平行板电容器中介质的受力分析

平行板电容器中介质的受力分析引言: 对于平行板电容器的受力问题，前人大多研究理想情况下平行板电容器的受力，即通过改变电容的大小研究其受力情况。

本文的设想是把电介质放入平行板电容器中电介质在电场的作用下一定会发生变化，必然产生电偶极子，电偶极子在电场中必定会受力，一旦电偶极子受力就会发生位移变化，那么必然存在做功问题，那么就可以从能量角度去分析它的受力，进而得出的两个结果一定是相等的，本文通过例题去检验其确性。

1 介质受力公式的推导（从宏观上理论推导）介质在进入平行板电容器的过程中（假设电量Q 不变），纵向电场使介质极化所做之功转化为介质的极化能，这仍是电容器储能的一部分，根据能量守恒定律，插入介质后电容的静电能应不变，但是由电容器的能量公式W=Q*Q/2C ，当C 增大时，能量却是减少的，矛盾的出现说明我们一定忽略了某些相互作用的存在，为了避开繁琐的力分析，下面，我们将从能量的角度出发，通过数学方法导出平行板电容器中介质的受力的计算公式。

一个平行板电容器，其中部分地充入介质常数为E(p(m),r)(介质常数一般不仅是空间r 的函数，而且还是介质的质量密度p(m)的函数)并且无自由电荷的介质，假设介质沿X 方向作一个无限小位移X ，则电容器的储能变化为22111222W V V vVD EDdV dV EDdVE dV δδδδεε===-⎰⎰⎰⎰ 式(1-1)而 E 0D ρ=-∇Φ∇==则 ()2212VvV VDdv E dV D D E dV δφδδεδδδε=-∇-=-∇Φ+Φ∇-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰=2212S v V VDd s dV E dV E dV δδρδεδε-Φ+Φ--⎰⎰⎰⎰ 式(1-2)其中在无穷大界面的值为零，而介质中已设自由电荷密度为零。

对于介质给定的一个无限小位移0X，相对于空间的一个固定体积来说，必有：0()m m X vSvdV d s X dV δρρρ=-=-∇∙⎰⎰⎰式(1-3)则 ()()0,x x m mm m m m ρρεδρρεδερδρ∙∇∂∂-=∂∂=∙∇=而()dV E X X E V dV X E V M MM M M M V w ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∙∇=∙∇∂∂=ρερρρερρεδ200222121 dV E X dV E X s d X E M M V M v m V M M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇∙-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰ρερρερρρε202002212121 式(1-4)A 电量Q 恒定当介质位移0X时，电场对介质作的功等于电容器储能的减少，即2222211()()22m M M M M M M M M M v V F E dV E E E E dVεεεεερρρρρρρρρρ⎡⎤∂∂∂∂∂=∇=∇+∇-∇-∇⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦⎰⎰B 电压U 恒定电源所作之功一部分转化为电容器的储能，另一部分对介质做功转化为机械能，即有W XF Udq δ-=∙-⎰00X F dq U v∙-⎰=dV E E X MM V)(21220ρερ∂∂∇∙⎰⎰=dC U 2dVE X XF ε∇-∙=∙-⎰20021举例说明：例1 如图所示图1.1一个平行板电容器，带电量为Q ，宽为b ，长为L ，两级板间的距离为 d ，其中部分地冲入电介质常数为ε 的均匀电介质，求介质所受的力。

平行板电容器的动态分析问题平行板电容器是最常见的一种电容器，其结构可以发生变化，因此电容也跟着随之变化。

当我们改变电容器的某个结构时，电容器的电容也随之变化。

从而导致电容器中间的电场强度也会发生变化。

这就引出一种问题，电容器的动态分析问题。

电容器的动态分析问题总体上来说大概分为两类：电压不变的问题和电荷量不变的问题。

一般情况下，题目中的说法是：电压不变（电容器始终接在电源上）电荷量不变（电容器充电完成后，断开电源）如果根据问题的难度再细分：层次1：仅仅分析电容和电荷量（电压）的变化层次2：分析电容和电荷量（电压）的变化，再加上电场强度的变化，而电场强度的变化有两个方法进行比较（U不变的问题中：E=U/d，Q不变的问题中，Q与E成正比(前提是S 不变)）层次3：E的变化会导致容器中某点电势的变化（或者电荷在某点电势能的变化）层次4：E的变化会导致容器中液滴所受电场力的变化，进而会产生加速度，根据牛顿第二定律计算加速度；或者容器中国液滴的平衡状态发生变化，从而分析细线角度的变化。

