4重力势能

4重力势能[学习目标]1.认识重力做功与物体运动路径无关的特点.2.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行有关计算.3.理解重力做功与重力势能变化的关系.4.知道重力势能具有相对性.5.知道重力势能是物体和地球所组成的系统所共有的.一、重力做的功1.重力做功的表达式：W G＝mgh，h指初位置与末位置的高度差.2.重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关.二、重力势能1.重力势能(1)定义：物体由于被举高而具有的能.(2)公式：E p＝mgh，式中h是物体重心到参考平面的高度.(3)单位：焦耳；符号：J.2.重力做功与重力势能之间的关系：W G＝E p1－E p2.三、重力势能的相对性和系统性1.相对性：E p＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度.参考平面选择不同，则物体的高度h不同，重力势能的大小也就不同.2.系统性：重力是地球与物体相互吸引产生的，所以重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化说法.[即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)重力做功与物体沿直线或曲线有关.(×)(2)物体只要运动，其重力一定做功.(×)(3)同一物体在不同位置的重力势能分别为E p1＝3 J，E p2＝－10 J，则E p1<E p2.(×)(4)物体由高处到低处，重力一定做正功，重力势能一定减少.(√)(5)重力做功一定与路径无关，只与初、末位置的高度差有关.(√)2. 质量为m的物体从地面上方H高处由静止释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图1所示，在此过程中，重力对物体做功为________，重力势能________(填“减少”或“增加”)了________.图1答案mg(H＋h)减少mg(H＋h)一、重力做功[导学探究]如图2所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：图2(1)根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功；(2)求出丙中重力做的功；(3)重力做功有什么特点？答案(1)甲中W G＝mgh＝mgh1－mgh2乙中W G′＝mgl cos θ＝mgh＝mgh1－mgh2(2)把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看做一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2….物体通过整个路径时重力做的功W G″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgh＝mgh1－mgh2(3)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关. [知识深化]1.重力做功大小只与重力和物体高度变化有关，与受其他力及运动状态均无关.2.物体下降时重力做正功，物体上升时重力做负功.3.在一些往复运动或多个运动过程的复杂问题中求重力做功时，利用重力做功的特点，可以省去大量中间过程，一步求解.例1在同一高度，把三个质量相同的球A、B、C分别以相等的速率竖直上抛、竖直下抛和平抛，它们都落到同一水平地面上.三个球在运动过程中，重力对它们做的功分别为W A、W B、W C，重力的平均功率分别为P A、P B、P C，则它们的大小关系为()A.W A>W B＝W C，P A>P B＝P CB.W A＝W B＝W C，P A＝P B＝P CC.W A＝W B＝W C，P B>P C>P AD.W A>W B>W C，P A>P B>P C答案 C解析由重力做功特点知：W A＝W B＝W C；从抛出到落地的时间，由运动学知识知：t B<t C<t A，得，P B>P C>P A，故C对.由P＝Wt二、重力势能[导学探究]如图3所示，质量为m的物体自高度为h2的A处下落至高度为h1的B处.求下列两种情况下，重力做的功和重力势能的变化量，并分析它们之间的关系.图3(1)以地面为零势能参考面；(2)以B处所在的高度为零势能参考面.答案(1)重力做的功W G＝mgΔh＝mg(h2－h1)，选地面为零势能参考面，E p A＝mgh2，E p B＝mgh1，重力势能的变化量ΔE p＝mgh1－mgh2＝－mgΔh.(2)选B处所在的高度为零势能参考面，重力做功W G＝mgΔh＝mg(h2－h1).物体的重力势能E p A ＝mg(h2－h1)＝mgΔh，E p B＝0，重力势能的变化量ΔE p＝0－mgΔh＝－mgΔh.综上两次分析可见W G＝－ΔE p，即重力做的功等于重力势能的变化量的负值，而且重力势能的变化与零势能参考面的选取无关.[知识深化]1.重力做功与重力势能变化的关系W G＝E p1－E p2＝－ΔE p2.重力势能的相对性物体的重力势能总是相对于某一水平参考面，选不同的参考面，物体重力势能的数值是不同的.故在计算重力势能时，必须首先选取参考平面.3.重力势能是标量，但有正负之分，物体在零势能面上方，物体的重力势能是正值，表示物体的重力势能比在参考平面上时要多，物体在零势能面下方，物体的重力势能是负值，表示物体的重力势能比在参考平面上时要少.4.重力势能的变化量与参考平面的选择无关.例2下列关于重力势能的说法正确的是()A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了D.在地面上的物体具有的重力势能一定等于零答案 C解析物体的重力势能与参考平面的选取有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项对；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D选项错.例3如图4所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是()图4A.mgh，减少mg(H－h)B.mgh，增加mg(H＋h)C.－mgh，增加mg(H－h)D.－mgh，减少mg(H＋h)答案 D解析以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，即末状态的重力势能为－mgh，初状态的重力势能为mgH，重力势能的变化即为－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，重力势能减少了mg(H＋h).故选D.