高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9.1

第九章 欧几里德空间§1基本知识§1. 1 基本概念 1、欧式空间： 2、向量的长度：3、向量之间的夹角：4、单位向量：5、向量的正交：6、度量矩阵：7、正交向量组：8、正交基与标准正交基： 9、正交矩阵：10、欧式空间的同构： 11、正交变换：12、子空间、子空间的正交与正交补： 13、内射影或正射影： 14、对称变换：15、向量之间的距离： 16、最小二乘法：§1. 2 基本定理定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.定理2 （标准正交基的存在性定理）对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ，使得：n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.定理4（正交变换的等价条件）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则如下条件等价（1）σ是正交变换；（2）σ保持向量的长度不变，即：V ∈∀=ααασ|,||)(|；（3）如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基；（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么：s V V V +++ 21是直和。

定理6（正交补存在性定理）n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。

定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵P ，使得：AP P T 为对角矩阵。

§1. 3 基本性质1、欧式空间的性质：（1）零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零；（2）对任何R a V ∈∈,,,ζηξ，有：),(),(),(ηζξζηξζ+=+；),(),(ηξηξa a =；（3）s j r i R b a V j i j i ,,2,1;,,2,1,,,, ==∈∈∀ηξ，有：∑∑∑∑=====r i sj j i j i j s j j i r i i b a b a 1111),(),(ηξηξ；（4）V ∈∀βα,，有：),)(,(),(2ββααβα≤，当且仅当βα,线性相关时，等号成立。

第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。