初三上学期一元二次方程 韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案之欧阳歌谷创作

根与系数的关系一．韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．二．韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥）我们有如下结论：1．1200c x x a <⇒<，若0b a -≥，则12x x ≥；若0ba -<，则12x x <．2．1200c x x a >⇒>．若0b a ->，则120x x ≥>；若0ba -<，则210x x ≤<．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：（1）121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <（2）12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > （3）12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3．已知方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；5．逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立知识精讲三点剖析题模精讲题模一：韦达定理例 4.1.1若方程240x x c-+=的一个根为2+，则方程的另一个根为______，c=______．【答案】21c=【解析】根据韦达定理，124x x+=，因为12x=+，所以22x=，所以(12221c x x=⋅==例4.1.2如果a，b都是质数，且213a a m-+，2130b b m-+=，求b aa b+的值．【答案】当a b=时，2b aa b+=；当a b≠时，12522b aa b+=【解析】当a b=时，2b aa b+=；当a b≠时，a、b为方程2130x x m-+=的两个根，所以13a b+=，则2a=，11b=或2b=，11a=．所以21112511222b aa b+=+=．例 4.1.3设1x、2x是方程()222120x k x k-+++=的两个不同的实根，且()()12118x x++=，则k的值是．【答案】1k=【解析】由根与系数的关系得()1221x x k+=+，2122x x k⋅=+．且有()()224142840k k k∆=+-+=->，即12k>．所以()()12118x x++=．从而2230k k+-=，解之得3k=-或1k=．又12k>，所以1k=．例4.1.4已知关于x的方程211300x x a-++=的两根都大于5，求a的取值范围．【答案】14a<≤【解析】设1x，2x是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x xx x ax xa--=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得14a<≤．随练 4.1 已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n +=_______． 【答案】 3【解析】 由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=有一个根是52-，所以方程的另一个根是52--．由韦达定理知：(52)(52)m -=--+-，(52)(52)n =--⨯-∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．随练4.2 已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值． 【答案】 -1【解析】 有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-随练4.3 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】 52m >【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练4.4 如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值 【答案】 当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当13a b ==-+时，1131a b+=+，当13a b ==--时，1113a b+=- 随堂练习【解析】 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+==；当1a b ==-1121a b a ∴+===-。

韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。

2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。

9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。

11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。

12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。

韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题2x21、关于 x 的方程 3x m 0 ，当时，方程有两个正数根；当 m 时，方程有一个正根，一个负根； 当 m时，方程有一个根为 0。

2 x 2 2、已知一元二次方程3 x 1 0 的两根为 x 、 x ，则 ． x x 1 2 1 223、如果 x 1 ， x 2 是方程 x 0 的两个根，那么 ．5x 6 x 1 x 2 x 2 x 1x 1 x 224、已知 x 1 ， x 2 是方程 x 0 的两实数根，则的值为 ．6x 3 2 5、设 x 1 、 x 2 是方程 0 的两个根，则 ． 2 x 4 x 3 ( x 1 1)( x 2 1)2x2，则 a 2β2 6、若方程 4x3 0 的两根为 2 a β ．、 13227、已知 x 1 、x 2 是关于 x 的方程 (a 1 0 的两个实数根， 且 x 1 ＋ x 2 ＝ ，则 x 1 x 2 ＝．1) x x amx28、已知关于 x 的一元二次方程 4 x 6 0 的两根为 x 和 x ，且 2 ，x x 1 2 12x 1 x 2则 m ， x x 。

1 22x29、若方程 5 x 0 的两根之比是 2：3，则 k．k x210、如果关于 x 的方程 6 x k 0 的两根差为 2，那么 。

k2x211、已知方程 4 0 两根的绝对值相等，则 m 。

mx 2 x12、已知方程 2 0 的两根互为相反数，则 m。

mx (a 2 1)x 2 13、已知关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 1 0 两根互为倒数，则 a。

