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§9-4 连续梁的整体刚度矩阵

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单元刚度矩阵

单元刚度矩阵

Fx1

EA l

u1
u2

Fx 2


EA l

u1


u2


M1

4EI l
1

2EI l
2
6EI
l2
v1 v2

M2

2EI l
1

4EI l
2

6EI l2
v1

v2


6EI
Fy1 l 2
1 2

12EI l3
v1
A
B
C
①
②
D
E
③
④
A①
B ②C ⑤ F
D③
④
E
局部坐标系 下单元刚度
杆端位移向量
1 1
u1
v1 杆端力向量
1
EAI
2
e
l
2 2
u2
v2
Δe 1 2 3 4 5
eT
u1 v1 1 u2 v2 2
eT
6
1 M1
2 M2
Fx1
Fx 2
Fy1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
u1 1 v1 1 1 1 u2 1 v2 1 2 1
(1) (2) (3)
k = (4) (5) (6)
EA l
0
0
0
12EI 6EI l3 l2
0
6EI 4EI l2 l
-EA l
0
0
0
-12EI -6EI l3 l2
以连续梁

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

1 y
①2
②
解：编号建立坐标如图所示。
6m
8m
6m
（0,0,0）
3
单元①：
25.0
0.0
① 0.0 k 25.0
0.0 0.0
0.0 0.69 2.08 0.0 0.69 2.08
0.0 2.08 8.33 0.0 2.08 4.17
25.0 0.0 0.0 25.0 0.0 0.0
2.杆端力的坐标变换（将整体量转换为局部量）
（1）杆件始端（1端）
X
Fx1 FX1 cos FY1 sin
α
Fy1 FX1 sin FY1 cos
M1 M1
局部坐标系
Y 中的杆端力
（2）杆件末端（2端） FX1
Fx2 FX 2 cos FY 2 sin Fy2 FX 2 sin FY 2 cos
0
1
2
k ②
10
4×
30 12
0 0
100 30 30 12
0 0
50
30
3 0
0 300 0 0 300 0 2 0
30 0
50 30
0
100
0
)
[例2] 求整体坐标下的 单元刚度矩阵,
（0,0,0） （1,2,3） x
A=0.5m2,I=1/24 m4, E=3×107Mpa。
12 30
0
12
30
①
k
0 300
30 0
100 0
0 300
30 0
50
0
②
k
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100

连续梁的整体刚度矩阵

连续梁的整体刚度矩阵
1
▲杆件单元归纳
自由梁单元： （用于刚架） 1
3
e
2
e
k
（6×6）
6
忽略轴向变形 2 e
4
4
的梁单元：
5
1
3

12
EI l3
k e （4×4）

EI 6 l2
12
EI l3
EI

6 l2
6
EI l2
4 EI l
6
EI l2
2 EI l
12
EI l3
6
EI l2
EI 12 l3
2 2i1
4i1

单刚②
对号入座 原理相同
(
（2
2 4i2 3 2i2
对号入座
3）
2i2
4i2

整体刚度矩阵
结点 位移码
（1 2 3）
4i1
2i1
0 1

2i1
4i14i2
2i2

2 3
0
2i2
4i2
结点荷载向量的集成原理相同 5
)
▲“对号入座”形成整体刚度矩阵（总刚）步骤
6
EI l2
6
EI l2

2 EI l

6
EI l2

4 EI

l
桁架单元：
1
e
EA
k 2
e
l
（2×2）

EA l

EA l

EA
l
连续梁单元：
1
e
k 2
e

4

《结构力学》课程规范

《结构力学》课程规范
备注
章
第3章静定结构受力分析
教学目的
和要求
能运用截面法求任意界面的内力，并用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图
重点和难点
重点：截面法求任意界面的内力，用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图
难点：熟练的运用截面法、叠加法作各种结构的内力图
“三基”分析
基本知识：截面法、叠加法
基本理论：截面法求任意界面的内力，用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图
二、课程知识、能力体系
《结构力学》课程知识（能力）体系
序号
知识单元描述
知识点
对应能力
学时
要求
1
第一章
绪论
结构力学的学科内容和教学要求、结构体系的简化、杆件的分类、荷载的分类、学习方法
掌握学习结构力学的方法
2
掌握
2
第二章
结构的几何构造分析
几何构造分析的几个概念.平面几何不变体系的组成规律.平面杆件体系计算的自由度.
本章思考题
3-1，3-2，3-3（b），3-5，3-8（a），3-9（d）
主要
参考资料
结构力学参考书或网络资源；
教材：龙驭球，包世华.结构力学教程(第三版).高等教育出版2006
备注
章
第4章影响线
教学目的
和要求
移动荷载概念，影响线概念，用静力法作简支梁影响线，机动法作影响线，影响线的应用，简支梁包络图和绝对最大弯矩。
4
掌握
9
第九章
矩阵位移法
矩阵位移法的基本步骤.单元刚度矩阵.整体刚度矩阵.等效节点荷载杆端力.
掌握矩阵位移法的解题思路和步骤.理解单元刚度矩阵、总刚度矩阵中元素的物理意义。重点掌握利用单元定位向量将单元刚度矩阵 和单元等效节点荷载向量集成刚度矩阵和结构荷载向量的方法.

