高一数学两直线的交点坐标

高一数学直线的交点坐标与距离公式试题1.两平行直线L1,L2分别过A(1,0) 与 B(0,5)点，若L1与L2之间的距离为5，求这两直线的方程【答案】两直线方程为L1:y=0,L2y=5或L1:5x－12y－5=0 L2:5x－12y+60=0【解析】解：设L1:y=k(x－1)即kx－y－k=0则点B到L1的距离为=5∴k=0或k=L 1的方程为y=0或5x－12y－5=0 L2的方程为y=5或y=∴两直线方程为L1:y=0,L2y=5或L1:5x－12y－5=0 L2:5x－12y+60=02.两平行直线y=kx＋b1与y=kx+b2之间的距离是（）A．b1－b2B．C．D．【答案】B【解析】略3.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y-5=0B．3x+4y+5="0"C．3x+4y-5=0D．3x+4y-5=0【答案】B【解析】略4.坐标平面内一点到两个坐标轴和直线x+y=2的距离都相等，则该点的横坐标是( )A．B．1C．D．不确定【答案】D【解析】设该点坐标为。

因为该点到两个坐标轴的距离相等，所以该点在直线上。

若该点在直线上，则有，解得，此时该点横坐标为。

若该点在直线上，因为直线与直线平行且两直线距离为，所以该点到坐标轴距离为，从而可得高点坐标为或，此时该点横坐标为。

故选D5.已知直线L：Ax+By+C=0，（A，B不同时为0）。

若点（1，1）到L的距离为1，则A，B，C应满足的关系式是----------------------。

【答案】（A+B+C）2=A2+B2【解析】根据点到直线距离公式可得，整理可得6.的三个顶点坐标分别为A（2，6），B（-4，3）,C（2，-3）,则BC边上的高线的长为--------------。

【答案】【解析】所在直线的斜率为，则所在直线方程为，即。

而高经过点，所以边上的高线的长等于点到直线的距离7.点A（－2，3）与点B（－3，2）关于一条直线对称，则这条直线是（）A．x=0B．y="0"C．x－y=0D．x+y=0【答案】D【解析】AB中点坐标是AB斜率为所以所求直线方程为故选D8.已知A（1，2），B（-3，b）两点的距离等于4，则b=。

人教版高一数学必修一精选知识点总结5篇高一数学在整个高中数学中占有特别重要的地位,既是高一又是整个高中阶段的重难点,所以要保持良好的学习心态和正确的学习方法。

下面就是我给大家带来的人教版高一数学必修一学问点，盼望能关心到大家！人教版高一数学必修一学问点13.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特殊地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑴当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α肯定存在,但是斜率k不肯定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，假如它们平行，那么它们的斜率相等;反之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即留意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即假如k1=k2,那么肯定有L1⑴L22、两条直线都有斜率，假如它们相互垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们相互垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线经过点且斜率为2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点2、直线的截距式方程：已知直线3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x、y的二元一次方程(A，B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。

直线方程的交点坐标在平面几何中，直线是数学中常见的研究对象之一。

当我们有两条直线时，我们经常会遇到直线方程的交点坐标的求解问题。

本文将介绍如何通过直线的方程求解其交点的坐标。

直线的一般方程一条直线可以用一般方程表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是实数常数，且A和B不同时为0。

上述一般方程中的三个常数A、B、C确定了直线方程的属性。

求解直线的交点坐标当我们有两条直线的一般方程时，可以通过求解它们的交点坐标来获得它们的交点。

下面以两条直线的一般方程为例，说明如何求解它们的交点坐标。

步骤1：确定直线的一般方程首先，我们需要确定两条直线的一般方程。

假设我们有两条直线L1和L2，它们的一般方程分别为：L1：A1x + B1y + C1 = 0L2：A2x + B2y + C2 = 0步骤2：联立方程求解交点坐标接下来，我们需要联立两条直线的方程，求解它们的交点坐标。

为了方便计算，可以采用消元法或代入法来解决。

消元法：通过消元法，我们可以通过消除x或y的系数来简化方程。

下面以消去x的系数为例：1.通过将L1的方程乘以A2，并将L2的方程乘以A1，我们可以得到：A1A2x + B1A2y + C1A2 = 0A1A2x + B2A1y + C2A1 = 02.将上述两个方程相减，我们可以消除x的系数，得到：(B1A2 - B2A1)y + (C1A2 - C2A1) = 03.通过解上述方程，我们可以得到y的值。

