高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案随机事件的概率1

第四节 随机事件的概率

事件与概率

了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意

义，了解频率与概率的区别．

了解两个互斥事件的概率加法公式．

知识点一 概率与频率

1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．

2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

易误提醒 易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．

[自测练习]

1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．

答案：0

2．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：

污染指数T 30 60 100 110 130 140

概率P 110 16 13 730 215 130

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50

答案：35

知识点二 互斥事件和对立事件

事件 定义 性质

互斥事件 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，(事件A，B是互斥事件)；

P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(事件A1，A2，…，An任意两个互斥)

对立事件 在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和A称为对立事件 P(A)＝1－P(A)

易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

[自测练习]

3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )

“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．

答案：A

4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )

A.310 B.58 C.710 D.25

解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝310.

答案：A

考点一 事件的关系|

1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )

A．A与B是互斥而非对立事件

B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件

解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．

答案：D

2．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．

答案：A

3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.

答案：A

集合法判断互斥事件与对立事件的方法

1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

考点二 随机事件的概率|

(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴

日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30

天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨

(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．的概率；

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．

[解] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.

(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.

1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．

解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.

答案：32

0.437 5

考点三 互斥事件与对立事件的概率|

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

[解] (1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，

P(C)＝501 000＝120.

(2)因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000.

(3)P(A∪B)＝1－P(A＋B)＝1－11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.

求复杂互斥事件概率的两种方法

(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．

2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

解：记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，

所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.

(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.

31.正难则反思想求互斥事件的概率

【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上

顾客数(人) x 30 25 y 10

结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；