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§11-3 静电场的高斯定理一、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E用电场线描述规定：E 方向：电力线切线方向大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=dsdN即 ds dNE（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。
）2、静电场中电场线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e 表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场⑴平面S 与E 垂直。
如图所示，由E的 大小描述可知：⑵平面S 与E 夹角为 ，如图所示，由E的大小描述知：S E ES ES ecos )(n S S式中n 为S的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上E 可视为均匀，设n为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为 ，则通过dS 电场强度通量为：S d E d e通过曲面S 的电场强度通量为：se e S d E d在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e sE dS vv Ñ注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任意r 为半径的球面，S 上任一点p 处E为：r e r q E 2042、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：ssr se dS rq e S d rq S d E 202044（r、ds v同向）202044 qdS r q dS r q ss结论：e 与r 无关，仅与q 有关)(0const 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量⑴q 在S 内情形如图所示，在S 内做一个以q 为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为q。
华中师范大学武汉传媒学院毕业论文（设计）静电场中的高斯定理的应用院系：传媒工程系专业：电子信息工程班级：B1001班*****学号：***********指导教师：黄**2014年3月29日静电场中的高斯定理的应用Gauss theorem of electrostatic field摘要高斯定理是电磁学的一条重要定理，他不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。
本文比较详细的介绍了高斯定理在静电场中的应用，并提供了数学法，直接证明法等方法证明他，总结出应用高斯定理应注意的几个问题和高斯定理几种对称性求解场强的方法，最后推导出了介质中的高斯定理的求解方法，从这些问题中可以发现高斯定理在解决静电场问题的方便之处。
关键词：高斯定理静电场应用AbstractGauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this paper the gauss theorem in the application of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss theorem, the method of the gauss theorem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field.Keywords: Gauss theorem Electrostatic field Application目录摘要 (3)Abstract (4)绪论 (1)1 静电场中高斯定理的表述及验证 (2)1.1高斯定理的定义： (2)1.2高斯定理的验证： (2)1.2.1单个点电荷被包围在同心球面内 (2)1.2.2单个点电荷被包围在任意闭合曲面内 (2)1.2.3单个点电荷在任意闭合面外 (3)1.2.4闭合面内外均有点电荷的情况 (3)1.3从库伦定律推导高斯定理 (4)2 高斯定理常见三种对称性分析 (7)2.1 球对称性 (7)2.2 轴对称性 (8)2.3 面对称性 (9)3 介质中的高斯定理的研究 (12)3.1电介质中的高斯定理： (12)结束语 (13)5 收获与体会 (14)致谢 (15)6 主要参考文献 (16)绪论电磁学是研究电磁相互作用和电磁运动基本规律的一门学科，是经典物理学的一个重要分支，也是近代物理学不可缺少的基础。
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
221rq q k F =r r q q Fˆ412210πε= rr q E ˆ420πε=304d d rqr E πε =⎰=E Edq F E =E qF ii ⋅=∑0E dqF Q ⋅=⎰0电通量：0d cos εθiSq S E S E Φ∑=⋅=⋅=⎰⎰(高斯定理)点电荷在高斯面外，0d =⋅=⎰⎰SS E Φ有限长均匀带电直线：j E i E E y x+=？？==y x E E 无限长均匀带电直线：r rEˆ20πελ=均匀带电圆环轴线上：23220)(4R x iqx E +=πε无限大均匀带电平面：02εσ=E 垂直于带电面 =+=-+E E E0εσ平行板内的场强：0εσ=E 板间电势差：Ed V =平行板的的静电能：Sd E VQ W e 22121ε==半径为R 带电为q 的均匀带电球面的电场：24d επq r E S E S∑=⋅=⋅⎰204r qE πε∑=∴r < R 时，高斯面无电荷，0=E ；r > R 时，高斯面包围电荷q ，204rq πε=E两平行板间 两平行板外侧半径为R 带电量为Q 的均匀带电球体的电场：R r r 30<ερ=ER r r 13R 203>ερ无限长均匀带电圆柱面圆柱半径为R 沿轴线方向单位长度带电量为λ的电场：⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅上下底面侧面S d E S d E S d E srl E π2⋅=2επ∑=⋅q rl Er < R 时，l q λ=∑ ，rE 02πελ=r > R 时，0=∑q ，0=E静电场力所做的功：)11( π4d π40020末初末初r r qq r r qq W r r -==⎰εεBA B A U q V q V q 000-=-=单位：V静电场力做功与路径无关电势零点选择方法：对于有限长带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零；对于无限长均匀带电直线，只能选有限远点为电势零点；对无限大均匀带点平面，也只能选有限远点为电势零点。