4.将y的值代入L1或L2的方程中，可以得到相应的x值。

通过上述步骤，我们可以求解出交点的坐标（x，y）。

代入法：通过代入法，我们可以将L1或L2的方程中的一个变量表示成另一个变量的函数。

下面以将y表示为x的函数为例：1.将L1的方程中的y表示成x的函数，得到：y = (-A1x - C1) / B12.将y的函数表达式代入L2的方程中，得到：A2x + B2 * ((-A1x - C1) / B1) + C2 = 03.将上述方程整理，解得x的值。

高一数学复习考点知识讲解课件§1.4两条直线的交点考点知识1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．一、判断直线的交点及由交点求参数问题点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？提示在，点A是l1与l2的交点．知识梳理1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：方程组错误!的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．(2)两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有() A ．直线l 1：x －y ＋2＝0和l 2：2x ＋y －5＝0的交点坐标为(1,3) B ．直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：2x －4y ＋8＝0的交点坐标为(2,1) C ．直线l 1：2x ＋y ＋2＝0和l 2：y ＝－2x ＋3的交点坐标为(－2,2) D ．直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：y ＝x ，l 3：2x ＋y －3＝0两两相交 答案AD解析方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(1,3)，A 正确；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，2x －4y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合，B 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2，C 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y －3＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0的解也为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D 正确．(2)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．－24B ．24C ．6D ．±6 答案A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 2－363＋2k ，y ＝k ＋243＋2k，因为直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，所以y ＝k ＋243＋2k＝0，解得k ＝－24. 反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线． 延伸探究若将(1)中选项D 改为“三条直线mx ＋2y ＋7＝0，y ＝14－4x 和2x －3y ＝14相交于一点”，求m 的值．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14－4x ，2x －3y ＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以这两条直线的交点坐标为()4，－2.由题意知点()4，－2在直线mx ＋2y ＋7＝0上，将()4，－2代入，得4m ＋2×()－2＋7＝0，解得m ＝－34.跟踪训练1(1)直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点为() A.()4，3B.()－4，3 C.()－4，－3D.()4，－3 答案B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以交点为()－4，3.(2)若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与直线l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是() A ．k ＞－23B ．k ＜2C ．－23＜k ＜2D ．k ＜－23或k ＞2 答案C解析方法一由题意知，直线l 1过定点P (－1,2)，斜率为k ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)，B (0,4)，若直线l 1与l 2的交点在第一象限内，则l 1必过线段AB 上的点(不包括A ，B )，因为k P A ＝－23，k PB ＝2，所以－23＜k ＜2.方法二由直线l 1，l 2有交点，得k ≠－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k k ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2.又交点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－k k ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，解得－23＜k ＜2.二、求过两直线交点的直线例2求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．跟踪训练2求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程． 解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43， ∴直线l 的方程为y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.三、过两直线交点的直线系方程 知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 延伸探究1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？解由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，所求直线与x ＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0. 反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标．解∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3. ∴点P 的坐标为(7,3)．1．知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系． (2)两条直线的交点． (3)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．直线2x ＋y ＋8＝0和直线x ＋y －1＝0的交点坐标是() A ．(－9，－10) B ．(－9,10)C ．(9,10)D ．(9，－10) 答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋8＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝10，故两条直线的交点坐标为(－9,10)．2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点() A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1) 答案C解析直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1， ∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．不论a 取何值时，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过第____象限． 答案四解析方程可化为a (x ＋2y )＋(－3x ＋6)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，－3x ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________.答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12. 课时对点练1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为()A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为()A ．12B ．10C ．－8D ．－6答案B解析∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)．∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5，∴m ＋n ＝10.3．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是()A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案C解析因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6. 4．△ABC 的三个顶点分别为A (0,3)，B (3,3)，C (2,0)，如果直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，那么实数a 的值等于() A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案A解析l AC ：x 2＋y 3＝1，即3x ＋2y －6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －6＝0，x ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝6－3a 2，因为S △ABC ＝92，所以12×a ×⎝⎛⎭⎪⎫3－6－3a 2＝94，得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 5．过直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为()A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －2y ＝0D ．x ＋2y ＝0答案D解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得两条直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点坐标为(－2,1)．所以过点P (－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k ＝－12.所以所求直线方程为y －0＝－12(x －0)，即x ＋2y ＝0.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是()A ．{θ|0°<θ<60°}B ．{θ|30°<θ<60°}C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案C解析由题意可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ， ∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33，∴30°<θ<90°.7．直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0及y 轴所围成的三角形的面积为________． 答案9解析易知三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为12×9×2＝9.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案－2解析由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5.又点(1，m )在直线上，所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1127，－1327. 又因为所求直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1127， 即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1， ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16. 则k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16.11．已知a ，b 满足2a ＋b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13 答案D解析由2a ＋b ＝1，得b ＝1－2a ，代入直线方程ax ＋3y ＋b ＝0中，得ax ＋3y ＋1－2a ＝0，即a (x －2)＋3y ＋1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，3y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－13，所以该直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13. 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ， 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ， 得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若三条直线2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则2m ＋4n ＝______. 答案 －5解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以三条直线交点坐标()2，4在直线mx ＋ny ＋5＝0上，2m ＋4n ＋5＝0，所以2m ＋4n ＝－5.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图所示，直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥2＋24－0＝1，即a≥1.当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤4＋2－2－0＝－3，即a≤－3.综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为()A．y＝2x＋4B．y＝12x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0 答案C解析设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)． 同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。