三、重力做功与重力势能变化的关系例4如图5所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O 点正下方D 处有一钉子，小球运动到B 处时会以D 为圆心做圆周运动，并经过C 点，若已知OD ＝23l ，则小球由A 点运动到C 点的过程中，重力做功为多少？重力势能减少了多少？图5答案 13mgl 13mgl解析 从A 点运动到C 点，小球下落的高度为h ＝13l ，故重力做功W G ＝mgh ＝13mgl ，重力势能的变化量ΔE p ＝－W G ＝－13mgl负号表示小球的重力势能减少了.1.重力做功与重力势能变化的关系：W G ＝E p1－E p2＝－ΔE p ，即重力势能变化多少是由重力做功的多少唯一量度的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关.2.两种情况物体由高到低←――――――――――――――→W G >0，E p1>E p2重力势能减少 物体由低到高←――――――――――――――→W G <0，E p1<E p2重力势能增加1.(重力做功的特点)如图6所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h 的A 点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则( )图6A.沿轨道1滑下重力做的功多B.沿轨道2滑下重力做的功多C.沿轨道3滑下重力做的功多D.沿三条轨道滑下重力做的功一样多答案 D解析重力做功的多少只与初、末位置的高度差有关，与路径无关，D选项正确.2.(重力势能的理解)关于重力势能，下列说法正确的是()A.重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的B.处在同一高度的物体，具有的重力势能相同C.重力势能是标量，不可能有正、负值D.浮在海面上的小船的重力势能一定为零答案 A解析重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确；重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，另外质量也不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，选项B错误；重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误；零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为零，选项D错误.3.(重力势能及重力势能的变化)一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A先落到地面C最后滚入沟底D.A、B、C、D、E面之间竖直距离如图7所示.以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是()图7A.15.6 J和9 JB.9 J和－9 JC.15.6 J和－9 JD.15.6 J 和－15.6 J 答案 C解析 以地面C 为零势能面，根据重力势能的计算公式得D 处的重力势能E p ＝mgh ＝0.3×10×(－3.0)J ＝－9 J.从A 落下到D 的过程中重力势能的减少量ΔE p ＝mg Δh ＝0.3×10×(0.7＋1.5＋3.0) J ＝15.6 J ，故选C.4.(重力做功与重力势能变化的关系)在离地80 m 处无初速度释放一小球，小球质量为m ＝200 g ，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，取最高点所在水平面为零势能参考平面.求： (1)在第2 s 末小球的重力势能； (2)3 s 内重力所做的功及重力势能的变化. 答案 (1)－40 J (2)90 J 减少了90 J 解析 (1)在第2 s 末小球下落的高度为： h ＝12gt 2＝12×10×22 m ＝20 m 重力势能为：E p ＝－mgh ＝－0.2×10×20 J ＝－40 J. (2)在3 s 内小球下落的高度为 h ′＝12gt ′2＝12×10×32 m ＝45 m.3 s 内重力做功为：W G ＝mgh ′＝0.2×10×45 J ＝90 JW G >0，所以小球的重力势能减少，且减少了90 J.课时作业一、选择题(1～7为单项选择题，8～11为多项选择题) 1.下列关于重力势能的几种理解，正确的是( ) A.重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功 B.放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零C.选取地面为参考平面，从不同高度将某一物体抛出，落地时物体的重力势能不相等D.选取不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响有关重力势能问题的研究 答案 D解析 重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关，一个物体重力势能的大小跟它能否对别的物体做功无必然联系.2. 某大型拱桥的拱高为h ，AB 弧长为L ，如图1所示，质量为m 的汽车在以不变的速率v 由A 点运动到B 点的过程中，以下说法正确的是( )图1A.汽车的重力势能始终不变，重力始终不做功B.汽车的重力势能先减小后增大，总的变化量为零，重力先做负功，后做正功，总功为零C.汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为零，重力先做正功，后做负功，总功为零D.汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为零，重力先做负功，后做正功，总功为零 答案 D解析 前半段，汽车向高处运动，重力势能增大，重力做负功；后半段，汽车向低处运动，重力势能减小，重力做正功，选项D 正确.3.如图2所示，在水平面上平铺着n 块砖，每块砖的质量为m ，厚度为h ，如果人工将砖一块一块地叠放起来，那么人至少做功( )图2A.n (n －1)mghB.12n (n －1)mgh C.n (n ＋1)mgh D.12n (n ＋1)mgh 答案 B解析 取n 块砖的整体为研究对象，叠放起来后整体的重心距地面12nh ，原来的重心距地面12h ，故有W ＝ΔE p ＝nmg ×12nh －nmg ×12h ＝12n (n －1)mgh ，B 项正确.4.一根长为2 m 、重为200 N 的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端缓慢地从地面抬高0.5 m ，另一端仍放在地面上，则所需做的功为( ) A.50 J B.100 J C.200 J D.400 J 答案 A解析 由几何关系可知，杆的重心向上运动了h ＝0.52 m ＝0.25 m ，故克服重力做功W G ＝mgh＝200×0.25 J ＝50 J ；外力做的功等于克服重力做的功，即外力做功50 J ，选项A 正确. 5.