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5 探究弹性势能的表达式一、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． 2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能．二、探究弹性势能的表达式 1．猜想(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大．(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l 相同时，劲度系数k 越大，弹性势能越大． 2．探究思想：研究弹力做功与弹性势能变化的关系．3．“化变为恒”求拉力做功：W 总＝F 1Δl 1＋F 2Δl 2＋…＋F n Δl n . 4．“F －l ”图象面积的意义：表示F 做功的值．判断下列说法的正误．(1)不同弹簧发生相同的形变时，弹力做功相同．(×) (2)同一弹簧长度不同时，弹性势能一定不同．(×)(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．(√)(4)弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关．(√)(5)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正．(×)(6)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小．(×)一、探究弹性势能的表达式1.如图所示，在光滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后，把物块静止释放，我们多做几次实验发现，同一根弹簧，压缩的长度越大，物体被弹开的速度越大．不同弹簧，在压缩量相同时，劲度系数越大，物体被弹开的速度越大．(1)由此我们猜测，弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？(2)我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，由此你得到什么启发？答案(1)与劲度系数和形变量有关(2)可以通过探究弹力做功来研究弹性势能．2.如图所示，弹簧处于原长时，其右端位于A点．现将弹簧由A点缓慢拉到B点，使其伸长Δl(仍处于弹性限度内)：(1)在从A拉到B的过程中弹簧的弹性势能如何变化？弹性势能与拉力做的功有什么关系？(2)拉力F是恒力吗？怎样计算拉力的功？(3)作出F－Δl图象并类比v－t图象中面积的含义，思考F－Δl图象中“面积”有何物理意义？当Δl＝x时，其表达式是怎样的？答案(1)弹簧的弹性势能变大．拉力做的功越多，弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能．(2)拉力F不是恒力，故不能用W＝FΔl计算拉力的功．若将从A到B的过程分成很多小段Δl1、Δl2、Δl3…，在各个小段上拉力可近似认为是不变的．各小段上拉力做的功分别是F1Δl1、F2Δl2、F 3Δl 3…，拉力在整个过程中做的功W ＝F 1Δl 1＋F 2Δl 2＋F 3Δl 3＋….(3)根据胡克定律，F －Δl 图象是一条过原点的倾斜直线，如图．阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能，当Δl ＝x 时，E p ＝12kx 2，k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量．1．对弹性势能的理解(1)弹性势能的产生原因⎩⎪⎨⎪⎧①物体发生了弹性形变②各部分间的弹力作用(2)弹性势能的影响因素⎩⎪⎨⎪⎧①弹簧的形变量l②弹簧的劲度系数k(3)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．(4)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能． 2．弹性势能表达式的推导根据胡克定律F ＝kx ，作出弹力F 与弹簧形变量x 关系的F －x 图线，根据W ＝Fx 知，图线与横轴所围的面积应等于F 所做的功，即W ＝kx ·x 2＝12kx 2，所以E p ＝12kx 2. 例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A ．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的B ．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能C ．在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大D ．火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小 答案 C解析 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A 错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B错；在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大，C对；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错．