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圆幂定理及其证明

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圆幂定理

圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：22OPR

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

（1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

PDCBA

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，

∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以

APPDAPBPPCPDPCBP

（2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

TPBA

如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

2PTPAPTPAPBPBPT

（3） 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有

PA·PB=PC·PD。

PDCBA

这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。 存在：PAPBPCPD

进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则

2222()()||PCPDPORPORPORPOR（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为2222||RPOPOR

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝

对值。（这就是“圆幂”的由来）

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圆幂定理逆定理

圆幂定理逆定理

圆幂定理逆定理

圆幂定理是解决许多数学问题的重要工具，它描述的是一个点到圆的两条切线段的积等于这个点到圆心的距离的平方与圆半径平方之差。圆幂定理所涉及的关键点包括圆、切线、点、圆心、半径等，因此几何图形的运用便成为解决问题的一大方法。

圆幂定理逆定理的表述为，如果在同一圆周上有两条等幂线段，其对应的两个弧所夹的圆心角相等，则这两条幂线段对于该圆的幂相等。圆幂定理逆定理与圆幂定理相反，是从等幂线段出发，来探讨线段之间的关系和其对幂的影响。因此，理解圆幂定理逆定理的前提是掌握圆幂定理，同时基本的几何图形知识和代数缩并式也是必不可少的。

圆幂定理逆定理的证明过程就是从等幂线段出发，推导证明对应角度相等的结果，再利用圆幂定理来得到幂的相等性。证明过程中需要用到数学公式，如正弦定理、余弦定理等，需要把几何问题转化为代数问题，再从代数的角度进行证明。

圆幂定理逆定理的应用很广泛，例如在解决几何问题的过程中，可以利用等幂线段来推导证明角度相等的结论，从而进一步解决问题。在实际生活和工作中，圆幂定理逆定理也有很多具体的应用，如在测量圆的直径长度时，可以通过等幂线段的特性来计算，进而推导出圆的半径和面积等。此外，圆幂定理逆定理还可以应用于电磁场、化学反应等领域。

总之，圆幂定理逆定理作为圆幂定理的补充和延伸，对于解决许多数学问题有着重要的作用，需要深入学习和掌握。在应用中，需要充分发挥几何图形和代数缩并的技巧，从而得到最优秀的成果。

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)

托勒密定理

定理图

定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角 线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的 面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一 系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定理的提出

一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷 (Hipparchus)之手，托勒密只 是从他的书中摘出。

证明

一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)

在任意四边形 ABCD 中，作△ ABE 使∠ BAE=∠ CAD ∠ ABE=∠ ACD 因为△

ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC, 即 BE·AC=AB·CD (1)

而∠ BAC=∠ DAE，，∠ ACB=∠ ADE

所以△ ABC∽△AED 相似.

BC/ED=AC/AD 即 ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2), 得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为 BE+ED≥BD

(仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)

所以命题得证

复数证明

用 a、 b、c、d 分别表示四边形顶点 A、 B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 复数恒等式： (a

- b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模， 运用三角不等式得。 等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、 B、C、D 四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不 等式的反演形式。 二、设 ABCD 是圆内接四边形。 在弦 BC 上，圆周角∠ BAC = ∠ BDC，而在 A B 上，∠ ADB = ∠ ACB。 在 AC 上取一点 K，使得∠ ABK = ∠ CBD； 因为∠ ABK + ∠CBK =

我对圆幂定理逆定理的证明

我对圆幂定理逆定理的证明

我对圆幂定理逆定理的证明

刘瑞祥

说明：圆幂定理是什么我就不说了，众所周知的是它包括三种形式，这⾥只对其中⼀种形式下的逆定理进⾏证明，因为相似要

在《原本》第六卷才会出现，所以圆幂定理另外⼀种情况的证明在《⼏何原本》⾥就没有⽤相似（见第三卷命题37），以下

证明是我仿其所作，主要⽤到了勾股定理和平⽅差公式。另外，这⾥也没有⽤到三⾓形外接圆，因为这在《原本》第四卷才会

出现。虽然《原本》⾥没有下⾯⽤到的平⽅差公式，但这是不难证明的。

两线段AB、CD相交于点E，且AE、BE上长⽅形等于CE、DE上长⽅形，则可证A、B、C、D四点共圆。

证明过程：

⾸先，当两条线段互相平分时，即AE等于EB且CE等于ED，这时因为AE、BE上长⽅形等于CE、DE上长⽅形，

所以AE、BE、CE、DE的每⼀个都相等，

即A、B、C、D四点共圆，且E为圆⼼。（第⼀种情况证明完毕。——刘注）

其次，当AB垂直平分CD时，

连接C和AB中点H。

因为三⾓形CEH是直⾓三⾓形，

所以CH上正⽅形等于EH上正⽅形加上CE上正⽅形，【勾股定理】（CH2

=EH2

+CE2

。——刘注）

⼜因为CE等于DE，

所以CH上正⽅形等于CE、DE加上EH上正⽅形。（CH2

=EH2

+CE×DE。——刘注）

⽽CE、DE等于长⽅形AE、BE，

所以CH上正⽅形等于长⽅形AE、BE，加上EH上正⽅形。（CH2

=EH2

+AE×BE。——刘注）

⼜因为AH等于BH，所以长⽅形AE、BE等于AH与EH的差、AH与EH的和组成的长⽅形，

即长⽅形AE、BE等于BH上正⽅形减去EH上正⽅形，【平⽅差公式】（AE×BE=BH2

-EH2

。——刘注）

所以CH上正⽅形等于BH上正⽅形，（CH2

=BH2

。——刘注）

即CH等于BH。

类似可证DH也等于AH，且H是AB中点，

即A、B、C、D四点共圆，且H是圆⼼。（⾄此，第⼆种情况证明完毕。——刘注）

再次，对于其它情况：

作AB和CD的垂直平分线FH和GH，⼆者交于H。

圆幂定理及运用

圆幂定理及运用

PODCBAPODCBAPODCBA圆幂定理及运用

一、圆幂定理研究与证明

1、如图，AB、CD是⊙O两条弦，相交于点P。求证：PA·PB＝PC·PD

2、PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线。求证：PT2＝PA·PB

3、PAB、PCD是⊙O的割线。求证：PA·PB＝PC·PD

二、圆幂定理的运用

1、已知：如图，⊙O的弦AB与CD相交于点P，AP＝6，BP＝3，CP＝2，求CD的长。

变式1：若AP＝6，BP＝3，CD＝11，求CP的长

TPOBA变式2：已知P为⊙O内一点，OP＝2，过P作任一弦AB，若PA＝2，PB＝。求⊙O的半径

2、已知：如图，AB＝4，BP＝2，CP＝4。求CD的长

变式1：AB＝4，BP＝2，CD＝1。求CP的长

变式2：若PT是⊙O的切线。求PT的长

变式3：连结PO，若PO＝5，求⊙O的半径

3、如图，若⊙O的半径OA＝5，P在OA上，PA＝2，MN过点P，MP：PN＝1：2.求弦心距OQ的长

4、过⊙O外一点P的一条割线PAB交⊙O于A、B两点，PO交⊙O于C，AB＝7，PA＝4，⊙O的半径为10，求PO的长。

POBATODCBANMQPOAPOCBA