2x214、已知关于 x 的一元二次方程 2(m 1)x 0 。

若方程的两根互为倒数，则 m；m若方程两根之和与两根积互为相反数，则m。

px 20 ( p 0) 的两根为 15、一元二次方程 p: q qx r 0 和 －1，则 。

13 ，那么常数项应改为93x216、已知方程 1 0 ，要使方程两根的平方和为 。

韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ） （A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

苏科版九上1.3一元二次方程根与系数的关系班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.若关于x的方程x2+3ax−4=0有一个根为−1，则另一个根为()A. —2B. 2C. 4D. —32.下列方程中，两根之和为2的是()A. x2+2x−3=0B. x2−2x−3=0C. x2−2x+3=0D. 4x2−2x−3=03.已知x1、x2是一元二次方程x2−4x+1=0的两个根，则x1⋅x2等于()A. −4B. −1C. 1D. 44.已知方程x−5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2−x1x2的值为()A. −7B. −3C. 3D. 75.已知一元二次方程x2−2x−1=0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为A. 12B. 8C. 6D. .46.已知方程x2−4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式x12+2x1+x22−4x22+2011的值是()A. 2011B. 2012C. 2013D. 20147.已知m、n是关于x的方程x2−3x+a=0的两个根．若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为()A. −10B. 4C. −4D. 108.已知x≠y，且x2+2x=3，y2+2y=3，则xy的值为()A. −2B. 2C. −3D. 3二、填空题9.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根的值为_____．10.已知一元二次方程x2−2x−1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为 _____ ．11.若x1，x2是方程x2−3x−4=0的两根，则代数式2x1+2x2−x1x2的值是________．12.若α、β是方程x2+2x−2014=0的两个实数根，则α+β的值为________，α2+3α+β的值为________．13.设x1，x2是一元二次方程x2+5x−1=0的两个根，那么x13−11x1−3x22−16=______ ．14.已知α、β是方程x2−2x−4=0的两个实数根，则α2β+αβ2的值是________．15.若方程x2−kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______ ．三、解答题16.已知关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根;(2)若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．17.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．(1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18.已知x1，x2是方程2x2−3x−1=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．(1)x12+x22(2)(x1+1x2)(x2+1x1)答案和解析1.C解：设方程另一个根为x1，∴x1×(−1)=−4，解得：x1=4．2.B解：A.△=22−4×(−3)>0，方程有实数解，两根之和为−2，故此选项错误；A.△=(−2)2−4×(−3)>0，方程有实数解，两根之和为2，故此选项正确；；C.△=(−2)2−4×3<0，方程没有实数解，故此选项错误；D.△=(−2)2−4×4×(−3)>0，方程有实数解，两根之和为1，故此选项错误．23.C解：根据题意得x1⋅x2=1．4.C解：∵x2−5x+2=0的两个解分别为x1，x2，∴由韦达定理，得x1+x2=5，x1x2=2；∴x1+x2−x1x2=5−2=3．5.C解：由x1，x2是方程x2−2x−1=0的根，则x1+x2=2，x1·x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2×(−1)=6．6.D解：∵方程x2−4x+2=0的两根是x1，x2，∴x12+2=4x1，x22−4x2=−2，∴x12+2x1+x22−4x22+2011=4x1x1+−22+2011=4−1+2011=2014．7.C解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵(m−1)(n−1)=mn−(m+n)+1=−6，∴a−3+1=−6，解得：a=−4．8.C解：依题意可知，x、y可以看作是关于t的方程t2+2t−3=0的两个不相等的实数根，所以xy=−3．9.−1解：设方程的另一个根为m，根据题意得：−2+m=−3，解得：m=−1．10.2解：由题意可得：x1+x2=2．11.10解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−4，所以2x1+2x2−x1x2=2×3−(−4)=10．12.−2；2012解：∵α，β是方程x2+2x−2014=0的两个实数根，∴α+β=−2，α2+2α−2014=0，即α2+2α=2014，∴α2+3α+β=(α2+2α)+(α+β)，=2014−2，=2012，13.−99解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x−1=0的两个根，∴x12=−5x1+1，x22=5x2+1，x1+x2=−5，∴x13−11x1−3x22−16=−5x12+x1−11x1−3(−5x2+1)−16=−5(−5x1+1)−10x1+15x2−3−16=15(x1+x2)−5−3−16=−99，14.−8解：根据题意得：α+β=2，αβ=−4，α2β+αβ2=αβ(α+β)=−4×2=−8．15.5解：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2−kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据题意得a+b=−k，a+5+b+5=k，所以10−k=k，解得k=5．16.(1)证明：Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−m2)=16+4m2．∵m2≥0，即4m2≥0，∴16+4m2>0，∴b2−4ac>0，∴该方程有两个不相等的实数根；(2)解：∵方程x2−4x−m2=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1x2=−m2②.又∵x1+2x2=9③，∴联立①③，解得x1=−1，x2=5，∴x1x2=−5=−m2，解得m=±√5．故m的值为±√5．17.(1)解：设方程的另一根为t，根据题意得2+t=−a，2t=a−2，所以2+t +2t =−2，解得t =−43， 所以a =−23；(2)证明：△=a 2−4(a −2) =a 2−4a +8 =(a −2)2+4， ∴△>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18. 解：∵x 1，x 2是方程2x 2−3x −1=0的两个根，∴x 1+x 2=− b a=32，x 1x 2= c a=−12，(1)原式==94+1 =134;(2)原式=x 1x 2+2+1x 1x 2=−12+2−2=−12．1、最困难的事就是认识自己。