【考点】弹性势能的理解【题点】弹性势能的理解二、弹力做功与弹性势能变化的关系如图所示，物体与弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处静止释放，物体会由A向A′运动，则：(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？答案(1)正功减少(2)负功增加1．弹力做功与弹性势能变化的关系(1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就减少多少．(2)表达式：W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2.2．使用范围：在弹簧的弹性限度内．注意：弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关．例2如图1所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100 J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则此时弹簧的弹性势能为________J.图1答案－100100解析在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即W弹＝－W F＝－100 J．由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100 J.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用针对训练如图2所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为()图2A．W1<W2B．W1＝2W2C．W2＝2W1D．W1＝W2答案 D解析弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W1＝W2，D 正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用1．(对弹性势能的理解)(2017·余姚中学高一第二学期期中考试)关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小C．弹性限度内，长度相同且劲度系数也相同的弹簧的弹簧势能相等D．弹性限度内，弹簧被拉伸的长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大答案 D解析当弹簧变长时，它的弹性势能不一定增大，若弹簧处于压缩状态变长的过程中，弹簧的弹性势能减小，故A错误．若处于压缩状态时，弹簧变短时，弹簧的弹性势能增大，故B 错误．弹性势能与劲度系数k及形变量有关．拉伸长度相同，且劲度系数也相同的弹簧弹性势能相等，而不是长度相等，形变一定时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，故C错误，D正确．2.(重力势能、弹性势能的变化分析)(多选)如图3所示是蹦床运动员在空中表演的情景．在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能和运动员的重力势能变化情况分别是()图3A．弹性势能减少，重力势能增加B．弹性势能减少，重力势能减少C．弹性势能增加，重力势能增加D．弹性势能增加，重力势能减少答案 A解析根据功能关系知，重力做负功，重力势能增加，蹦床弹力对运动员做正功，弹性势能减少，故A项正确．3．(多选)(重力势能、弹性势能的变化分析)(2018·浙江省9＋1高中联盟第二学期期中考试)如图4所示，跳跳球多用橡胶等弹性材料制成．游戏者用脚夹住球，让球和人一起上下跳动．某次人保持直立和球一起下落过程中，下列说法正确的是()图4A ．当球刚碰到地面时，球与人一起立即做减速运动B ．当球与人速度最大时，球与人的加速度为零C ．从球刚碰地到最低点过程中，球的重力势能一直增大D ．从球刚碰地到最低点过程中，球的弹性势能一直增大 答案 BD解析 从球刚碰地到重力与弹力相等的过程中，球与人做加速运动，之后做减速运动，直到最低点，A 错误，B 正确；从球刚碰地到最低点的过程中，球的重力势能一直减小；同时由于球的形变量增大，球的弹性势能一直增大，C 错误，D 正确．4．(弹力做功、弹性势能的变化)如图5甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度以内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图象，则弹簧的压缩量由8 cm 变为4 cm 时，弹簧所做的功以及弹性势能的变化量分别为( )图5A ．3.6 J 、－3.6 JB ．－3.6 J 、3.6 JC ．1.8 J 、－1.8 JD ．－1.8 J 、1.8 J答案 C解析 F －x 围成的面积表示弹力做的功．