【此题问题本质上只重在分析电场强度的变化问题，因为所需要分析的是力的问题】动态分析问题的处理方法：1.先分析清楚题目给出的是U不变还是Q不变的类型2.找出题目中发生变化的参量，然后分析C的变化（注意正反比关系），Q的变化（U的变化）Q的变化会产生瞬间的充电和放电电流（会判断电流方向）3.再分析E的变化4.如果是平衡问题或者动力学问题需要进行受力分析，写平衡方程或者牛顿第二定律。

典型例题剖析例1：★★【2016 新课标I】一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。

若将云母介质移出，则电容器（）A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大B.极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大C. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变D. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变 答案：D 解析：由4πr SC kdε=可知，当云母介质抽出时，r ε变小，电容器的电容C 变小；因为电容器接在恒压直流电源上，故U 不变，根据Q CU =可知，当C 减小时，Q 减小。

平行板电容器中介质的受力分析谢伟华（中国科学技术大学物理学院1班）引言：介质从平行板电容器中抽出要受到引力，我们用虚功原理很容易得到这个结论，但是平行板电容器产生的电场是与介质表面垂直的，那么这个力是如何产生的，我们就来讨论一下这个问题。

一、用静电能求静电力设极板长为L，宽为a，面积为S，板间距离为d，极板间电压为U恒定不变，电介质介电常数为ε由虚功原理易得F=∂W∂y =12U2dCdy=(ε−ε0)a2dU2用这种方法无法看出这个力从何而来。

所以我们采用下面的方法。

二、用库仑定律求受力电介质在电场中极化成电偶极子，下面先求一个电偶极子在电场中受的力。

设负电荷处电场为为E⃗(r),正电荷处电场为E⃗(r+ l),由于l远小于电介质的线度，所以用泰勒展开得：E⃗(r+l)=E⃗(r)+l x∂∂x E⃗(r)+l y∂∂yE⃗(r)+l z∂∂zE⃗(r)=E⃗(r)+(l·∇)E⃗(r)所以电偶极子受到的合力为(p⃗·∇)E⃗(r)对于一个体积为V的电介质(下面的E都是总电场，因为体电荷元在自身处产生的电场为0)F⃗=∭(P⃗·∇)E⃗dV=(ε−ε0)∭(E⃗·∇)E⃗dV=12(ε−ε0)∭∇E2⃗⃗⃗⃗ dVX与Z方向均为0，所以可以变为1 2(ε−ε0)j∭∂E2⃗⃗⃗⃗⃗∂YdV在极板内部电场是均匀为Ud，外部电场为0，所以只需计算边缘那一部分，且上式积分号内部可化为:ΔE2ΔY ∆V=ΔE2ΔY∆X∆Y∆Z=∆E2∆X∆Z=U2d2∆X∆Z则F⃗=12(ε−ε0)j∬U2d2dXdZ=(ε−ε0)a2dU2j与用静电能求得结果一样。

结论：从计算过程中可以看出，这种力跃迁到0造成的，这产生的原因是电场由Ud是理想化模型的弊端，以致于我们想不明白这个力从何而来。

实际中，电场不可能一下子变成零，边缘处也是有电场的。

所以我们考虑问题应从实际出发，理论只是一个工具，不代表一切。

平行板电容器的动态分析与带电体在电容器中的运动问题一：电容器的动态变化问题 1 两个公式的比较U Q C =kd S C r πε4=公式的特点 定义式，适用于一切电容器 决定式，适合平行板电容器 意义反映容纳电荷的本领反映了影响电容大小的因素2 两类典型的动态变化分析在解题中运用到的公式：C ＝Q U ； C ＝εrS 4πkd ；E ＝Ud3. 解决电容器问题的两个常用技巧(1)在电荷量保持不变的情况下，由E ＝U d ＝Q Cd ＝4πkQεr S知，电场强度与板间距离无关。