第九章_矩阵法(结构力学)

第九章_矩阵法(结构力学)

因此它的逆矩阵不存在
从力学上的理解是，根据单元刚度方程 F
由
F e F e e
e
k
e
e
e
有一组力的解答(唯一的)，即正问题。 如果 F

e
不是一组平衡力系则无解；若是一
18
组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
3、特殊单元
以连续 梁为例：
(e) (e)
M2 Fx 2 Fy 2
(1) u1 v ( 2) 1 1 (e) ( 3) ( 4) u2 ( 5) v2 2 ( 6)
e
(1) (2)

e (3) k = (4)
(5) (6)
0
EA l 0 0
2EI l
0 -6EI l2
只与杆件本身性质有 关而与外荷载无关
0 0
-12EI -6EI l3 l2 6EI l2 2EI l
4EI l
17
2、单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
k ij —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。
第九章
1
位移法的特点： 基本未知量——独立结点位移；
基本体系——一组单跨超静定梁；
基本方程——平衡条件。
位移法思路：先化整为零，再集零为整
结构 杆件 结构
两种方法：平衡方程法和典型方程法
2
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。

第九节矩阵位移法

第九节矩阵位移法

(2 =1)
0
6EI l2 2EI l
0
6EI
l2 4EI
l
e
…（9-4）
F e k ee
…（9-5）
即为一般单元的刚度方程。其中 k e 称为局部坐标系中的单
元刚度矩阵。
2、一般单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数 kij ，其物理
意义表示由于单位杆端位移引起的杆端力。
( v1e
v2e
)
Fye1
6EI l2
(1e
2e )
12EI l3
( v1e
v2e )
Fye2
6EI l2
(1e
e 2
)
12 l
EI
3
( v1e
v2e
)
Fx1 M1
1
v1
Fy1
u1
…（9-2）
e
1
M2
Fx2
2 Fy2
v2
u2
2
式(9-1) 、(9-2)即为局部坐标系下平面刚架一般单元的单元刚度方
ke T Tk eT
F e kee
即为单元e在整体坐标中的单元刚度方程 其中 k e为整体坐标系的单元刚度矩阵，和 k e 同阶，且具有类似的性质。
§9-4 结构的整体刚度矩阵
作用在结构上的荷载与结构的结点位移， 也存在一一对应的关系，即为结构的整体刚 度方程。结构的整体刚度方程反映了结点荷 载和结构位移之间的关系，其实质就是位移 法的基本方程。求解方法一种是传统位移法， 另一种是直接刚度法。
l
Fxe1
EA l
u1e
EA l
u2e

矩阵位移法

矩阵位移法
(a)
TT T T T T I
Fx1 F y1 M1 单元坐标 转换矩阵 F x2 Fy 2 M 2
e
Hale Waihona Puke eF e TF e
T 1 T T
单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。
EI 25 104 kN m l
0 300 0
5m
0 为了简洁，下面将矩阵 中各元素的单位略去。 12 30 0 12 30 30 100 0 30 50 4 EA 10 0 0 l 0 0 300 0 0 12 30 0 12 30 12 EI 6 EI [k11 ] 0 3 2 30 50 0 30 100 l l 6 EI 4 EI 第一列元素变符号即第四列，第二列元素变符号即第五列 0 ①： 2 ②求整体坐标系中的单刚， k l l 第一行元素变符号即第四行，第二行元素变符号即第五行
3、有限单元法的三个基本环节： ①单元划分：一根等截面直杆作为一个单元，单元间由结点相联。 ②单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)。 ③整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)。
§9-2 单元刚度矩阵(element stiffnessmatrix)（局部坐标系）
T11 T12 T T T 21 22
因此，(a)式的逆转换式为： 同理
F e T TF e
e T e
(b)
e T T e
整体坐标系中的单元刚度矩阵
F e TF e
(a)
e T e
(b)
单元刚度矩阵的性质 设局部坐标系中、整体坐标系中的单元刚度方程分别为： ①单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。 e e e F k Δ (c) ②其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。 ③单元刚度矩阵是对称矩阵。 F e k eΔe (d ) ④第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。 e e e e ⑤一般单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵。因此， 将式(a)、(b)代入式(c) k eT IF T T TTF ke T T 可由单元刚度方程，由杆端位移唯一确定杆端力；但由杆端力反推杆端位移时， 可能无解、可能解不唯一。 k e T T k eT

