′B′的关系是______________．三、解答题1．如图4-47，平行四边行ABCD中，AE⊥DC，CF⊥AD，M、N分别是AB、CD的中点．求证：MN与EF互相平分．2．如图4-48，已知∠ABC和点P．求作：∠A′B′C′，使∠A′B′C′与∠ABC关于点P对称．3．如图4-49，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，M、N分别是AB、DC的中点．求证：MN与EF互相平分．参考答案一、1．B； 2．A； 3．C； 4．C；5．D ； 6．A； 7．C； 8．B；二1．90°； 2．对称中心，对称中心；3．AB=A’B’。