对尺规作图不能问题的再探求

发挥直观想象，发展推理意识——小学尺规作图教学的思考与实践摘要：数学领域的研究过程离不开工具的辅助和应用。

尺规作图源于古希腊,是研究数学几何的一种尤为重要的方法,小学阶段的学生没有太强的逻辑思维能力,在学习数学知识时难以在没有外部工具辅助的情况下通过想象构建具体的图形与模型。

在此阶段采用尺规作图法,既可以帮助小学生更加直观地感受和理解课本知识,也可以在锻炼小学生的实际动手操作能力时促进小学生逻辑思维的形成,为他们日后的数学学习奠定基础。

关键词：小学数学；尺规作图；教学策略；引言：根据规定的《义务教育数学课程标准(2022年版)》,几何直观意旨使用图形来处理题目。

正确使用几何直观能够助力学生理解数学,尤其是抽象数学,并可以通过简化复杂的数学问题来帮助提高学生解决问题的能力。

在教学实践中,通常很难将几何直观和几何思维结合起来。

几何直观侧重于视觉化,几何思维侧重于严格的逻辑。

在很多教师眼里,"尺规作图"往往被看作是实际练习和操作的工具,而轻视了作图中的几何思维。

一、小学数学教学引入尺规作图的价值（一）培养学生的动手操作能力动手操作是数学学习过程中必不可少的环节,数学课程中所有已知的公式和定理都是通过历史上许多数学家反复实验和验证后才被整理和总结出来的。

小学生的年龄小,思维能力处在培养和发展的阶段。

呈现在教材上的知识点大都语言简练,虽然便于学生记忆,但在理解上通常会存在一些困难,往往需要通过更加直观的观察和实际的动手操作展开思考[1]。

（二）尺规作图能够培养学生分析问题的习惯采用尺规作图的方法,要求学生在分析问题时既促使学生有一定的几何直观,还培养学生解决问题的思维模式,如对解答某一问题时,正确理解每一个步骤是很重要的。

比如几何图形的概念、分树形相关关系的推导等,应用尺规作图能够有效解决问题,培养学生的分析思考问题的习惯以及解决复杂问题的水平,也可以增强学生的创新思维能力。

二、小学数学教学中尺规作图的教学策略（一）将问题的提出和解决融入实际教学过程小学生在学习过程中最大的问题就是缺乏主动性,需要教师在课前提出指导、课时抛出问题、课后解决问题,让学生能够跟着老师的思路开展思考和归纳总结。

尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。

这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：■三等分角问题：三等分一个任意角；■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。

1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

【尺规作图不能问题的另类做法】[编辑本段]■总述人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.■关于三等分一任意角问题★作法一尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法，对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB 并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法：交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA■关于立方倍积问题★作法一柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边.★作法二门纳马斯(Menaechmus，约公元前375—325年)方法：从a∶x=x∶y=y∶2a可得y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长.★作法三阿波罗尼(Apollonius de Perge，约公元前260—200年)方法：作一矩形ABCD，这里AB=a、AD=2a.以此矩形对角线交点G为圆心，以适当长度为半径作圆，与AB、AD之延长线分别交于E、F，使E、C、F三点共线，则AB∶DF=DF∶BE=BE∶AD，线段DF之长即为所求立方体的棱长.■化圆为方问题★作法：对于已知圆O，作出它在第一象限的圆积线①l.连结这一圆积线的两个端点B、F，过点B引BF的垂线BG，交x轴于G.在OA上取一点H，使HA=1/2GO.以H为圆心，HG 为半径画弧，交y轴于点K.则以OK为一边的正方形，即为所求作的与圆O等积的正方形．【尺规作图不能问题的积极意义】[编辑本段]我们可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.【尺规作图不能问题的相关趣事】[编辑本段]阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日,月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光.正是他出色的研究成果给他带来了不幸, 在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦.灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头.由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱.尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈,苦闷,无聊实在让人度日如年.在阴暗,潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想.有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢就这样,一道世界名题——"化圆为方"问题诞生了,它与"立方倍积"问题,"三等分任意角"问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题. 阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是.他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼.不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。