(2)针对两极板带电荷量保持不变的情况，还可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，如图甲所示；当两极板间距离变化时，如图乙中电场线疏密不变，场强不变；当两极板正对面积变化时，如图丙中电场线变密，场强增大。

【典例1】如图，平行板电容器经开关K 与电池连接，a 处有一带电量非常小的点电荷.K 是闭合的，表示a 点的电势，f 表示点电荷受到的电场力.现将电容器的B 板向下稍微移动，使两板间的距离增大，则A. 变大，f 不变B. 变大，f 变小C.不变，f 不变 D.不变，f 变小【答案】B【解析】由于开关K闭合，且电容器两极板始终与电源的两极相连，故电容器两极板之间的电压U AB 保持不变。

随B极板下移两极板之间的距离增大，根据E=U/d可知两极板之间的电场强度E减小，由于U Aa=Eh Aa，由于电场强度E减小，故U Aa减小，由于U AB=U Aa+U aB，所以U aB增大，由题图可知电源的负极接地，故B极板接地，所以B板的电势为0即U B=0，又U aB=U a-U B，所以U a=U aB增大。

而点电荷在a点所受的电场力f=qE，由于E减小，所以电场力f减小。

故B正确。

故选B。

点睛：本题难度较大，涉及知识面大，需要认真分析．方法是：先找不变量（U AB），再找容易确定的物理量（E和U Aa），最后求出难以确定的量（确定U aB不能用U aB=Eh aB，因为E和h aB一个变大另一个变小）．【典例2】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地。

⾼中物理：平⾏板电容器的动态分析对平⾏板电容器的有关物理量Q、E、U、C进⾏讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，在变量中哪些是⾃变量，哪些是因变量。

这类问题可分为两种情况来分析：⼀、电容器充电后断开电源，电容器所带电量Q保持不变当极板距离d，正对⾯积S变化时，有：对于电场强度变化，我们还可以认为⼀定量的电荷对应着⼀定数⽬的电场线，若电量不变，则电场线数⽬不变，当两板间距离变化时，场强不变；当两板正对⾯积变化时，引起电场线的疏密程度发⽣了变化，如图1所⽰，电容器的电量不变，正对⾯积减⼩时，场强增⼤。

图1这样，越⼤，电场线就越密，E就越⼤，反之就越⼩；不变时，不管极板间距离如何变化，电场线的疏密程度不变，则E不变。

则此式可知，在电量保持不变的情况下，电场强度与板间的距离⽆关。

例1、⼀平⾏板电容器充电后与电源断开，负极接地，在两极板间有⼀正电荷（电量很⼩）固定在P点，如图2所⽰，E表⽰两板间的场强，U表⽰电容器的电压，W表⽰正电荷在P点的电势能，若保持负极板不动，将正极板移到虚线所⽰的位置，则（）图2A.U变⼩，E不变B.E变⼤，W变⼤C.U变⼩，W不变D.U不变，W不变解析：电容器充电后与电源断开，说明电容器带电量不变。

正极板向负极板移近，由可知电容增⼤，由可知，U变⼩，⽽，由此可看出，场强E不变。

因E不变，P点与负极板间的距离不变，可知P点的电势U P不变，那么正电荷的电势能就不变，综上所述，A、C选项正确。

例2、平⾏板电容器两极板与静电计的连接如图3所⽰，对电容器充电，使静电计张开某⼀⾓度，撤去电源后以下说法正确的是（）图3A.增⼤两板间距离，静电计指针张⾓变⼤B.减⼩两板间距离，静电计指针张⾓变⼤C.将两板错开⼀些，静电计指针张⾓变⼤D.将某电介质插⼊极板间，静电计指针张开⾓度变⼤解：静电计指针的张⾓反映的是两板之间的电势差的⼤⼩。

由题意可知，撤去电源后电容器所带电量不变。

由电容器的电容决定因素知：若增⼤板间距离，则C变⼩，由知U变⼤，故A正确，B错误。

平行板电容器的动态问题考点归纳在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质(空气也是一种电介质），就组成了一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。

我们知道平行板电容器的表达式有定义式Q C U =和决定式4r S C kdεπ=电容器间的电场强度的表达式为对于平行板电容器，如果一个物理量发生了变化，往往会引起其他物理量发生变化，即发生动态变化。