两条直线的交点坐标课题改正与创新（1 课时）1.掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系，并且会经过直线方程系数判断解的状况，培育学生建立辩证一致的看法.2.当两条直线订交时，会求交点坐标. 培育学生思想的谨慎性，注意学生教课语言表述能力的训练.目标 3. 学生经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转化能力 .4.以“特别”到“一般”，培育学生探究事物实质属性的精神，以及运动变化的互相联系的看法 .教课教课要点 : 依据直线的方程判断两直线的地点关系和已知两订交直线求交重、点 .难点教课难点 : 对方程组系数的分类议论与两直线地点关系对应状况的理解.教课多媒体课件准备导入新课作出直角坐标系中两条直线，挪动此中一条直线，让学生察看这两条直线的地点关系 .讲堂设问：由直线方程的看法，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那假如两直线订交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关教课过系？你能求出它们的交点坐标吗？谈谈你的见解.程提出问题①已知两直线 l :A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0, 如何判断这两条直线的关1 1 1 12 2 2 2系？②假如两条直线订交，如何求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解以下方程组( 由学生达成 ) ：3x 4 y 2 0, 2x 6 y 3 0,( ⅱ) 1 1 ; ( ⅰ)y 2;2 x 0 y x232x6 y 0,( ⅲ)1 1.yx23如何依据两直线的方程系数之间的关系来判断两直线的地点关系？ ④当 λ 变化时，方程 3x+4y-2+ λ(2x+y+2)=0 表示什么图形，图形有什么特色？求出图形的交点坐标 .议论结果： ①教师指引学生先从点与直线的地点关系下手，看下表，并填空 .几何元素及关系代数表示点AA(a ， b)直线ll ：Ax+By+C=0点 A 在直线上直线 l 1 与 l 2 的交点 A②学生进行分组议论，教师指引学生概括出两直线能否订交与其方程所组成的方程组的关系 .设两条直线的方程是 l 1:A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0,1112222假如这两条直线订交, 因为交点同时在这两条直线上, 交点的坐标必定是这两个方程的独一公共解 , 那么以这个解为坐标的点必是直线l 1 和 l 2 的交点 , 所以 , 两条直线能否有交点, 就要看这两条直线方程所构成的方程组A 1 xB 1 yC 10,能否有独一解 .A 2 xB 2 yC 2 0( ⅰ) 若二元一次方程组有独一解，则 l 1 与 l 2 订交 ;( ⅱ) 若二元一次方程组无解，则l 1 与 l 2 平行 ;( ⅲ) 若二元一次方程组有无数解，则l 1 与 l 2 重合 . 即独一解l 1、l 订交,转变2直线 l、 l 联立得方程组 无量多解l 1、l 2重合 ,1 2无解l 1、l 平行.2( 代数问题 ) ( 几何问题 )③指引学生察看三组方程对应系数比的特色：(ⅰ)3≠4;( ⅱ)263;( ⅲ)2 6≠1.2 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2一般地，关于直线l 1:A 1x+B1y+C1=0， l 2:A 2x+B2y+C2=0(A 1B1C1≠0,A 2B2C2≠0), 有独一解A1 B1l1 l2订交 , A2 B2方程组A1 x B1 y C1 0 A1 B1 C1l1 l2重合 ,. A2 x B2 y C2无量多解A2 B2 C2无解A1 B1 C1l1 l2平行 .A2 B2 C2注意： (a) 此关系不要修业生作详尽的推导, 因为过程比较繁琐，重在应用 .(b)假如 A1 ,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的状况，方程比较简单，两条直线的地点关系很简单确立 .④(a) 能够用信息技术，当λ 取不一样值时，经过各样图形，经过察看，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特色是经过同一点.(b) 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c) 结论：方程表示经过这两条直线l 1与 l 2的交点的直线的会合.应用示例例 1求以下两直线的交点坐标,l 1： 3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.3x y 2 0, 解 : 解方程组y 2 得 x=-2 ， y=2，所以 l 1与 l 2的交点坐标为2x 0,M(-2 ， 2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 .l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解 : 解方程组 x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得 x=2,y=2, 所以 l 1与 l 2的交点是 (2,2).设经过原点的直线方程为y=kx, 把点 (2,2) 的坐标代入以上方程, 得 k=1, 所以所求直线方程为 y=x.评论 : 本题为求直线交点与求直线方程的综合运用, 求解直线方程也可应用两点式 .例 2判断以下各对直线的地点关系. 假如订交，求出交点坐标 .(1)l ： x-y=0 ， l ： 3x+3y-10=0.12(2)l 1： 3x-y+4=0 ， l 2： 6x-2y-1=0.(3)l 1： 3x+4y-5=0 ，l 2： 6x+8y-10=0.活动： 教师让学生自己着手解方程组，看解题能否规范，条理能否清楚，表达能否简短，而后再进行讲评.x y 0,x 5 ,解: (1)得 3 解方程组3y 10 0, 53xy.3所以 l 1 与 l 2 订交 , 交点是 (5, 5).333x y 4 0,(1) (2) 解方程组6x 2 y 10,(2)①×2- ②得 9=0, 矛盾 ,方程组无解 , 所以两直线无公共点 ,l 1∥l 2.3x 4 y 5 0,(1) (3) 解方程组8 y 100,(2)6 x①×2 得 6x+8y-10=0.所以 , ①和②能够化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线 ,l 1 与 l 2 重合 .变式训练判断以下各对直线的地点关系，若订交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3 - 2 )x+y=7,l 2:x+(3 + 2 )y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案： (1) 重合， (2) 平行， (3) 订交，交点坐标为 (2 ，－ 1).例 3 求过点 A(1 ，－ 4) 且与直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 平行的直线方程 . 解法一： ∵直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 的斜率为 - 2，∴所求直线斜率为- 2.又直3 3线过点 A(1 ，－ 4) ，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋ 3y ＋10=0.解法二： 设与直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 平行的直线 l 的方程为 2x ＋ 3y ＋m=0，∵l 经过点 A(1 ，－ 4),∴2×1＋3×( － 4) ＋ m=0.解之 , 得 m=10.∴所求直线方程为 2x ＋ 3y ＋ 10=0.评论： 解法一求直线方程的方法是通法，须掌握. 解法二是经常采纳的解题技巧 . 一般地，直线 Ax ＋ By ＋ C=0 中系数 A 、 B 确立直线的斜率 . 所以， 与直线 Ax ＋By ＋ C=0 平行的直线方程可设为Ax ＋ By ＋m=0，此中 m 待定 .经过点 A(x ，y ) ，且与直线 Ax ＋ By ＋ C=0平行的直线方程为 A(x － x ) ＋B(y－ y 0)=0. 变式训练求与直线 2x ＋3y ＋ 5=0 平行，且在两坐标轴上截距之和为5的直线方6程 .答案： 2x+3y-1=0. 知能训练课本本节练习 1、2. 拓展提高问题： 已知 a 为实数， 两直线 l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0 订交于一点， 求证 :交点不行能在第一象限及x 轴上 .剖析： 先经过联立方程组将交点坐标解出， 再判绝交点横、 纵坐标的范围 .ax y 1 0, xa 1 , 21＞ 0，则 a ＞ 1.解 : 解方程组, 得a 1 . 若 ax y a 0a 2a1y1.a1当 a ＞ 1 时，－a 1＜ 0，此时交点在第二象限内 .a 122a1又因为 a 为随意实数时，都有a +1≥1＞ 0，故≠0.因为 a ≠1( 不然两直线平行，无交点 ) ，所以交点不行能在x 轴上，交点 ( －a1 , a 21) 不在 x 轴上 .a 1 a 1讲堂小结本节课经过议论两直线方程联立方程组来研究两直线的地点关系，得出了方程系数比的关系与直线地点关系的联系. 培育了同学们的数形联合思想、分类议论思想和转变思想 . 经过本节学习，要修业生掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系，而且会经过直线方程系数判断解的状况，培育学生建立辩证一致的看法 . 当两条直线订交时，会求交点坐标 . 注意语言表述能力的训练 . 经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转变能力. 以“特别”到“一般”，培养探究事物实质属性的精神，以及运动变化的互相联系的看法.作业课本习题 3.3 A 组 1、 2、3, 选做 4 题 .板书设计教课反思。