刚架的整体刚度矩阵[详细]

刚架的整体刚度矩阵[详细]
第9章 矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵 §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
0 30 100 0 30 50 3
①
104 ×300 0
0 300 0
0
0
3 0 12 30 0 12 30 0
0
30 50
0
30
100
4
1
3
单元② 900
k② T T k ② T
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
1 2 300 0
0
12 30
0
12
30
2
104
×
0 300
30 0
100 0
0 300
30 0
50 3
0
0
0 12 30 0 12 30 0
0
30 50
0
30
100
4
1230 00
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
0
2
104
×
30 12
0 0
100 30 30 12
0 0
解：1）编号、建立坐标如图所示。 2）写出各单元局部坐标下的 刚度矩阵
1（1,2,3） ①
②
2 y （0,0,0）

矩阵位移法

矩阵位移法

l 2EI
l
2EI e
l 4EI
l
（9-10）
请注意，这个单元刚度矩阵是可逆的，不存在奇异性。 在力学上应作何解释？
桁架中链杆单元的单元刚度矩阵是怎样的？
请同学们自己研究，提出结论
矩阵位移法
§9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
矩阵位移法
问题的提出：
x
y
交汇于同一结点的各单元各处于不同的 局部坐标系，为结点平衡方程的建立提出 了问题。
为此，需要有一个统一的坐标系统。
矩阵位移法
(1) 单元坐标转换矩阵
Fx1 M1
Fy1
y y
x
(e)
M2
Fx2
Fy2
x
Fx1 M1
Fy1 (e) y
y
x
M2 Fx2
Fy2 x
F
e x1
F
e x1
cos
F e y1
sin
F
e y1
F e x1
sin
F
e y1
cos
Fxe1 cos
Fx1
Fye1 sin
矩阵位移法
位移法的基本思路
分析未知位移
M
C
B
将结构离散化，分析 每个杆件的杆端力
建立平衡方程，求解 结点位移
回代杆端力表达式， 求杆端力，绘内力图
A
BB
C
M BA 4iBA
M BC 4iBC
A
M
B
MB 0
化整为零
集零为整
矩阵位移法
传统解法与矩阵位移法的比较
理论同源，作法有别。前者以手算为主， 后者以电算为主。
由于 1, 2, 4, 5 为0，所以划去1、2、4、5列

结构力学 矩阵位移法

结构力学 矩阵位移法

§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
1.单元两端采用局部编码1、2
1
e
2.六个杆端位移组成杆端位移列向量。
v1
1
u1
EAI L
3.六个杆端力组成杆端力列向量。
y
2
2 vu22 x
e
1
2
e
u1 v1
e
3
1
F1
e
F2
e
F x1 Fy1
单元刚度矩阵中的每个元素都代表单元
杆端单位位移引起的杆端力称之为单元
刚度系数。其中
k
表示第j个杆端单位位移
ij
引起的第i个杆端力。
⑵单元刚度矩阵为对称矩阵。 kij k ji
⑶一般单元刚度矩阵为奇异矩阵 k e 0
三、特殊单元刚度方程和刚度矩阵
⑴连续梁中的受弯杆件单元 ⑵桁架结构中杆件单元
⑴连续梁中的受弯杆件单元
忽略轴变时单元的刚度矩阵
12EI
l3 6EI
k
e
l2
12E
l3 6EI
I
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI
l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI l2
6EI
e
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
§9-3节 单元刚度矩阵(整体坐标系)
一、单元坐标转换矩阵
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析 包括：
§9-1节 位移法概述
矩阵力法
结构矩阵分析
一般刚度法
矩阵位移法
直接刚度法