一物体以初速度v 竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能E p －路程s 图象应是四个图中的( )答案 A解析 以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s 时，克服重力做功mgs ，重力势能E p ＝mgs ，即重力势能与路程s 成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h ＝2h 0－s ，其中h 0为上升的最高点，故重力势能E p ＝mgh ＝2mgh 0－mgs ，故下降阶段，随着路程s 的增大，重力势能线性减小，选项A 正确.6. 如图3所示，物体A 的质量为m ，A 的上端连接一个轻弹簧，弹簧原长为L 0，劲度系数为k ，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，B 点上移距离为L ，此时物体A 也已经离开地面，则下列说法中正确的是( )图3A.提弹簧的力对系统做功为mgLB.物体A 的重力势能增加mgLC.物体A 的重力势能增加mg (L －L 0)D.物体A 的重力势能增加mg ⎝⎛⎭⎫L －mgk 答案 D解析 将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg ，物体离地后等于mg ，拉力的位移为L ，故提弹簧的力对系统做功小于mgL ，故A 错误；B 点上移距离为L ，弹簧伸长量为ΔL ＝mgk ，故A 上升的高度为L －ΔL ，所以物体A 的重力势能增加mg ⎝⎛⎭⎫L －mgk ，故B 、C 错误，D 正确.7. 如图4所示，一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，则()图4A.卫星在A点的重力势能比在B点的重力势能大B.卫星在B点的重力势能比在A点的重力势能大C.卫星在A、B两点的重力势能相等D.条件不足，无法比较答案 B解析设A、B两点距离地球的距离分别为h A和h B.如图所示，在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则A与A′处物体重力势能大小相等.另外，卫星由B至A′时，引力做正功，重力势能减少，故有E p A<E p B.8.关于重力做功和物体的重力势能，下列说法正确的是()A.重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少B.物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加C.地球上物体的重力势能是不变的D.重力做功的多少及重力势能的变化量都与参考平面的选取无关答案ABD解析重力做正功，物体的重力势能一定减少，物体克服重力做功，物体的重力势能一定增加，选项A、B正确；物体的重力势能大小除与其质量有关外，还与物体所处的位置有关，在不同高度，同一物体的重力势能不同，选项C错误；重力做功的特点是重力做功多少只与物体初、末位置的高度差有关，与参考平面的选取无关，而重力势能的变化量等于重力做的功，选项D正确.9.物体在运动过程中，克服重力做功100 J，则以下说法正确的是()A.物体的高度一定降低了B.物体的高度一定升高了C.物体的重力势能一定是100 JD.物体的重力势能一定增加100 J答案BD解析克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能是相对的，增加100 J的重力势能，并不代表现在的重力势能就是100 J，故B、D正确，A、C错误.10. 如图5所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点.以下表述正确的是()图5A.若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大B.若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小C.若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零D.无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大答案AD11.在高处的某一点将两个质量相等的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)()A.从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等B.从抛出到刚着地，重力对两球做的功都是正功C.从抛出到刚着地，重力对两球做功的平均功率相等D.两球刚着地时，重力的瞬时功率相等答案ABD解析重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关.由W＝mgh得出重力做功的大小只由，重力和高度的变化决定，故A、B项正确；由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P＝Wt 知P上＜P下，故C项错误；由运动学公式得出着地时速度相同，重力的瞬时功率P＝mg v相同，故D项正确.二、非选择题12. 如图6所示，总长为2 m的光滑匀质铁链，质量为10 kg，跨过一光滑的轻质定滑轮.开始时铁链的两端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，问：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？变化了多少？(g取10 m/s2)图6答案 50 J 重力势能减少 50 J解析 如图所示，开始时，铁链重心在A 点，铁链将要离开滑轮时，重心在B 点，则此过程中铁链重心下降距离Δh ＝0.5 m ，重力做功W G ＝mg Δh ＝10×10×0.5 J ＝50 J ，重心下降，重力做正功，故铁链重力势能减少50 J.13.起重机以g 4的加速度将质量为m 的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h ，则起重机钢索的拉力对物体做功为多少？物体克服重力做功为多少？物体重力势能变化为多少？(空气阻力不计)答案 3mgh 4mgh 增加了mgh 解析 由题意可知，起重机向下的加速度a ＝g 4，物体上升高度为h ，根据牛顿第二定律得mg －F ＝ma ，所以F ＝mg －ma ＝34mg ，方向竖直向上.所以拉力做功W F ＝Fh ＝34mgh .重力做功W G ＝－mgh ，即物体克服重力做功mgh .又因W G ＝－ΔE p ，故重力势能变化ΔE p ＝－W G ＝mgh ，即重力势能增加了mgh .。