平行板电容器的动态变化问题主要包括电容器始终与电源相连接和电容器充好电后与电源断开两种情况。

两种动态问题的部分情况和所涉考点如下表所示。

一、电容器始终与电源相连接【例1】如图1所示为一个由电源、电流计、平行板电容器、开关S 和导线等组成的电路，平行板电容器水平放置，下极板接地。

开关S 闭合，待电路稳定后，板间P 点有个液滴刚好处于静止状态。

当上极板向上移动一小段距离时，请回答下列问题：（1）电流计中有没有电流流过，有的话方向如何？【解析】电容器两端电压U 不变，由于两极板距离d 的增大导致电容C 减小，根据Q=CU 可知两极板带电量减小，所以电容器放电，电流由b 向a 流过电流计。

（2）液滴动不动，动的话将向哪个方向运动？【解析】电容器两端电压U 不变，两极板距离d 增大，根据U E d=可知电场强度减小，液滴受到的电场力F 减小，所以向下运动。

（3）P 点的电势将发生什么变化？ 【解析】因为下极板接地，所以电势为0，则P PO U ϕ'=,假设PO ’的距离为h ，所以P Eh ϕ=，第（2)问已经得出电场强度E 减小，所以P ϕ减小。

（4）若将电流计换成一个二极管，如图2所示，则液滴动不动，动的话向哪个方向移动？【解析】由第（1)问可知，电容器电荷量理应减小，对外放电，但是二极管具有单向导电性，不允许电流自右向左流过.所以电容器带电量不变，根据4r U Q kQ E d Cd Sπε===可知,电场强度不变，液滴受力不受影响，保持不动。

电容器中电介质的作用山东省肥城市第一高级中学 于茂刚 271600高中教材在提到电介质对平行板电容器的电容的影响时，只是通过演示实验就直接得出了结论：当两极板间充满同一种电介质时，电容变大为真空时的r ε倍，即kdS C r πε4= ，r ε 是一个常数，与电介质的性质有关，称为电介质的相对介电常数。

学生只能记住结论，对电介质的特性和电介质对电容的影响机理产生疑惑，就此谈一下电容器中电介质的作用。

电介质不同于金属，电介质的电阻率一般都很高,称为绝缘体，介质中没有（或几乎没有）能够自由移动的电荷，这种电荷叫做束缚电荷。

在电场中静电平衡条件下，电介质的内部仍有电场存在。

在外电场作用下，电介质的表面将出现正负束缚电荷，这就是电介质的极化现象。

如图所示，由于极化，在电介质中的极化电场 E ′（图中方向向左）削弱了没有电介质时的电场 E （图中方向向右）。

由此可见，在两个极板之间的合电场强度的大小比 E 小。

实验和理论证明，在这种情况下，电介质内的合电场强度为E/r ε.如果极板之间充满相对介电常数为r ε的电介质，则极板之间的合电场强度为E/r ε ，这时的电容器在容纳的电荷量一定的情况下，两极板之间的电势差比没有电介质时小，根据 U Q C =，知这时相当于电容器的电容增大了。

两极板间如果不加电介质的话,两极板间会被空气占据，空气有一定的导电能力,因而电容器存储电荷的能力会弱一些,而加入电介质后,电容正负极板的绝缘性能就要比没有电介质时好,也就是存储电荷的能力提高了,所以电容也就升高了， 电容器中间的电介质起到了提高电容容量的作用。

例如：在两极板间相距为d 的平行板电容器中，（1）插入一块厚为d/2的金属大平板（此板与两极板平行），其电容变为原来的多少倍？（2）如果插入一块厚为d/2相对介电常数为r ε的电介质大平板，则又会如何？（3）如果插入一块厚为d 相对介电常数为r ε的电介质大平板，则又会如何？解析：（1）插入一块厚为d/2的金属大平板时，在电场作用下，在金属板处于静电平衡状态，内部电场强度处处为0,整个金属大平板是一个等势体，整个金属大平板上没有电压降，两极板之间的距离缩短为d/2，极板间的电场强度E 未变（因为E ,CdQ d U ==, C 、d 成反比，C 、d 乘积不变，所以E 不变），所以两极板间的电压2'd E U ⋅=,所以根据电容的定义U Q C ==Ed Q 知，此时的电容器的电容变为原来的2倍。