W ＝12×0.08×60 J －12×0.04×30 J ＝1.8 J ，根据W＝－ΔE p 知，弹性势能减少1.8 J ，C 正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】图象法或平均值法求弹力做功一、选择题考点一弹性势能的理解1．如图1所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是()图1A．如图甲，撑杆跳高的运动员上升的过程中，杆的弹性势能B．如图乙，人拉长弹簧的过程中，弹簧的弹性势能C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能答案 B解析选项A、C、D中物体的形变量均减小，所以弹性势能均减少，B中物体的形变量增大，所以弹性势能增加，故B正确．2.如图2所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是()图2A．弹力变大，弹性势能变小B．弹力变小，弹性势能变大C．弹力和弹性势能都变小D．弹力和弹性势能都变大答案 D解析将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大，故A、B、C错误，D正确．3.某同学在桌面上用一个小钢球和一个弹簧来探究弹簧的弹性势能．弹簧一端固定(如图3所示)，另一端用钢球压缩弹簧后释放，钢球被弹出后落地．当他发现弹簧压缩得越多，钢球被弹出得越远，由此能得出的结论应是()图3A．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越大B．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越小C．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越大D．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越小答案 A4.如图4所示，轻质弹簧下悬挂一个小球，手掌托小球使之缓慢上移，弹簧恢复原长时迅速撤去手掌使小球开始下落．不计空气阻力，取弹簧处于原长时的弹性势能为零．撤去手掌后，下列说法正确的是()图4A．刚撤去手掌瞬间，弹簧弹力等于小球重力B．小球速度最大时，弹簧的弹性势能为零C．弹簧的弹性势能最大时，小球速度为零D．小球运动到最高点时，弹簧的弹性势能最大答案 C解析刚撤去手掌时，小球处于运动最高点，弹簧处于原长，弹力为零，弹性势能为零，所以A、D错误；当小球速度最大时，加速度等于零，即弹力等于重力，弹簧弹性势能不为零，所以B错误；当下落到最低点时弹性势能最大，小球速度为零，故C正确．5.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图5所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则()图5A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大B．弹簧在A点的压缩量与h无关C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大答案 B解析最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧在A点的弹性势能与h无关．6.如图6所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面．开始时物体A静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为E p1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为E p2，则关于E p1、E p2的大小关系及弹性势能的变化ΔE p，下列说法中正确的是()图6A．E p1＝E p2B．E p1＞E p2C．ΔE p＞0 D．ΔE p＜0答案 A解析开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg.设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，则x1＝x2，所以E p1＝E p2，ΔE p＝0，A对．7.如图7所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球接触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔE p1、ΔE p2的关系中，正确的一组是()图7A．ΔE1＝ΔE2，ΔE p1＝ΔE p2B．ΔE1＞ΔE2，ΔE p1＝ΔE p2C．ΔE1＝ΔE2，ΔE p1＞ΔE p2D．ΔE1＞ΔE2，ΔE p1＞ΔE p2答案 B解析小球速度最大的条件是弹簧弹力等于小球重力，两种情况下，对应于同一位置，故ΔE p1＝ΔE p2，由于h1＞h2，所以ΔE1＞ΔE2，B正确．考点二弹力做功弹性势能的变化8.如图8所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中()图8A．