第4节 重力势能 理解领悟重力势能是机械能的重要内容.要从重力做功与路径无关的特点出发,理解建立重力势能概念的可能性,掌握重力势能的定义式,明确重力做功和重力势能变化的关系.1. 研究重力势能的出发点我们知道,物体由于被举高而具有重力势能.而物体的高度发生变化时,必然伴随着重力做功.因此,重力势能与重力做功是密切相关的,认识重力势能不能脱离对重力做功的研究.研究重力做功,是我们研究重力势能的出发点.2. 重力做功与路径无关重力做功有什么特点呢？重力是由于地球的吸引而使物体受到的力,其方向竖直向下,在地面附近其大小可看作恒量,G=mg .当物体下降时,重力做正功；当物体上升时,重力做负功.如图5—25所示,质量为m 的物体经三条不同的路径,从高度是h 1的位置运动到高度是h 2的位置. 第一次物体竖直向下运动（图中路径1）：重力所做的功W G =mgh=mg (h 1－h 2)=mgh 1－mgh 2. 第二次物体沿倾斜直线向下运动（图中路径2）：设倾斜直线与竖直方向成θ角,物体通过的距离为s ,则重力所做的功 W G =mgs cos θ=mgh=mg (h 1－h 2)=mgh 1－mgh 2.第三次物体沿任意路径向下运动（图中路径3）：我们可以把整个路径分成许多很短的间隔,每一小段都可看成一段倾斜的直线,则重力所做的功∑=i i G mghW =mgh=mg (h 1－h 2)=mgh 1－mgh 2.可见,物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置（高度）有关,而跟物体运动的路径无关.同学们还可分析一下重物向上运动的情况,看看这一结论是否同样成立.3. 如何确定重力势能的表达式？在本章“追寻守恒量”一节中,我们已经知道,物体的势能是物体凭借其位置所具有的能量.那么,重力势能应该与哪些物理量有关呢？重力势能应跟物体与地球的相对位置有关,还应跟物体受到的重力有关.从上述重力做功特点的分析中可以发现,物体所受的重力mg 与它所处位置的高度h 的乘积mgh ,是一个有特殊意义的物理量.它的特殊意义在于,它一方面与重力所做的功密切相关,另一方面又随着高度的变化而变化,它恰恰是我们要寻找的重力势能的表达式.因此,物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积,即E p =mgh .4. 重力做功与重力势能变化的关系有了重力势能的表达式,我们就可以把上述重力所做的功的表达式写成W G =E p 1－E p 2.可见,当物体向下运动时,重力做正功,W G ＞0,则E p 1＞E p 2,即重力势能减少,重力势能减少的数量等于重力所做的功；当物体向上运动时,重力做负功（物体克服重力做功）,W G ＜0,则E p 1＜E p 2,即重力势能增加,重力势能增加的数量等于克服重力所做的功.5. 重力势能是状态量、标量由重力势能的定义可知,重力势能跟物体与地球的相对位置有关.物体的位置发生了变图5－25化,物体的重力势能也就发生变化,所以重力势能是状态量.重力势能的变化量与重力所做的功相对应,而重力的功是标量,重力势能当然也是标量,其单位与功的单位相同,都是焦耳.6.重力势能具有相对性如果计算放在桌子上的物体具有多大的重力势能,可能不同的人会得出不同的结果.这是因为,不同的人可能选择不同的水平面做参考.在选定的参考平面上的物体的重力势能就为0；物体在这个参考平面以上,重力势能就为某一正值；物体在这个参考平面以下,重力势能就为某一负值.对于放在桌子上的物体而言,如果以物体的重心所在的水平面为参考平面,该物体的重力势能就为0；如果以水平地面为参考平面,该物体的重力势能就为正值；如果以水平天花板为参考平面,该物体的重力势能就为负值.可见,由于重力势能的大小与参考平面的位置有关,而这个参考平面可以任意选取,所以重力势能具有相对性.重力势能参考平面的选取一般以解决问题时简便为原则,若无特别说明,通常以水平地面为参考平面.7.重力势能的变化与参考平面的选取无关尽管重力势能的数值会因参考平面选取的任意性而具有不确定性,但这并不会我们对问题的研究.这是因为在研究具体问题时,我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能,而是物体重力势能的变化,重力势能的变化才与做功及能量转换有关.事实上,选择不同的参考平面对重力势能的差值没有影响,也就是说,重力势能的变化与参考平面的选取无关.