高考数学课时作业29 文(含解析)北师大版
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1 课时作业(二十九)
一、选择题
1．如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝ ( )
A．0 B.BE→
C.AD→ D.CF→
解析：BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→.
答案：D
2．(2013年日照期末)如图所示，已知AB→＝2 BC→，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则下面等式中成立的是 ( ) 2
A．c＝32b－12a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝32a－12b
解析：由AB→＝2BC→得AO→＋OB→＝2(BO→＋OC→)，
即2OC→＝－OA→＋3OB→，即c＝32b－12a.
答案：A
3．(2012年辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：由向量a、b加法和减法的几何意义知，|a＋b|与|a－b|分别对应着以两向量为邻边所作的平行四边形的两条对角线长，由|a＋b|＝|a－b|知，平行四边形为矩形，故有a⊥b.
答案：B
4．(2012年开封二模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝ ( )
A．－13 B．－23
C.13 D.23 3 解析：
据向量运算的几何意义，画图如右图所示．其中D、E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得CF→＝23CB→.故λ＝23，所以选D.
答案：D
5．(2013年太原五中月考)若O为△ABC所在平面内一点，且3OA→＋4OB→＋7 OC→＝0，则△OAB和△ABC的面积之比为 ( )
A.14 B.13
C.12 D.25
解析：
4 将3OA→＋4OB→＋7OC→＝0变形为7(OA→＋OC→)＝4(OA→－OB→)．如图：以OA和OC为邻边所作的平行四边形的对角线OD和AB平行．显然OD交AC于AC的中点E，故O到AB的距离是C到AB距离的一半，所以△OAB和△ABC的面积之比为12.故选C.
答案：C
6．(2013年延边质检)在△ABC中用AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为 ( )
A.911 B.511
C.411 D.311
解析：由AP→＝mAB→＋211AC→得AP→＝mAB→＋211×4AN→＝mAB→＋811AN→，因为点B、P、N三点共线，所以m＋811＝1，即m＝311.
答案：D
二、填空题
7．设e1、e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，则实数k的值为________．
解析：AB→＝2e1＋ke2，
BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
由AB→∥BD→，知2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
∴ λ＝2，－4λ＝k.则k＝－8.
答案：－8
8．在△ABC中，CA→＝a，CB→＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP→＝________(用a，b表示)． 5
解析：如图所示，AP→＝AC→＋CP→
＝－CA→＋23CN→
＝－CA→＋23×12(CA→＋CB→)
＝－CA→＋13CA→＋13CB→
＝－23CA→＋13CB→＝－23a＋13b.
答案：－23a＋13b
9．(2012年济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且DC→ 6 ＝3DE→，BC→＝3BF→，若AC→＝mAE→＋nAF→，其中m，n∈R，则m＋n＝________.
解析：AC→＝AD→＋AB→＝AE→＋ED→＋AF→＋FB→＝AE→＋13CD→＋AF→＋13CB→＝AE→＋13(AD→－AC→)＋AF→＋13(AB→－AC→)＝AE→－13AC→＋AF→ ∴AC→＝34AE→＋34AF→.
则m＋n＝34＋34＝32.
答案：32
三、解答题
10．设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
求证：A、C、D三点共线．
证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2＝－12(－8e1－2e2)＝－12CD→.∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．
11．如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝13AC，在AB上取一点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．
解：∵AP→＝NP→－NA→＝12(BN→－CN→) 7 ＝12(BN→＋NC→)＝12BC→，
QA→＝MA→－MQ→＝12BM→＋λMC→，
又∵AP→＝QA→，∴12BM→＋λMC→＝12BC→，
即λMC→＝12MC→，∴λ＝12.
12．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.
(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在一直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？
解：(1)设a－tb＝m[a－13(a＋b)]，m∈R，
化简得23m－1a＝m3－tb，
∵a与b不共线，∴ 23m－1＝0m3－t＝0⇒ m＝32，t＝12.
∴t＝12时，a，tb，13(a＋b)的终点在一直线上．
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.
∴当t＝12时，|a－tb|有最小值32|a|.
[热点预测]
13．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是 ( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.∴AD→∥BC→，又AB→与CD→不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
答案：C
14．给出下列命题： 8 ①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
其中不正确的个数为________．
解析：①中，∵向量AB→与BA→为相反向量，
∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．
答案：3
15．已知两个不共线的向量OA→，OB→的夹角为θ，且|OA→|＝3.若点M在直线OB上，且|OA→＋OM→|的最小值为32，则θ的值为________．
解析：如图，作向量AN→＝OM→，则OA→＋OM→＝ON→，其中点N在直线AC上变化，显然当ON⊥ 9 AC时，即点N到达H时，|ON→|有最小值，且∠OAH＝θ，
从而sin θ＝323＝12，
故θ＝π6或θ＝5π6(根据对称性可知钝角也可以)．
答案：π6或56π
