第一节 导数的概念及运算 定积分 考试要求
1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．
[知识排查·微点淘金]
知识点1 导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limx→0 ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limx→0ΔyΔx＝limx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．
[微思考]
f′(x)与f′(x0)有什么．
提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.
知识点2 导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是：在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
[微思考]
直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？
提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．
[微提醒] 1．“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
课程3 导数应用与定积分知识体系构建
主题归纳整合素养一 逻辑推理角度1 利用导数研究函数单调性、极值、最值【典例1】已知函数f(x)=-x3+x2,x<1,alnx,x≥1.{(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值点.(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.【自主解答】
类题·通1.利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤及注意事项(1)求f(x)在区间[a,b]内的极值(极大值或极小值).(2)将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,若表达式中含有参数,则需对参数分类与整合来确定最值.2.利用导数研究函数的极值、最值的两类题型(1)知道具体的函数,直接利用求极值或最值的步骤进行求解.(2)知道函数的极值或最值,求参数的值.角度2 利用导数证明不等式,求参数范围【典例2】已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.【自主解答】
类题·通含参数问题需要分类讨论的情况1.①f'(x)≥0,②f'(x)≤0,③若不确定,令f'(x)=0,(ⅰ)根不在定义域内,(ⅱ)根在定义域内,列表.2.y=ax2+bx+c,①a=0,②a≠0,(ⅰ)Δ≤0,(ⅱ)Δ>0.3.①分母=0,②分母≠0.4.分段函数.5.参数正负等等
.1素养二 数学建模角度 利用导数解决实际问题【典例3】某企业生产甲、乙两种产品,根据市场调查与预测,甲产品的利润与投资成正比,其关系如图1,乙产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资的单位:万元).(1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品,问:怎样分配这100万元资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?
学必求其心得，业必贵于专精
1 定积分在物理中的应用
摘要：
伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.
定义：
学必求其心得，业必贵于专精
2 设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b］中任意插入若干个分点
a=X0〈X1〈...〈Xn—1
把区间[a，b］分成n个小区间
[X0，X1]，..。[Xn—1，Xn]。
在每个小区间[Xi—1，Xi］上任取一点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi），作函数值f(ξi）与小区间长度的乘积f(ξi）△Xi，并作出和
iniixs1
如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，
这时我们称这个极限I为函数f（x)在区间[a，b]上的定积分，
记作: dxxfab
即： iniiabxfIdxxf11lim
定积分和不定积分的历史联系
这两个东西在概念上的联系我困扰了我好一阵子，因为他们在高数书上的反映这两个部分完全是两个概念，不定积分只是一种运算方式，而定积分是微分的逆向思维。
后来，看到这么一个帖子内容才有所明白其中的缘由~~
定积分和不定积分在几何意义上没有任何关系，但有牛顿莱布尼茨公式中所表示的代数关系。为什么？难道是一种巧合吗？
历史的发展应该是这个样子的，先是黎曼提出了黎曼积分，也就是定积分的概念。然后牛顿和莱布尼茨发现了那个公式，揭示了定积分和原函数之间的关系。下面的问题是怎么计算原函数，牛顿和莱布尼茨又根据原函数提出了不定积分的概念。之所以命名为不定积分就是根据那个公式。所以定积分和不定积分并不是共同出生的一对孪生兄弟，只是后人根据牛莱公式给原函数族起了一个和定积分相似的名字。
微分思想是无限分割，积分思想是无限累加。但这指的应该是定积分，不定积分体现不出来这种思想，因为它根本就不是积出来的。从数学思想上，微分和定积分才是互逆的。不定积分和导数是互逆运算，不表示它和微分也是互逆运算。微分用导数来表示，只是一个计算得出的结果，从定义中推不出来。所以说微分是不定积分的逆运算并不准确，它们形似而神非。
