非简单多面体

认识多面体的种类和特征多面体是指由平面多边形构成的立体图形，它们的种类和特征非常丰富。

在数学中，多面体是一个重要的研究对象，它们不仅具有美妙的几何形态，还有着深刻的数学性质。

本文将介绍一些常见的多面体种类以及它们的特征。

首先，我们来认识一下最简单的多面体——正多面体。

正多面体是由相等的正多边形组成的多面体，它们的面都是相等的正多边形，而且每个顶点都是相等的。

最著名的正多面体有四面体、六面体、八面体和十二面体。

四面体是最简单的正多面体，它有四个面，每个面都是一个等边三角形。

六面体也被称为立方体，它有六个面，每个面都是一个正方形。

八面体有八个面，每个面都是一个等边三角形。

十二面体有十二个面，每个面都是一个正五边形。

这些正多面体不仅形状美观，而且具有许多有趣的性质。

除了正多面体，还有一类特殊的多面体叫做柏拉图立体。

柏拉图立体是指由相等的正多边形和相等的正多边形组成的多面体，它们的面都是相等的。

柏拉图立体的特点是每个顶点都是相等的，而且每个面都是相等的。

最著名的柏拉图立体有五个，分别是四面体、八面体、十二面体、二十面体和六十面体。

这些柏拉图立体不仅在几何学中具有重要地位，还在化学和物理等领域有广泛的应用。

除了正多面体和柏拉图立体，还有一类多面体叫做拟柏拉图立体。

拟柏拉图立体是指由不同的正多边形和正多边形组成的多面体，它们的面不全相等。

拟柏拉图立体的特点是每个顶点都是相等的，而且每个面都是相等的。

拟柏拉图立体有很多种类，其中最著名的有二十面体、二十四面体和三十面体。

这些拟柏拉图立体形态各异，具有丰富的几何特征。

除了上述几类多面体，还有一些特殊的多面体值得我们了解。

例如，棱柱是一种由两个平行的多边形底面和连接底面的矩形侧面组成的多面体。

棱锥是一种由一个多边形底面和连接底面的三角形侧面组成的多面体。

棱柱和棱锥是一些常见的多面体，它们有着独特的几何性质。

总之，多面体是一类丰富多样的立体图形，它们的种类和特征非常丰富。

高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。

一切凸多面体都是简单多面体。

4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．6思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．说明：2,2kV E k nF E n ==条棱则过一个顶点有边形则每个面为例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为22，体积为6121)22(3122=⨯⨯⨯．所以体积之比为１:６．思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（31arccos -π）（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．解：（一）补成一个正方体，如图，V=31221⨯=864（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215解：D（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种(３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B （２）3（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数． 解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。

多面体的定义多面体是指一个立方体，由六个相同的正方形构成。

那我们今天就来了解一下它，看看这个“奇特”的物体到底为什么会有如此大的魅力?在数学上，每一个立方体的内角和都是180度;在几何学中，任意三维空间里的一条直线都可以用三个平面来截得到;从物理学来讲，一个密闭容器内部最小质量的物体体积等于其外表面积乘以高除以3。

总之，只要你能想象出来的东西，那么他便可以存在。

对了!有一个非常著名的图案——切金字塔，那是建筑学家们认为古埃及人留给后世的最伟大工程，至少也算得上是“千年建筑奇迹”了。

而现代科技则证明了这些金字塔并没有真正存在过。

那么，这座神秘的庞然大物又究竟是谁修建的呢?根据计算机模拟显示：这座金字塔一共花费了埃及人约5000万块巨石。

当时整个埃及地区一年才生产1.5吨黄金，所以全国经济一下子就陷入瘫痪状态。

这时，为数不多的聪明人就开始提议，既然无法改变人口比例，那就尽量减少货币供应量，把钱省下来换粮食，然后再凭借粮食，在市场竞争中逐渐占领优势。

多面体的种类很多，通常分为简单多面体、凸多面体、凹多面体。

像三棱锥、四棱柱和五棱柱属于简单多面体，像三棱台、四棱台、五棱台、圆柱、圆锥和球属于凸多面体。

另外还有一些属于凹多面体的多面体，例如十二面体、二十面体、四面体等。

大家应该都听说过有关多面体的趣闻轶事吧?有的人长着一张天使般美丽的脸蛋，但是却是恶魔的心灵;有的人拥有迷人的身材，可是脑袋却短路了……当然，我知道，我的朋友应该都是正常的人。

然而，这么复杂的问题还是要归结于哲学的概念，因为我觉得我们所处的社会和自然界本来就充满了各种难以理解的怪异现象。

最初的宇宙诞生了基本粒子，然后慢慢组合在一起，在亿万年的漫长岁月中逐步发展成今天这个样子，在过去的5年中，人类发射了很多探测卫星，有些甚至深入太空中几百公里，在距离地球40多亿光年远的位置找到了数十颗系外行星，而且将越来越多的新行星带回地球作研究观察。

未来人类或许能够解开更多关于多面体的谜团，让我们拭目以待吧!不管怎么样，多面体是永恒存在的，他将陪伴着我们，与我们共同前进。

欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。

其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。

此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。

简介(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。

分式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c复变函数e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