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]
第9章 矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
31 2
32
1
x
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
②
②
5 6
4
(局部坐标)
4 6
5
y
(整体坐标)
整体坐标下的单元刚度矩阵：
k② T T k ② T
结点位移码
(
(1 2 3 0 0 0)
结点码
1
2
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
k ② T T k ② T
9.65
7.13
k
②
0.45 9.65
7.13 0.45
1 3
7.13 5.50 0.6 .137 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.0 0.69 2.08
0.0 0.69 2.08
0.0
2.08
4.17
0.0
2.08
8.33
①
①
k k
单元②： 15.0

整体及总体刚度矩阵的性质概述

整体及总体刚度矩阵的性质概述
n d

d

矩阵[K] 对角线 r行
* 矩阵 [K]
第1 列 r行 45度斜线 r行s-r+1列元素
n
n
r列 r 行s 列 元素

(a)[K]
(b) [K]*
整体刚度矩阵的特点
同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带 宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节 点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。 因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带 宽，从而节省存贮容量。
2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 节点5只与周围的六个节点 (2、3、4、6、8、9)用三角形 单元相连，它们是5的相关节 点。只有当这七个相关节点产 生位移时，才使该节点产生节 点力，其余节点发生位移时并 不在该节点处引起节点力。因 此，在矩阵[K]中，第5行的非 零子块只有七个(即与相关节 点对应的七个子块)。
a
a
整体分析
1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12 个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时， 转换关系为： F K 分块形式为： F 1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1 F K K K K K K 22 23 24 25 26 2 2 21 F 3 K 31 K 32 K 33 K 34 K 35 K 36 3 F K K K K K K 42 43 44 45 46 4 4 41 F5 K 51 K 52 K 53 K 54 K 55 K 56 5 K 61 K 62 K 63 K 64 K 65 K 66 F 6 6 其中子向量 i 和 Fi 都是二阶向量，子矩阵 K ij 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。

11.4 连续梁的整体刚度矩阵

11.4 连续梁的整体刚度矩阵

{} {}
8
e （3）单刚 [k]e和单元贡献 [K] 中元素的对应关系 单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量” 单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行 “换码重排位”
1 (1) 1 2 (2)
(1)
单元
[k] = (2)2 21源自4i1 2i1 2i1 4i1
2 (1) 3 (2)
1
0 0
0 4i1 2i1 0 2步 0 4i1 2i1 4i1+4i2 2i2 0
4i2 2i2 1 2 [k] = 2i 4i [K] = 0 4i2 2i2 2 2 0 2i2 4i2 4i1
0
2i2 0
4i2 0
2i1 2i2
0
[K]= 2i1 4(i1+i2) 2i2
4i2
6
e e 二、按照单元定位向量由 [k] 求 [K] e e 中的位置。为此建立两种编码 两种编码： 确定 [k] 中的元素在 [K] 中的位置。为此建立两种编码： (1)在整体分析中按结构的结点位移(基本未知量)统一编码， (1)在整体分析中按结构的结点位移(基本未知量)统一编码，称 在整体分析中按结构的结点位移 为总码。 总码。 (2)在单元分析中整体坐标系下 单元两端结点位移单独编码 单独编码， (2)在单元分析中整体坐标系下按单元两端结点位移单独编码， 在单元分析中整体坐标系下按 称为局部码。 以连续梁为例： 称为局部码。 以连续梁为例： 局部码 1
1 i1
(4i1+4i2)∆2 ∆2 2i2∆3
2 i2
2i2∆2
0
1 i1
2 i2
4i2∆3 ∆3
F1 F2 F3
4i1
2i1

【优】刚架的整体刚度矩阵(assembly最全PPT资料

【优】刚架的整体刚度矩阵(assembly最全PPT资料

2
2结）束各播杆放方请向点不“尽后相退同”，。要进行坐标变换；
点1 击左2键，一3 步步0播放。0 0
结1）点结位点移位列移阵分:{量Δ}增=[Δ加1到Δ三2 Δ个3；Δ4]T
1、结2点位移3分量0的统一0编码—0 —总码
结点力列阵:{F}=[F1 F2 F3 F4]T
2）各杆方向不尽相同，要进行坐标变换；
－30300 13020
300 00
+111000000 300 300 13200
030 00
55000 30 ××110044
点=[u击A左v键A，θ一A θ步C步]T播放。 13）除2了刚3结点，0还要考0 虑铰结4 点等其它情况。 1结束播2放请点3 “后0退”。0 0
00 31020 030 00 30102 0304
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
0
2
3
1
A1
2
4
C
0 x(2)
(1)
结点位移列阵:{Δ}=[Δ1 Δ2 Δ3 Δ4]T
=[uA vA θA θC]T
(3)结点力列阵:{F}=[F1 F2
F3 F4]T (5)
(2)
(3)
(6) (4)
B
2
(1)
1
0
0
0y
2、单元定位向量 (4) (6)
(5)
1
{λ} = [1 2 3 0 0 4]T
2
{λ} =
[1 2 3 0 0 0]T
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
3、单元集成过程
11 2 33 0 0 04
+13120200 00 －0330013200 00 030