新课程标准下的尺规作图问题
尺规作图：精准指引、准确反映绘图要求
2018新课程标准对尺规作图问题提出了新的要求，以赋予学生更全面的技术能力。

以下是有关尺规作图问题的新课程标准的重要内容：
1. 加强绘图工具的运用：学习者应考虑和学习使用市场上各种绘图工具，如微软office中的专业绘图应用，矢量绘图软件等，以满足对绘图的需求。

2. 会从图示中识别特征：学习者应学习识别和分析图表中的变化，从而了解各个图形间特征与差别。

3. 加强基本绘图技能：学习者应以满分方式学习把已给定的数据展示成图形，并学习正确地标注横轴、纵轴，以及学习各图形的绘制方法和绘制原则。

4. 注意图形陈述：学习者应学习向阅卷老师有效传达所基礎的数据以及绘制图形的原因，以便教师审阅更了解学习者学习过程中所做的总
结和推理。

最后，学习者应掌握以上新课程标准中关于尺规作图的要求，努力提
升自己的绘图技能，以满足尺规作图纲要的要求。

此外，学习者应当
注意自己的绘图工具、分析数据变化的能力以及对图表信息的传达等，这些都是学习尺规作图时必不可少的要素。

据悉，正在修订的义务教育数学课程标准将在小学阶段增加尺规作图的内容，这引发了小学数学教育工作者的广泛关注与思考。

尺规作图具体指什么？尺规作图的教育价值是什么？此前，尺规作图都是在中学学习的，小学生通常到六年级才开始在课堂上使用圆规，如果放到小学阶段学习，如何整体设计这部分内容，从而发挥其教育价值呢？带着这些问题，我们开展了系列研究。

理意识。

所谓尺规作图，是指用无刻度的直尺和圆规进行作图。

尺规作图有助于发展学生的想象力和推理意识。

例如，在研究怎样的三条线段能围成一个三角形的时候，通常做法是事先给定一些小棒让学生操作。

这样操作，不仅由于小棒的粗细会出现误差，学生也往往不能深入思考能否围成的原因。

如果给定三条线段，鼓励学生尝试用尺规作图，看看能否作出一个三角形，学生可以先作出与某条给定线段等长的线段，再分别以这条线段的两个端点为圆心，以给定的另外两条线段的长度为半径画弧。

当两条线段的长度之和小于第三条线段时，两条圆弧没有交点，无法构成三角形（如图1）；当两条线段的长度之和等于第三条线段时，两条圆弧的交点在某条线段上或某条线段的延长线上，只能得到重合的线段，也无法构成三角形（如图2）；而只有当两条线段的长度之和大于第三条线段时，两条圆弧才有交点，分别连接先固定的那条边的端点和其中一个交点，就能够构成三角形（如图3）。

图1图2图3通过这样的操作，学生能初步体会到三角形两边之和大于第三边，更为重要的是，在这个过程中，想象力和推理意识伴随始终，正如课堂上学生提到的“其实就是固定一条边和两个顶点，然后想象两条弧能不能恰好交会得到第三个顶点”。

总之，在尺规作图中，需要想象和思考如何作，如何用简洁的语言将作图过程表达出来，这恰恰是想象力和推理意识的集中体现。

尺规作图，需要构思、需要推理、需要表达，的确是发展学生的想象力和推理意识的好载体。

2.尺规作图能大大激发学生的兴趣和创造◇刘鹏张丹宋云凤发挥直观想象——尺规作图教学的思考与实践发展推理意识性。

尺规作图教学反思尺规作图教学反思（精选13篇）在社会一步步向前发展的今天，课堂教学是我们的工作之一，反思自己，必须要让自己抽身出来看事件或者场景，看一段历程当中的自己。

我们该怎么去写反思呢？以下是小编为大家整理的尺规作图教学反思，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

