5-1向量的内积、长度及正交性
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主讲人:同济大学殷俊锋向量的内积、长度和正交性是线性代数中基本的概念,不仅包含内积、范数等概念,还包括正交向量组、正交规范基、正交矩阵等基本概念,以及将一组线性无关向量组转化为正交规范基的施密特正交化过程。
这些概念对于今后学习矩阵的特征值,以及线性空间等具有非常重要的作用.一、知识要点1、内积、正交定义:给定n 维列向量,定义x 与y 的内积.•内积的性质有交换性、正定性、保持线性运算•施瓦茨不等式•当,则称向量x 与y 是正交的.2(,)(,)(,)≤x y x x y y (,)0=x y 1212(,,,),(,,,)==T T n n x x x x y y y y 1122(,)=+++n n x y x y x y x y2、向量的长度(或范数)定义令称为n 维向量x 的长度(或范数).22212(,),n x x x x x x ==+++x •向量长度的性质有非负性、齐次性和三角不等式•n 维非零向量x 与y 的夹角•当,则称向量x 为单位向量.1=x (),arccos θ=x y x y3、正交向量组、正交基定义正交向量组是一组两两正交的非零向量.定理设n 维向量是一组两两正交的非零向量,则线性无关。
定义设n 维向量是向量空间V 的一个基,如果是两两正交,且都是单位向量,则称是V 的一个规范正交基.12,,,r a a a 12,,,r a a a 12,,,r e e e 12,,,r e e e 12,,,r e e e4、施密特正交化过程设n 维向量是向量空间V 的一个基,则可按照如下步骤将其化为V 的一个规范正交基.步骤:1,正交化令11βα=()()2122111,,αββαβββ=-12,,,r a a a()()()()313233121122,,,,αβαββαββββββ=--()()()()()()121121112211,,,,,,αβαβαββαβββββββββ----=----r r r r r r r r r 121212, , , ,r r r e e e ββββββ===则是V 的一个规范正交基.2:单位化,令12,,,r e e e5、正交矩阵定义设A是一个n阶方阵,如果A T A=E,则称A是正交矩阵,简称正交阵.n 阶方阵A 是正交矩阵A-1=A T;A 的列向量是两两正交的单位向量,即A 的列向量组是R n的标准正交基;A 的行向量是两两正交的单位向量.定义设P是一个正交阵,则线性变换y=Px称为正交变换.6、正交矩阵的性质(1)若A为正交矩阵,则A-1=A T 也为正交阵,且|A|=1或-1;(2)若A和B是正交阵,则AB也是正交阵;(3)正交变换x=Py(P是正交矩阵)保持向量的长度不变.二、教学要求1、理解向量正交、正交基的概念,正交矩阵的概念和性质2、掌握施密特正交化过程的步骤三、例题精讲例1、设140,2,.23λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭与正交,且,求和a b c a b a c c解:由正交性因此()()()()() ,,,,,λλλ=+=+=a b a a c a a a c a a所以()(),102,5λ-===-a ba a4122(2)02321λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭c b a例2、试用施密特正交化过程把向量组正交化.()123111,,124139⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a a a 解:先作正交化()()()()()()111222111132333121122,111,6210,,331113111,,1482410,,,32391113=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b再把它们单位化,111222333111,31110,21112.61⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭b e b b e b b e b例3、判断矩阵是否为正交阵,并说明理由111231112211132⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A 解:由于正交矩阵列向量为单位向量且相互正交,而111111,1124913⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a 因此,该矩阵不是正交矩阵.例4、设为维向量,,令,证明是对称的正交阵.x 证明:首先证明对称性,()()222,=-=-=-=T T T T T TH E xx E xx E xx H n 1=T x x 2=-T H E xx H ()()()()()2222444444.=--=--=-+=-+=-+=T T T T T T TT T T T TT T H H E xx E xx E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E 再证明正交性例5、设都是正交阵,证明也是正交阵.,A B 证明:由题意()===T T T T AB AB B A AB B B E AB ,,==T TA A EB B E AB 所以因此,也是正交矩阵.谢谢!。
两个向量内积和正交的定义向量是在数学中经常用到的概念,向量的运算方式有点类似于数的运算,但是向量有很多特殊的性质,因此需要了解向量的内积和正交的定义。
一、向量的内积向量的内积是指两个向量的数量积,也被称为点积或标量积,它的定义如下:设有两个n维向量a = (a1, a2, …, an)和b = (b1, b2, …, bn),它们的内积表示为:a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn。
通过这个公式得到的结果是一个数字,而不是向量,这个数字表示了两个向量的夹角和它们的长度的乘积。
如果a·b = 0,那么这两个向量就被称为正交向量。
二、向量的正交两个向量的正交是指它们之间的夹角为直角,这种关系被称为正交关系。
在三维空间中,我们可以看到两个正交的向量表示的向量平面是一个矩形。
这个矩形的长度是两个向量长度的乘积,宽度则是它们的夹角的正弦值所乘。
在二维空间中,当两个向量垂直时,它们就正交了。
例如,在平面直角坐标系中,两个向量a = (1, 0)和b = (0, 1)是正交向量,它们的内积为0。
三、向量的应用向量的内积和正交在实际应用中有着广泛的应用,例如:1. 在三维计算机图形学中,可以利用向量的内积来计算光照效果。
2. 在机器学习中,向量的内积和正交用于向量的相似性度量,这是非常重要的一个概念。
3. 在物理学中,向量的正交关系被用来计算施加在物体上的力的大小和方向。
四、总结向量的内积和正交是向量的两个重要的概念。
这些概念有着广泛的应用,需要掌握这些概念才能更好地理解一些数学和物理学问题。
我们在应用和研究中,可以通过向量内积和正交,更细致地分析和解决问题,也可以更深入地了解向量及其运算特性。