重力做正功，弹力不做功B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能减小C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功答案 C解析用不可伸长的细绳拴住重物向下摆动时，重力做正功，弹力不做功，C对；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以A、B、D均错．9.如图9所示，小球自a点由静止自由下落，到b点与竖直放置的轻弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在a→b→c的运动过程中()图9A．小球的加速度在ab段不变，在bc段逐渐变小B．小球的速度在bc段逐渐减小C．小球的重力势能在a→b过程中不变，在b→c过程中不断减小D．弹簧的弹性势能在bc段不断增大答案 D解析小球在ab段做自由落体运动，a＝g不变；在bc段小球受到的重力开始大于弹力，直至重力等于弹力大小，此过程中，小球受到的合外力向下，且不断减小，故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动；过平衡点之后，小球继续压缩弹簧，受到的重力小于弹力，直至压缩弹簧最短到c点，此过程中，小球受到的合外力向上，且不断增大，故小球做加速度不断增大的减速运动，故A、B错误；小球在a→b→c的过程中，高度越来越低，重力做正功，重力势能不断减小，故C错误；小球在bc段，弹簧被压缩得越来越短，形变量增大，弹力对小球做负功，弹性势能不断增大，故D正确．10.一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度v随时间t变化的图象如图10所示，图中Oa段为直线，则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为()图10A．仅在t1到t2的时间内B．仅在t2到t3的时间内C．在t1到t3的时间内D．在t1到t4的时间内答案 C解析小孩从高处落下，在0～t1时间内小孩只受重力作用；在t1～t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力；t3时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小，故选项C正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用11．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图11甲所示．弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴．现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示．物块运动至x＝0.4 m处时速度为零．则此时弹簧的弹性势能为(取g＝10 m/s2)()图11A．3.1 J B．3.5 JC．1.8 J D．2.0 J答案 A解析物块与水平面间的滑动摩擦力为F f＝μmg＝1 N．现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象面积表示功可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功W f＝F f x＝0.4 J．外力所做的总功转化为弹簧的弹性势能，所以此时弹簧的弹性势能为E p＝3.1 J，选项A正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用二、非选择题12.(探究影响弹性势能的因素)如图12所示，光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在水平轨道的左端，OP是可绕O点转动的轻杆，且摆到某处就能停在该处，另有一小球，现在利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能．图12(1)还需要的器材是________、________.(2)以上测量实际上是把对弹性势能的测量转化为对________的测量，进而转化为对________和________的直接测量．(3)为了探究弹簧的弹性势能与劲度系数和形变量的关系，除以上器材外，还准备了三个轻弹簧，所有弹簧的劲度系数均不相同．试设计记录数据的表格．答案(1)天平刻度尺(2)重力势能小球质量小球上升的高度(3)设计的记录数据表格如下表所示小球的质量m＝________kg13.(探究弹性势能的表达式)某同学利用自己设计的弹簧弹射器做“验证弹簧弹性势能E p ＝12kx 2(k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量)”的实验，装置如图13(a)所示．水平放置的弹射器将质量为m 的小球弹射出去，测出小球通过两个竖直放置的光电门的时间间隔为t ，用刻度尺测出弹簧的压缩量为x ，甲、乙光电门的间距为L ，忽略一切阻力．(已知动能的表达式E k ＝12m v 2)图13(1)小球被弹射出的速度大小v ＝________，求得弹簧弹性势能E p ＝________；(用题目中的字母表示)(2)该同学测出多组数据，计算并画出如图(b)所示E p 与x 2的关系图线，从而验证了它们之间的关系．