人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数的图像和性质》教案

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。

本节课的主要内容是正比例函数的定义、图像和性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握正比例函数的概念，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识基础。

但是，对于正比例函数的定义和性质，以及如何运用正比例函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质。

2.能够根据正比例函数的性质，解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质。

2.如何运用正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正比例函数的定义和性质。

2.利用多媒体辅助教学，展示正比例函数的图像，帮助学生直观地理解正比例函数的性质。

3.通过实例分析，让学生学会如何运用正比例函数解决实际问题。

4.小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正比例函数的相关教学素材，如PPT、例题、练习题等。

3.学生分组合作的准备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如速度与时间的关系，引导学生思考这些实例背后的数学规律。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数的定义，引导学生通过观察实例，总结正比例函数的性质。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生通过合作解决问题，进一步理解和掌握正比例函数的性质。

4.巩固（10分钟）针对学生掌握的情况，进行针对性讲解，巩固学生对正比例函数性质的理解。

5.拓展（10分钟）利用正比例函数的性质，解决实际问题。

19.2.1正比例函数的图像与性质教材：人教版义务教育教科书八年级数学下册第十九章授课人单位：班级：时间：§19.2.1正比例函数的图像和性质一、教学内容:《正比例函数的图象和性质》是九年制义务教育课本八年级第二学期第十九章的内容。

之前，学生已经有了平面坐标系的基本知识、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数，是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图像的方法为后面学习打下良好基础。

二、教学目标:1．知识与技能：（1）能画正比例函数的图像，并能结合解析式和正比例函数图象特点快速作图；（2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。

2．过程与方法：（1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；（2）逐步培养学生的观察能力，概括能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想；（3）能够尝试演绎推理发现规律，体验合作学习的过程。

3．情感态度与价值观：（1）通过小组合作讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望；（2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。

三、学情分析:在这节课之前，学生已经较好的拥有了解决平面直角坐标系的一些基本问题，理解了变量以及常量和函数的概念，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，也形成了较理想的先决条件。

学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能力有待进一步加强。

四、教学重难点:教学重点：画正比例函数的图像，并在画图过程中观察并发现函数的性质。

教学难点：在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。

五、教学准备：方格纸，自制课件。

六、教学过程:（一）复习引入、温顾知新1、定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

2、图像：列表，描点，连线设计意图：回顾正比例函数的定义和画函数图像的步骤，为后面研究正比例函数图像的性质做准备。

正比例函数的性质（教案）一、教学目标（1）知识目标：能根据正比例函数的图像，观察归纳出函数的性质；并会简单应用。

（2）能力目标：逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想；（3）情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。

二、教学的重点和难点教学重点：正比例函数的性质及其应用。

教学难点：发现正比例函数的性质三、教学方法与学法指导教学方法：通过本节课的教学，我选用引导发现法和直观演示法，本节课的难点是发现正比例函数的性质，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画图）、多观察（图像），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。

学法指导：教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。

五、教学过程：（一）温故知新，引入课题温故：正比例函数的图像是什么？答：正比例函数图像是经过原点（0，0）和点(1,k)的一条直线（二）：知新：在两个直角坐标系内，分别画出下列每组函数的图像：① y =2x y=x y=41x ② y =－2x y=－x y=－41x 引导学生观察图像，看看每组直线分布的特征？观察图像，思考问题：1、 图像经过的象限与k 的取值有何联系？不够明确。

图像经过的象限与k 的取值（特别是符号）有何联系？2、 对其中的某一个正比例函数图像(例如y=2x)，当x 增大时，函数值y 怎样变化？x 减小呢？是不是要提出减小？请斟酌。

3、 你从中得出什么规律？第一个问题：图像经过的象限与k 的取值有何联系？估计生：发现第一组的三条直线都经过第一象限和第三象限；而第二组的三条直线都经过第二和第四象限。