多面体定理有多个相关的概念。

1. 多面体：是指由四个或更多个多边形所围成的立体。

在传统意义上，它是一个三维的多胞形，而在更新的意义上，它是任何维度的多胞形的有界或无界推广。

2. 多面体欧拉定理：对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系。

在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为“顶点数-棱长数+表面数=2”。

简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

3. 拓扑多面体：将多面体的定义进一步一般化，就得到拓扑多面体。

请注意，多面体定理是一个相对专业的数学概念，如果想要获取更多详细信息，建议请教数学领域专业人士。

多面体的种类和分类教案。

一、多面体的基本概念和性质多面体有以下几个基本概念和性质：1.多面体的面：多面体的面是指一个多边形，并且该面与其他面之间都有共同的边界线段（棱）。

2.多面体的棱：多面体的棱是指连接两个相邻面的线段。

3.多面体的顶点：多面体的顶点是指多面体所有的棱所在的交点。

4.多面体的欧拉公式：对于任意一个简单多面体，其面数、顶点数和棱数满足以下欧拉公式：面数 + 顶点数 - 棱数 = 25.多面体的重心：多面体的重心是指其所有顶点和棱的中心位置。

二、几何体的分类在学习多面体的种类和分类前，我们需要了解下几何体的分类。

几何体分为欧氏几何中三维的几何体、非欧几何中三维的几何体、射影几何中的四维几何体、欧几里德几何中多维几何体等。

其中的欧氏几何中的三维几何体，又可以分为简单多面体和复合多面体两种；而简单多面体又可以分为四类：正多面体、柱面体、稜棱柱体、棱锥体。

三、多面体的种类和分类1.正多面体：正多面体是指多个相同正多边形组合而成的立体几何图形，各个面都是相等的，并且每一对相邻的面之间的棱都相等和垂直。

目前已知的正多面体有五种，分别为：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

2.柱面体：柱面体是由两个平行相等且有相同的多边形作为截面的平面沿着这个多边形所在的平面向着另一个多边形的平面平移形成的多面体。

根据截面的形状，柱面体分为正多边形柱、圆柱和椭圆柱等类别。

3.稜棱柱体：稜棱柱体是由一组棱与若干个平行相等且有相等多边形的截面的平面所夹成的空间所包围的多面体。

根据多边形的形状，稜棱柱体可以分为正稜棱柱、斜稜棱柱和准稜棱柱等。

4.棱锥体：棱锥体是由一组棱与一个多边形的平面所夹成的空间所包围的多面体，其中多边形称为底面，棱都共同汇聚于底面的一个顶点。

根据底面的形状，棱锥体可以分为正棱锥、斜棱锥和准棱锥等。

以上四种多面体都是简单多面体，具有一些共同的性质和特点，例如各面都是相等的、任意两个相邻面之间都相交于一条共同的边缘等。

最大平面（球面）拓扑图中的各点度数关系式推导浙江宁波奉化焦永溢2019.10.30拓扑学中有个非常著名的“简单多面体欧拉公式”，就是在任何简单多面体（变形后能成为球形的多面体）的表面有着这样一个恒等关系：顶点数+面数-棱数=2；也可写成：顶点数+面数-2=棱数。

如大家非常熟悉的立方体，顶点有八个，面有六个，它的棱数就一定是8+6-2=12。

这个公式也称为简单多面体的欧拉定理，公式的表达及推导都是十分的简单容易。

今天我要向大家展示的是一个新发现并推导出的公式，是关于最大平面拓扑图中各个点度数间关系的一个恒等式，与上述的欧拉公式非常类似。

先来介绍一下两个名词：“最大平面”是指球面，就是要把平面拓扑图覆盖到球面上，平面图的外面（球的后面）应该有一个大的点与平面图的外面一圈上每个点都有连线；反过来从球的后面看，就是中间必须有一个大的点，与外围一圈中的每个点都有连线。

这样处理后，整个球面拓扑图的结构中就只有三边形，没有其它多边形的存在，这样全都由三边形组成的拓扑图才是最大平面拓扑图。

在研究“四色问题”时，必须要在最大平面（球面）上分析，若没有外面（球后面中间）的这一点，带多边形的拓扑图所研究出来的是伪四色，一旦要加上这点就变成需要五色了。

“度数”是指最大平面拓扑图上的每个点各自所连接的线条数，也就是这个点的外面所包围它的一圈中的点数。

在各度数的点中可发现六度的点是特殊的点，我们可通过足球表面每块皮的拓扑关系，来分析六度的点与其它度数点的相互关系。

图1左边所示的足球，好像每块皮都是六角形的，其实这是不可能的，每块都是六角形的话，就是说画成右边所示的拓扑图后，每个点都是六度的。

拓扑学中已经有这样的定理了：整个最大平面图中，度数最小的点一定小于等于五度。

我不知这定理是怎么推出来的，但从我以下对这个错误的足球图分析中，确实可证明，必须要有若干个五度及以下的点，否则这平面图不能覆盖到球面上去。

我们先把这个错误的足球中一块黑色当中心点，围着它的第一圈红线圈上是六个白色点；这六个白色点各自向圈内的连线只有一条，加上与左右相连的两条红线就三条了，向外必须要有三条才能保持六度。

高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a.在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE CE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CEEH＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。