第1课时两条直线的交点坐标、两点间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝x2－x 12＋y2－y 12.2．归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标①求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．②应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：的解(2)|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12[问题思考]两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：[思考1] 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．[思考2] 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．[思考3] 两条直线相交的条件是什么？ 名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.讲一讲1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．(链接教材P 103－例2)[尝试解答] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． (2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．练一练1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2. 2．(2016·潍坊高一检测)求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1，故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二：设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )， 即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.观察下面图形：图1图2[思考1] 如何求图1中A 、B 两点间的距离？ 提示：|AB |＝|x A －x B |.[思考2] 图2中能否用数轴上两点A ，B 间距离求出任意两点间距离？ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [思考3] 怎样理解两点间的距离公式？ 名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22，利用此公式可以将几何问题代数化．(2)当直线P 1P 2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：①直线P 1P 2平行于x 轴时|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；②直线P 1P 2平行于y 轴时|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.讲一讲2．已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状． [尝试解答] 法一：∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC ＝7－11－－＝32，k AB ＝－3－13－－＝－23， 则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝＋2＋－2＝213， |AB |＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形．1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 练一练3．保持讲2条件不变，求BC 边上的中线AM 的长．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝－3－2＋－2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.讲一讲3．如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．[思路点拨] 先求出原点关于l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[尝试解答] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8， ∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－AB ≠0，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )； ②B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )； ③C (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为C ′(b ，a )； ④D (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为D ′(－b ，－a )； ⑤P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )；⑥Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )． 练一练3．求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点坐标．解：设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，则有AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0.解得a ＝1，b ＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1. (2)计算两点间距离的方法，见讲2. (3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－2＋－2＝42，|CB |＝－2＋－2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10 解析：选C |AB |＝＋2＋32＝32，|BC |＝＋12＋0＝3，|AC |＝－2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 58．求证：等腰梯形的对角线相等．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系． 设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0，即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1. 答案：－13或－1 5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2. ∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝x －2＋－2 ＋x －2＋－2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝－2＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。

