【北师大版】高三数学一轮课时作业【31】(含答案)
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课时作业31数列求和
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2014·西安调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a
1＝1，且
4a1,2a2，a
3成等差数列，则S
4＝()
A．7B．8
C．15 D．16
解析：设数列{a
n}的公比为q，则4a2＝4a
1＋a
3，∴4a
1q＝4a1＋a
1q2，
即q2－4q＋4＝0，
∴q＝2.∴S4＝1－24
1－2＝15.
答案：C
2．数列1×1
2，2×1
4，3×1
8，4×1
16，…的前n项和为()
A．2－1
2n－n
2n＋1B．2－1
2n－1－n
2n
C.1
2(n2＋n＋2)－1
2nD.1
2n(n＋1)＋1－1
2n－1
解析：S＝1×1
2＋2×1
4＋3×1
8＋4×1
16＋…＋n×1
2n＝1×1
21＋2×1
22
＋3×1
23＋…＋n×1
2n，①
则1
2S＝1×1
22＋2×1
23＋3×1
24＋…＋(n－1)×1
2n＋n×1
2n＋1，②
①－②得1
2S＝1
2＋1
22＋1
23＋…＋1
2n－n×1
2n＋1＝1
21－1
2n
1－1
2－n
2n＋1＝1－
1
2n－n
2n＋1.
∴S＝2－1
2n－1－n
2n.
答案：B
3．(2014·日照模拟)已知数列{a
n}的通项公式为a
n＝log
2n＋1
n＋2(n∈
N＋)，设其前n项和为S
n，则使S
n<－5成立的自然数n()
A．有最大值63 B．有最小值63
C．有最大值32 D．有最小值32
解析：S
n＝a
1＋a
2＋a
3＋…＋a
n
＝log
22
3＋log
23
4＋log
24
5＋…＋log
2n＋1
n＋2
＝log
22
3×3
4×4
5×…×n＋1
n＋2
＝log
22
n＋2<－5，
∴2
n＋2<1
32，
∴64
∴n>62，
∴n
min＝63.
答案：B
4．(2014·临沂模拟)在数列{an}中，an＝1
nn＋1，若{a
n}的前n项
和为2 013
2 014，则项数n为()
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
解析：∵a
n＝1
nn＋1＝1
n－1
n＋1，∴S
n＝1－1
n＋1＝n
n＋1＝2 013
2 014，
解得n＝2 013.
答案：C
5．(2012·新课标全国)数列{a
n}满足a
n＋1＋(－1)na
n＝2n－1，则{a
n}
的前60项和为()
A．3 690 B．3 660
C．1 845 D．1 830
解析：当n＝2k时，a
2k＋1＋a
2k＝4k－1，
当n＝2k－1时，a
2k－a
2k－1＝4k－3，
∴a
2k＋1＋a
2k－1＝2，
∴a
2k＋1＋a
2k＋3＝2，
∴a
2k－1＝a
2k＋3，
∴a
1＝a
5＝…＝a
61.
∴a
1＋a
2＋a
3＋…＋a
60＝(a
2＋a
3)＋(a
4＋a
5)＋…＋(a
60＋a
61)＝3＋
7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×3＋119
2＝30×61＝1 830.
答案：D
6．(2014·山东日照一模，10)已知数列{a
n}的前n项和S
n＝n2－6n，
则{|a
n|}的前n项和T
n＝()
A．6n－n2
B．n2－6n＋18
C.6n－n21≤n≤3
n2－6n＋18n>3
D.6n－n21≤n≤3
n2－6nn>3
解析：由S
n＝n2－6n得{a
n}是等差数列，且首项为－5，公差为
2.
∴a
n＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
∴n≤3时，a
n<0；n>3时，a
n>0，
∴Tn＝6n－n21≤n≤3，
n2－6n＋18n>3.
答案：C
7．已知数列{an}满足an＋1＝1
2＋an－a2
n，且a1＝1
2，则该数列的
前2 012项的和等于()
A.3 015
2B．3 015
C．1 509 D．2 010
解析：因为a
1＝1
2，又a
n＋1＝1
2＋a
n－a2
n，所以a
2＝1，从而a
3＝
1
2，a
4＝1，即得a
n＝1
2，n＝2k－1k∈N*，
1，n＝2kk∈N*，故数列的前2 012项的
和等于S
2 012＝1 006×(1＋1
2)＝1 509.
答案：C
8．(2014·郑州模拟)数列{an}满足an＋a
n＋1＝1
2(n∈N＋)，且a
1＝1，
Sn是数列{a
n}的前n项和，则S21＝()
A.21
2B．6
C．10 D．11
解析：依题意得a
n＋a
n＋1＝a
n＋1＋a
n＋2＝1
2，则a
n＋2＝a
n，即数列{a
n}
中的奇数项，偶数项分别相等，则a
21＝a
1＝1，S
21＝(a
1＋a
2)＋(a3＋a
4)
＋…＋(a
19＋a
20)＋a
21＝10(a
1＋a
2)＋a
21＝10×1
2＋1＝6.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．数列{a
n}的前n项和为S
n，a
1＝1，a
2＝2，a
n＋2－a
n＝1＋(－1)n(n
∈N＋)，则S
100＝________.
解析：由a
n＋2－a
n＝1＋(－1)n，知a
2k＋2－a
2k＝2，
a2k＋1－a
2k－1＝0，∴a
1＝a
3＝a
5＝…＝a
2n－1＝1，数列{a
2k}是等差数
列，a
2k＝2k.
∴S
100＝(a
1＋a
3＋a
5＋…＋a
99)＋(a2＋a
4＋a
6＋…＋a
100)＝50＋(2
＋4＋6＋…＋100)＝50＋100＋2×50
2＝2 600.
答案：2 600
10．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数．数列{bn}满
足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12则数列{bn}的前________项和最大．
解析：∵bn＋1－bn＝lgan＋1
an＝lgq(常数)
∴{b
n}为等差数列，
∴b
1＋2d＝18，b
1＋5d＝12，
可得d＝－2，b
1＝22，由b
n＝－2n＋24≥0，
知n≤12，∴S
11＝S
12＝132最大．
答案：11或12
11．下面给出一个“直角三角形数阵”
1
4
1
2，1
4
3
4，3
8，3
16
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，
且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a
ij(i≥j，i，j∈N＋)，则
a
83等于________．
解析：设第一列为数列{an
1}，则an
1＝1
4＋(n－1)×1
4＝n
4.设第n行
第m列为anm＝n
4×(1
2)m－1，
∴a
83＝8
4×(1
2)3－1＝1
2.
答案：1
2
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a
1＝1，a
n＋1＝1
2Sn(n＝
1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3
2(3an＋1)时，求数列{1
b
nb
n＋1}的前n项和Tn.
解：(1)由已知得a
n＋1＝1
2S
n，
an＝1
2Sn－1n≥2，
得到a
n＋1＝3
2a
n(n≥2)．
∴数列{a
n}是以a
2为首项，以3
2为公比的等比数列．