例如：图5—25中,若选取水平地面为参考平面,物体在初位置和末位置的重力势能分别为E p1=mgh1, E p2=mgh2,物体从初位置到末位置,重力势能的变化△E p= E p2－E p1= mgh2－mgh1=－mg(h1－h2) =－mg h,即重力势能减少了mgh；若选取物体的末位置所在水平面为参考平面,物体在初位置和末位置的重力势能分别为E p1=mgh, E p2=0,物体从初位置到末位置,重力势能的变化△E p=E p2－E p1=0－mgh=－mgh,即重力势能减少了mgh；若选取物体的初位置所在水平面为参考平面,物体在初位置和末位置的重力势能分别为E p1=0, E p2= －mgh,物体从初位置到末位置,重力势能的变化△E p=E p2－E p1=－mgh－0=－mgh,即重力势能减少了mgh.可见,选取不同的参考平面,只影响物体重力势能的数值,而不影响重力势能的差值.8.重力势能属于物体和地球组成的系统重力是地球与物体相互吸引而引起的,如果没有地球队物体的吸引,就谈不上重力做功和重力势能.物体所在的高度是由物体同地球组成的系统内部的相对位置所决定的,因此重力势能是这个系统的,而不是物体单独具有的.我们平常所说的“物体的重力势能”,只是一种习惯而简化的说法.9.对“说一说”栏目问题的提示教材“说一说”栏目提出了这样的问题：如果重力做功与路径有关,还能把mgh叫做重力势能吗？答案是：不能.因为物体的势能是物体凭借其位置所具有的能量,正是因为重力做功与路径无关,说明与重力做功相关的能量才是一种“物体凭借其位置所具有的能量”,才是一种势能,才能把mgh叫做重力势能.如果重力做功与路径有关,那么与重力做功相关的能量也就愈路径有关,就不能把mgh 叫做重力势能.正如摩擦力做功与路径有关,对于摩擦力就不能引人相应的“摩擦力势能”.10. 重力势能表达式的适用范围需要指出的是,我们将mgh 叫做物体的重力势能是有一定的条件的,那就是物体必须处于地面附近,当物体的离地高度相对于地球半径不可忽略时,E p =mgh 便没有意义了.这是因为该定义式中的g 是地球表面附近的重力加速度,而离地面越高,重力加速度越小,当物体的离地高度h 相对于地球半径不可忽略时, 该处的重力加速度与地表重力加速度g 的差异便不能忽略.那么,若离地h 高处的重力加速度为g h ,能否用mg h h 表示物体在该处的重力势能呢？不行.因为从地表到离地h 高处,重力加速度由g 逐渐减小为g h ,把质量为m 的物体由地表提升到离地h 高处,物体克服重力所做的功不等于mg h h .由于在将物体提升的过程中,重力加速度随高度的变化不是线性的,物体克服重力所做的功也不等于h g g m h ⋅+⋅2,所以也不能用h g g m h ⋅+⋅2表示物体在离地h 高处的重力势能. 当物体的离地高度相对于地球半径不可忽略时,我们把由地球与物体之间的引力决定的势能称为“引力势能”.关于引力势能的表达式,高中阶段不作介绍,感兴趣的同学可寻找相关资料自学.11. 关于分子势能和电势能本节教材在介绍了重力势能后,还用小号字简单介绍了分子势能和电势能.分子势能是分子之间由于存在相互作用而具有的势能,由分子间的相对位置决定；电势能是由于电荷之间存在相互作用而具有的势能,有电荷间的相对位置决定.任何形式的势能都是相互作用的物体组成的系统所共有的,不是系统中的某一个物体单独具有的.应用链接本节课的应用主要涉及对重力做功的特点、重力势能的表达式、重力势能的相对性以及重力势能的变化与重力做功的关系等的理解,涉及重力做功和重力势能的计算.例1 关于重力势能,以下说法中正确的是（ ）A. 某个物体处于某个位置,重力势能的大小是唯一确定的B. 重力势能为０的物体,不可能对别的物体做功C. 物体做匀速直线运动时,重力势能一定不变D. 只要重力做功,重力势能一定变化提示 根据重力势能的表达式、重力势能的决定因素、重力做功与重力势能变化的关系进行判断.解析 由重力势能的表达式E p =mgh 可知,由于高度h 具有相对性,重力势能的大小也具有相对性,即处于某个位置的某个物体,在选择不同的参考平面时,重力势能的大小是不同的.重力势能的大小具有相对性,其大小与参考平面的选取有关,所以重力势能为０的物体,是指物体处于参考平面上,并不能表明物体不具有做功的本领.如在地面上流动的一薄层水,若取地面为参考平面,则其重力势能为０,但当这些水流向更低处时仍可对别的物体做功.物体的重力势能是由物体的重力和物体的高度共同决定的,只要物体的高度发生变化,物体的重力势能就一定发生变化.例如,当物体沿斜面匀速下滑时,高度减小,重力势能将减小.重力的方向总是竖直向下的,重力做功时物体的高度肯定发生变化,重力势能也一定发生变化.可见,正确选项为D.点悟 重力势能的大小是相对的,重力势能的变化是绝对的,与参考平面的选取无关.重力做功是重力势能变化的量度,因此重力势能的变化量和重力做功的数值总是相等的.例2 一条柔软的均匀链条质量为m ,长度为l ,平放在水平桌面上.用力提链条的一端将链条慢慢提起,直至末端将要离开桌面的过程中,拉力做的功为多少?提示 拉力的大小时刻在变,是变力,它对链条做的功全部用来克服重力的作用,用于增加链条的重力势能.所以,只要能求出链条重力势能的增量,,就能求出拉力所做的功.