一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于 x 的方程ax22x 1 0 中，如果 a 0 ，那么根的情况是（ B ）（ A）有两个相等的实数根（ B）有两个不相等的实数根（ C）没有实数根（ D）不能确定解：( 2)24a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根。

4 4a 4 4a 0a 0 即02．设 x1, x2是方程2x2 6 x30 的两根，则 x12x22的值是（ C ）（A）15 （ B）12 （C）6 （D）3解：方程两根为 x1，x2x1 2 x2 2 ( x1x2 )22x1 x2 x1x23， x1x23 32 2 3 6 2 23．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（ A）2y2+5=6y（ B） x2+5=25 x（ C）3 x 2－ 2 x+2=0 （ D） 3x2－ 2 6x+1=0(本题为找出“0”的方程即可 )4．以方程 x2＋ 2x－ 3＝ 0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A） y2+5y－ 6=0 （ B） y2+5y＋6=0 （ C）y2－ 5y＋6=0 （ D） y2－ 5y－ 6=0解：设方程两根为 x1，x2，则：y 2[( 2) ( 3)] y ( 2)( 3)x1 x22，x1 x23 即： y 25y 6 0以2和 3为根的一元二次方程为：5．如果 x1， x2是两个不相等实数，且满足x1 2 2x11， x222x2 1 ，那么 x1x2等于（ D ）（A）2 （B）－ 2（C） 1 （D）－1解： x1 2 2x11，x222x2 1 的两根x1， x2可看作是方程 x22x 1 x1 x2 1二、填空题：1、如果一元二次方程x24x k 20 有两个相等的实数根，那么k＝ 2 。

解：方程 x 24x k 20 16 4k 20 有两个相等的实数根k 212、如果关于 x 的方程 2 x 2 ( 4 1) x 2 2 1 0 kk 9k k 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 。

根与系数的关系（韦达定理）练习题一、填空：1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0（B ）正数（C ）－8（D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C )－2 (D)－5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B)－6 (C )21(D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练欧阳引擎（2021.01.01）一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

WORD 格式 .可编辑韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x23x m0 ，当时，方程有两个正数根；当 m时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为 0。