根据图线求得弹簧的劲度系数k ＝________ N/m ；(3)由于重力作用，小球被弹出去后运动轨迹会向下有所偏转，这对实验结果________影响(选填“有”或“无”)．答案 (1)L t mL 22t 2(2)200 (3)无解析 (1)由题图(a)可知，弹簧在小球进入光电门之前就已经恢复形变，且此时弹簧的弹性势能全部转化为小球的动能，故小球被弹射出的速度等于小球通过光电门时的水平速度，即v＝L t ，E p ＝12m v 2＝12m ⎝⎛⎭⎫L t 2＝mL 22t2. (2)由题图(b)读出数据并代入公式E p ＝12kx 2，得0.01 J ＝12×k ×1×10－4 m 2，解得k ＝200 N/m.(3)由力作用的独立性可知，重力不影响水平方向的分运动，无论有没有重力做功，小球的水平速度都不会变化．【考点】影响弹性势能大小的因素 【题点】探究弹性势能的表达式。
第5节探究弹性势能的表达式
如果N增大，区段分得多，这些功的和与弹力的负功就越接近，而图像中的区块面积也
越接近三角形面积，当N 趋近于无穷大时，这些面积的和就是三角形面积，因此，弹性势能的公式就出来了，就是：
22
1kx E p 公式很容易推导出来了，可是，课本上为什么没有这个公式，为什么推导到呼之欲出是就戛然而止？是因为这个公式是不要求掌握的，而且，你即使知道这个公式也要假装不知道，不能在解题时用这个公式，除非题目中告诉你这个公式，如2005年第24题，题中知道k ，可求出x ，也需要求弹性势能，但是不能用这个公式，必须用其它方法求得弹性势能，具体方法以后详解。
第四节重力势能1.重力做的功(1)表达式W G＝mgh＝mg(h1－h2)，其中h表示物体起点和终点的高度差，h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。
(2)正负物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功，也可以说成物体克服重力做功。
(3)特点物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2．重力势能(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量。
(2)大小：等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为E p＝mgh，其中h 表示物体所在位置的高度。
(3)单位：焦耳，与功的单位相同。
重力势能是标量，正负表示大小。
(4)重力做功与重力势能变化的关系①表达式：W G＝E p1－E p2。
②重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。
3．重力势能的相对性和系统性(1)相对性①参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面，物体的重力势能取作0。
②重力势能的相对性选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。
(2)系统性重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。
判一判(1)重力势能E p1＝2 J，E p2＝－3 J，则E p1与E p2方向相反。
()(2)同一物体的重力势能E p1＝2 J，E p2＝－3 J，则E p1>E p2。
()(3)在同一高度的质量不同的两个物体，它们的重力势能一定不同。
()提示：(1)×重力势能是标量，没有方向。
(2)√重力势能为正值，表示物体处于参考平面的上方，为负值表示物体处于参考平面的下方，而同一物体在越高的地方重力势能越大。
(3)×若选定两物体所处的水平面为参考平面，则两物体的重力势能均为0。
说明：(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
高中物理| 探究弹性势能的表达式详解
弹性势能
发生弹性形变的物体的各个部分之间，由于有弹力的相互作用而具有势能，这种势能叫做弹性势能。
弹性势能表达式：（设弹簧处于原长时，弹簧的弹性势能为零）
探究弹性势能
影响弹性势能的因素
①形变量△x（是否成正比？思考）
②劲度系数k
类比
①重力做功：研究重力势能
Ep=mgh
②弹力做功：研究弹性势能
重力做功：W G=mg（h1-h2）=△E p
重力做功和△h成正比
弹力做功类比于
W弹=△Ep弹
已知f=kx，那么f与形变量△x成正比。
所以W弹=f平均*△x
变力做功的处理方法
①微元法
②图像法
弹力功与弹性势能的关系
①弹力做正功，弹性势能减小
②弹力做负功，弹性势能增大
4. 若规定弹簧处于原长时，弹簧弹性势能为0，则弹簧的弹性势能不可能为负值。
（）
1. 不成正比，因为弹力是变力，它是变量。
所以不能说弹性势能与形变量△x成正比。
2. 发生弹性形变的物理才有
3. 超过弹性限度后，弹性失去部分弹性
4. 说的对。
第七章第4-5节重力势能，探究弹性势能的表达式一、学习目标： 1. 理解重力势能的概念。
会用重力势能的定义式进行计算。
2. 理解重力势能的变化与重力做功的关系。
知道重力做功与路径无关。
3. 知道重力势能的相对性。
4. 理解弹性势能的概念及意义，学习计算变力做功的思想方法。