尺规作图教学反思篇1接到学校的通知，让我星期四到涨水坪中学上一节七年级数学，内容题《用尺规作线段》，我把内容看了一遍，写出了相对比较普通的教案，内容少、任务不多，我便假想如果完成得太快，超过我想象的速度。

我得准备好剩余的时间，怎么样打发，于是精心挑选了几道有代表性的试题，我又一次阅读了教材，真是书读百遍，其意自现，我发现尺规作图对七年级的同学比较陌生，有必要讲清它的历史和意图，有利于激发同学们的兴趣，基于这样的原因，我第二次把我的教案进行修改，我结合自己在以前教学中的经验和不足，虽然学生的情况不太了解，但我进行了很多情况的假设，包括课堂上可能出现的各种偶然因素，自己应该能够很好的驾驭，闭上眼睛。

在自己的大脑中像放电影一样，播放自己的教案，我对我的教学设计还感觉比较满意，当我走上讲台，询问同学们有没有信心学好这节课，同学们异口同声地说：“有”。

正如我想象中的一样，一切进展顺利，当我讲到尺规作图历史，一个个同学听得津津有味，我还敢肯定，许多听课的老师也不一定知道，新课开始了，我用一支粉笔让同学们说出我们目前测量方法从而引进新课，当我让同学们分组讨论，交流做一做，连接四个点从同学画的图发现有许多同学连接成的是一个圆，而教师用书的答案是正方形，出现圆这种情况，我确实没有考虑到，怎样给同学们讲课，画成圆也是一种连接，只不过是三年级的内容，目前没有学，经过反复思考，我给这个问题进行了点评，给同学们的答案的给予肯定，同学们完成的挺快。

接下来，我请同学起来讲一下自己的画法，山里的孩子胆量不够，我就鼓励他们要勇于表明自己的观点，来提高我们各方面的能力，终于有同学举手了，我对他进行了表扬，鼓励同学们给他一点掌声，气氛变得活跃了，我又请了几位同学说出他们的做法，他们有点紧张，我自己一边给他们提示，一边给他们补充，在这一环节上用时多了一点，导致我精心设计的让同学们画“风车”的任务未能完成，下课的时间到了，我有点遗憾，最精彩的部分没有机会展现，这节课的重点是作图以及用语言表达自己的做法，我多用一点时间巩固和加强同学们的表达能力应该是值得的，正所谓残缺的美，静心沉思，我想一篇教学后反思，将会促进我的教学更新，解决课堂教学环境的创设，应变能力、相比过去有所加强，更主要的是教学行为背后的思想，观念在不断的反思中获取进步。

