计算传热学第3讲数学模型与求解区域的离散化

第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。

如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。

因此，应确定其内部的瞬时温度场。

钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。

首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。

如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。

由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。

热力学中的热传导计算模型热传导是自然界中一种常见的现象。

它指物质内部的热量传递与分布，主要表现为物质内部的温度差、热流速度的差异和热传导系数的不同。

热传导的计算模型是对热传导过程进行数学模拟的方式，以加深我们对热理论的理解。

1. 热传导模型的基本原理热传导模型的基本原理是从热传导的基本方程式开始推导。

热传导的基本方程式可以表示为：q = -k · A · (dT/dx)式中，q 表示热流速度，k 表示热传导系数，A 表示横截面积，(dT/dx) 表示温度梯度。

这个方程式是描述在没有传递界面和对流换热作用的情况下，热从高温区向低温区传递的关系式。

这个关系式可以用来解析各种形状的体系温度分布、传热速率等问题。

但是需要注意的是，这个基本方程式只适用于均匀材料内的热传导计算。

如果是非均匀材料，需要用更复杂的数学模型来解析。

2. 热传导模型的数值解法在工程应用中，更常用的方法是使用数值解法解决热传导计算问题。

数值解法可以通过离散方法，将热传导过程离散化为一系列的单元。

每个单元表示一个小体积，热量的传递只涉及到该小体积的周围体积，而不考虑整个体系内部的细节。

然后对每个单元内的热传导进行数值模拟，得到解析结果。

这个方法可以处理各种形状的体系，而且计算速度快，精度高。

数值解法中，有一个非常重要的概念是有限元法。

有限元法是目前最常用的热传导数值解法之一。

有限元法将复杂的热传导问题划分成许多离散的小区域，通过求解每个小区域内的热传导问题，推导出整个体系的温度分布。

有限元法不但能有效地解决热传导问题，还可以用于许多其他领域的问题解决，如电磁场、结构力学等计算。

3. 热传导模型的工程应用热传导模型的工程应用非常广泛，最常见的就是用于工业过程中的热处理模拟。

例如，对于加热模型，可以通过热传导模拟提前预测加热温度分布、加热均匀度等参数，从而保证最终产品的质量。

又如，在热电材料设计中，可使用热传导模型来预测电热材料的温度场分布和电阻率变化规律，进而提高其工作效率和使用寿命。

第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。

根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。

（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。

分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。

第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。

采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。

采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。

墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。

采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。

上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。

（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。

《传热学》第3章_非稳态热传导分析非稳态热传导分析是传热学中一个重要的研究内容。

在真实的物理系统中，尤其是工程实际中，非稳态热传导过程往往更为常见。

非稳态热传导分析主要研究物体内部温度分布随时间的变化规律，以及热传导过程中的能量交换。

本文将重点介绍非稳态热传导分析的基本原理和方法。

非稳态热传导分析需要考虑时间因素以及物质的热传导性质。

在非稳态热传导过程中，物体内部的温度分布随时间的变化满足热传导方程。

传热方程的一般形式为：∂(ρcT)/∂t=k∇²T+Q其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，k是热传导系数，∇²是拉普拉斯算子，Q是热源项，即热传导过程中的能量增减。

解决非稳态热传导分析的一般步骤如下：1.建立热传导方程。

根据实际情况，确定适当的坐标系，并根据系统的几何形状和边界条件，建立热传导方程。

2.确定边界条件。

边界条件包括物体表面的温度、热通量以及对流边界等。

根据具体情况，选择适当的边界条件。

3.选择合适的数值方法。

非稳态热传导问题通常需要借助数值方法进行求解。

有限差分法、有限元法、迭代法等都可以应用于非稳态热传导分析，具体选择哪种方法需要根据具体问题的特点进行判断。

4.数值求解。

根据使用的数值方法，将热传导方程离散化，并进行数值求解。

通常需要在计算过程中进行迭代，直到得到满足要求的结果。

5.结果分析和验证。

得到物体内部温度随时间的变化规律后，可以通过实验进行验证。

比较模拟结果与实验结果，判断模拟的准确性。

非稳态热传导分析的典型应用包括热处理过程中的温度变化分析、电子元器件的散热分析、建筑物内部温度分布分析等。

通过对非稳态热传导问题的分析，可以更好地理解和控制物体内部温度分布的变化规律，为实际工程提供指导。

然而，非稳态热传导分析也存在一些挑战和限制。

首先，非稳态热传导分析通常需要考虑物质性质的非线性以及边界条件的复杂性，这增加了问题的难度。

其次，非稳态热传导问题的求解往往需要较长的计算时间和大量的计算资源。

导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。

只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。

求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。

数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。

由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。

1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。

由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。

二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。

1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。

计算传热学程序介绍计算传热学是用计算的方法研究热传递过程，给出刻画这些过程的状态量的数值大小，并据此来认识热传递过程及其变化规律，实际上计算传热学是一种近似方法，其基础是数值方法是离散化的近似算法，通过求解非连续的（分析解是连续的）区域代表点上待求变量的近似值。

本课程计算传热学程序的核心是用一系列的点代表连续的求解区域，本程序求解的核心是用离散的变量代替连续的变量。

计算传热学程序计算方法的计算步骤如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧ 积分法级数展开法方程离散化内节点法外节点法区域离散化能量守恒动量守恒质量守恒数学模型物理模型计算传热学步骤控制容积多项项拟合T aylor 计算方法首先提出问题——流动性质（内流、外流；层流、湍流；单相流、多项流；可压、不可压……），确定流体属性（牛顿流体：液体、单组分气体、多组分气体、化学反应气体；非牛顿流体）；然后分析问题——建模——N-S 方程（连续性假设），Boltzmann 方程（稀薄气体流动），各类本构方程与封闭模型； 根据分析结果解决问题——差分格式的构造/选择，程序的具体编写/软件的选用，后处理的完成；最后形成成果说明——文字，提交报告。

本课程计算传热学程序采用二维椭圆型流动和传热问题通用计算程序为基础研究计算传热学程序的计算方法，该程序具有以下特点：1. 采用原始变量法，即以速度U 、V 及压力P 作为直接求解的变量2. 守恒型的差分格式，离散方程系对守恒型的控制方程通过对控制容积作积分而得出的，无论网格疏密程度如何，均满足在计算区域内守恒的条件；3. 采用区域离散化方法B ，即先定控制体界面、再定节点位置4. 采用交叉网格，速度U 、V 与其他变量分别存储于三套网格系统中；5.不同的项在空间离散化过程中去不同的型线假设，源项采用局部线性化方法；扩散——对流项采用乘方格式（但很容易转化为中心差分、迎风差分或混合格式）；街面上的扩散系数采用调和平均法，而密度与流速则用线性插值；6.不稳态问题采用全隐格式，以保证在任何时间步长下均可获得具有物理意义的解；7.边界条件采用附加源项法处理；8.耦合的流速与压力采用SIMPLE算法来求解；9.迭代式的求解方法，对非线性问题，整个求解过程具有迭代性质；对于代数方程也采用迭代法求解；10.采用交替方向先迭代法求解代数方程并补以块修正技术以促进收敛。