一、选择题1．直线3x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．垂直[答案] A[解析] A 1B 2－A 2B 1＝3×1－1×(－1)＝3＋1≠0，又A 1A 2＋B 1B 2＝3×1＋(－1)×1＝3－1≠0，则这两条直线相交，但不垂直．2．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)[答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即交点坐标是(－1，－2)． 3．直线ax ＋3y －5＝0经过点(2,1)，则a 的值等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[答案] B[解析] 由题意得2a ＋3－5＝0，解得a ＝1.4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B.5．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)[答案] C[解析] 方程可化为y －1＝k (x －3)，即直线都通过定点(3,1)． 6．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(－2，－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2，－1) [答案] C[解析] 将A 、B 、C 、D 四个选项代入x －y ＋1＝0否定A 、B ，又MN 与x ＋2y －3＝0垂直，否定D ，故选C.7．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0 [答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．∵所求直线与3x ＋y －1＝0垂直， ∴所求直线斜率k ＝13，∴y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.8．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4[答案] B[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20. 二、填空题9．过原点和直线l 1：x －3y ＋4＝0与l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点的直线的方程为________．[答案] 3x ＋19y ＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得交点坐标(－197，37)， ∴所求方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.10．在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x ＋5y －3＝0和x ＋y －1＝0，AB 边所在直线的方程是x ＋3y －1＝0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ________；B ________；C ________.[答案] (－2,1) (1,0) (2,5)[解析] 高线AD 与边AB 的交点即为顶点A ，高线BE 与边AB 的交点即为顶点B ，顶点C 通过垂直关系进行求解．11．两条直线x ＋my ＋12＝0,2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值是________．[答案] ±6[解析] 设交点坐标为(0，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mb ＋12＝0，3b ＋m ＝0，解得m ＝±6.12．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．[答案] 2x ＋3y ＝1[解析] 由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1. 三、解答题13．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x －y ＋3＝0，l 2：x ＋2y －1＝0； (2)l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：6x ＋8y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋3＝0，x ＋2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1,1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋2＝0， ①6x ＋8y ＋3＝0， ②①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0， ①2x －2y ＋2＝0， ②①×2得2x －2y ＋2＝0.因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以直线l 1与l 2重合．14．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围．[分析] 解方程组得交点坐标，再根据点M 在第四象限列出不等式组，解得m 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13.∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)． ∵交点M 在第四象限，∴⎩⎨⎧m ＋13>0，8m －13<0，解得－1<m <18.∴m 的取值范围是(－1，18)．15．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．[解析] 解法1：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1， 即x ＋4y －4＝0.解法2：设所求直线l 方程为： y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0⇒N (73k －1，10k －13k －1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0⇒M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0⇒∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解法3：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，P (0,1)为MN 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得：2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝02x 1＋y 1＋6＝0⇒M (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 解法4：同解法1，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝02x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1) 考察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0.16．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．[分析] 题目所给的直线方程的系数中含有字母m ，给定m 一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程，要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．另一思路是：由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．[解析] 证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m －2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 取什么实数，所给直线都经过定点(2，－3)． 证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.因为m 可以取任意实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数所给的直线都经过定点(2，－3)． 规律总结：(1)分别令参数取两个特殊值得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．(2)直线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．。