2、已知一元二次方程2x23x 1 0 的两根为 x1、 x2，则 x1x2．3、如果 x1， x2是方程x25x 6 0 的两个根，那么 x1x2．4、已知x1，x2是方程x26x 3 0 的两实数根，则x2x1的值为 ______．x1x25、设x1、x2是方程2x24x 3 0 的两个根，则 ( x1 1)( x2 1)．24x 30 的两根为、，则 a 22．6、若方程2x2aββ7、已知 x1、x2是关于x的方程(a 1) x2x a 2 1 0 的两个实数根，且x1＋x2＝1，则x1x2＝．38、已知关于x的一元二次方程mx24x60 的两根为 x1和 x2，且 x1 x2 2 ，则 m， x1 x2x1 x2。

9、若方程2 x25x k0 的两根之比是2：3，则k．10、如果关于x的方程x26x k0 的两根差为2，那么k。

11、已知方程2x2mx40 两根的绝对值相等，则 m。

12、已知方程x2mx20的两根互为相反数，则 m。

13、已知关于x的一元二次方程(a21)x 2(a 1)x10 两根互为倒数，则 a。

14、已知关于x的一元二次方程x22(m 1)x m20 。

若方程的两根互为倒数，则 m；若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m。

15、一元二次方程px 2qx r0(p0) 的两根为和－，则p: q。

116、已知方程3x2x 1 0 ，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为。

917、已知方程x24x2m0 的一个根比另一个根小4，则；； m。

WORD 格式 .可编辑19、已知关于x的方程x23mx2(m 1)0 的两根为 x1、x2，且113，则 m。

x1x2420、若方程x24x m0 与 x2x2m0 有一个根相同，则 m。

判别式、根与系数的关系专题训练〔3〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、根底知识：1、 一元二次方程的判别式与解的关系：ac b 42-=∆1〕当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根，反之也成立。

2〕当b 2－4ac 0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立。

3〕当b 2－4ac 0时，方程有实数根，反之也成立。

4〕当b 2－4ac 0时，方程没有实数根，反之也成立2、 一元二次方)0(02≠=++a c bx ax ，设方程的两个根分别为2,1x x ，那么有：1〕_______21=+x x ， 2〕______21=•x x3〕,__________2221=+x x 4〕_________,2112=+x x x x 5〕,__________2221=-x x 6〕 ______________||21x x - ，7〕______________21x x -，二、才能训练1、一元二次方程0132=-+x x ，判断方程有 个根。

2、方程022=+-mx x 有两个不相等实数根，那么x 的取值范围 。

3、一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，那么221212x x x x +的值是〔 〕Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 4、正比例函数(1)y a x =+的图象经过第二、四象限，假设a 同时满足方程22(12)0x a x a +-+=，那么此方程的根的情况是〔 〕Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．不能确定5、假设一元二次方01)12(22=+-+x k x k ，有两个不相等的实数根，是否存在k 是方程的两个根互为相反数，假设存在求出k 的值，不存在，说明理由。

6、一元二次方程0)2(222=+--m x m x ，是否存在实数m,是方程的两个根的平方和为56，存在求出m 的值，不存在说明理由。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根考点：根与系数的关系．专题：应用题．分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可．解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ．（1）计算对称式的值例一 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．（2）定性判断字母系数的取值范围例二 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。

例三 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例四 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12 D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是()A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k的取值范围；(2) 若121 2xx，求k的值．。

九年级上册数学解一元二次方程根与系数的关系同步练习及答案1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )A ．x 2＋2x －3＝0B ．2x 2－2x ＋3＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2－2x －3＝04．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为______．5．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1b的值是________． 6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)3x 2－x ＝3; (2)3x 2－2x ＝x ＋3.7．已知一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0.(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝3，求m 的值．8．点(α，β)在反比例函数y ＝k x的图象上，其中α，β是方程x 2－2x －8＝0的两根，则k ＝__________9．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________． 10．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．答案1．B 2.B 3.D 4.25．－65解析：∵a ，b 是一元二次方程的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝－5.1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－65. 6．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．10 解析：x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3, x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝10. 10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。