解析 链条的末端将要离开地面时,链条的重心提高到离桌面2l 的高度,其重力势能的增量为 2l mg E p ⋅=∆. 根据重力做功和重力势能变化的关系可知,克服重力做功 2l mg E W p ⋅=∆=. 拉力做的功等于克服重力做的功,即mgl W W F 21==. 点悟 求变力功的问题,有一类可将变力功转化为求重力所做的功,进而通过求重力势能的变化来达到求变力功的目的.例3 在水平地面上平铺着n 块相同的砖,每块砖的质量都为m ,厚度为d .若将这n 块砖一块一块地叠放起来,至少需要做多少功？提示 外力所做的功,等于组成的系统重力势能的增加.解析 n 块砖平铺在水平地面上时,系统重心离地的高度为2d .当将它们叠放起来时,系统重心离地的高度为2nd .所以,至少需要做功 mgd n n d nmg nd nmg E E W p p )1(212212-=-⋅=-=. 点悟 本题也可这样求解：将第二块砖叠上时,做功W 2=mgd ；将第三块砖叠上时,做功 W 3=mg·2d ；……将第n 块砖叠上时,做功 W n =mg (n-1)d .所以,将这n 块砖一块一块地叠放起来,至少需要做功d n mg d mg mgd W W W W n )1(232-++⋅+=+++=ΛΛΛΛmgd n n mgd n n )1(21)1(2)1(1-=--+=. 显然,上述用重力势能变化的解法要简单些., 例4 如图5—26所示,质量为m 物体静止在地面上,物体上面连着一个直立的轻质弹簧,弹簧的劲度系数为k .现用手拉住弹簧上端,使弹簧上端缓慢提升高度图5—26h ,此时物体已经离开地面,求物体重力势能的增加量.提示 物体被提升的高度等于弹簧上端提升的高度与弹簧拉伸长度之差.解析 物体离开地面后,弹簧的伸长量为 kmg x =∆. 可见,物体上升的高度为 kmg h x h h -=∆-=∆. 从而,物体重力势能的增加量为 )(k mg h mg h mg E p -=∆=∆. 点悟 由于弹簧的伸长,物体上升的高度不等于拉力作用点上移的高度,如不注意这一点,往往会造成错解.例5 如图5—27所示,圆柱形水箱高为5m,容积为50m 3,水箱底部接通水管A ,顶部接通水管B .开始时箱中无水,若仅使用A 管或仅使用B管慢慢地将水注入,直到箱中水满为止,试计算两种情况下外界各需做多少功？（设需注入的水开始时均与箱底等高,g 取10m/s 2） 提示 注水的过程外力克服水的重力做功,增加了水的重力势能,由于是缓慢注水,水的动能不增加,所以外力做功数值上就等于水增加的重力势能.解析 以H 表示水箱的高度.水若从A 管注入,整箱水的重心被升高2H ,外界做功 251050102231⨯⨯⨯=⋅=⋅=H Vg H mg W ρJ=1.25×106J. 水若从B 管注入,整箱水应先升高到H 的箱顶处,故外界做的功W 2=2W 1=2×1.25×106J=2.5×106J.点悟 本题是非常实用的一个例子,造成这种差异的原因是因为相同质量的水被提升的高度不一样,为了节省能源,我们应该采用从下方注水的方式.有些同学认为,两种注水方式水的重心上升高度相同,故做功相同.这种想法只是注意到了前后两个平衡状态,而没有注意两个过程不一样.事实上,当从上管注水时,水被提升后再流入箱中,水的重力势能将减小而转化为水的动能,但是外界需做对应于把水提升到上管口的功.例6 如图5—28所示,劲度系数为k 1的轻质弹簧的两端分别与质量为m 1、m 2的物块1、2拴接,劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接,下端压在桌面上（不拴接）,整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢竖直上提,直到下面的那根弹簧刚好脱离桌面.在此过程中,两物体的重力势能分别增加了多少？提示 物体重力势能的增加等于物体重力与物体被提升高度的乘积.开始时,整个系统处于平衡状态,两弹簧均被压缩.现施力将物块1缓慢上提,直到下面的弹簧刚好脱离桌面,在此过程中下面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度,而上面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度,接着由于物块2施加拉力又逐渐变为拉伸状态.解析 下面的弹簧受到的压力大小为 (m 1+m 2)g ,弹簧的压缩量2212)(k g m m x +=∆. 要使其离开桌面,物块2应上升高度△x 2,则物块2增加的重力势能为图5—27 图5—28222212212222)()(k g m m m k g m m g m x g m E p +=+⋅=∆=∆. 