人教A版2007必修2高一上学期《两条直线的交点》教学设计教学设计教学目标：（一）知识与技能1．会求两条直线的交点坐标；2．理解两直线的位置关系与方程组的解之间的关系；3．理解过两条直线交点的直线系方程，理解直线系方程并能初步应用。

（二）过程与方法1.通过求两条直线的交点，体会坐标法思想的应用；2. 通过过两条直线交点的直线系方程的探究，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；3.充分利用情景教学、合作探究、讲练结合的方法，实现知识形成与技能提升。

（三）情感态度与价值观1. 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题；2．让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；3．感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣。

教学重点：求两条直线的交点坐标。

教学难点：理解过两条直线交点的直线系方程。

教学方法：复习回顾法、合作探究法、合作交流法、讲练结合法。

教学过程（一）复习回顾、推陈出新问题1、初中平面几何中介绍过两条直线的位置关系，它们是什么？高中解析几何也研究两条直线的位置关系？研究方法有何不同？【师生活动】教师通过设置合理的问题，学生回顾旧知，联系新知。

【设计意图】从初中平面几何中两条直线的位置关系这个熟悉的问题入手，让学生边回答边回忆，逐步唤起学生对旧知的回顾，通过比较设问，让学生关注解析几何研究问题的方法和侧重点的不同之处。

【时间预设】1分钟问题2、解析几何将几何问题代数化，首先要做的是将几何元素及关系进行代数表示，那么点和直线我们是如何表示的？请完成下表：【师生活动】教师通过引导，让学生填空及回答问题。

【设计意图】 让学生填空及回答问题，体会坐标法思想，激发学习兴趣。

【时间预设】1分钟问题三、一般地，若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，如何求其交点坐标？【师生活动】教师通过引导，让学生继续填空及回答问题。

两直线交点坐标公式英文回答：To find the coordinates of the intersection point oftwo lines, we can use the concept of simultaneous equations. In order to solve for the point of intersection, we need to have the equations of both lines.Let's consider two lines: Line 1 with equation y = m1x+ c1 and Line 2 with equation y = m2x + c2. Here, m1 and m2 represent the slopes of the two lines, while c1 and c2 represent the y-intercepts.To find the point of intersection, we need to solve the system of equations formed by equating the two equations:m1x + c1 = m2x + c2。

We can rearrange this equation to solve for x:(m1 m2)x = c2 c1。

Then, we can solve for x:x = (c2 c1) / (m1 m2)。

Once we have the value of x, we can substitute it back into either of the original equations to find the corresponding y-coordinate. Let's say we use Line 1:y = m1x + c1。

§ 3.1两条直线的交点坐标12.体会判断两直线相交中的数形结合思想.五、预习与自学（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？应用：可以利用两直线的 个数判断两直线的位置关系： （1）若二元一次方程组有一个解，则1l 与2l 。

（2）若二元一次方程组无解，则1l 与2l 。

（3）若二元一次方程组有无数个解，则1l 与2l 。

探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？求法：用代数法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的 就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可。

尝试：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. ⑴1:20l x y -=，2:34100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:6210l x y -+=； ⑶1:3460l x y +-=，2:68120l x y +-=.§ 3.3.1两条直线的交点坐标1.一、当堂检测：1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ）. A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与n 的值有关3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点?二、综合提高 例1、求经过两直线2310x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2310x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例2、当λ变化时，方程 3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出这些图形的交点坐标。