人教版九年级数学上册经典考卷带参考答案和解析第21章一元二次方程韦达定理测考卷带参考答案和解析选择题如果关于x的方程有实数根α、β，那么α+β的取值范围是( )A. α+β≥1B. α＋β≤1C. α＋β≥D. α＋β≤【答案】A【解析】试题解析：∵a=1，b=-2（1-k），c=k2，∴△=b2-4ac=[-2（1-k）]2-4×1×k2≥0，∴k≤，∵a+β=2（1-k）=2-2k，而k≤，∴α+β≥1．故选A．选择题若关于x的方程4x2?（2k2+k?6）x+4k?1=0的两根互为相反数，则k的值为（）A. B. ?2 C. ?2或 D. 2或【答案】B【解析】根据题意得2k2+k?6=0，解得k=?2或，当k=时,原方程变形为4x2+5=0，△=0?4×4×5 ）2?3，因a≥2，所以当a=2时，（m?1）2+（n?1）2有最小值，即（m?1）2+（n?1）2的最小值=4（a?）2-3=4（2?）2?3=6，故选A．选择题小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，?3，而小华看错常数项，解错两根为?2，5，那么原方程为（）A. x2?3x+6=0B. x2?3x?6=0C. x2+3x?6=0D. x2+3x+6=0【答案】B【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，?3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为?2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，可得：α?β=?6，α+β=?3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2?3x?6=0，故选：B．选择题已知α、β是方程2x2?3x?1=0的两个实数根，则（α?2）（β?2）的值是（）A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由α、β是方程2x2?3x?1=0的两个实数根，可得α+β=，αβ=?，再由式子求得（α?2）（β?2）=αβ?2（α+β）+4=??2×+4=．故选：A选择题关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2且x1+x2>0,x1x2>0，则m的取值范围是(? )A. m≤B. m≤且m≠0C. m ，解之得，m，，.，.，-②得.故选A.选择题已知实数a，b分别满足a2－6a+4=0，b2－6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A. 7B. －7C. 11D. －11【答案】A【解析】根据已知两等式得到a与b为方程x2-6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．解：根据题意得：a与b为方程x2-6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，则原式===7．故选A．“点睛”此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．选择题y=x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0根的情况为（）A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根【答案】A【解析】∵y=x+1是关于x的一次函数,，.∴方程没有实数根；故选A.填空题若方程x2?kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k 的值是______．【答案】5【解析】试题分析：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则由方程x2?kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，得a+b=?k，a+5+b+5=k，所以10?k=k，解得k=5．故答案为：5．填空题设α，β是一元二次方程x2+3x?7=0的两个根，则α2+4α+β=______．【答案】4【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，以及一元二次方程的解，由α，β是一元二次方程x2+3x?7=0的两个根，可求出α+β=?3，α2+3α?7=0，即α2+3α=7，然后代入可求解为：α2+4α+β=α2+3α+α+β=7?3=4，故答案为：4．填空题设x1，x2是一元二次方程x2+5x?3=0的两根，且2x1（x22+6x2?3）+a=4，则a=______．【答案】10【解析】试题分析：根据一元二次方程的解，由x2是一元二次方程x2+5x?3=0的根，代入可得x22+5x2?3=0，即x22+5x2=3，然后根据题意2x1（x22+6x2?3）+a=4，可得2x1?x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由x1，x2是一元二次方程x2+5x?3=0的两根，求得x1x2=?3，即2×（?3）+a=4，解方程得a=10．填空题若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2?（m+2）x+2m+4=0的两个根，则m=__．【答案】6或7【解析】①当底为6时，m=-2舍去，m=6;②当腰为6时，m=7.故答案是：6或7.填空题关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根α、β，且α2＋β2＝17，则m的值是______.【答案】-4【解析】一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，可得△=b2-4ac=9-4m ≥0，解得m≤．根据根与系数的可得，所以α2＋β2=，解得m=-4.解答题如果方程的两个根的平方和等于7，求k的值。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。