把物块1拉起的过程中,上面的弹簧是由压缩状态转为拉伸状态,其原先压缩的长度 111k g m x =∆, 最终拉伸的长度 121k g m x ='∆, 则物块1 提升的高度为 2211211211)(k g m m k g m k g m x x x +++=∆+'∆+∆. 所以,物块1增加的重力势能为 =∆1p E )(2111x x x g m ∆+'∆+∆ )11()(])([21221122112111k k g m m m k g m m k g m k g m g m ++=+++=. 点悟 本题涉及物体的平衡条件和重力势能的概念,所述物理过程比较复杂,难度较大,需注意把物理过程分析清楚,注意整体法与隔离法的应用.课本习题解读]1. 设斜面高度为h ,对应于倾角为θ1、θ2、θ3的斜面长分别为l 1、l 2、l 3.由功的公式可知,在倾角为θ1的斜面上,重力与位移的夹角为（12θπ-）,重力所做的功为 mgh mgl mgl W G ==-=1111sin )2cos(θθπ. 同理可证,在倾角为θ2、θ3的斜面上,重力所做的功都等于mgh .可见,重力所做的功与斜面的倾角无关.2.（1）足球由位置1运动到位置2时,重力所做的功为－mgh ,足球克服重力所做的功为mgh ,足球的重力势能增加了mgh .（2）足球由位置2运动到位置3时,重力所做的功为mgh ,足球的重力势能减少了mgh .（3）足球由位置1运动到位置3时,重力所做的功为0,重力势能的变化为0.通过本题的求解,我们可以体会到：重力势能的变化是与重力做功相对应的.重力做了多少功,重力势能就不会多少.重力做正功,重力势能减少；重力做负功,重力势能增加.（2）如果下落过程中有空气阻力,表格中的数据不变.通过本题的求解,我们认识到：重力势能跟参考平面的选取有关,而重力势能的变化跟重力的功相对应,与参考平面的选取无关.重力所做的功只跟物体位置的变化有关,而与是否存在其它力无关.4．A 正确.例如：物体在向上的拉力作用下,如果做匀加速直线运动,这时拉力的功大于重力势能的增加量；如果做匀减速直线运动,这时拉力的功小于重力势能的减小量.B 错误.物体匀速上升,拉力与重力大小相等,拉力的功一定等于重力势能的增加量.C 错误.根据W G = E p 1－E p 2可知,重力做－1J 的功,物体势能的增加量为1J.D 错误.重力做功只与起点和终点的位置有关,而与路径无关.A 、B 两点的位置不变.物体从A 点运动到B 点的过程中,无论经过什么路径,重力的功都是相同的.练习巩固（5—4）1. 如图5—29所示,某物块分别沿三条不同的轨道由离地高h 的A点滑到同一水平面上,轨道1、2是光滑的,轨道3是粗糙的,则（ ） A. 沿轨道1滑下重力做功多B. 沿轨道2滑下重力做功多C. 沿轨道3滑下重力做功多D. 沿三条轨道滑下重力做的功一样多2. 物体1的重力势能E p 1=3J,物体2 的重力势能E p 2=－3J,则（ ）A. E p 1= E p 2B. E p 1＞E p 2C. E p 1＜E p 2D. 无法判断3. 将同一物体分两次举高,每次举高的高度相同,则（ ）A. 不论选取什么参考平面,两种情况中,物体重力势能的增加量相同B. 不论选取什么参考平面,两种情况中,物体最后的重力势能相等C. 不同的参考平面,两种情况中.重力做功不等D. 不同的参考平面,两种情况中.重力最后的重力势能肯定不等4. 下列说法中正确的是（ ）A. 物体克服重力做功,物体的重力势能增加B. 物体克服重力做功,物体的重力势能减少C. 重力对物体做正功,物体的重力势能增加D. 重力对物体做负功,物体的重力势能减少5. 物体在运动过程中,克服重力做功50J,则（ ）A. 物体的重力势能一定为50JB. 物体的重力势能一定增加50JC. 物体的重力势能一定减少50JD. 物体的重力势能可能不变6. 井深8m,井上支架高2m,在支架上用一根长3m 的绳子系住一个重100N 的物体 ,若以地面为参考平面,则物体的重力势能有多大？若以井底面为参考平面,则物体的重力势能又有多大？7. 质量为5kg 的钢球,从离地15m 高处自由下落1s,其重力势能变为多大？（g 取10m/s 2,取地面为参考平面）8. 高为a=1.6m,宽为b=1.2m 的均匀长方体置于水平地面上,其质量为200kg,则要将其推翻,至少要做多少功？（g 取10m/s 2）9. 如图5—30所示,若在湖水中固定一细长圆管,管内有一活塞,它的图5－29图5—31下底面位于水面上,活塞的底面积S=1cm2,质量不计,大气压强p0=1×105Pa.现把活塞缓慢地提高h=5m,则拉力对活塞做多少功？10. 如图5—31所示,物块1、2的质量分别为m1、m2,上下两轻质弹簧的劲度系数分别为k1、k2,物块1压在上面的弹簧上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提物块1,直到它刚离开上面的弹簧.在此过程中,两物块的重力势能分别增加多少？。

