§11-3 静电场的高斯定理
一、 电场线
电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E
用电场线描述
规定：E 方向：电力线切线方向
大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=
ds
dN
即 ds dN
E =
（即：某点场强大小=过该点并垂直于E
的面元上的电力线密度。）
2、静电场中电场线性质
⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量
定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e Φ表示。
下面分几种情况讨论。 1、匀强电场
⑴平面S 与E 垂直。如图所示，由E
的 大小描述可知：
⑵平面S 与E 夹角为θ，如图所示，由E
的大小描述知：
S E ES ES e ⋅===Φ⊥θcos )(n S S
=
⎧
⎪⎨
⎪
⎩
式中n 为S
的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量
如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上
E 可视为均匀，设n
为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为θ，则通过dS 电场强度通量为：
S d E d e
⋅=Φ
通过曲面S 的电场强度通量为：
⎰⎰⋅=Φ=Φs
e e S d E d
在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量
e s
E dS Φ=
⋅⎰
注意：通常取面元外法向为正。 三、高斯定理
高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量
的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任
意r 为半径的球面，S 上任一点p
处E 为：
r e r q E 2
04πε=
2、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：
⎰
⎰
⎰=⋅⋅=⋅=Φs
s
r s
e dS r
q e S d r
q S d E 2
02
044πεπε
（r
、ds 同向）
2
02
044επεπεq
dS r q dS r q s
s
=
=
=⎰⎰
结论：e Φ与r 无关，仅与q 有关)(0const =ε 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量
⑴q +在S 内情形
如图所示，在S 内做一个以q +为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为
εq
。∵通过S 1的电力线
必通过S ，即此时es es Φ=Φ1
，∴通过S 的 电场强度通量为0
e s
q E dS εΦ=
⋅=
⎰
⑵q +在S 外情形。
此时，进入S 面内的电力线必穿出S 面，即 穿入与穿出S 面的电力线数相等，
∴0e s
E dS Φ=
⋅=⎰
结论：S 外电荷对e Φ无贡献
=Φe
0εq
q 在S 内 0 q 在S 外
3、点电荷系情况
在点电荷n q q q q ⋅⋅⋅,,,321电场中，任一点场强为
n E E E E E +⋅⋅⋅+++=321
通过某一闭合曲面电场强度通量为：
()⎰⎰⋅+⋅⋅⋅+++=⋅=Φs
n s
e S d E E E E S
d E
321
⎩
⎨⎧
∑⎰⎰⎰⎰=
⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=内
S s
n s
s
s
q S d E S d E S d E S d E 0
3211ε
即0
1
e S s
E dS q εΦ=
⋅=
∑⎰
内
上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以0ε。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便
于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明
⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>0时，不能说S 内只有正电荷
当∑
⎰=
⋅=Φ内
S s
e q S d E 0
1
ε <0时，不能说S 内只有负电荷 =0时，不能说S 内无电荷
注意：这些都是S 内电荷代数和的结果和表现。
⑷高斯定理说明∑⎰=
⋅=Φ内
S s
e q S d E 0
1
ε 与S 内电荷有关而与S 外电荷无关，
这并不是说E 只与S 内电荷有关而与S 外电荷无关。实际上，E
是由S 内、外所有电荷产生的结果。 ⑸高斯面可由我们任选。
四、应用高斯定理求场强
下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