师：从比例系数来看呢，函数的比例系数和他们的图像分布有什么联系?用词前后宜一致估计生：第一组k>0，而第二组k<0。

师：很好，谁能把他们联系一下？估计生：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。

教师姓名单位名称填写时间2021年8月26日学科数学年级/册八年级下册教材版本人教版课题名称19.2.2 正比例函数的图象和性质难点名称正比例函数的特征.难点分析从知识角度分析为什么难画正比函数图象既是对描点法的巩固，又是让学生亲自动手实践的过程中，感悟这些函数的图的相同点与不同点。

学生初次接触函数，并通过数形结合的思想归纳出正比例函数的性质。

从学生角度分析为什么难正比例函数的增减性是通过观察函数图像的升降发现结论的。

这是一种直接的发现方法，而不是关于正比例函数增减性的严格证明。

结合图像对这个性质的认识，从数，形两方面加深对正比例函数性质的理解。

难点教学方法学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引领学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指明方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数.教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力，以及解题能力.教学环节教学过程导入复习引入1.在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出比例系数分别是多少.①y=x，②y=3x2, ③ y=﹣2x , ④y=2x-4，一般地，形如 y=kx（k是常数，k ≠ 0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

2.你还记得函数图象的画法吗？我们能不能用同样的方法画出正比例函数的图象。

用描点法画函数图象的步骤：①确定两个函数自变量的取值范围.②列表③画图象知识讲解（难点突破）例1 画出下列正比例函数的图象：（1）xy21=（2）xy312=解：①列表：xy312=xy21=②描点： ③连线：结论：观察得出函数的图象都是一条经过原点和第一、第三象限的直线.（2）x y 5.11-= x y 42-=解：①列表：②描点： ③连线：结论：观察得出函数的图象都是一条经过原点和第二、第四象限的直线.探索新知：正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象都是经过原点的一条直线.（1）当k ＞0时，直线经过第一、第三象限，函数y 随自变量x 的增大而增大，图象从左到右上升 （2）当k ＜0时，直线经过第二、第四象限，函数y 随自变量x 的增大而减小，图象从左到右下降. 思考：1、经过原点与点（1，k ）（k 是常数，k ≠0）的直线是哪个函数的图象？因为两点确定一条直线，所以用两点法画的正比例函数 y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象 2、画正比例函数的图象时，怎样画最简单？ 两点坐标就可以，一般选（0,0）和（1，k) 归纳:正比例函数y=kx(k ≠0)图像是经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线xy 5.11-=1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：x y3-=3.2y x =解：①列表：②描点：③连线：2.若正比例函数y=(k-3)x满足下列条件，求出k的范围.（1）y 随x的增大而增大；（2）图象经过一、三象限；（3）图象如图所示.解：（1）k-3>0即 k>3（2）k-3>0即 k>3（3）k-3<0即 k<33.已知A（-1，y1 ），B(3, y2)都在直线y=-5x上，则y1与y2的关系是（ D ）A、 y1≤y2B、 y1=y2C 、y1＜y2 D、 y1＞y2。

《正比例函数图像及性质》教案一、教学目标1. 知识技能 :学习正比例函数及其图象画法、性质和应用。

2.过程与方法: 培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、利用正比例函数及其图象解决实际问题能力。

3.情感态度：认识数学知识与实际生活相联，体验学习有价值的数学过程。

二.教学重点: 正比例函数及其图象性质难点: 正比例函数的增减性三．教学准备课件、笔记本电脑、三角板、计算器四．教学过程（一）复习引入什么是自变量？什么是函数？（提问）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是变量，y是x的函数．（二）共同思考,探索新知1、下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？（L=2 r）（2）铁的密度为7.8g/cm³,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm³）的大小变化而变化；（m=7．8V ）（3）每个练习本的厚度为0．5cm 。

一些练习本摞在一些的总厚度h （cm ）随这些练习本的本数n 的变化而变化。

（h=0．5n ）（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t （分）的变化而变化。

（T=-2t ）2、发现新知：我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样。

一般地，形如y=kx （k 是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。

3、随堂练习1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？ 并说出正比例函数的比例系数是多少？（4）4、讲解例题例: 已知y -3与x 成正比例，当x =2时，y =7，求y 与x 之间的函数解析式.（三）探究正比例函数图象x y 42=我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？1、[活动一] 活动内容设计：画出下列正比例函数的图象，探索正比例函数的变化规律。