5. 猜测弹性势能的表达式与哪些因素有关，培养学生科学预测的能力。
6. 体会计算拉力做功的方法，体会微分思想和积分思想在物理学上的应用。
二、重点、难点：重点：1. 重力势能，重力势能的变化与重力做功的关系。
2. 利用微元法和图象法计算变力做功的问题。
难点：1. 重力势能的变化与重力做功的关系。
2. 理解用微元法把变力做功转化为恒力做功。
3. 理解利用力－位移的图象计算变力做功的依据。
内容和要求考点细目 出题方式 重力势能 重力势能的大小计算选择、计算题 重力做功的特点选择题 重力做功与重力势能变化的关系选择、计算题弹性势能弹性势能的概念和大小计算 选择、计算题 探究弹性势能表达式计算变力做功的方法 选择题势能势能：由相互作用的物体之间相对位置决定的能量叫势能。
重力势能、弹性势能都是势能的一种。
（1）势能是属于相互作用物体共有的。
（2）势能有多种形式，除上述两种外还有其他的如热运动中的分子势能，电磁运动中的电势能等。
一、重力势能1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，用符号P E 表示，用公式表示为mgh E P 。
单位：m 用kg ，g 用2/s m ，高度h 用m ，则P E 的单位为焦耳，记作J 。
重力势能是能量，是状态量，是标量，其正负表示大小。
2. 重力势能的相对性重力势能的大小与高度有关，起点位置不同则相对高度不同，重力势能大小不同，所以重力势能有相对性。
如下图所示水平桌面高度为h 2，重物质量为m ，距桌面高度为h 1，取地面为起点（参考平面），则重力势能)(21h h mg E P +=，取桌面为参考平面，则重力势能1mgh E P ='，P E 与'P E 不等。
重物在参考平面以下时P E 为负值。
3. 重力势能是属于重物与地球系统共有的。
由于重力的施力是地球，物体在重力作用下，物体被举高才具有重力势能，若无重力作用，举起重物不用费力，重物也就没有做功的本领，无重力势能，所以重力势能是以有重力为前提的，因此重力势能属于重物与地球共有的。
4. 重力势能变化及绝对性如下图所示，重物从高为1h 处运动到2h 处，则重力势能由1mgh 变为2mgh 、重力势能变化)(1212h h mg E E E P P P -=-=∆。
若21h h >，0<∆P E ，重力势能减小；若21h h <，0>∆P E 则重力势能增加。
h mg h h mg E P ∆=-=∆)(12，h ∆只与1h 、2h 的差值有关，与1h 、2h 的大小无关，所以重力势能变化与参考平面的选择无关，又叫重力势能变化量P E ∆有绝对性。
如h h h -=∆，若参考平面向上移m 1，则1-='h h ，1-='h hh '∆5. 能变化∆重力势能变化初末PPPEEE-=∆)(1212hhmgmghmgh-=-=GW-=又如重物沿斜面由A运动到B重力做功)2cos(θπ-=mgLWGmghmgL==θsin取B为参考平面mghEPA=0=PBE初末PPPEEE-=∆GWmghmgh-=-=-=0BAhθL重力势能的变化量与重力做功的数值大小相等，符号相反，即重力做正功，重力势能变化为负值，即重力势能减小。
相反，重力做负功，重力势能变化为正值，重力势能增大。
再次看到重力做功与路径无关，只与始末位置的高度改变有关。
二、弹性势能1. 定义物体由于发生（弹性）形变而具有的能量叫弹性势能。
卷紧了的发条、被拉弯了的弓、被拉伸或压缩的弹簧、击球时的羽毛球拍等都具有弹性势能。
由定义可以看出（1）弹性势能存在于发生弹性形变的物体之中。
（2）弹性势能大小跟物体的性质和形变大小有关。
弹簧的弹性势能大小与劲度系数和形变大小有关。
弹簧处于自然长度状态无弹性势能。
发生形变时只要长度相等，弹性势能相等，弹性势能的参考点在弹簧原长时的长度。
弹性势能只有正值没有负值。
2. 弹力做功和弹性势能的关系（1）探究弹力做功与弹性势能①计算弹簧弹力的功。
由于弹力是一个变力，计算其功不能用W=Fs。
设弹簧的伸长量为x，则F=kx，画出F —x的图象。
如下图所示。
则此图线与x轴所夹面积就为弹力所做的功。
由图象可得W弹=21k21x－21k22x；x1、x2分别为始末状态时弹簧的形变量。
方法：分割——转化——累加，是求变力功的一般方法，这是微积分思想的具体应用。
求和或累加可以通过图象上的面积求得。
②弹性势能的表达式的确定。
由W 弹=－ΔE p =E p1－E p2和W=21k 21x －21k 22x ；可知E p =21kx 2。
这与前面的讨论相符合。
说明： ①在E p =21kx 2中，E p 为弹簧的弹性势能，k 为弹簧的劲度系数，x 为形变量（即压缩或伸长的长度）；本公式不要求学生掌握和使用。
②弹簧的弹性势能E p =21kx 2，是指弹簧的长度为原长时规定它的弹性势能为零时的表达式。
我们完全可以规定弹簧某一任意长度时的势能为零势能，只不过在处理问题时不方便。
在通常情况下，我们规定弹簧处在原长时的势能为零势能。
也可以依据功能关系由图象确定弹性势能的表达式如图a 所示，弹簧的劲度系数为k 且左端固定，不加外力时，右端在O 处，今用力F 缓慢向右拉弹簧，使弹簧伸长经A 处到B 处。
手克服弹簧弹力所做的功，其大小应该等于外力F 对弹簧所做的功，即为弹簧的弹性势能增加量。
由拉力F=kx 画出F 随x 变化的图线（见图b 所示），根据W=Fs 知，图线与横轴所围的面积应该等于F 所做的功。