§11-3 静电场的高斯定理一、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E用电场线描述规定：E 方向：电力线切线方向大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=dsdN即 ds dNE =（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。
）2、静电场中电场线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e Φ表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场⑴平面S 与E 垂直。
如图所示，由E的 大小描述可知：⑵平面S 与E 夹角为θ，如图所示，由E的大小描述知：S E ES ES e ⋅===Φ⊥θcos )(n S S=⎧⎪⎨⎪⎩式中n 为S的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上E 可视为均匀，设n为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为θ，则通过dS 电场强度通量为：S d E d e⋅=Φ通过曲面S 的电场强度通量为：⎰⎰⋅=Φ=Φse e S d E d在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e sE dS Φ=⋅⎰注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任意r 为半径的球面，S 上任一点p处E 为：r e r q E 204πε=2、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：⎰⎰⎰=⋅⋅=⋅=Φssr se dS rq e S d rq S d E 202044πεπε（r、ds 同向）202044επεπεqdS r q dS r q ss===⎰⎰结论：e Φ与r 无关，仅与q 有关)(0const =ε 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量⑴q +在S 内情形如图所示，在S 内做一个以q +为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为εq。
∵通过S 1的电力线必通过S ，即此时es es Φ=Φ1，∴通过S 的 电场强度通量为0e sq E dS εΦ=⋅=⎰⑵q +在S 外情形。
此时，进入S 面内的电力线必穿出S 面，即 穿入与穿出S 面的电力线数相等，∴0e sE dS Φ=⋅=⎰结论：S 外电荷对e Φ无贡献=Φe0εqq 在S 内 0 q 在S 外3、点电荷系情况在点电荷n q q q q ⋅⋅⋅,,,321电场中，任一点场强为n E E E E E +⋅⋅⋅+++=321通过某一闭合曲面电场强度通量为：()⎰⎰⋅+⋅⋅⋅+++=⋅=Φsn se S d E E E E Sd E321⎩⎨⎧∑⎰⎰⎰⎰=⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=内S sn sssq S d E S d E S d E S d E 03211ε即01e S sE dS q εΦ=⋅=∑⎰内上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以0ε。
这就是真空中的高斯定理。
上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。
后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>0时，不能说S 内只有正电荷当∑⎰=⋅=Φ内S se q S d E 01ε <0时，不能说S 内只有负电荷 =0时，不能说S 内无电荷注意：这些都是S 内电荷代数和的结果和表现。
⑷高斯定理说明∑⎰=⋅=Φ内S se q S d E 01ε 与S 内电荷有关而与S 外电荷无关，这并不是说E 只与S 内电荷有关而与S 外电荷无关。
实际上，E是由S 内、外所有电荷产生的结果。
⑸高斯面可由我们任选。
四、应用高斯定理求场强下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。
可以看到，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
1. 一均匀带电球面，半径为R ，电荷为q +，求：球面内外任一点场强。
解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O 为球心任意球面上的各点E值相等。
⑴球面内任一点1P 的场强以O 为圆心，通过P 1点做半径为1r 的球面1S 为高斯面，高斯定理为：∑⎰=⋅内111S s q S d E ε∵E 与S d 同向，且1S 上E值不变∴214111r E dS E dS E S d E s s s π⋅==⋅=⋅⎰⎰⎰0110=∑内S q ε0421=⋅⇒r E π∴0=E即均匀带电球面内任一点P 1场强为零。