19.2.1 正比例函数（第2课时）河北省石家庄市鹿泉区宜安镇中学张建业一、教材分析《正比例函数的图象和性质》是人教2011课标版数学八年级下册第十九章第二节第二课时.前面，学生已经学习了平面直角坐标系、常量与变量、函数的概念和表示法、正比例函数的概念等知识，正比例函数是学生第一次接触的最简单、最基本的初等函数，用描点法画函数图象，通过观察图象研究函数的性质是直观地认识函数性质的基本方法，本节内容既是对前面所学函数基本知识的应用，又对今后进一步研究一次函数、二次函数、反比例函数等其他类型的函数具有启示作用，是全章的重点内容，具有承上启下的重要作用.函数是数学中极为重要的基本概念，它对数学的发展有重大影响，是数学学习中的重要知识点，函数的思想是一种重要的数学思想，它体现了变化与对应、数形结合等数学思想方法，是培养学生数学能力的良好载体.二、学情分析八年级学生求知欲强，学习积极性高，爱发表见解，初步具备了观察、推理的学习能力，学生对运动变化现象中的变量已经有了一定的认知能力，教师要精心设计，用直观生动的形象，引发学生的兴趣，要突出重点，抓住关键，语言要精辟，形象生动，要恰当运用多媒体教学，激发学生探求知识的欲望，让学生动口，动手，动脑，使学生始终处于主动探究问题的积极状态，让学生经历画图、观察、概括的过程，把图象的特征通过坐标的意义转化为函数性质，力求渗透和体现变化与对应、数形结合等数学思想方法，使学生能潜移默化的感受，体会函数内容中最基本的东西，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，培养学生的思维能力和数学素养.三、教学目标知识与技能1．进一步熟悉作函数图象的步骤，会画正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是经过原点的直线.2．能根据正比例函数的图象和表达式 y =kx（k≠0）理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性.过程与方法通过观察图象、归纳概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观．情感态度与价值观通过画正比例函数的图象培养学生认真、细心、严谨的学习态度，通过观察、归纳正比例函数的性质培养学生积极参与数学活动，多角度思考问题，自主思考勇于探究数学规律的良好习惯.四、教学重点用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．五、教学难点以坐标为中介，通过变量的对应关系和变化规律探究正比例函数的性质．六、教学过程1.回顾旧知，引发思考问题1 什么是正比例函数？判断下列函数，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，指出其比例系数.①y=x ②y=3x ² ③ y=2x ④y=2x-4 ⑤ y=x2 ⑥y=πx 问题2 函数有哪些表示方法？它们各有什么优点？问题3 画函数图象一般步骤是什么？你能画出正比例函数的图象吗？师生活动：教师引导学生回顾函数的基础知识及研究方法，学生回答问题.设计意图：教师通过本章的知识树让学生明确本节课所学内容在全章中的地位，学生回答问题既是帮助学生回顾函数的概念，也是为了研究正比例函数图象和性质中进行方法的迁移，通过著名数学家华罗庚的名言引导学生自然合理地从“形”的角度研究正比例函数的图象.2.画图观察，认识图象例1 画出正比例函数y=2x 的图象.练习 你能在同一坐标系中画出正比例函数y=-2x 的图象吗？思考 这两个正比例函数图象有什么共同特点？师生活动：学生用描点法独立在学案上画图，后与课本或同桌订正，教师巡视注意学生画图是否规范性及出现的问题，师生共同订正，然后学生自主完成练习巩固描点法画函数图象，直观观察发现并口答正比例函数的图象是经过原点的直线.设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出正比例函数图象的基本步骤，既是对描点法的巩固，又是让学生在亲自动手实践的过程中感悟这些函数图象的相同点，为发现规律作准备.3.归纳思考，学以致用问题4 对一般正比例函数y=kx （k ≠0），它的位置怎样？图象形状是什么？ 问题5 我们知道，正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，在几何中直线是怎样确定的？由此，能得到画正比例函数图象的简便方法吗？师生活动：教师引导学生从具体的函数图象形状得到的结论推广到一般的正比例函数，概括出正比例函数y=kx （k ≠0）也是经过原点的直线，学生思考交流得到画正比例函数图象的简便方法——两点法.