高三 一轮复习 随机事件的概率 教案

1 随机事件的概率

1．概率与频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

2．事件的关系与运算

定义 符号表示

包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A

(或A⊆B)

相等关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B

并事件

(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B

(或A＋B)

交事件

(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)

互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅

对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且A∪B＝Ω

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

2 1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．

2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

[试一试]

1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不分也不必要”)．

2．在2013年全国运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为________．

利用集合方法判断互斥事件与对立事件

1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

[练一练]

1．(2014·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．

2．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是________．

考点一 事件关系的判断

1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为________．

2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件有________．

①至少有一个红球，都是红球

②至少有一个红球，都是白球

3 ③至少有一个红球，至少有一个白球

④恰有一个红球，恰有两个红球

3．给出下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；

②A，B是两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；

③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；

④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则事件A，B是对立事件．

其中所有不正确命题的序号为________．

[类题通法]

判断事件关系时要注意

(1)利用集合观点判断事件关系

(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．

考点二 随机事件的概率

[典例] (2013·广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．

(1)求点数之积是4的概率；

(2)设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a－b＝1成立的概率．

在本例条件不变的情况下求：

(1)在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率；

(2)两颗骰子向上的点数均大于等于4的概率.

4 [类题通法]

求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：

(1)列举法，

(2)列表法，

(3)利用树状图列举．

[针对训练]

(2013·江苏高考)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．

考点三 互斥事件与对立事件的概率

[典例] (2014·唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．

[类题通法]

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．

[针对训练]

(2014·北京东城模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．

(1)求取得的两个球颜色相同的概率；

(2)求取得的两个球颜色不相同的概率．

5

[课堂练通考点]

1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．

2．(2014·昆明调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是________．

3．(2014·黄冈一模)设集合A＝B＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A和B中随机取数x和y，确定平面上的一个点P(x，y)，我们记“点P(x，y)满足条件x2＋y2≤16”为事件C，则C的概率为________．

4．(2014·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.

5．(2014·绍兴调研)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表：

血型 A B AB O

该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35

已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

6 [课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为________．

2．每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以1,2,3,4,5,6)．连续抛掷2次，则2次向上的数字之和不小于10的概率为________．

3．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈0，π4的概率为________．

4．在平面直角坐标系xOy中，不等式组 －1≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，

5．(2014·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2与l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则点P(36P1,36P2)与圆C：x2＋y2＝1 098的位置关系是________．

6．某城市2013年的空气质量状况如下表所示：

污染指数T 30 60 100 110 130 140

概率P 110 16 13 730 215 130

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50

7．(2014·北京海淀区期末)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．

8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．

7 9．从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：

(1)第一次摸到黄球的概率；

(2)第二次摸到黄球的概率．

10．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛．

(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．

第Ⅱ组：重点选做题

1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．

2．(2014·南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．