3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离一、基础达标1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则|AC||CB|的值为()A.13 B.12C．3 D．2 答案 D解析由两点间的距离公式，得|AC|＝[3－(－1)2]＋(4－0)2＝42，|CB|＝(3－5)2＋(4－6)2＝22，故|AC||CB|＝4222＝2.2．(2014·曲靖高一检测)两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为()A．－24 B．6C．±6 D．24答案 C解析在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝k3，将⎝⎛⎭⎪⎫0，k3代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案 B解析∵|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝32，∴三角形为等腰三角形．故选B.4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互为垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p 为 ( )A ．24B ．20C ．0D ．－4答案 B解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎨⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎨⎧p ＝－2，n ＝－12. ∴m －n ＋p ＝20.5．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 答案 1或－5解析 由题意得(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， 解得a ＝1或a ＝－5.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.7．在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2,0)的距离相等．解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组 ⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，(x －1)2＋(y ＋1)2＝(x －2)2＋y 2， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0,1)．法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧ 3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1， 所以所求的点为P (0,1)． 二、能力提升8．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )A.895B.175C.135D.115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.9．直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是 ( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2答案 B解析 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－12.10．若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________． 答案 22解析 由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22.11．(1)求过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程．(2)求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解 (1)法一 由⎩⎨⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4，即交点为(－1,4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直， ∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式得y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.法二 设所求的方程为3x ＋y －1＋λ(x ＋2y －7)＝0， 即(3＋λ)x ＋(1＋2λ)y －(1＋7λ)＝0， 由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，∴λ＝－2，代入所设方程得x －3y ＋13＝0. (2)设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0， 即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0. 令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ； 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0. 三、探究与创新12．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解 原式可化为 y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋ (x －0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)， 使得|P A |＋|PB |最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)， 由图可直观得出|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |， 故|P A |＋|PB |的最小值为|A ′B |的长度． 由两点间的距离公式可得 |A ′B |＝(4－0)2＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (4,0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？ 解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值． 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为 6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎨⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝(3－4)2＋(6－0)2 ＝37.。

人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》一. 教材分析《3.3.1两条直线的交点坐标》这一节内容，主要让学生了解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。

教材通过实例分析，引导学生探究并总结两条直线交点的性质，从而加深对坐标系中直线交点的理解。

二. 学情分析高一学生已经具备了一定的函数知识，对直线方程、坐标系等概念有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，仍可能对直线交点的求解方法感到困惑。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探索并掌握求解直线交点坐标的方法。

三. 教学目标1.理解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。

2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。

3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：两条直线的交点坐标的概念及求解方法。

2.难点：如何引导学生发现并总结两条直线交点的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例分析，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：教师提问，引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：分组讨论，鼓励学生相互交流，提高学生的合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的实例问题，用于引导学生观察和思考。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的实际问题，如平面直角坐标系中两条直线的交点问题。

引导学生关注问题，激发学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示两条直线的交点坐标实例，引导学生观察并描述两条直线的交点特征。

教师通过提问，引导学生思考并总结两条直线交点的性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试求解两条直线的交点坐标。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师出示一组练习题，学生独立完成，检验自己对直线交点坐标的理解和掌握程度。