矩阵位移法(整刚)

矩阵位移法(整刚)

T
0 6 1 0 6 1 0 0 . 5 0 0 0 . 5 0 6 0 48 6 0 24 1 k 1 0 6 1 0 6 0 0.5 0 0 0.5 0 6 0 24 6 0 48
总刚的体积小 于单刚时的处 理
0 2i2 4i2
力学含义：
考虑单元１的贡献时，令 i２＝０
综合上述
e k
定位向量
e K
e
求和
K
单元定位向量是扩充的桥梁
矩阵元素“对号入座”
k K i j
e ij
单元集成法的实施方案
在单元分析就将各个元素累加到总刚中，采用 “边定位，边累加”的方式进行。具体步骤：
1、K=0 总刚的所有元素置 0 问题：当连续梁中有中间 铰时如何处理 e 2、将k 的元素按定位向量累加到K中。 此时：
1 3
k14 k 24 k34 k 44 k54 k64
0 4
k15 k 25 k35 k 45 k55 k65
2 5
3 61 k16 k 26 k36 k 46 k56 k66
----1单元定位向量
1 0 2 0 3 1 4 0 5 2 6 3 1 2 k 1 k 1 35 33 1 1 k k 53 55 1 1 k k 63 65 K
3
4( 6,7,8)
0 5 0 0
1
1(0,0,1)
5 ( 0,0,0)
结点位移向量
1 2
1

3
4
5
6
x4
F6
7
8
T
T
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即 2i11 (4i1＋4i2 )2 2i23 M 2
结点3：
统一用矩阵表示：
2i1 4i1 2i 4i 4i 1 2 1 0 2i2
0 1 M 1 1 2i2 2 M 2 2 4i2 3 M 3 3
2 定位向量 2i2 1 4i2 2 4 ⑤ 4i5 [k ] 2i5 5 2i5 4 4i5 5
1 0 1 定位向量 ① 4i1 2i1 0 ② 4i2 [k ] [k ] 1 2i1 4i1 2i2 2 3 3 4 ③ 4i3 2i3 2 ④ 4i4 2i4 3 [k ] 3 [k ] 2i 4i 4 2i3 4i3 4 4
结点1：
M2
②
M3
i1
1 2
i2
3
M12 M1 结点2：M 21＋M 23 M 2 M 32 M 3
整体刚度方程： 观察单元与整体刚度方程 的结点位移码对应关系， 可理解“单元集成法”。
即 即
（ 1 2
4i11 2i12 M1 2i22 4i23 M3
3 ）
结点位移码
12
EI l3 EI 6 2 l EI 12 3 l EI 6 2 l
EI l2 EI 2 l EI 6 2 l EI 4 l 6
桁架单元：
e
1
EA EA e l l 2 k EA EA （2×2） l l
2i2 2 4i2 3
3 ）
二、单元集成法(直接刚度法)
1.定位向量 —— 由单元的结点位移码 （整体码）组成的向量。 1
1 2
①
M1
①
M2 2
②
M3 3
i1
i2
2 3
②
2.整体刚度矩阵集成
定位向量
（ 1
整体刚度矩阵
3）整体刚度矩阵
2 2i2 1 4i2 2
4 ⑤ 4i5 [k ] 2i5
5 0 0
结点 位移码
5 2i5 4 4i5 5
1 4i1 +4i2 2i2
2 2i2 4i2+4i3 2i3
3 0 2i3
4 0 0 2i4
1 2
[K ]
0 0
0
4i3+4i4
0
3
矩阵表示
M12 4i1 2i1 1 M 21 2i1 4i1 2 M 23 4i2 M 32 2i2 2i2 2 4i2 3
单元②
矩阵表示
M1
①
5.由结点平衡 建立位移法方程
①
M2
2
②
M3
i1
T
i2
3
2.已知原始结点荷载 4.写出单元的杆端弯矩
（转角位移方程）
单元①
M1 M 2 M3
— 即三个结点力偶荷载
T
3.基本未知量（结点位移） 1 2 3
— 即三个转角位移
（单元刚度方程）
M12 4i11 2i12 M 21 2i11 4i12 M 23 4i2 2 2i2 3 M 32 2i2 2 4i2 3
▲杆件单元归纳
自由梁单元： （用于刚架）
3
1
2
e
6 4 5
忽略轴向变形 的梁单元：
EI 12 l 3 6 EI e l2 EI （4×4） 12 l3 EI 6 2 l
2
4
e
3
1
（6×6）
k
e
k
EI l2 EI 4 l EI 6 2 l EI 2 l 6
2 ）
结点 位移码
单刚①
1 2 )
4i1 2i 1
2i1 4i1
（ 1
2
3 ）
(
(
单刚②
对号入座 原理相同
（ 2
2 3 )
4i2 2i 2
2i2 4i2
3 ）
对号入座
4i1 2i 1 0
2i1 4i14i2
2i2
0
2i2 4i2