剖析尺规作图，探讨破题启示符学建[摘要]尺规作图是初中数学较为重要的内容，中考对尺规作图的考查涉及多种形式，有直接考查作图设计的，也有依托尺规作图考查几何问题的，而理解根本的几何原理，了解作图的根本过程，能够从中提炼出几何性质是突破考题的关键.文章探析了中考尺规作图题的根本类型，并展开相应的学习思考.[关键词]尺规作图;几何;设计;思考启示尺规作图指的是，在仅使用圆规和无刻度直尺的情况下进行相应的作图操作.尺规作图，不仅可以归纳一些性质和定理，还可以锻炼学生的实践操作能力.近几年，中考常将尺规作图融入考题，用以考查学生的几何知识和实践分析能力，下面笔者将对尺规作图题进行探析【1】.类型探究，破题评析1.尺规作图与几何计算例1〔2021年淮安中考〕如图1所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧的交点分别为P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，那么CD的长是______.分析上述呈现了垂直平分线的作图过程，即PQ为线段AB的垂直平分线.要求线段CD的长，需要充分利用垂直平分线的性质.连接AD后，由垂直平分线的性质可得AD=BD.假设设AD=x，那么CD=BC-DB=5-x.在Rt△ACD 中由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，从而可构建关于x的方程，解方程后即可求得CD的长.解答连接AD，如图2，因为PQ为线段AB的垂直平分线，所以AD=DB.设AD=x，那么CD=BC-DB=5-x.在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2=32+〔5-x〕2，解得x=，所以CD=.评析此题将尺规作图与线段求值相结合，考查学生垂直平分线的性质和勾股定理等知识.考题在设计上摒弃了传统的几何特征表达的方式，采用的方式是作图过程描述，解题的关键是理解垂直平分线的作图方法猜想例2〔2021年深圳中考节选〕此题，首先需要理解新定义，并从中提炼满足定义的条件，即菱形的一个角与三角形融合，且对角顶点在三角形上;然后分析尺规作图的过程，提取其中的几何信息.具体证明思路可以是，先证明四边形ACDB为菱形，再结合定义条件证明其为△FEC的亲密菱形.证明上述呈现的是角平分线的尺规作圖过程，即CB 为△ACD的平分线，于是有△ACB=△DCB，AC=CD.因为AB△CD，所以△ABC=△DCB.所以△ACB=△ABC.所以CD=AC=AB.所以四边形ACDB为菱形.因为△ACD与△CFE中的△FCE重合，且对角顶点B在EF边上，所以四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.评析此题将尺规作图与新定义题的证明进行有机结合，用作图过程替换了其中的几何条件，在增强应用性的根底上考查了学生的演绎推理能力.解答问题时需注意两点：一是提取作图过程中形成的几何性质;二是严格按照几何证明的逻辑进行推理，由探未知，用推理证猜想方案设计例3〔2021年天门中考〕图4和图5都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点.点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成以下画图.〔1〕在图4中画出△MON的平分线OP;〔2〕在图5中画一个Rt△ABC，使点C在格点上.分析第〔1〕问要求在网格中作出△MON的平分线，考虑到全等三角形的对应角相等，于是可以作出共顶点O和P的两个全等的三角形，如△MOP△△NOP，在网格中可以利用单元菱形的性质来确定等长.第〔2〕问是作Rt△ABC，条件有两个：一是有直角，二是点C在格点上.由于单元图形为菱形，而菱形的两条对角线互相垂直，于是可以借助其特性，通过连线、作平行线的方式来实现.解答〔1〕具体作图如图6，确保△MOP与△NOP全等即可.〔2〕因为点B为单元菱形的一个顶点，所以可以连接该单元菱形的对角线，分别命名为EF和BC，连接AC即可，此时AC△EF，而EF△BC，所以BC△AC.所以△ABC是以△ACB=90°的直角三角形，如图7.评析上述考题要求在网格内作图，属于尺规作图的方案设计题.解决尺规设计题需要把握两点：一是设计的原理，即根据几何定理和性质确定方案;二是按照特定的程序和顺序开展设计，即在绘图时基于原理以一定的顺序进行连线.因此，以尺规作图为载体的方案设计题是对学生几何理解和数学探究能力的综合考查，可见培养实践技能对于该类问题的解答十分重要.4.尺规作图与实际应用例4〔2021年济宁中考〕在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛面积的方法，现有以下工具〔如图8〕：①卷尺;②直棒EF;③T形尺〔CD所在的直线垂直平分线段AB〕.[卷尺][B][D][C][E][A][F][直棒][T形尺][图8]〔1〕在图9中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图〔保存画图痕迹，不写画法〕;〔2〕如图10，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可以求出环形花坛的面积.如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积.[图10][O][E][F][M][N]分析上述为应用尺规作图求解实际问题的案例.第〔1〕问利用T形尺找圆心，首先需要理解T形尺的两条边的关系，即长边是短边的垂直平分线.如果将T形尺放入圆内任意位置，那么由其性质可知T形尺的长边必过圆心，于是可以利用两线交点确定一点来到达找圆心的目的.第〔2〕问同样是尺规作图的生活化实践，首先需要结合圆环的求解公式分析所需的线段参数，然后构建模型.解答〔1〕将T形尺的短边沿圆内壁任意位置摆放，记长边为CD，然后换个位置再记长边为C′D′，那么CD与C′D′的交点就是圆心O，如图11所示.〔2〕如图12所示，过圆心O作MN的垂线，垂足为点Q，连接OM.由于MN为内圆的切线，所以S=π·OM2-π·OQ2=π·〔OM2-OQ2〕.结合Rt△MOQ中的勾股定理可得OM2-OQ2=MQ2，于是S=π·MQ2.又MQ=MN=5m，所以S环形=25πm2.