第三章导数的应用教案

第三章 导数的应用

知识点：

用导数在经济分析中的应的应用函数最值在经济问题中函数的极值、最值函数的单调性函数其他类型未定式型未定式型未定式洛必达法则柯西定理拉格朗日中值定理罗尔定理微分中值定理00

教学目的要求：

（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。 会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的。

（2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“00”型和“”型，了解“”、“0”型等。

（3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。

（4）初步掌握简单实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的经济问题。

教学重点：

1．函数单调性的判断与单调区间的求法

2．函数极值、最值的求法

3．实际应用

教学难点：

1．微分中值定理

2．洛必达法则及应用

3．函数极值的求法与应用 4．函数最值的求法与应用

第一节 微分中值定理

【教学内容】罗尔定理，拉格朗日中值定理。

【教学目的】理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理和拉格朗日中值定理结论中的。初步具有应用中值定理论证问题的能力.

【教学重点】1．罗尔定理；2．拉格朗日中值定理。

【教学难点】1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。

【教学时数】1学时

【教学进程】

一、 罗尔（Rolle）定理

罗尔（Rolle 1652-1719）法国数学家。年轻时因家境贫穷，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论。这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。

在介绍罗尔定理之前，我们先来看一个几何事实。

闭区间],[ba上的一条连续曲线)(xfy，在相应的开区间),(ba内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象），且区间端点的函数值相等如图1, 则)(xf在区间),(ba上至少有一条水平切线。我们说这就是微分中值定理之一……罗尔中值定理的几何解释。

几何意义：

① 在],[ba上)(xf是一条连续的曲线。（连续）

② 在),(ba内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。（可导）

③ 两端点A、B的连线与x轴平行。（端点高度相同）

结论：至少存在一点，使得其切线平行于x轴。

图1

分析意义：

定理3．1 如果函数)(xfy满足下列条件：

（1）在闭区间],[ba上连续；

（2）在开区间),(ba内可导；

（3）)()(bfaf。

则在区间),(ba内至少存在一点ξ，使得0)(ξf

例1:验证罗尔中值定理对函数233)(xxxf，在区间0,3上的正确性。并求出罗尔定理结论中的。

解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。

条件①：233)(xxxf是初等函数，所以函数)(xf在0,3上连续，即条件①符合。

条件②：xxxf63)(2，所以函数)(xf在（－3, 0）内可导，条件②符合。

条件③：0)0()3(ff，条件③符合。

所以)(xf在0,3上满足罗尔定理的条件。

令063)(2xxxf，解得2,0xx，因为0x不在区间（－3, 0）内，故舍去。所以取2，即在（－3, 0）内存在一点2，使得0)('f。所以罗尔中值定理结论中的2.

思考：如果罗尔中值定理的条件有一个不成立，结论会如何？

例2: 验证函数xy在区间1,1上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。

解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。由xy的图象可知：

图 2

条件①：xy在1,1上连续，即条件①符合。

条件②：xy，0x点是一个尖点，即xy在0x点不可导，所以条件②不符合。

所以xy在1,1上不满足罗尔定理的条件。

同时我们从图2也可以看到xy在)1,1(内不存在点，使得其切线平行于x轴。即不存在点，使得0)(ξf。

课堂练习：

验证函数xxy2在区间1,0上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。

（答案：满足，21）

强调：1．若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;

2． 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.

在罗尔中值定理中条件)()(bfaf比较特殊，使他的应用受到限制。若在罗尔中值定理中，)()(bfaf，其余条件不变，则我们得到：

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange 1736-1813）法国数学家。普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为“欧洲最大之数学家”，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

在介绍拉格朗日中值定理之前先简单介绍拉格朗日的生平。

如图3, 若)()(bfaf，其余条件不变，则)(xf在区间),(ba上至少有一条切线平行于弦AB。我们说这就是微分中值定理之一……拉格朗日中值定理的几何解释。

几何意义：

图3

① 在],[ba上)(xf是一条连续的曲线。（连续）

② 在),(ba内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。（可导）

结论：至少存在一点，使得其切线平行于弦AB。

分析意义：

定理3．2 设函数)(xf满足下列条件：

（1）在闭区间],[ba上连续，

（2）在开区间),(ba内可导，

则在区间),(ba内至少存在一点ξ，使得)()()(ξfabafbf．

上式也可表示成))(()()(abξfafbf．

例3：验证函数1)(2xxf在闭区间4,1上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。

解：我们从定理中的两个条件来逐一判断，是否符合。

条件1:1)(2xxf是初等函数，所以函数)(xf在4,1上连续，即条件1成立。

条件2:xxf2)(，所以函数)(xf在（1, 4）内可导，条件②符合。

所以)(xf在4,1上满足拉格朗日中值定理的条件。

又17)4(,2)1(ff，令25,3152,14)1()4()(得即fff。所以拉格朗日中值定理结论中的25。

推论3.1 若函数)(xf在区间(a, b)上导数恒为零，则)(xf在区间(a, b)上是一个常数. 即Cxf)(

思考：若其余条件不变，在区间（a, b）内恒有)()(xgxf，则拉格朗日中值定理的结论会如何？

推论3.2 若在区间（a, b）内恒有)()(xgxf，则在（a, b）内有

Cxgxf)()( 证明：令),()()(xgxfxF则由)()(xgxf，得0)()()(xgxfxF，由推论3.1可知，,)(CxF 即有Cxgxf)()(。

例4证明 2arccosarcsinxx,]1,1[x．

证明 由于01111)arccos(arcsin22xxxx,由推论2知

Cxxarccosarcsin（)1,1(x）

取0x，则2200arccos0arcsinC；即有

2arccosarcsinxx（)1,1(x）

又当1x时，2)1arccos()1arcsin(；所以

2arccosarcsinxx（]1,1[x）

罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，这三个定理统称为微分中值定理．在这一节我们只要求掌握前面两个定理。

课堂练习：

验证函数xxf1)(在闭区间2,1上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。

（答案：2）

＊三、柯西定理

柯西（Cauchy1789-1857）法国数学家。柯西是一位多产的数学家。他的全集从1882

年开始出版到1974年才出齐最后一卷，一共有28卷。柯西在数学中的各个领域都有贡献，

是数学弹性理论的奠基人之一。

作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理，即柯西定理。

定理3．3 设函数)(xf与)(xg在闭区间],[ba上连续，在开区间),(ba内可导，且0)(xg，则至少存在一点),(baξ，使得

)()()()()()(ξgξfagbgafbf 例5：试对函数]2,0[,cos)(,sin)(xxxgxxf，写出柯西公式)()()()()()(cgcfagbgafbf，并求C.

解：因为xxgxxfcos)(,sin)(是初等函数，所以)(xf和)(xg在]2,0[上连续；又因为xxfcos)(，xxgsin)(。

所以)(xf和)(xg在)2,0(内可导；

因此)(xf和)(xg在]2,0[上满足柯西定理的条件。

又因为cccgcfggffsincos)()(1)1(001)0()2()0()2(

即

4c

小结：

主要内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西定理

重点：1．罗尔定理，2．拉格朗日中值定理

难点：1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。

第二节 洛必达法则

【教学内容】00型未定式，型未定式，其他类型未定式。