▲结点荷载向量的集成原理相同
[例1]
形成连续梁的整体刚度矩阵
（1）
（0） 1
2
（2）
3
（3）
4
（4）
5
（5）
i1
1 2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
6
解：1）编号及建立坐标
2）单元刚度矩阵
（连续梁每个结点只一个位移）
1 0 1 定位向量 ① 4i1 2i1 0 ② 4i2 [k ] [k ] 1 2i1 4i1 2i2 2 ③ 4i3 [k ] 2i3 3 2i3 2 4i3 3 3 ④ 4i4 [k ] 2i4 4 2i4 3 4i4 4
4 5
0
0
2i4 4i4+4i5 2i5 4i5 2i5 0
[例2] 形成连续梁的整体刚度矩阵（E、L为常量）。 （0,0） 解：1）编号及建立坐标
（连续梁每个结点有二个位移）
1
I1
（0,1） 2
（2,0）
2 I2
1
3
2）单元刚度矩阵 0 0 0 1 定位向量 12EI1 6EI1 -12EI1 6EI1 0 L2 L3 L2 L3 6EI1 4EI1 -6EI1 2EI1 0 L L2 L2 L -12EI1 -6EI1 12EI1 -6EI1 0 L2 L2 L3 L3 2EI1 -6EI1 4EI1 6EI1 1 L L2 L L2
第9章 矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 ▲ §9-8 §9-9 概述 单元刚度矩阵（局部坐标系） 单元刚度矩阵（整体坐标系） 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） 刚架的整体刚度矩阵 结构整体结点荷载 计算步骤和算例 竖向杆件坐标变换的简化技巧 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
k =
①
1
2
1
2
0
1
2
0
定位向量
k =
②
2
3
3）整体刚度矩阵
12EI2 6EI2 -12EI2 6EI2 L2 L3 L2 L3 6EI2 4EI2 -6EI2 2EI2 L L2 L2 L -12EI2 -6EI2 12EI2 -6EI2 L2 L2 L3 L3 2EI2 -6EI2 4EI2 6EI2 L L2 L L2
0 1 2 0

K =
4EI1 4EI2 L + L -6EI2 L2
-6EI2 L2 12EI2 L3
1 2
结 束
（第二版）作业: 9—1、3（形成总刚）
结 点 位 移 向 量 结 点 荷 载 向 量
( )
整体刚度矩阵
单 元 ①
M12 4i1 2i1 1 M 21 2i1 4i1 2
（ 1
2 ）
单 元 ②
M 23 4i2 M 32 2i2
（ 2
连续梁单元：
1
e
EI 4 2 e l k EI （2×2） 2 l
EI l EI 4 l 2
§9-4 连续梁的整体刚度矩阵
一、传统位移法(结合矩阵表示)
(整体分析)
1.编号、建立坐标。
（连续梁每个结点只一个位移） （局部坐标与整体坐标一致） 1
M1
1
2
(
3
)
结点荷载向量的集成原理相同
▲“对号入座”形成整体刚度矩阵（总刚）步骤
1.将定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；
2.将单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列（相
应于定位向量中0编号的行列）划去；—— 先处理法
3.整体刚度矩阵[K]为n×n 方阵，n 即结构未知量数； 4.将各单元刚度矩阵[k]e按照其定位向量“对号入座” 集合入整体刚度矩阵，形成[K]（空白的位置以0填充)。