有W=21（kx 1+kx 2）（x 2－x 1）= 21kx 22－21kx 21 所以E p =21kx 2（2）弹力做功与弹性势能变化的关系如下图所示。
弹簧左端固定，右端连一物体。
O 点为弹簧的原长处。
当物体由O 点向右移动的过程中，弹簧被拉长，弹力对物体做负功，弹性势能增加；当物体由O 点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹性势能增加。
当物体由A 点向右移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；当物体由A ′点向左移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小。
总之，当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能。
这一点与重力做功跟重力势能变化的关系相似。
知识点一：重力势能例1. 关于重力势能，以下说法中正确的是（ ）A. 某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的B. 重力势能为０的物体，不可能对别的物体做功C. 物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变D. 只要重力做功，重力势能一定变化分析：根据重力势能的表达式、重力势能的决定因素、重力做功与重力势能变化的关系进行判断。
解析：由重力势能的表达式E p =mgh 可知，由于高度h 具有相对性，重力势能的大小也具有相对性，即处于某个位置的某个物体，在选择不同的参考平面时，重力势能的大小是不同的。
重力势能的大小具有相对性，其大小与参考平面的选取有关，所以重力势能为０的物体，是指物体处于参考平面上，并不能表明物体不具有做功的本领。
如在地面上流动的一薄层水，若取地面为参考平面，则其重力势能为０，但当这些水流向更低处时仍可对别的物体做功。
物体的重力势能是由物体的重力和物体的高度共同决定的，只要物体的高度发生变化，物体的重力势能就一定发生变化。
例如，当物体沿斜面匀速下滑时，高度减小，重力势能将减小。
重力的方向总是竖直向下的，重力做功时物体的高度肯定发生变化，重力势能也一定发生变化。
可见，正确选项为D 。
解题后的思考：重力势能的大小是相对的，重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。
重力做功是重力势能变化的量度，因此重力势能的变化量和重力做功的数值总是相等的。
例2. 如图所示，质量为m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k 。
现用手拉住弹簧上端P ，使弹簧上端缓慢提升高度h ，此时物体已经离开地面，求物体重力势能的增加量。
分析：物体被提升的高度等于弹簧上端提升的高度与弹簧拉伸长度之差。
解析：物体离开地面后，弹簧的伸长量为kmg x =∆。
可见，物体上升的高度为k mg h x h h -=∆-=∆。
从而，物体重力势能的增加量为)(kmg h mg h mg E p -=∆=∆。
解题后的思考：由于弹簧的伸长，物体上升的高度不等于拉力作用点上移的高度，如不注意这一点，往往会造成错解。
例3. 如图所示，圆柱形水箱高为5m ，容积为50m 3，水箱底部接通水管A ，顶部接通水管B 。
开始时箱中无水，若仅使用A 管或仅使用B 管慢慢地将水注入，直到箱中水满为止，试计算两种情况下外界各需做多少功（设需注入的水开始时均与箱底等高，g 取10m/s 2）分析：注水的过程外力克服水的重力做功，增加了水的重力势能，由于是缓慢注水，水的动能不增加，所以外力做功数值上就等于水所增加的重力势能。
解析：以H 表示水箱的高度。
水若从A 管注入，整箱水的重心被升高2H ，外界做功251050102231⨯⨯⨯=⋅=⋅=H Vg H mg W ρJ=×106J 。
水若从B 管注入，整箱水应先升高到H 的箱顶处，故外界做的功W 2=2W 1=2××106J=×106J 。
解题后的思考：本题是非常实用的一个例子，造成这种差异的原因是相同质量的水被提升的高度不一样，为了节省能源，我们应该采用从下方注水的方式。
有些同学认为，两种注水方式水的重心上升高度相同，故做功相同。
这种想法只是注意到了前后两个平衡状态，而没有注意两个过程不一样。
事实上，当从上管注水时，水被提升后再流入箱中，水的重力势能将减小而转化为水的动能，但是外界需做对应于把水提升到上管口的功。
例4. 如图所示，劲度系数为k 1的轻质弹簧的两端分别与质量为m 1、m 2的物块1、2拴接，劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面的那根弹簧刚好脱离桌面。
在此过程中，两物体的重力势能分别增加了多少分析：物体重力势能的增加等于物体重力与物体被提升高度的乘积。
开始时，整个系统处于平衡状态，两弹簧均被压缩。
现施力将物块1缓慢上提，直到下面的弹簧刚好脱离桌面，在此过程中下面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度，而上面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度，接着由于物块2施加拉力又逐渐变为拉伸状态。