机械能（四）重力做功、重力势能、机械能守恒知识要点（一）重力做功、重力势能、弹性势能 1. 重力势能定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，用符号P E 表示，用公式表示mgh E P =。

单位：m 用kg ，g 用2/s m ，高度h 用m 则P E 单位为焦耳，记作J 。

重力势能是能量，是状态量，是标量，正负表示大小。

2. 重力势能的相对性重力势能的大小与高度有关，起点位置不同则相对高度不同，重力势能大小不同，所以重力势能有相对性。

如水平桌面高度为H ，重物质量为，m 距桌面高度为h ，取地面为起点（参考平面）重力势能)(H h mg E P +=，取桌面为参考面，重力势能mgh E P='，P E 与PE '不等。

重物在参考面以下P E 为负值3. 重力势能是属于重物与地球系统共有的。

由于重力是地球施力在重力作用下，物体被举高才有重力势能，若无重力作用，举起重物不用费力，重物也就没有做功本领，无重力势能，所以重力势能是以有重力为前提，因此重力势能属于重物与地球共有的。

4. 重力势能变化及绝对性重物从高为1h 处运动到2h 处，则重力势能由1mgh 变为2mgh 、重力势能变化)(1212h h mg E E E P P P -=-=∆。

若21h h >，0<∆P E 势能减小；21h h <，0>∆P E 重力势能增加。

h mg h h mg E P ∆=-=∆)(12，h ∆只与1h 、2h 的差值有关与1h 、2h 的大小无关，所以重力势能变化与参考面的选择无关，又叫重力势能变化P E ∆有绝对性。

如12h h h -=∆，若参考面向上移m 1，则111-='h h 122-='h hh h h h h h h h ∆=-=---='-'='∆121212)1()1(5. 重力势能变化与重力做功的关系上图中重物m 由A 运动到B ，重力做功0)(12>-h h mg ，)(12h h mg W G -=重力势能变化初末P P P E E E -=∆，G P W h h mg mgh mgh E -=-=-=∆)(2121若重物由B 运动到A 重力做功)(21h h mg W G -=重力势能变化初末P P P E E E -=∆)(1212h h mg mgh mgh -=-=G W -= 又如重物沿斜面由A 运动到B重力做功)2cos(θπ-=mgL W G mgh mgL ==θsin 取B 为参考面 mgh E PA = 0=PB E初末P P P E E E -=∆G W mgh mgh -=-=-=0重力势能变化与重力做功数值大小相等，符号相反，即重力做正功，重力势能变化为负值，即重力势能减小。

第四节重力势能【学习目标】1.认识重力做功与路径无关的特点。

2.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算。

3.理解重力做功与重力势能的变化关系。

4.知道重力势能具有相对性。

5.知道重力势能是物体和地球系统所共有的。

【学法指导】预学研读课本内容P63-P66；建议用时20分钟；理解重力势能的概念，认识重力做功特点及其与重力势能变化的关系。

【导学案】一.知识梳理1.重力的功（1）物体高度变化时，重力要做功：物体被举高时，重力做_______功；物体下降时，重力做_______功。

（2）重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的______________有关，而跟物体_______无关。

2.重力势能（1）物体由于受到而具有的跟物体和地球的有关的能量，叫做重力势能.表达式：E P= .单位：，符号： .重力势能是（标、矢）量.选不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的.（2）重力做正功时，重力势能，的重力势能等于；克服重力做功（重力做负功）时，重力势能，的重力势能等于 .重力所做的功只跟初位置和末位置的有关，跟物体运动的路径 .3.重力势能的相对性（1）参考平面：物体的重力势能总是相对于某一_______来说的，这个_______叫做参考平面。

在参考平面上，物体的重力势能取作_______.（2）参考平面的选取：选择哪一个水平面做参考平面，要根据具体情况而定，一般以解决问题方便为原则。

①选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是_______的，但物体在固定的两个位置的重力势能的差值与选择的参考平面_______.②对选定的参考平面，上方物体的重力势能是_______值，下方物体的重力势能是_______值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能比在参考平面上具有的重力势能要_______.4.势能是系统所共有的重力势能是地球与物体所组成的物体“系统”所_______的，而不是地球上的物体单独具有的。