高一数学复习考点知识专题讲解两条直线的交点坐标学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．知识点 两条直线的交点 1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 .(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( √ ) 2．无论m 为何值，x －y ＋1＝0与x －2my ＋3＝0必相交．( × ) 3．若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × )4．在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．( √ )一、求相交直线的交点坐标例1 (1)求经过点(2,3)且经过直线l 1：x ＋3y －4＝0与l 2：5x ＋2y ＋6＝0的交点的直线方程； (2)求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(－2,2)．由两点式可得所求直线的方程为y －32－3＝x －2－2－2，即x －4y ＋10＝0.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，因为所求直线和直线3x ＋y －1＝0垂直， 所以所求直线的斜率k ＝13，所以有y －⎝⎛⎭⎫－75＝13⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－35， 即所求的直线方程为5x －15y －18＝0. 反思感悟 求两相交直线的交点坐标．(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．跟踪训练1 (1)已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，13B.⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫1，13D.⎝⎛⎭⎫－1，－13 答案 B(2)经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 答案 A二、直线系过定点问题例2 无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标． 解 ∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3. ∴点P 的坐标为(7,3)．反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y－y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练2 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限． 证明 将直线方程整理为a (3x －y )＋(－x ＋2y －1)＝0. 因为直线3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫15，35， 即直线系恒过第一象限内的定点⎝⎛⎭⎫15，35， 所以无论a 为何值，直线总经过第一象限．对称问题典例 光线通过点A (2,3)，在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．解 设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A ′(－4，－3)．由于反射光线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝⎛⎭⎫－23，－13. 所以入射光线所在直线的方程为 y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.[素养提升]对称问题中的直观想象与数学运算(1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系．(2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2) 答案 B2．直线2x ＋y ＋1＝0与直线x －y ＋2＝0的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴交点(－1,1)在第二象限．故选B.3．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点( ) A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1) 答案 C解析 直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为______________． 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________. 答案 －12又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上， ∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12.1．知识清单： (1)两条直线的交点． (2)直线过定点．2．方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法．3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，得交点坐标为(1,2)，故选C.2．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3) D ．(3,4) 答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.故选C. 3．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37.故过点⎝⎛⎭⎫－197，37 和原点的直线方程为y ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.4．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．24 答案 C解析 因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6.5．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，这个定点是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，－12D ．(－2,0) 答案 B解析 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，直线过定点(－2,3)． 6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________． 答案 3x ＋y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.7．三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10,2x －y ＝10相交于一点，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，又点(4，－2)在直线ax ＋2y ＋8＝0上， 所以4a ＋2×(－2)＋8＝0，解得a ＝－1.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，c ＝________，m ＝________. 答案 5 －12 －2解析 由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5. 又点(1，m )在直线上得 a ＋2m －1＝0,2－5m ＋c ＝0， 所以m ＝－2，c ＝－12.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327. 又因为直线斜率为k ＝－12，所以，所求直线方程为y ＋1327＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫x ＋1127，即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解 联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1，∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎨⎧－12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16.则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，－16.11．直线kx ＋y ＋1＝2k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(2，－1) B ．(－2，－1) C ．(2,1) D ．(－2,1) 答案 A解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )， 故该直线恒过定点(2，－1)．12．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2 答案 D解析 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知a ＝1. (2)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1(舍去)或a ＝－2. (3)若l 1∥l 2，由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1，当a ＝1时，l 1与l 2重合． (4)若l 2∥l 3，由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合． (5)若l 1∥l 3，由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.13．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b ，得b ＝2.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图所示，直线l ：ax －y －2＝0经过定点D (0，－2)，a 表示直线l 的斜率， 设线段AB 与y 轴交于点C ，由图形知，当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段CB 上时， a 大于或等于DB 的斜率，即a ≥2＋24－0＝1，即a ≥1.当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段AC 上时，a 小于或等于DA 的斜率，即a ≤4＋2－2－0＝－3，即a ≤－3. 综上，a 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．又B ′在直线AC 上， 则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0. 16．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解 方法一设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋2－y 0－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为y ＝－14x ＋1， 即所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 方法二 由题易知，直线l 的斜率存在，设所求直线l 方程为y ＝kx ＋1，l 与l 1，l 2分别交于A ，B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝73k －1，y ＝10k －13k －1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7k ＋2，y ＝8k ＋2k ＋2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2， ∵A ，B 的中点为P (0,1)，则有12⎝⎛⎭⎫73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.方法三 设所求直线l 与l 1，l 2分别交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1， 代入l 2的方程得2(－x 1)＋2－y 1－8＝0，即2x 1＋y 1＋6＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝2， 所以A (－4,2)，由两点式可得所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

高一数学横纵坐标知识点在高中数学课程中，横纵坐标是非常重要的知识点。

它是我们进行二维平面几何图形绘制以及解决问题的基础。

在本文中，我们将探讨横纵坐标的相关概念、计算方法以及在解决实际问题中的应用。

一、横纵坐标的定义和表示方法横纵坐标是用来表示平面上一个点的工具。

在直角坐标系中，我们将平面分为横轴和纵轴两个互相垂直的直线。

横轴通常被称为x轴，纵轴通常被称为y轴。

这两个轴的交点被称为坐标原点，通常记作O。

对于平面上的任意一个点P，我们可以使用两个数值来表示它的位置。

将点P在x轴上的投影距离记作x坐标，点P在y轴上的投影距离记作y坐标。

将这两个数值按照一定的顺序排列，组成一个有序数对，我们就可以唯一地表示点P在平面上的位置。

例如，对于平面上的点P(2, 3)，它的横坐标为2，纵坐标为3。

这个有序数对(2, 3)就是点P的坐标。

二、坐标系的建立和平移在解决实际问题时，我们需要建立适合问题的坐标系。

为了简化计算和理解，我们通常选择原点与目标对象有关系的位置作为坐标系的建立位置。

如果我们需要讨论一个二维图形在平面上的位置和形状，我们可以在纸上或者数学软件上建立一个直角坐标系。

根据问题的需要，我们可以选择适当的坐标轴单位，例如1单位代表1米或1厘米等。

当我们的目标对象在平移时，它的坐标也相应地发生改变。

平移就是将一个对象沿着平面上的某个方向移动一段距离。

在平移过程中，所有点的横纵坐标都分别增加或减少同样的值。

这个值称为平移的位移量。

考虑一个例子，我们有一个点P(2, 3)在平移后的位置为P'(4, 7)。

那么我们可以得到P'相对于P在横轴和纵轴上的位移量分别为2和4。

这意味着在平移过程中，点在x轴的坐标增加了2，而在y轴的坐标增加了4。

三、图形的对称性在数学中，对称性是一个重要的概念。

一个图形在平面上具有对称性意味着它关于某个轴或某个点保持不变。

在实际问题中，我们经常需要通过观察图形的对称性来解决问题。