注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。
（在个别点有可能为零）⑵球面外任一点的场强以O 为圆心，通过P 2点以半径2r 做一球面2S 作为高斯面，由高斯定理有：q r E 02214επ=⋅204rq E πε=⇒方向：沿2OP 方向（若0<q ，则沿方向）结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。
=E 0 )(R r <204rq πε )(R r >2．有均匀带电的球体，半径为R ，电量为q +，求球内外场强（8-13）。
解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O 为圆心的任意球面上各点的E相同。
（1）球内任一点P 1的?=E以O 为球心，过P 1点做半径为1r 的高斯球面S 1，高斯定理为：∵E 与S d 同向，且S 1上各点E值相等，∴214111r E dS E dS E S d E s s s π⋅==⋅=⋅⎰⎰⎰313031300343411r R q r R q q S εππεε=⋅=∑内3130214r R q r E επ=⋅⇒ ∴1304r R qE πε=E 沿OP 方向。
（若0<q ，则E沿P 1方向） 结论：1r E ∝注意：不要认为S 1外任一电荷元在P 1处产生的场强为0，而是S 1外所有电荷元在P 1点产生的场强的叠加为0。
（2）球外任一点P 2的?=E⎪⎩⎪⎨⎧∑⎰=⋅内111S s qS d E ε以O 为球心，过P 2点做半径为2r 的球形高斯面S 2，高斯定理为：∑⎰=⋅内221S s q S d E ε由此有：q r E 02214επ=⋅2204r qE πε=⇒E沿2OP 方向结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。
=E 1304r R qπε )(1R r < 204r qπε )(R r >r E - 曲线如左图。
3．无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为0>σ，求柱面内外任一点场强。
解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E值相等。
1）带电圆柱面内任一点P 1的?=E以OO’为轴，过P 1点做以1r 为半径高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1，下底为S 2，侧面为S 3。
高斯定理为：∑⎰=⋅内S sq S d E 01ε在此，有：⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅321s s s sS d E S d E S d E S d E∵在S 1、S 2上各面元E S d⊥1，∴上式前二项积分=0，又在S 3上S d 与E同向，且E =常数，∴h r E dS E EdS S d E s s s1233π⋅===⋅⎰⎰⎰01=∑内S q ε021=⋅⇒h r E π∴0=E结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=02）带电柱面外任一点场强?=E以'OO 为轴，过P 2点做半径为2r 高为h 的圆柱形高斯面，上底为S 1’，下底为S 2’，侧面为S 3’。
由高斯定理有：Rh h r E πσεπ21201⋅=⋅2022r RE πεπσ⋅=⇒∵[]122⋅⋅=⋅R R πσπσ=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=λ∴202r E πελ=，E 由轴线指向P 2。
0<σ时，E 沿P 2指向轴线结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。
4.无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ+，求平面外任一点场强。
解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相同的任意二点处的E值相等。
设P 为考察点，过P 点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S 1，左端面为S 2，侧面为S 3，高斯定理为：∑⎰=⋅内S sq S d E 01ε在此，有：⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅321s s s sS d E S d E S d E S d E∵在S 3上的各面元E S d⊥，∴第三项积分=0又 ∵在S 1、S 2上各面元S d 与E 同向，且在S 1、S 2上E=常数，∴有： 12122121ES ES ES dS E dS E EdS EdS S d E s s s s s=+=+=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰1011S q S σεε⋅=∑内10112S S E σε⋅=⋅⇒即： 02εσ=E （均匀电场） E 垂直平面指向考察点（若0<σ，则E由考察点指向平面）。
5.有二平行无限大均匀带电平板A 、B ，电荷面密度分别为1）σσ++,；2）σσ-+,。
求：板内、外场强。
解：设P 3为二板内任一点，B A E E E +=即 00022εσεσεσ=+=+=B A E E E 设P 4为B 右侧任一点（也可取在A 左侧）B A E E E +=即： 02200=-=-=εσεσB A E E E 上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。
但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。
应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算?⎰=⋅s S d E?10=∑内S q ε4）由高斯定理∑⎰=⋅内S sqS d E 01ε 求出E 。