设计意图：使学生经历从特殊到一般的过程，概括正比例函数的图象是经过原点的直线，结合“两点确定一条直线”，引导学生自然、合理地发现可用“两点法”简便地画正比例函数的图象.练习 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）y=x 23 （2）y=-3x 师生活动：学生练习两点法画图象，学生板演，教师巡视关注学生是否采用两点法，学生取得两个点是否最简单，后与黑板或小组订正，出错的同学及时改正.设计意图：既是对两点法画正比例函数图象的巩固，又是让学生在亲自动手实践的过程中感悟这些函数图象的不同点，为发现函数图象规律、增减性与系数k 的符号的关系作准备.4.探究联想，归纳性质问题6 观察前面所画的四个函数图象，你能用自己的语言说出正比例函数y=kx （k ≠0）图象的特征吗？探究 在k ＞0 的情况下，图象经过哪些象限？图象从左到右是上升的还是下降的？对应地，当自变量的值增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？当k ＜0 时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？联想正比例函数解析式y=kx（k≠0）中，k的正负对函数图象、性质有什么影响？师生活动：学生独立思考后分小组讨论交流，教师巡视查看小组讨论情况，从解析式、图象特征、点的坐标变化等角度，引导学生概括、归纳正比例函数图象的特征和性质.在学生得到结论后，教师用动画展示图象特征（当k＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升；当k＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降）和增减性变化（当k＞0且固定时，让x变化，看y怎样变化；当k＜0且固定时，让x变化，看y怎样变化）.在此基础上，通过让k的值从正变到负，引导学生观察发现，当k的正负号不变时函数的增减性是一致的，当k的正负号变化时函数的增减性也随之变化,从而在直观上验证正比例函数的增减性只与k的正负有关.设计意图：引导学生通过观察、比较、归纳、概括正比例函数图象的特征和性质，为了让学生更深刻地理解函数图象特征和增减性与系数k的关系，采用《几何画板》软件制作动画，让学生通过动态的视觉感知和语言表征，进一步理解系数k对正比例函数图象特征和增减性的影响，潜移默化的对学生进行了概括、归纳、比较、数形结合和分类讨论的数学思想方法教育.5. 巩固练习，深化理解(1)在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（）(2)正比例函数y=-5x的图象经过第象限，从左向右，经过点（0, ）与点（ 1, ）， y随x的增大而 .(3)对于正比例函数y=kx，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是；在正比例函数y＝(k－1)x的图象中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 .(4)若点（-1，a）,(2,b)都在直线y=4x上，试比较a,b的大小.师生活动：学生独立完成练习并进行相互交流评价，引导学生逐步学会用数学语言表达自己的思考过程，教师点拨问题疑难和解题方法，出错的同学及时改正.设计意图：及时巩固正比例函数的图象和性质，实现知识向能力的转化，最后一道题方法多样，既可以用特殊值法，也可以用图象法，还可以直接用性质，培养学生多角度思考问题，有融会贯通的效果.6.课堂小结，完善认知参照下面问题，你能说一说本节课的收获和疑惑吗？（1）正比例函数y=kx（k≠0）的图象是什么？怎样用简便方法画正比例函数的图象？（2）正比例函数有哪些性质？我们是怎样对正比例函数的性质进行研究的？师生活动：教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点，教师在学生交流的基础上概括正比例函数的性质的研究步骤（画图象——观察图象——解释变量意义），在性质探究过程中，“以图表示数，以数解释形”的思想得到成功运用，这种函数性质的探究步骤和数形结合的思想在今后其他函数的学习中仍然很有用.设计意图：让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过交流互相分享、相互启发，教师通过概括函数的性质的研究步骤和研究方法，为后续其他函数的探究作好铺垫．7.布置作业，目标检测必做：(1)教科书第98页习题19.2第1、2题；(2)学案目标检测.选做：比较图中正比例函数k1, k2, k3, k4的大小，并用不等号连接.。