评析此题通过探究的方式将尺规作图融入生活实际问题中，用实物量具取代数学尺规工具，可以充分考查学生对数学的理解与应用.同时，这种生活化的作图气氛也是对“知识源于生活，又效劳于生活〞理念的表达.求解时，需要充分利用所学思考问题解决的措施，并结合具体的几何定理来构建问题分析模型.作图思考，学习启示1.强化几何原理尺规作图虽然属于实践操作类问题，但操作的过程是基于对应的几何原理，因此本质上尺规作图是知识与操作综合应用的过程.理解几何的根本性质和定理是进行尺规作图的前提，依据科学理论进行操作才是有意义的【2】.尺规作图最为常用的几何原理有角平分线性质、垂直平分线性质和三角形全等定理等，对于上述内容的学习，不仅需要理解具体的含义，还需要掌握具体的应用过程，能够使用对应的性质、定理进行问题的分析，具体学习时可以多关注教材的实践活动，拓展应用视野.2.理解数学语言一类尺规作图题常以文字表达的形式来呈现作图过程，要求结合作图过程解决相应的问题，如上述考题关于角平分线和垂直平分线的作图问题，其中最为显著的特点是呈现过程，隐含性质，因此理解过程、准确地提取性质是解决问题的关键.教材中对相关作图操作进行描述时使用的是对应的数学语言，即综合符号、字母和文字，因此学习时特别需要注重数学语言与几何作图的对应轉化.如学习角平分线的性质时，不仅要掌握角平分线的作图过程和性质，还需要理解作图语言【3】.掌握数学语言的定理描述，实现几何的标准化操作，是提升尺规作图能力的必要条件.3.提升数学思维数学的解题过程是多种思维活动的过程，作图时需要掌握对应的方法流程和几何原理，所以解决尺规作图题时，需要结合相应的知识进行推理，包括合情推理和演绎推理.尤其是对于较为复杂的作图题，需要进行严格的分析和论证，必要时还需要结合对应的思想方法方法为指引，以根本知识为依托，进行数学思维的推理活动，这才是科学的尺规作图.因此，提升尺规作图能力时，首先要提升数学思维能力，促进自身综合素养的开展.参考文献：【1】冒劼.明晰尺规功能，让明理与得法同行[J].中学数学，2021〔02〕：19-21.【2】仇恒光.尺规作图教学的策略探究[J].中学数学教学参考，2021〔11〕：61-63.【3】杨春霞.简约中蕴新意多途径显深度[J].中学数学教学参考，2021〔25〕：33-35.。

华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。

下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。

一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。

它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。

所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。

在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。

二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。

学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。

但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。

因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。

三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。

根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。

四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。

教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。

1.立方倍积问题假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有x3=2a3.令a＝1，则上述方程取更简单的形式x3-2=0.根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.2.三等分任意角问题对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.令OD=x，则有4x3-3x-cosθ＝0.如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.8x3-6x-1=0.以2x=y代入此方程，可得较简单的形式y3-3y-1=0.根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程4x3-3x-cosθ=0就变为4x3-3x=0.解之，得(见图6).注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.3.化圆为方问题假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有x2=πr2.令r=1，即得不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.4.正七边形和正九边形的作图问题正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.(图8).∵7θ=2π，∴3θ=2π-4θ，∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=x4-x3-4x2+3x＋2=0.分解因式，得(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.x3+x2-2x-1=0.由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.的作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.。